Mostrar código-fonte de Feixe de Gauss

[[Ficheiro:Gaussian_beam_30mm_40mm_2.png|thumb|Intensidade de um feixe gaussiano em torno do foco em um dado instante de tempo, mostrando dois picos de intensidade para cada [[frente de onda]].]]
[[Ficheiro:Perfil gaussiano laser.png|thumb|Topo: perfil de intensidade transversal de um feixe gaussiano que propaga para fora da página. Curva azul: amplitude do campo elétrico (ou magnético) vs posição radial em relação ao eixo do feixe. A curva preta é a intensidade correspondente.]]
[[Ficheiro:Green_laser_pointer_TEM00_profile.JPG|right|thumb|Perfil de feixe de um [[apontador laser]] verde de 5 mW, mostrando o perfil TEM<sub>00</sub>.]]
Em [[óptica]], um '''feixe gaussiano''' ou '''feixe de Gauss''' é um [[feixe]] de [[radiação eletromagnética]] [[monocromática]], cujos perfis transversais de amplitude do [[campo elétrico]] e [[Campo magnético|magnético]] são dados por uma [[função de Gauss]]; isto também implica um perfil de intensidade gaussiano. Este modo gaussiano transversal fundamental (ou TEM<sub>00</sub>) descreve a saída da maioria (mas não todos) dos lasers, como tal um feixe pode ser focado na região mais concentrada. Quando tal feixe é refocado por uma [[lente]], a dependência de fase transversal é alterada; isto resulta em um feixe gaussiano diferente. Os perfis de amplitude dos campos elétricos e magnéticos em torno de qualquer feixe gaussiano circular (para dado [[comprimento de onda]] e [[polarização]]) são determinados por um único parâmetro, a chamada '''cintura do feixe''' ''w<sub>0</sub>''. Em qualquer posição z relativa à cintura (foco) ao longo de um feixe que tem uma ''w<sub>0</sub>'' específica, as amplitudes e fases do campo são determinadas<ref name="svelto1532">Svelto, pp. 153&#x2013;5.</ref> como detalhado abaixo.

Soluções arbitrárias da equação paraxial de Helmholtz podem ser expressas como combinações dos modos de Hermite-Gauss (cujos perfis de amplitude são separados em x e y utilizando [[Sistema de coordenadas cartesiano|coordenadas cartesianas]]) ou similarmente como combinações dos modos de Laguerre-Gauss (cujos perfis de amplitude são separados em r e θ utilizando [[coordenadas cilíndricas]]).<ref name="siegman642">Siegman, p. 642.</ref><ref name="goubau">probably first considered by Goubau and Schwering (1961).</ref> Em qualquer ponto ao longo do feixe z, estes modos incluem o mesmo fator de Gauss como o modo gaussiano fundamental multiplicando os fatores geométricos adicionais para o modo específico.&nbsp;Entretanto diferentes modos propagam com uma fase diferente de Gouy, razão pela qual o perfil transversal líquido devido a uma [[Princípio da superposição|superposição]] de modos evolui em z, enquanto a propagação de qualquer modo de Hermite-Gauss único retém a mesma forma ao longo do feixe.

Embora existem outras possíveis [[Modo transversal|decomposições modais]], estas famílias de soluções são as mais úteis para problemas envolvendo feixes compactos, isto é, quando a potência óptica é bem proximamente confinada ao longo de um eixo.&nbsp;Mesmo quando um laser não está operando em um modo gaussiano fundamental, sua potência irá geralmente ser encontrada nos modos de ordem mais baixa usando estas decomposições, pois a extensão espacial dos modos de ordem mais alta irão tender a exceder as fronteiras de um [[Cavidade óptica|ressonador]] (cavidade) laser.&nbsp;"Feixe gaussiano" normalmente implica radiação confinada ao modo gaussiano transversal fundamental (TEM<sub>00</sub>).

