Mostrar código-fonte de Evolução de Schramm–Loewner

{{Fundamentos de probabilidade}}

Em [[teoria das probabilidades]], a '''evolução de Schramm-Loewner''' com parâmetro <math>\kappa</math> (ESL<math>_k</math>), também conhecida como '''evolução estocástica de Loewner''', é uma família de [[Curva plana|curvas planas]] aleatórias, tendo sido provado que são o limite escalar de uma variedade de modelos de reticulados bidimensionais em [[mecânica estatística]]. Dados um parâmetro <math>\kappa</math> e um domínio no plano complexo <math>U</math>, tem-se uma família de curvas aleatórias em <math>U</math>, com <math>\kappa</math> controlando o quanto a curva gira. Há duas variantes principais da evolução de Schramm-Loewner: a evolução cordal, que dá uma família de curvas aleatórias a partir de dois pontos fixos no limites, e a evolução radial, que dá uma família de curvas aleatórias a partir de um ponto fixo no limite até um ponto fixo no interior. Estas curvas são definidas a fim de satisfazer à [[Geometria conforme|invariância conforme]] e à [[propriedade de Markov]] de um domínio.

Foi descoberta por [[Oded Schramm]] como um limite escalar conjeturado dos processos probabilísticos da árvore geradora uniforme (''uniform spanning tree'' ou UST, na sigla em inglês) plana e do passeio aleatório de ''loop'' apagado (''loop-erased random walk'' ou LERW, na sigla em inglês).<ref>{{Citar periódico|ultimo=Schramm|primeiro=Oded|data=2000-12-01|titulo=Scaling limits of loop-erased random walks and uniform spanning trees|jornal=Israel Journal of Mathematics|volume=118|numero=1|paginas=221–288|issn=0021-2172|doi=10.1007/bf02803524|url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF02803524|idioma=en}}</ref> Em seguida, foi desenvolvida por ele junto com Greg Lawler e [[Wendelin Werner]] em uma série de artigos em conjunto.

Além da UST e do LERW, é possível conjeturar ou provar que a evolução de Schramm-Loewner descreve o limite escalar de vários processos estocásticos no plano, tal como a percolação crítica, o [[Modelo Ising]] crítico, o modelo de dímero-duplo, [[Caminho autoevitante|caminhos autoevitantes]] e outros modelos críticos da mecânica estatística que exibem invariância conforme. As curvas da ESL são os limites escalares de interfaces e outras curvas aleatórias que não se interseccionam nestes modelos. A ideia principal é de que a invariância conforme e uma certa propriedade de Markov inerente a tais processos estocásticos juntas tornam possível codificar estas curvas planas em um [[movimento browniano]] unidimensional que percorre o limite do domínio (a função diretora da equação diferencial de Loewner). Desta forma, muitas questões importantes sobre modelos planos podem ser traduzidas em exercícios em cálculo de Itō. De fato, várias previsões matemáticas não rigorosas feitas por físicos usando a [[teoria do campo conformal]] foram provadas com o uso desta estratégia.

==Equação de Loewner==
Se ''D'' for um domínio [[Número complexo|complexo]], [[Conjunto aberto|aberto]], simplesmente conexo, não igual a '''C''' e <math>\gamma</math> for uma curva simples em ''D'' que começa em seu limite (uma [[função contínua]] com <math>\gamma(0)</math> no limite de ''D'' e <math>\gamma((0,\infin))</math> um [[subconjunto]] de ''D''), então, para cada <math>t \geq 0</math>, o complemento ''D''<math>_t</math> de <math>\gamma([0,t])</math> é simplesmente conexo e, por isso, [[Projecção conforme|conformemente isomórfico]] a ''D'' pelo [[Teorema do mapeamento conforme de Riemann|teorema do mapeamento de Riemann]]. Se <math>f_t</math> for um isomorfismo normalizado adequado de ''D'' a ''D''<math>_t</math>, então, satisfaz uma equação diferencial encontrado por Loewner em seu trabalho sobre a conjetura de Bierbach.<ref>{{Citar periódico|ultimo=Löwner|primeiro=Karl|data=1923-03-01|titulo=Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. I|jornal=Mathematische Annalen|volume=89|numero=1-2|paginas=103–121|issn=0025-5831|doi=10.1007/bf01448091|url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01448091|idioma=de}}</ref> Às vezes, é mais conveniente usar a função inversa <math>g_t</math> de <math>f_t</math>, que é uma projeção conforme de ''D''<math>_t</math> a ''D''. 

