Mostrar código-fonte de Família de conjuntos

{{Ver desambig|texto=Não confundir com [[Família indexada|Família indexada de conjuntos]]}}
Na [[teoria dos conjuntos]] e ramos relacionados da [[matemática]], uma coleção <math>\mathcal{F}</math> de [[subconjunto]]s de um determinado [[conjunto]] <math>S</math> é chamada de uma '''família de subconjuntos''' de <math>S</math>, ou uma '''família de conjuntos''' sobre <math>S</math>. Mais geralmente, uma família de conjuntos é um conjunto de conjuntos.

O termo "coleção" é usado aqui porque, em alguns contextos, uma família de conjuntos pode conter cópias repetidas de qualquer membro,<ref>{{harvnb|Brualdi|2010|loc=pg. 322}}</ref><ref>{{harvnb|Roberts|Tesman|2009|loc=pg. 692}}</ref><ref>{{harvnb|Biggs|1985|loc=pg. 89}}</ref> e, em outros contextos, pode formar uma [[Classe (teoria dos conjuntos)|classe própria]] em vez de um conjunto.

== Operações sobre famílias ==
Sejam <math>A</math> e <math>B</math> conjuntos arbitrários. Se <math>\mathcal{F}</math> é uma família e <math>\mathcal{F} \neq \varnothing</math>, então:

* União: <math>A\cup B=\bigcup \mathcal{F} = \{a|\exists F \in \mathcal{F}(a\in F)\}</math>

* Interseção: <math>A\cap B=\bigcap \mathcal{F} = \{a|\forall F \in \mathcal{F}(a\in F)\}</math>

== Exemplos ==

* O [[Conjunto de partes|conjunto das partes]] <math>\mathcal{P }(S)</math> é uma família de conjuntos sobre <math>S</math>.
* Os [[Conjunto finito|subconjuntos ''k'']] <math>S^{(k)}</math> de um conjunto <math>S</math> formam uma família de conjuntos.
* Seja <math>S = \{a, b, c, 1,2\}</math>, um exemplo de uma família de conjuntos sobre <math>S</math> (no sentido de [[multiconjunto]]) é dado por <math>\mathcal{F} = \{A_1, A_2, A_3, A_4\}</math> onde <math>A_1 = \{a, b, c\}, A_2 = \{1,2\}, A_3 = \{1,2\}</math> e <math>A_4 = \{a, b, 1\}</math>.
* A classe ordinal de todos os [[números ordinais]] é uma grande família de conjuntos; isto é, não é em si um conjunto, mas sim uma [[Classe (teoria dos conjuntos)|classe própria]].
* Seja <math>\mathcal{F} =\{\{2,4,6,9\},\{3,4,6,9\},\{5,6,9,11\}\}</math> uma família, então: <math>\bigcup \mathcal{F} = \{2,4,6,9\}\cup\{3,4,6,9\}\cup\{5,6,9,11\} = \{2,3,4,5,6,9,11\}</math> e <math>\bigcap \mathcal{F} = \{2,4,6,9\}\cap\{3,4,6,9\}\cap\{5,6,9,11\} = \{6,9\}</math>.

== Tipos especiais de família de conjuntos ==

* Uma família de Sperner é uma família de conjuntos em que nenhum dos conjuntos contém qualquer dos outros. O [[teorema de Sperner]] limita o tamanho máximo de uma família de Sperner.
* Uma família de Helly é uma família de conjuntos que qualquer subfamília mínima com [[interseção]] vazia tem tamanho limitado. O [[teorema de Helly]] afirma que convexos se estabelecem em [[Espaço euclidiano|espaços euclidianos]] de dimensão limitada, formando famílias de Helly.

== Propriedades ==

* Qualquer família de subconjuntos de <math>S</math> é em si um subconjunto do conjunto das partes <math>\mathcal{P} (S)</math> se não tiver membros repetidos.
* Qualquer família de conjuntos sem repetições é uma [[Classe (teoria dos conjuntos)|subclasse]] da classe própria <math>\mathcal{V}</math> de todos os conjuntos (o [[Conjunto universo|universo]]).
* Teorema do casamento de Hall, devido a [[Philip Hall]], dá condições necessárias e suficientes para uma família finita de conjuntos não vazios (repetições permitidas) para ter um sistema de representantes distintos.

== Conceitos relacionados ==
Certos tipos de objetos de outras áreas da matemática são equivalentes a famílias de conjuntos, na medida em que podem ser descritos puramente como uma coleção de conjuntos de objetos de algum tipo:

* Um [[hipergrafo]], também chamado de sistema de conjunto, é formado por um conjunto de [[Vértice (teoria dos grafos)|vértices]] junto com outro conjunto de [[Aresta (teoria dos grafos)|arestas]], cada um dos quais pode ser um conjunto arbitrário. As arestas de um hipergrafo formam uma família de conjuntos, e qualquer família de conjuntos pode ser interpretada como um hipergrafo que tem a união dos conjuntos como seus vértices.
* Um complexo simplicial abstrato é uma abstração combinatorial da noção de um [[complexo simplicial]], uma forma formada por uniões de [[segmentos de reta]], [[triângulo]]s, [[tetraedro]]s e [[Simplex (topologia)|simplex]] de maior dimensão, unidos face a face. Em um complexo simplicial abstrato, cada simplex é representado simplesmente como o conjunto de seus vértices. Qualquer família de [[Conjunto finito|conjuntos finitos]] sem repetições em que os subconjuntos de qualquer conjunto da família também pertencem à família forma um complexo simplicial abstrato.
* Uma estrutura de incidência consiste em um conjunto de ''pontos'', um conjunto de ''retas'' e uma [[relação binária]] (arbitrária), chamada de relação de incidência, especificando quais pontos pertencem a quais retas. Uma estrutura de incidência pode ser especificada por uma família de conjuntos (mesmo se duas linhas distintas contiverem o mesmo conjunto de pontos), os conjuntos de pontos pertencentes a cada linha e qualquer família de conjuntos pode ser interpretada como uma estrutura de incidência dessa maneira.
* Um código de bloco binário consiste em um conjunto de palavras de código, cada uma das quais é uma cadeia de ''0''s e ''1''s, todas do mesmo tamanho. Quando cada par de palavras de código possui uma grande [[distância de Hamming]], ele pode ser usado como um código de correção de erros. Um código de bloco também pode ser descrito como uma família de conjuntos, descrevendo cada palavra de código como o conjunto de posições em que ele contém um ''1''.

== Notas ==
{{reflist}}

== Referências ==

* {{citation|último =Biggs|primeiro =Norman L.|título=Discrete Mathematics|publicado=Clarendon Press|local=Oxford|ano=1985|isbn=0-19-853252-0}}
* {{citation|último =Brualdi|primeiro =Richard A.|título=Introductory Combinatorics|edição=5th|ano=2010|publicado=Prentice Hall|local=Upper Saddle River, NJ|isbn=0-13-602040-2}}
* {{citation|último1 =Roberts|primeiro1 =Fred S.|último2 =Tesman|primeiro2 =Barry|título=Applied Combinatorics|edição=2nd|publicado=CRC Press|local=Boca Raton|ano=2009|isbn=978-1-4200-9982-9}}
== Ligações externas ==
* {{Commonscat|Set families}}
{{Teoria dos conjuntos}}
{{Portal3|matemática}}
[[Categoria:Teoria dos conjuntos]]