== Forma matemática ==
O feixe gaussiano é um [[Modo transversal|modo eletromagnético transversal]] (TEM). A expressão matemática para a amplitude do campo elétrico é uma solução da [[Equação de Helmholtz|equação paraxial de Helmholtz]]. Assumindo polarização na direção x e propagação na direção +z, a notação do campo elétrico em [[fasor]] é dada por:

<math>{\mathbf E(r,z)} = E_0 \, \hat{x} \, \frac{w_0}{w(z)} \exp \! \left(  \! \frac{-r^2}{w(z)^2}\right )  \exp \!  \! \left(  \!  \! -i  \! \left(kz +k \frac{r^2}{2R(z)} - \psi(z) \! \right) \!  \!    \right) \ , </math>

onde:
: <math>r</math> é a distância radial a partir do eixo central do feixe,
: <math>z</math> é a distância axial a partir do foco do feixe (ou "cintura" do feixe),
: <math>i</math> é a [[unidade imaginária]],
: <math> k = 2 \pi/\lambda</math> é o [[número de onda]] (em [[radiano]]s por metro) para um comprimento de onda λ,
: <math>E_0 = E(0,0)</math>, a amplitude do campo elétrico (e fase) na origem no tempo 0,
: <math>w(z)</math> é o raio no qual as amplitudes caem a 1/''e'' de seu valor axial, no plano z ao longo do feixe,
: <math>w_0 = w(0)</math> é o tamanho da cintura,
: <math>R(z)</math> é o [[raio de curvatura]] da [[frente de onda]] do feixe em z, e
: <math>\psi(z)</math> é a fase de Gouy em z, um termo de fase adicional além daquele atribuível à [[velocidade de fase]] da luz.
Há também uma dependência de tempo compreendido <math>e^{i\omega t}</math> multiplicando tais quantidades de [[fasor]]; o campo real em um ponto no tempo e no espaço é dado pela [[parte real]] desta quantidade complexa.

O [[campo magnético]] da onda tem uma forma idêntica mas com uma polarização ortogonal (em y uma vez que a polarização do campo elétrico foi estipulada para estar em x):

<math>{\mathbf H(r,z)} =   \hat{y} \frac{1}{\eta} {E_x(r,z)}    </math>

onde a constante ''η''  é a [[impedância característica]] do meio no qual o feixe está se propagando. Para o espaço livre, &#x3B7;  = [[:en:Impedance_of_free_space|&#x3B7;<sub>0</sub>]] ≈ 377 &#x3A9;.

A [[Intensidade (física)|intensidade]] em média de tempo (ou [[irradiância]]) em uma localização é computada utilizando <math>I = \frac{1}{2} \mathbf{Re}(E \times H^*) </math> a qual remove todos fatores de fase (uma vez que foi feita uma média ao longo do tempo, o que resulta também no fator ½):

<math>I(r,z) =  { |E(r,z)|^2  \over  2 \eta   }  = I_0 \left( \frac{w_0}{w(z)} \right)^2 \exp \left( \frac{-2r^2}{w^2(z)} \right)\ , </math>

onde <math>I_0 = E_0^2/2 \eta </math> é a intensidade no centro do feixe em sua cintura.
===Evolução da largura do feixe===
Em uma posição ''z'' ao longo do feixe (medido a partir do foco), o parâmetro tamanho da cintura ''w'' é dado por<ref name="svelto1534">Svelto, pp. 153&#x2013;5.</ref>
<dd><math>w(z) = w_0 \, \sqrt{ 1+ {\left( \frac{z}{z_\mathrm{R}} \right)}^2 }  \ . </math></dd>
onde<ref name="svelto1534" />
:<math>z_\mathrm{R} = \frac{\pi w_0^2}{\lambda}</math>
é chamado de [[comprimento de Rayleigh|intervalo de Rayleigh]] como discutido mais adiante.
=== Evolução do raio de curvatura ===
A curvatura da frente de onda é zero na cintura do feixe e também se aproxima de zero quando z → ±∞. Ela é igual a 1/''R'' onde ''R''(''z'') é o [[Raio de curvatura (óptica)|raio de curvatura]] como função da posição ao longo do feixe, dado por<ref name="svelto153">Svelto, pp. 153&#x2013;5.</ref>
: <math>R(z) = z \left[{ 1+ {\left( \frac{z_\mathrm{R}}{z} \right)}^2 } \right] \ . </math>