Na equação de Loewner, <math>z</math> está no domínio ''D'', <math>t \geq 0</math> e os valores do limite no momento <math>t=0</math> são <math>f_0(z)=z</math> ou <math>g_0(z)=(z)</math>. A equação depende de uma função diretora <math>\zeta(t)</math> que assume os valores no limite de ''D''. Se ''D'' for o disco unitário e a curva <math>\gamma</math> for parametrizada por "capacidade", então, a equação de Loewner é:

:<math> \frac{\partial f_t(z)}{\partial t} = -z f^\prime_t(z)\frac{\zeta(t)+z}{\zeta(t)-z}</math>   or   <math> \dfrac{\partial g_t(z)}{\partial t} =  g_t(z)\dfrac{\zeta(t)+g_t(z)}{\zeta(t)-g_t(z)}.</math>

Quando ''D'' é o plano da metade superior, a equação de Loewner difere disto pelas mudanças de variável e é:

:<math>\frac{\partial f_t(z)}{\partial t} = \frac{ 2f_t^\prime(z)}{\zeta(t)-z}</math>   or   <math>\dfrac{\partial g_t(z)}{\partial t} = \dfrac{ 2}{g_t(z)-\zeta(t)}.</math>

A função diretora <math>\zeta</math> e a curva <math>\gamma</math> são relacionadas por:
:<math>\displaystyle f_t(\zeta(t)) = \gamma(t)</math>   or   <math>\displaystyle  \zeta(t) = g_t(\gamma(t)) </math>
em que <math>f_t</math> e <math>g_t</math> são estendidas por continuidade.

===Exemplo===

Considere ''D'' o plano da metade superior e uma SLE<math>_0</math>, sendo a função diretora <math>\zeta</math> um movimento browniano de difusividade zero. A função <math>\zeta</math> é assim igual a zero quase certamente e
:<math>f_t(z) = \sqrt{z^2-4t}</math>
:<math>g_t(z) = \sqrt{z^2+4t}</math>
:<math>\gamma(t) = 2i\sqrt{t}</math>
:''D''<math>_t</math> é o plano da metade superior com a linha de 0 a <math>2i\sqrt{t}</math> removida.

== Evolução de Schramm-Loewner ==
A evolução de Schramm-Loewner é a curva aleatória <math>\gamma</math> dada pela equação de Loewner como mostrada na seção anterior para a função diretora
:<math>\displaystyle\zeta(t)=\sqrt{\kappa}B(t)</math>
em que <math>B(t)</math> é o movimento browniano no limite de ''D'', escalado por algum <math>\kappa</math> real. Em outras palavras, a evolução de Schramm-Loewner é a medida de probabilidade em curvas planas, dada como a imagem da medida de Wiener sob este mapa.

Em geral, a curva <math>\gamma</math> não precisa ser simples e o domínio ''D''<math>_t</math> não é o complemento de <math>\gamma([0,t])</math> em ''D'', mas, em vez disso, o componente não limitado do complement.

Há duas versões da evolução de Schramm-Loewner, que usam duas famílias de curvas, cada uma dependendo de um parâmetro real não negativo <math>\kappa</math>:
*A ESL<math>_\kappa</math> cordal, que é relacionada com as curvas que conectam dois pontos no limite de um domínio (geralmente, o plano da metade superior, como os pontos sendo 0 e infinito);
*A ESL<math>_\kappa</math> radial, que é relacionada com as curvas que ligam um ponto no limite de um domínio a um ponto no interior (frequentemente curvas que ligam 1 e 0 no disco unitário).

