Mostrar código-fonte de Fasor

[[Imagem:Wykres wektorowy by Zureks.svg|thumb|300px|Um exemplo de circuito RLC em série e diagrama de fasor respectivos para um específico ω <var>{{unicode|&omega;}}</var>]]

Em física e engenharia, um '''vetor de fase''' ou '''fasor''', é uma representação de uma função senoidal cuja amplitude (A), frequência angular (ω) e fase (θ) são [[Sistema linear invariante no tempo|invariantes no tempo]]. É um [[subconjunto]] de um conceito mais geral chamado representação analítica. Fasores separam as dependências em A, ω e θ em três fatores independentes. Isto pode ser particularmente útil, porque o fator de frequência (que inclui a dependência da senoide em relação ao tempo) muitas vezes é comum a todos os componentes de uma [[combinação linear]] das sinusoides. Nessas situações, fasores permitem esse recurso comum ser fatorado para fora, deixando apenas as características A e θ. O resultado é que reduz a [[trigonometria]] à álgebra e equações diferenciais se tornam funções algébricas. O fasor de termo, portanto, muitas vezes se refere a apenas esses dois fatores. Em textos antigos, um fasor é também referido como um sinor.  A teoria de transformada fasorial foi desenvolvida por [[Charles Proteus Steinmetz]] trabalhando na [[General Electric]] no fim do século 19.

Trata-se da utilização de um [[vetor (matemática)|vetor]] bidimensional para representar uma [[onda]] em [[movimento harmónico simples|movimento harmônico simples]]. Devido ao modelo matemático de uma onda em movimento harmônico simples

:<math>x(t) = A \cos (\omega t + \alpha)\,</math>

é possível identificar-se uma relação entre esse modelo e a projeção no eixo das abscissas do seguinte vetor

:<math>\vec x(t) = A(\cos(\omega t + \alpha) \vec i + \sin(\omega t + \alpha) \vec j)\,</math>

Ou seja, é possível representar uma onda de amplitude máxima <math>A\,</math> e ângulo de fase <math>(\omega t + \alpha)\,</math> através de um vetor de magnitude <math>A\,</math> e que perfaz o ângulo <math>(\omega t + \alpha)\,</math> com o eixo das abscissas, no sentido directo.

==Definição==
A [[fórmula de Euler]] indica que sinusóides podem ser representados matematicamente como a soma de duas funções de valores complexos:
:<math>A\cdot \cos(\omega t + \theta) = A \cdot \frac{e^{i(\omega t + \theta)} + e^{-i(\omega t + \theta)}}{2},</math> {{nota de rodapé|
*'''i''' é a unidade imaginária (<math>i^2 = -1</math>).
*Em textos de engenharia elétrica, a unidade imaginária é frequentemente simbolizada por j.
*A frequência da onda, em Hertz, é dada por <math>\omega/2\pi</math>.}}

ou como a parte real de uma das funções:
:<math>
\begin{align}
A\cdot \cos(\omega t + \theta) &= \operatorname{Re} \left\{ A\cdot e^{i(\omega t + \theta)}\right\} \\
&= \operatorname{Re} \left\{ A e^{i\theta} \cdot e^{i\omega t}\right\}.
\end{align}
</math>
Como indicado acima, os ' fasores ' podem referir-se a <math>A e^{i\theta} e^{i\omega t}\,</math> ou apenas ao complexo constante, &nbsp;<math>A e^{i\theta}\,</math> &nbsp;. Neste último caso, entende-se ser uma notação abreviada, a amplitude e a fase de uma senóide subjacente de codificação.

Um atalho ainda mais compacto é a notação de ângulo: <math>A \angle \theta.\,</math>

[[Imagem:unfasor.gif|thumb|right|Um fasor pode ser visto como um vetor de rotação sobre a origem em um plano complexo. A função cosseno é a projeção do vetor no eixo real. Sua amplitude é o módulo do vetor e seu argumento é a fase de total <math>\omega t+\theta</math>.

A constante de fase <math>\theta</math> representa o ângulo que o vetor forma com o eixo real em ''t'' = 0.]]