=== Fase de Gouy ===
A chamada fase de [[Louis Georges Gouy|Gouy]] de um feixe em z é dado por:<ref name="svelto153" />
: <math>\psi(z) = \arctan \left( \frac{z}{z_\mathrm{R}} \right) \ .</math>
Esta mudança de fase ao longo do feixe permanece dentro do intervalo ±π/2 (para um feixe gaussiano fundamental) e não é observável em muitos experimentos. Entretanto ela tem importância teórica e assume uma maior gama em modos gaussianos de ordem superior.<ref name="gouy_phase_shift">{{citar web|título= Gouy Phase Shift|url = https://www.rp-photonics.com/gouy_phase_shift.html|obra= Encyclopedia of Laser Physics and Technology|publicado= RP Photonics|primeiro = Rüdiger|último = Paschotta|acessodata= 2 de maio de 2014}}</ref>

==&nbsp;Parâmetros do feixe ==
A dependência geométrica dos campos de um feixe gaussiano são governados pelo comprimento de onda da luz λ (no meio [[dielétrico]], se não espaço livre) e os seguintes '''parâmetros do feixe''', todos os quais estão conectados como detalhado nas seções seguintes.

=== Cintura do feixe ===

<!--Beam waist redirects here-->{{see also|Diâmetro do feixe}}
[[Imagem:GaussianBeamWaist.svg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:GaussianBeamWaist.svg|thumb|350x350px|Largura do feixe gaussiano ''w''(''z'') como função da distância z ao longo do feixe. ''w''<sub>0</sub>: cintura do feixe; ''b'': profundidade de foco; ''z''<sub>R</sub>: intervalo de Rayleigh; <math>\Theta</math>: espalhamento angular total]]
A forma de um feixe gaussiano de um dado comprimento de onda λ é governado exclusivamente por um parâmetro, a cintura do feixe ''w''<sub>0</sub>. Esta é uma medida do tamanho do feixe no ponto de seu foco (''z''=0 nas equações acima) onde a largura do feixe ''w(z)'' (como definido acima) é a menor e da mesma forma onde a intensidade no eixo (''r''=0) é a maior. A partir deste parâmetro, os outros parâmetros que descrevem a geometria do feixe são determinados. Isto inclui o intervalo de Rayleigh ''z''<sub>R</sub> e a divergência assintótica do feixe θ, como detalhado abaixo.

=== Intervalo de Rayleigh e parâmetro confocal ===
O intervalo ou comprimento de Rayleigh ''z''<sub>R</sub> é determinado dado um tamanho à cintura do feixe gaussiano:
: <math>z_\mathrm{R} = \frac{\pi w_0^2}{\lambda}</math> .
A uma distância da cintura igual ao intervalo de Rayleigh ''z''<sub>R</sub>, a largura ''w'' do feixe é <math>\sqrt{2}</math>  mais larga do que ela é no foco, onde ''w'' = ''w''<sub>0</sub>. Isto também implica que a intensidade deste ponto no eixo (''r=0'') é metade da intensidade de pico (em ''z''=0). Este ponto ao longo do feixe também é onde a curvatura da frente de onda é a maior (1/''R'').<ref name="svelto1533">Svelto, pp. 153&#x2013;5.</ref>

A distância entre os dois pontos ''z'' = ±''z''<sub>R</sub> é chamado de parâmetro confocal ou profundidade de foco{{carece de fontes|data=novembro de 2015}} do feixe.