A evolução de Schramm-Loewner depende da escolha de movimento browniano no limite do domínio e há diversas variações que dependem do tipo de movimento browniano usado: por exemplo, ele pode começar em um ponto fixo ou em um ponto uniformemente distribuído no círculo unitário ou pode ter um construto em deriva, daí em diante. O parâmetro <math>\kappa</math> controla a taxa de difusão do movimento browniano e o comportamento da evolução de Schramm-Loewner depende criticamente de seu valor.

Os dois domínios mais comumente usados na evolução de Schramm-Loewner são o plano da metade superior e o círculo unitário. Ainda que a equação diferencial de Loewner nestes dois casos pareça diferente, eles são equivalentes a mudanças de variáveis na medida em que o círculo unitário e o plano da metade superior são conformemente equivalentes. Entretanto, uma equivalência conforme entre eles não preserva o movimento browniano em seus limites usado para dirigir a evolução de Schramm-Loewner.

The two domains most commonly used in Schramm–Loewner evolution are the upper half plane and the unit circle. Although the Loewner differential equation in these two cases look different,  they are equivalent up to changes of variables as the unit circle and the upper half plane are conformally equivalent. However a conformal equivalence between them does not preserve the Brownian motion on their boundaries used to drive Schramm–Loewner evolution.

==Valores especiais de <math>\kappa</math>==
*<math>\kappa=2</math> corresponde ao passeio aleatório de ''loop'' apagado ou, equivalentemente, aos ramos da árvore geradora uniforme.
*Para <math>\kappa=8/3</math>, a ESL<math>_\kappa</math> tem a propriedade da restrição e conjetura-se que seja o limite escalar dos [[Passeio aleatório|passeios aleatórios]] [[Caminho autoevitante|autoevitantes]]. Uma versão disto é a fronteira externa do movimento browniano.
*<math>\kappa=3</math> é o limite das interfaces para o modelo Ising.
*Para <math>0\leq \kappa \leq 4</math>, a curva <math>\gamma(t)</math> é simples (com probabilidade 1).
*<math>\kappa=4</math> corresponde ao caminho do explorador harmônico e às linhas de contorno do campo livre gaussiano.
*Para <math>\kappa=6</math>, a  ESL<math>_\kappa</math> tem a propriedade da localidade. Isto surge no limite escalar da percolação crítica no reticulado triangular e conjeturalmente em outros reticulados.
*Para <math>4<\kappa <8</math>, a curva <math>\gamma(t)</math> intersecciona consigo mesma e todo ponto está contido em um ''loop'', mas a curva não preenche espaço (com probabilidade 1).
*<math>\kappa=8</math> corresponde ao caminho que separa a árvore geradora uniforme de sua árvore dual.
*Para <math>\kappa \geq 8</math>, a curva <math>\gamma(t)</math> preenche espaço (com probabilidade 1).

Quando a evolução de Schramm-Loewner corresponde a alguma teoria do campo conforme, o parâmetro <math>\kappa</math> é relacionado com a carga central <math>c</math> da teoria do campo conforme por
:<math>c = \frac{(8-3\kappa)(\kappa-6)}{2\kappa}.</math>
Cada valor de <math>c<1</math> corresponde a dois valores de <math>\kappa</math>. Um valor de <math>\kappa</math> entre <math>0</math> e <math>4</math> e um valor "dual" <math>16/\kappa</math> superior a <math>4</math>. 

Vincent Beffara mostrou que a dimensão de Hausdorff dos caminhos (com probabilidade 1) é igual a <math>min(2,1+\kappa/8)</math>.<ref>{{Citar periódico|ultimo=Beffara|primeiro=Vincent|ano=2008|mes=07|titulo=The dimension of the SLE curves|jornal=The Annals of Probability|volume=36|numero=4|paginas=1421–1452|issn=0091-1798|doi=10.1214/07-aop364|url=http://projecteuclid.org/euclid.aop/1217360974|acessadoem=|idioma=EN}}</ref> 