==Aritmética de fasor==
===Multiplicação por uma constante (escalar)===
Multiplicação do fasor &nbsp;<math>A e^{i\theta} e^{i\omega t}\,</math> por uma constante complexa, &nbsp;<math>B e^{i\phi}\,</math>&nbsp;, produz outro fasor. Isso significa que seu único efeito é alterar a amplitude e a fase da senoide subjacente:

:<math>
\begin{align}
\operatorname{Re}\{(A e^{i\theta} \cdot B e^{i\phi})\cdot e^{i\omega t} \}
&= \operatorname{Re}\{(AB e^{i(\theta+\phi)})\cdot e^{i\omega t} \} \\
&= AB \cos(\omega t +(\theta+\phi))
\end{align}
</math>

Em eletrônica,<math>B e^{i\phi}\,</math>&nbsp; representaria uma impedância, que é independente do tempo. Em particular não é a notação abreviada para outro fasor. Multiplicando um fasor corrente por uma impedância produz uma tensão de fasor. Mas o produto de dois fasores (ou quadratura de um fasor) representaria o produto de duas sinusóides, que é uma operação não-linear que produz novos componentes de freqüência. Notação de fasor só pode representar sistemas com uma freqüência, como um sistema linear estimulada por uma senóide.

===Diferenciação e integração===

A derivada do tempo ou integral de um fasor produz outro fasor.{{nota de rodapé| Isto resulta do ''':''' <math>\frac{d}{dt}(e^{i \omega t}) = i \omega e^{i \omega t}</math> o que significa que o complexo exponencial é a função própria da operação de derivada.}} 

Por exemplo:
:<math>
\begin{align}
\operatorname{Re}\left\{\frac{d}{dt}(A e^{i\theta} \cdot e^{i\omega t})\right\}
&= \operatorname{Re}\{A e^{i\theta} \cdot i\omega e^{i\omega t}\} \\[8pt]
&= \operatorname{Re}\{A e^{i\theta} \cdot e^{i\pi/2} \omega e^{i\omega t}\} \\[8pt]
&= \operatorname{Re}\{\omega A e^{i(\theta + \pi/2)} \cdot e^{i\omega t}\} \\[8pt]
&= \omega A\cdot \cos(\omega t + \theta + \pi/2)
\end{align}
</math>

Portanto, na representação de fasor, a derivada do tempo de uma senóide fica apenas multiplicada pela constante,<math>i \omega = (e^{i\pi/2} \cdot \omega).\,</math>&nbsp;Da mesma forma, integrar um fasor corresponde à multiplicação por <math>\frac{1}{i\omega} = \frac{e^{-i\pi/2}}{\omega}.\,</math>&nbsp; O fator tempo-dependente,&nbsp;<math>e^{i\omega t}\,</math>, não é afetado.

Quando resolvemos uma equação diferencial linear com  aritmética de fasor, nós estamos meramente fatorando &nbsp;<math>e^{i\omega t}\,</math>&nbsp; fora de todos os termos da equação e voltando a colocar na resposta. Por exemplo, considere a seguinte equação diferencial para a tensão através do [[capacitor]] num circuito RC:
:<math>\frac{d\ v_C(t)}{dt} + \frac{1}{RC}v_C(t) = \frac{1}{RC}v_S(t)</math>

Quando a fonte de tensão nesse circuito é senoidal:
:<math>v_S(t) = V_P\cdot \cos(\omega t + \theta),\,</math>
devemos substituir:
:<math>
\begin{align}
v_S(t) &= \operatorname{Re} \{V_s \cdot e^{i\omega t}\} \\
\end{align}
</math>
:<math>v_C(t) = \operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\},</math>

onde o fasor &nbsp;<math>V_s = V_P e^{i\theta},\,</math>&nbsp; e o fasor <math>V_c\,</math> é a quantidade desconhecida a determinar.

Na notação abreviada do fasor, a equação diferencial se reduz a

:<math>i \omega V_c + \frac{1}{RC} V_c = \frac{1}{RC}V_s</math>

Resolvendo para o fasor tensão capacitor dá:
:<math>
V_c = \frac{1}{1 + i \omega RC} \cdot (V_s) = \frac{1-i\omega R C}{1+(\omega R C)^2} \cdot (V_P e^{i\theta})\,
</math>

Como vimos, o fator de multiplicação<math>V_s\,</math>&nbsp; representa as diferenças de amplitude e fase de <math>v_C(t)\,</math>&nbsp;relativo à <math>V_P\,</math>&nbsp;e <math>\theta.\,</math>

Na forma de [[coordenadas polares]], é:

:<math>\frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\cdot e^{-i \phi(\omega)}</math>, onde <math>\phi(\omega) = \arctan(\omega RC)</math>

Portanto:

:<math>v_C(t) = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\cdot V_P \cos(\omega t + \theta- \phi(\omega))</math>