=== Divergência do feixe ===
Embora a calda de uma função de Gauss nunca realmente atinja zero, o propósito da seguinte discussão, nos deixa chamar a "borda" de um feixe o raio onde ''r'' = ''w(z)''. Isto é onde a intensidade é reduzida a 1/e<sup>2</sup> de seu valor no eixo. Agora, para <math>z \gg z_\mathrm{R}</math> o parâmetro <math>w(z)</math> aumenta linearmente com <math>z</math>. Isto significa que longe da cintura, o "borda" do feixe tem formato de cone. O ângulo entre linhas ao longo deste cone (cujo <math>r=w(z)</math>) e o eixo central do feixe (<math>r=0</math>) é chamado de divergência do feixe. Ele é dado por<ref name="svelto1533" />
: <math>\theta \simeq \frac{\lambda}{\pi w_0} \qquad (\theta \mathrm{\ em\ radianos}). </math>
O espalhamento angular total do feixe distante da cintura é então dado por
: <math>\Theta = 2 \theta\ .</math>
Pelo fato da divergência ser inversamente proporcional ao tamanho da cintura, para um dado comprimento de onda λ, um feixe gaussiano que é focado em uma área pequena diverge rapidamente quando se propaga para longe do foco. Em contrapartida, para minimizar a divergência de um feixe laser no campo distante (e aumentar sua intensidade de pico em distâncias maiores) ele deve ter uma seção transversal grande (''w''<sub>0</sub>) na cintura (e assim um grande diâmetro onde é lançado, de forma que ''w''(z) nunca seja inferior a ''w''<sub>0</sub>). Esta relação entre a largura do feixe e divergência é um característica fundamental da [[difração]], e da [[transformada de Fourier]] que descreve a [[difração de Fraunhofer]]. Um feixe com qualquer perfil de amplitude especificado também obedece esta relação inversa, mas o modo gaussiano fundamental é um caso especial onde o produto do tamanho do feixe no foco e a divergência no campo distante é menor que para qualquer outro caso.

Uma vez que o modelo do feixe gaussiano utiliza a aproximação paraxial, ele falha quando as frentes de onda são inclinadas em mais de aproximadamente 30° do eixo do feixe.<ref>Siegman (1986) p. 630.</ref> Da expressão acima para divergência isto significa que o modelo do feixe gaussiano é acurado apenas para feixes com cinturas maiores que aproximadamente <math>2\lambda/\pi</math>.

A [[qualidade do feixe laser]] é quantificado pelo [[produto do parâmetro do feixe]] (BPP). Para um feixe gaussiano, o BPP é o produto da divergência do feixe e o tamanho da cintura <math>w_0</math>. O BPP de um feixe real é obtido pela medição do diâmetro mínimo do feixe e da divergência em campo distante, e calculado seu produto. A razao entre o BPP de um feixe real pelo correspondente de um feixe gaussiano ideal no mesmo comprimento de onda é conhecido como ''M''<sup>2</sup> ("[[M ao quadrado]]"). O ''M''<sup>2</sup> para um feixe gaussiano é um. Todos feixes de laser reais possui valores de ''M''<sup>2</sup> maiores que um, embora feixes de qualidade elevada possam ter valores muito próximos a um.

A [[abertura numérica]] de um feixe gaussiano é definida como sendo<math>\mathrm{NA} = n \sin \theta</math>, onde ''n'' é o [[Índice refrativo|índice de refração]] do meio através do qual o feixe se propaga. Isto significa que o intervalo de Rayleigh está relacionado à abertuda numérica por
: <math>z_\mathrm{R} = w_0 / \mathrm{NA}</math>

== Potência e intensidade ==

=== Potência através de uma abertura ===
A [[potência]] ''P'' passando através de um círculo de raio ''r'' no plano transversal na posição z é<ref name="melles griot">[http://www.pa.msu.edu/courses/2010fall/phy431/PostNotes/PHY431-Notes-GaussianBeamOptics.pdf Melles Griot. Gaussian Beam Optics]</ref>
: <math>  P(r,z) =  P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]\ ,</math>
onde
: <math> P_0 = { 1 \over 2 } \pi I_0 w_0^2 </math>
é a potência total transmitida pelo feixe.

Para um círculo de raio <math>r = w(z) \, </math>, a fração de potência transmitida através do círculo é
: <math>{ P(z) \over P_0 } = 1 - e^{-2} \approx 0.865\ .</math>
Similarmente, cerca de 90 porcento da potência do feixe irá fluir através de um círculo de raio <math>r = 1.07\cdot w(z)</math>, 95 porcento através de um círculo de raio <math>r = 1.224\cdot w(z)</math>, e 99 porcento através de um círculo de raio <math>r = 1.52\cdot w(z)</math>.<ref name="melles griot" />