== Fórmulas de probabilidade de passagem à esquerda a ESL(<math>\kappa</math>)==

A probabilidade da ESL(<math>\kappa</math>) cordal <math>\gamma</math> estar à esquerda do ponto fixo <math> x_{0}+iy_{0}=z_{0}\in \mathbb{H}</math> foi computada por Schramm em 2001:<ref name=":1">{{Citar periódico|ultimo=Schramm|primeiro=Oded|ultimo2=Sheffield|primeiro2=Scott|data=2005|titulo=Harmonic Explorer and Its Convergence to SLE4|jornal=The Annals of Probability|volume=33|numero=6|paginas=2127–2148|url=http://www.jstor.org/stable/3481779}}</ref>
:<math>\mathbb{P}[\gamma ~\text{na esquerda de}~z_{0}]=\frac{1}{2}+\frac{\Gamma(4/\kappa)}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{8-\kappa}{2\kappa})}\frac{x_{0}}{y_{0}}F_{2,1}(\frac{1}{2},\frac{\kappa}{4}, \frac{3}{2}, -(\frac{x_{0}}{y_{0}})^{2})</math>
em que <math>\Gamma</math> é a [[função gama]] e <math>F_{2,1}(a,b,c,d)</math> é a função hipergeométrica. Isto foi derivado usando a propriedade martingale de <math>h(x,y):=\mathbb{P}[\gamma ~\text{na esquerda de}~x+iy]</math> e o lema de Itō para obter a seguinte equação diferencial parcial para <math>w:=\frac{x}{y}</math>

:<math>\frac{\kappa}{2}\partial_{ww}h(w)+\frac{4w}{w^{2}+1}\partial_{w}h=0</math>.
Para <math>\kappa=4</math>, o lado direito da equação é <math>1-\frac{1}{\pi}\arg(z_{0})</math>, que foi usado na construção do explorador harmônico e,<ref name=":1" /> para <math>\kappa=6</math>, pode-se obter a fórmula de Cardy, que foi usada por [[Stanislav Smirnov]] para provar a invariância conforme na percolação.<ref name=":2">{{Citar periódico|ultimo=Smirnov|primeiro=Stanislav|data=2001-08-01|titulo=Critical percolation in the plane: conformal invariance, Cardy's formula, scaling limits|jornal=Comptes Rendus de l'Académie des Sciences - Series I - Mathematics|volume=333|numero=3|paginas=239–244|doi=10.1016/s0764-4442(01)01991-7|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0764444201019917}}</ref>

==Aplicações==
Em 2001, Gregory Lawler, Oded Schramm e Wendelin Werner usaram a ESL<math>_6</math> para provar<ref>{{Citar periódico|ultimo=Lawler|primeiro=Gregory F.|ultimo2=Schramm|primeiro2=Oded|ultimo3=Werner|primeiro3=Wendelin|ano=2001|mes=07|titulo=The Dimension of the Planar Brownian Frontier is 4/3|jornal=Mathematical Research Letters|volume=8|numero=4|paginas=401–411|issn=1945-001X|doi=10.4310/mrl.2001.v8.n4.a1|url=http://www.intlpress.com/site/pub/pages/journals/items/mrl/content/vols/0008/0004/a001/|acessadoem=|idioma=EN}}</ref> a conjetura feita por Benoît Mandelbrot em 1982<ref>{{Citar livro|título=The fractal geometry of nature|ultimo=B.|primeiro=Mandelbrot, Benoit|data=1982|editora=W.H. Freeman|isbn=9780716711865}}</ref> de que o limite do movimento browniano plano tem [[dimensão fractal]] <math>4/3</math>.

