Mostrar código-fonte de Fórmula de De Moivre

[[Ficheiro:Abraham de moivre.jpg|miniaturadaimagem|Abraham De Moivre]]
A '''fórmula de De Moivre''' afirma que<ref name="complexvars">BROWN, J. W.; RUEL, C. V. (2003). Complex Variables and Applications (7.ª edição). McGraw-Hill Science Engineering ISBN 9780072872521. Páginas 18 a 21.</ref>:

:<math>(\cos x+i\mathrm{sen}\,x)^n=\cos(nx)+i\mathrm{sen}\,(nx) \, \forall x \in \real \land \forall n \in Z</math>

Esta fórmula é importante porque estabelece uma ligação entre [[número complexo|números complexos]] (''i'' é a [[unidade imaginária]]) com a [[trigonometria]]. A expressão:
:<math>\cos\left ( x \right ) + i \mathrm{sen}\,\left ( x \right )</math>

é frequentemente abreviada por:
:<math>\mathrm{cis}\left( x \right)</math>.

ainda que a [[fórmula de Euler]] seja uma maneira mais comum de a descrever.

[[Abraham de Moivre]] foi amigo de [[Isaac Newton|Newton]]; em [[1698]] este último escreveu que esta fórmula era do seu conhecimento desde [[1676]].

A fórmula de De Moivre pode ser obtida da [[fórmula de Euler]]:
:<math>e^{ix} = \cos\left ( x \right ) + i \mathrm{sen}\,\left ( x \right )</math>

embora historicamente seja anterior a esta. Ela é um caso particular da expressão mais geral<ref name="complexvars" />:
:<math>(|z|(\cos x+i\mathrm{sen} x))^n=|z|^n \left( \cos(nx)+i\mathrm{sen}(nx) \right)\, \forall x \in \real \land \forall n \in Z</math>

== Demonstração ==
Vamos demonstrar<ref>A demonstração segue em grande parte a demonstração da referência anterior, ainda que seja ligeiramente diferente para evitar recorrer demasiado à fórmula de Euler.</ref> a fórmula para <math>n \in \mathbb{N}</math> por indução e, depois generalizar, não recorrendo à fórmula de Euler.
Queremos provar que

<math>z^n=(|z|(\cos x+i\mathrm{sen} x))^n=|z|^n \left( \cos(nx)+i\mathrm{sen}(nx) \right).\, \forall x \in \real</math>,  <math>n \in \mathbb{N}
</math> e com <math>z</math> sendo um número complexo.

Para <math>n = 1</math> a identidade é verdadeira, pois tem-se <math>z = |z| \left( \cos x + i \sin x \right)</math>, que é a representação na [[Número complexo#Defini.C3.A7.C3.B5es|forma polar]] de um número complexo (com <math>r=|z|</math> e <math>\theta=x</math>).

Suponhamos agora que a propriedade se verifica para <math>n = k</math> e provemos que também o é para <math>n=k+1</math>. Temos:

<math>
z^{k+1}=z z^k = |z|^{k+1} \left( \cos x \cos (kx) + i (\cos x \sin (kx) +  \sin x \cos (kx)) - \sin x \sin (kx) \right) = |z|^{k+1} \left( \cos(x(k+1)) + i \sin\left(k(x+1)\right)\right)
</math>

Conseguimos provar que a fórmula se verifica, recorrendo às fórmulas <math>\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b</math> e <math>\sin (a + b) = \cos a \sin b + \sin a \cos b</math>.

Queremos agora generalizar para <math>n \in \mathbb{Z}</math>. Para n=0 a propriedade é imediata se convencionarmos <math>z^0 = 1</math>

Consideremos <math>m = -n \in \mathbb{N}</math>. Então:

<math>z^n = (z^{-1})^m = \frac{1}{|z|^m} \left( \cos -x + i \sin -x\right)^m</math>

Em que aplicámos propriedades dos complexos relacionadas com a potenciação e o [[Número complexo#Opera.C3.A7.C3.B5es_elementares|quociente]]. Repare-se que agora estamos perante <math>-x</math> e não <math>x</math>. Agora:

<math>
\frac{1}{|z|^m}\left( \cos -x + i \sin -x\right)^m = |z|^{-m} \left( \cos -mx + i sin -mx \right)
</math>

Aplicámos apenas a fórmula que já demonstrámos para os números naturais, uma vez que, como <math>n</math> é negativo, <math>m</math> é positivo (natural).

Substituindo de volta por <math>n = -m</math>:

<math>z^n = |z|^n \left( \cos nx + i \sin nx \right), \forall n \in \mathbb{Z} </math>, ''[[Q.E.D.]]''

Destaque para o facto de a fórmula de De Moivre ser um caso particular para <math>|z|=1</math>

{{Referências}}

{{DEFAULTSORT:Formula Moivre}}
[[Categoria:Teoremas em análise complexa]]
[[Categoria:Números complexos]]
[[Categoria:Teoremas de matemática]]