=== Intensidade de pico ===
A intensidade de pico em uma distância axial <math>z</math> da largura do feixe pode ser calculada como o limite da potência delimitada com um círculo de raio <math>r</math>, dividida pela área do círculo <math>\pi r^2</math> quando este encolhe (<math>r</math> tende a zero):
: <math>I(0,z) =\lim_{r\to 0} \frac {P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {\pi r^2} </math>
O limite pode ser avaliado utilizando a [[Regra de l'Hôpital|regra de L'Hôpital]]:
: <math>I(0,z) =
         = \frac{P_0}{\pi} \lim_{r\to 0} \frac { \left[ -(-2)(2r) e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {w^2(z)(2r)}
         = {2P_0 \over \pi w^2(z)}.  </math>

== Parâmetros complexos do feixe ==
{{main|Parâmetro complexo do feixe}}O tamanho da cintura e a curvatura de um feixe gaussiano em função de z ao longo do feixe pode ser também codificada em parâmetro complexo do feixe <math>q(z)</math><ref name="siegman638">Siegman, pp. 638&#x2013;40.</ref><ref name="garg168">Garg, pp. 165&#x2013;168.</ref> dado por:
: <math> q(z) =   z + iz_\mathrm{R} \ .</math>
Introduzindo esta complicação conduz a uma simplificação da equação de campo de feixe gaussiano como mostrado abaixo. Pode ser visto que o inverso de ''q(z)'' contém a curvatura da frente de onda e intensidade relativa no eixo em suas partes real e imaginária, respectivamente:<ref name="siegman638" />
: <math>  { 1 \over q(z) }   =   { 1 \over z + iz_\mathrm{R} } =   { z \over z^2 + z_\mathrm{R}^2  }  -  i  { z_\mathrm{R} \over z^2 + z_\mathrm{R}^2  } = {1 \over R(z) } - i { \lambda \over \pi w^2(z)  }.</math>
O parâmetro complexo do feixe simplifica a análise matemática da propagação do feixe gaussiano, e especialmente na análise de cavidades de ressonância óptica usando matrizes de transferência de raios.

Em seguida, utilizando esta fórmula, a equação anterior para o campo elétrico (ou magnético) é bastante simplificada. Se nós chamarmos ''u'' a força de campo relativa de um feixe gaussiano elíptico (com os eixos elípticos nas direções x e y) então ele pode ser separado em x e y de acordo com:
: <math>{u}(x,y,z) = {u_x}(x,z)\, {u_y}(y,z),</math>
onde
: <math>{u_x}(x,z) = \frac{1}{\sqrt{{q}_x(z)}} \exp\left(-i k \frac{x^2}{2 {q}_x(z)}\right)</math>,
: <math>{u_y}(y,z) = \frac{1}{\sqrt{{q}_y(z)}} \exp\left(-i k \frac{y^2}{2 {q}_y(z)}\right)</math>,
onde <math>q_x(z)</math> e <math>q_y(z)</math> são os parâmetros complexos do feixe nas direções ''x'' e ''y''.

Para o caso comum de um [[Simetria circular e esférica|perfil de feixe circular]], <math>{q}_x = {q}_y = {q}</math> e <math>x^2 + y^2 = r^2</math>, que produz<ref>See Siegman (1986) p. 639. Eq. 29</ref>
: <math>
{u}(r,z) = \frac{1}{{q}(z)}\exp\left( -i k\frac{r^2}{2 {q}(z)}\right).
</math>

== Equação da onda ==
Como um caso especial de radiação eletromagnética, feixes de Gauss (e modos gaussianos de ordem superior detalhados abaixo) são soluções da [[Equação da onda eletromagnética|equação da onda para um campo eletromagnético]] no espaço livre ou em um meio dielétrico homogêneo:<ref name="svelto148">Svelto, pp. 148&#x2013;9.</ref> obtidos pela combinação de [[equações de Maxwell]] para a ondulação de ''E'' e a ondulação de ''H'', resultando em:
: <math> \nabla^2 U = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 U}{\partial t^2},</math>
onde ''c'' é a velocidade da luz no meio, e <math>U</math> pode se referir ao vetor do campo elétrico ou campo magnético, à medida que qualquer solução específica para um determina o outro. A solução do feixe gaussiano é válida apenas para aproximações [[Aproximação paraxial|paraxiais]], isto é, onde a propagação da onda é limitada a direções com um pequeno ângulo de um eixo. Sem perda de generalidade, vamos assumir que a direção a ser a direção +z em cujo caso a solução ''U'' pode geralmente ser escrita em termos de ''u'' que não tem dependência do tempo e varia de forma relativamente suave no espaço, com a maior variação correspondendo espacialmente ao número de onda ''k'' na direção ''z:''<ref name="svelto148" />
: <math> U(x,y,z,t) = u(x,y,z) e^{-i(kz-\omega t)} \, \hat{x} \; .</math>
Usando esta fórmula juntamente com a aproximação paraxial, <math>\partial^2 u/\partial z^2</math> pode ser então essencialmente negligenciada. Uma vez que soluções da equação da onda eletromagnética mantém apenas para para polarizações que são ortogonais à direção de propagação (''z''), consideramos sem perda de generalidade a polarização na direção ''x'' de modo que agora resolvemos a equação escalar para ''u(x,y,z)''.