Stanislav Smirnov provou que a percolação crítica no reticulado triangular está relacionada à ESL com <math>\kappa=6</math>.<ref name=":2" /> Combinado com o trabalho anterior de [[Harry Kesten]],<ref>{{Citar periódico|ultimo=Kesten|primeiro=Harry|data=1987-03-01|titulo=Scaling relations for 2D-percolation|jornal=Communications in Mathematical Physics|volume=109|numero=1|paginas=109–156|issn=0010-3616|doi=10.1007/bf01205674|url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01205674|idioma=en}}</ref> isto levou à determinação de muitos dos expoentes críticos para a percolação.<ref>{{Citar periódico|ultimo=Smirnov|primeiro=Stanislav|ultimo2=Werner|primeiro2=Wendelin|ano=2001|mes=11|titulo=Critical exponents for two-dimensional percolation|jornal=Mathematical Research Letters|volume=8|numero=6|paginas=729–744|issn=1945-001X|doi=10.4310/mrl.2001.v8.n6.a4|url=http://www.intlpress.com/site/pub/pages/journals/items/mrl/content/vols/0008/0006/a004/|acessadoem=|idioma=EN}}</ref> Esta importante descoberta, por sua vez, permitiu a análise posterior de muitos aspectos deste modelo.<ref>{{Citar periódico|ultimo=Schramm|primeiro=Oded|ultimo2=Steif|primeiro2=Jeffrey|data=2010|titulo=Quantitative noise sensitivity and exceptional times for percolation|jornal=Annals of Mathematics|volume=171|numero=2|paginas=619–672|issn=0003-486X|doi=10.4007/annals.2010.171.619|url=http://annals.math.princeton.edu/2010/171-2/p01|idioma=en-US}}</ref><ref>{{Citar periódico|ultimo=Garban|primeiro=Christophe|ultimo2=Pete|primeiro2=Gábor|ultimo3=Schramm|primeiro3=Oded|data=2013|titulo=Pivotal, cluster, and interface measures for critical planar percolation|jornal=Journal of the American Mathematical Society|volume=26|numero=4|paginas=939–1024|issn=0894-0347|doi=10.1090/s0894-0347-2013-00772-9|url=http://www.ams.org/jams/2013-26-04/S0894-0347-2013-00772-9/}}</ref>

Lawler, Schramm e Werner provaram que o passeio aleatório de ''loop'' apagado converge à ESL com <math>\kappa=2</math>.<ref name=":0">{{Citar periódico|ultimo=Lawler|primeiro=Gregory F.|ultimo2=Schramm|primeiro2=Oded|ultimo3=Werner|primeiro3=Wendelin|ano=2004|mes=01|titulo=Conformal invariance of planar loop-erased random walks and uniform spanning trees|jornal=The Annals of Probability|volume=32|numero=1B|paginas=939–995|issn=0091-1798|doi=10.1214/aop/1079021469|url=http://projecteuclid.org/euclid.aop/1079021469|acessadoem=}}</ref> Isto permitiu a derivação de muitas propriedades quantitativas do passeio aleatório de ''loop'' apagado (algumas das quais foram derivadas anteriormente por Richard Kenyon). Mostrou-se que a relacionada curva de Peano aleatória que contorna a árvore geradora uniforme converge à ESL com <math>\kappa=8</math>.<ref name=":0" />

Steffen Rohde e Oded Schramm mostraram que <math>\kappa</math> está relacionado com a dimensão fractal de uma curva pela seguinte relação:

:<math>d = 1 + \frac{\kappa}{8}.</math>

==Referências==
{{Reflist}}

==Leituras adicionais==
{{Refbegin}}
*{{Citation | title=The dimension of the SLE curves | year=2008 | last1=Beffara | first1=Vincent | url=http://projecteuclid.org/euclid.aop/1217360974 | journal=The Annals of Probability | volume=36 | issue=4 | pages=1421–1452 | doi=10.1214/07-AOP364| mr=2435854 }}
*{{citation|title=SLE for theoretical physicists|year=2005|last=Cardy|first=John|journal=Annals of Physics |volume=318 |pages= 81–118|doi=10.1016/j.aop.2005.04.001|arxiv=cond-mat/0503313}}
*{{springer|id=l/l060960|title=Löwner method|first=E.G.|last= Goluzina}}
*{{springer|id=L/l060950|title=Löwner equation|first=V.Ya. |last=Gutlyanskii}}
*{{citation|title=A Guide to Stochastic Loewner Evolution and its Applications
|year=2004|last=Kager|last2= Nienhuis|first=Wouter |first2= Bernard|journal=J. Stat. Phys.|volume= 115|issue=5/6|pages=1149–1229 |doi=10.1023/B:JOSS.0000028058.87266.be|arxiv=math-ph/0312056}} 
*{{Citation | title=Conformally invariant processes in the plane | year=2005 | last1=Lawler | first1=Gregory F. | url =https://books.google.com/books?id=JHMzab3u6U8C | series=Mathematical Surveys and Monographs | volume=114| location=Providence, R.I. | publisher=[[American Mathematical Society]] | isbn=978-0-8218-3677-4 | mr=2129588 }}
*{{Citation |title=Schramm–Loewner Evolution|year=2007| last1=Lawler | first1=Gregory F. |arxiv=0712.3256}}
*{{Citation |title=Stochastic Loewner Evolution| last1=Lawler | first1=Gregory F. |url=http://www.math.cornell.edu/%7Elawler/encyclopedia.ps}}
*{{Citation |title=Conformal invariance and 2D statistical physics
|year=2009| last1=Lawler | first1=Gregory F. |journal= Bull. Amer. Math. Soc.|volume= 46 |pages= 35–54 |doi=10.1090/S0273-0979-08-01229-9 }}
*{{Citation |title=The dimension of the planar Brownian frontier is 4/3 | year=2001 | last1=Lawler | last2=Schramm | last3=Werner | first1=Gregory F. | first2=Oded | first3=Wendelin | url=http://www.mrlonline.org/mrl/2001-008-004/2001-008-004-001.html | journal=Mathematical Research Letters   | volume=8 | issue=4 | pages=401–411 | doi=10.4310/mrl.2001.v8.n4.a1| mr=1849257 }}
*{{citation|title=Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. I|year=1923|last=Loewner|first=C. |journal=Math. Ann. |volume=89|pages= 103–121|id= [http://www.emis.de/cgi-bin/JFM-item?49.0714.01 JFM 49.0714.01]|doi=10.1007/BF01448091}}
*{{Citation | title=The Fractal Geometry of Nature | year=1982| last1=Mandelbrot | first1=Benoît | publisher=W. H. Freeman | isbn=978-0-7167-1186-5 }}
*{{citation|title=Introduction to Schramm–Loewner evolutions|year=2010|last= Norris|first=J. R. |url=http://www.statslab.cam.ac.uk/~james/Lectures/sle.pdf}}
*{{citation|title=Univalent functions, with a chapter on quadratic differentials by Gerd Jensen|year= 1975|last=Pommerenke|first= Christian|series= Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher|volume=15|publisher= Vandenhoeck & Ruprecht}}  (Chapter 6 treats the classical theory of Loewner's equation)
*{{Citation | title=Scaling limits of loop-erased random walks and uniform spanning trees | year=2000 | last1=Schramm | first1=Oded | journal=Israel Journal of Mathematics | volume=118 | pages=221–288 | doi=10.1007/BF02803524| arxiv=math.PR/9904022 | mr=1776084 }} Schramm's original paper, introducing SLE
*{{Citation | title=International Congress of Mathematicians. Vol. I | year=2007 | last1=Schramm | first1=Oded | pages=513–543| chapter=Conformally invariant scaling limits: an overview and a collection of problems | publisher=Eur. Math. Soc., Zürich |isbn= 978-3-03719-022-7 | mr=2334202 |arxiv=math/0602151}}
*{{Citation | title=Lectures on probability theory and statistics | year=2004 | last1=Werner | first1=Wendelin | series=Lecture Notes in Math. | volume=1840 | pages=107–195| chapter=Random planar curves and Schramm–Loewner evolutions | location=Berlin, New York | publisher=[[Springer-Verlag]] |isbn=978-3-540-21316-1|doi=10.1007/b96719| arxiv=math.PR/0303354 | mr=2079672 }}
*{{Citation | title=Conformal restriction and related questions | year=2005 | last1=Werner | first1=Wendelin | url=http://projecteuclid.org/euclid.ps/1117553605 | journal=Probability Surveys | volume=2 | pages=145–190| doi=10.1214/154957805100000113 | mr=2178043 }}
{{Refend}}

{{Processos estocásticos}}
{{Portal3|Probabilidade e estatística}}
[[Categoria:Análise complexa]]
[[Categoria:Processos estocásticos]]