===Adição===
[[Imagem:sumafasores.gif|thumb|150px|right|A soma de fasores como adição de vetores de giro]]
A soma de vários fasores  produz outro fasor. Isso é porque a soma de sinusóides, com a mesma frequência é também uma senóide com a freqüência:

:<math>
\begin{align}
A_1 \cos(\omega t + \theta_1) + A_2 \cos(\omega t + \theta_2)
&= \operatorname{Re} \{A_1 e^{i\theta_1}e^{i\omega t}\} + \operatorname{Re} \{A_2 e^{i\theta_2}e^{i\omega t}\} \\[8pt]
&= \operatorname{Re} \{A_1 e^{i\theta_1}e^{i\omega t} + A_2 e^{i\theta_2}e^{i\omega t}\} \\[8pt]
&= \operatorname{Re} \{(A_1 e^{i\theta_1} + A_2 e^{i\theta_2})e^{i\omega t}\} \\[8pt]
&= \operatorname{Re} \{(A_3 e^{i\theta_3})e^{i\omega t}\} \\[8pt]
&= A_3 \cos(\omega t + \theta_3),
\end{align}
</math>

onde:

:<math>
A_3^2 = (A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos \theta_2)^2 + (A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2)^2,
</math>
:<math>
\theta_3 = \arctan\left(\frac{A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2}{A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2}\right)
</math>

ou,através da lei dos cossenos no plano complexo (ou a identidade trigonométrica para diferenças de ângulo):

:<math>
A_3^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2 A_1 A_2 \cos(180^\circ - \Delta\theta),
      = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\Delta\theta),
</math>

onde <math>\Delta\theta = \theta_1 - \theta_2</math>.

Um ponto chave é que A3 e θ3 não dependem ω ou t, que é o que possibilita a notação de fasor. A dependência de tempo e frequência pode ser suprimida e re-inserida para o resultado, enquanto as operações apenas usadas no meio são aqueles que produzem outro fasor. Na notação de ângulo, a operação mostrada acima está escrita:

:<math>A_1 \angle \theta_1 + A_2 \angle \theta_2 = A_3 \angle \theta_3. \, </math>

Outra maneira de ver a adição é que dois vectores com coordenadas [A1 cos(ωt + θ1), A1 sin (ωt + θ1)] e [A2 cos(ωt + θ2), A2 sin (ωt + θ2)] são adicionados vetorialmente para produzir um vetor resultante com coordenadas [A3 cos(ωt + θ3), A3 sin (ωt + θ3)]. (ver animação)

[[Imagem:destructive interference.png|thumb|right|Diagrama de fasor de três ondas em interferência destrutiva perfeita]]
Em física, este tipo de adição ocorre quando sinusóides interferem uns com os outros, de forma construtiva ou destrutiva. O conceito de vetor estático fornece percepções úteis sobre perguntas como esta: "que diferença de fase seria necessária entre três sinusóides idênticos para cancelamento perfeito?" Neste caso, basta imaginarmos três vetores de igual comprimento e colocando-os cabeça à cauda, de tal modo que a última cabeça combina com a cauda do primeiro. Claramente, a forma que satisfaz essas condições é um triângulo equilátero, então o ângulo entre cada fasor para o próximo é de 120 ° (2 π/3 radianos), ou um terço de um comprimento de onda λ/3. Assim a diferença de fase entre cada onda deve também ser 120 °, como é o caso de corrente trifásica.
Em outras palavras, o que isto mostra é:

:<math>\cos(\omega t) + \cos(\omega t + 2\pi/3) + \cos(\omega t +4\pi/3) = 0.\,</math>

No exemplo de três ondas, a diferença de fase entre a primeira e a última onda foi 240 graus, enquanto para duas ondas destrutivas a interferência acontece a 180 graus. No limite de muitas ondas, os fasores devem formar um círculo para a interferências destrutivas, para que o primeiro fasor seja quase paralelo com o último. Isso significa que, para muitas fontes, destrutivas interferências acontecem quando a primeira e a última onda diferem por 360 graus, um comprimento de onda completo. Isto é porque em único fenda difração, mínimos ocorrem quando a luz da borda distante viaja um comprimento de onda completo a mais que a luz vinda da fenda mais próxima.

== Aplicações ==
Os fasores têm uma larga aplicação prática pois oferecem várias vantagens na manipulação e cálculo de ondas. Eis algumas vantagens:

=== Sobreposição de ondas ===
Graças à natureza vetorial dos fasores, o cálculo do efeito da sobreposição de ondas reduz-se a uma soma vetorial.

=== Derivação e determinação da velocidade e aceleração ===
Devido à natureza do modelo matemático da onda em movimento harmónico simples, das operações de derivação e das propriedades trigonométricas, a determinação da velocidade e aceleração duma partícula em movimento harmónico simples torna-se trivial. Derivando a expressão de <math>x(t)</math> obtêm-se as seguintes expressões para a velocidade e aceleração:

:<math>v(t) = \dot{x}(t) = - A \omega \sin (\omega t + \alpha)\,</math>
:<math>a(t) = \ddot{x}(t) =  - A \omega^2 \cos (\omega t + \alpha)\,</math>

A partir das relações trigonométricas deduz-se que a velocidade e a aceleração podem ser representados como vetores que prefazem um ângulo de <math>\pi /2\,</math> e <math>\pi\,</math> com o fasor posição e que possuem as magnitudes <math>-A\omega\,</math> e <math>-A \omega^2\,</math> respectivamente.

== Funções senoidais ==
Uma função senoidal <math>F(t)</math> é uma função periódica que oscila entre dois valores <math>-F_\text{máx}</math> e <math>F_\text{máx}</math> , com a mesma forma de uma função [[seno]] ou [[cosseno]], como mostra a figura abaixo.<ref name=Villate />

A distância <math>T</math> entre dois máximos ou dois mínimos sucessivos é o período da função e o seu inverso, <math>f=1/T</math>, é a frequência.

Se designarmos por <math>t_\text{máx}</math>a distância entre o ponto no eixo do tempo, onde a função atinge o seu valor máximo <math>F_\text{máx}</math> antes de
<math>t=0</math> , e a origem, a ''fase'' da função é:

<math>\varphi = 2\,\pi \left(\frac{t_\text{máx}}{T}\right)</math>

Consequentemente, as funções sinusoidais têm todas a forma geral:

<math>F(t) = F_\text{máx}\,\cos(\omega\,t + \varphi)</math>

onde <math>\omega</math> é a ''frequência angular'':

<math>\omega = 2\,\pi\,f</math>

Repare que existem várias formas de representar a mesma função. Podíamos substituir
o cosseno por seno e subtrair <math>\pi/2</math>  fase, sem alterar nada. Podíamos também inverter o sinal da frequência e da fase e somar ou subtrair à fase qualquer múltiplo de <math>2\,\pi</math>.

No entanto, para poder garantir que duas funções sinusoidais são iguais unicamente se
tiverem igual valor máximo, frequência e fase, vamos limitar-nos a usar unicamente a
função cosseno, frequências positivas e fases no intervalo <math>[0, 2\,\pi]</math> . Essas 3 escolhas são arbitrárias, mas habituais. Assim cada função sinusoidal é caraterizada por <math>F_\text{máx}, \omega</math> e <math>\varphi</math>. Duas funções sinusoidais que não tenham o mesmo valor máximo, frequência angular e fase, serão necessariamente diferentes. <ref name=Villate>[ ''Eletricidade e Magnetismo''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 221 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-2-4. Acesso em 16 jun. 2013.</ref>

=== Circuitos elétricos em corrente alternada ===
Para circuitos elétricos sinusoidais em ''regime permanente'', é possível a utilização do método fasorial para o estudo, evitando uma resolução com equações diferenciais. Os elementos elétricos ([[resistência elétrica|resistências]], [[indutância]]s e [[capacitância]]s) serão representados por [[impedância elétrica|impedâncias]], todos em uma mesma unidade ([[ohm]]).

Um fasor funciona como um vetor, onde o módulo é a intensidade da grandeza medida (tensão ou corrente) e o ângulo (com relação à horizontal) mede a defasagem da grandeza corrente elétrica em relação a Tensão Elétrica em um componente.

{{notas}}
{{referências}}

== Bibliografia ==
* {{citar livro|autor =Douglas C. Giancoli |título=Physics for Scientists and Engineers |publicado=Prentice Hall |ano=1989 | isbn=0-13-666322-2}}

== Ligações externas ==
{{commons category|Phasors}}
* [http://www.jhu.edu/~signals/phasorapplet2/phasorappletindex.htm Phasor Phactory]
* [http://resonanceswavesandfields.blogspot.com/2007/08/phasors.html Representação visual de fasores]
* [http://www.allaboutcircuits.com/vol_2/chpt_2/5.html Notação polar e retangular]

[[Categoria:Circuitos elétricos]]