Substituindo esta solução na equação da onda acima produz a aproximação paraxial para a equação escalar da onda:<ref name="svelto148" />
: <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 2ik \frac{\partial u}{\partial z}.</math>

=== Solução no modo gaussiano ===
Pode ser verificado que o feixe gaussiano de qualquer cintura de feixe ''w<sub>0</sub>'' satisfaz esta equação da onda; isto é mais facilmente realizado expressando a onda em ''z'' em termos do parâmetro complexo do feixe ''q(z)'' como definido acima.

A segunda diferenciação da expressão de ''u(r,z)'' (onde r<sup>2</sup> = x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>) em relação a ''x'' produz:
: <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}  \; = \; u \left (- \frac{ik}{q} + \left ( \frac{-ikx}{q} \right )^2 \right )  \; = \; u \left (- \frac{ik}{q} -  \frac{k^2 x^2}{q^2}   \right )  </math>
e da mesma forma para ''y''. Formando a soma no lado esquerdo da equação escalar da onda acima, produz:
: <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}  \; =  \; u \left (- 2\frac{ik}{q} -  \frac{k^2 r^2}{q^2}   \right ) </math>
Agora diferenciando ''u'' em relação a ''z'', encontramos:
: <math>\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}  \; = \; u \left (- \frac{1}{q} + \frac{-ikr^2}{2q^2}  \right ) \; </math>
a partir do qual o lado direito da equação da onda é:
: <math>2ik \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}  \; = \; u \left (- \frac{2ik}{q} - \frac{k^2 r^2}{q^2}  \right ) \; </math> ,
idêntico ao resultado acima para o lado esquerdo.

=== Outras soluções ===
Como esperado, encontramos que o feixe gaussiano é a solução para a equação da onda paraxial, entretanto existem muitas outras soluções. Como soluções para um [[sistema linear]], qualquer combinação de soluções (utilizando adição ou multiplicação por uma constante) é também uma solução. A gaussiana fundamental passa a ser a que minimiza o produto do mínimo tamanho de cintura e divergência de campo distante, como notado acima. Em busca de soluções paraxiais, e sobretudo as que descrevem radiação laser que não estão no modo gaussiano fundamental, procuraremos famílias de soluções que gradualmente aumentam produtos de suas divergências e mínimos tamanhos de cintura. Duas importantes decomposições ortogonais deste tipo são os modos de Hermite-Gauss ou Laguerre-Gauss, correspondendo, respectivamente, à simetria retangular e circular, como detalhado na próxima seção. Com ambos, o feixe gaussiano fundamental que temos considerado é o de ordem mais baixa.

== Modos de ordem superior ==
{{see also|Transverse mode}}

=== Modos de Hermite-Gauss ===

<!--Hermite-Gaussian mode redirects here-->[[Imagem:Hermite-gaussian.png|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Hermite-gaussian.png|thumb|250x250px|Doze modos de Hermite-Gauss]]
É possível decompor um feixe paraxial coerente usando um conjunto ortogonal de chamados modos de Hermite-Gauss, qualquer um dos quais é dado pelo produto de um fator em x e um fator em y. Uma solução escrita em coordenas cartesianas é possível devido à separabilidade em ''x'' e ''y'' na [[Equação de Helmholtz|equação paraxial de Helmholtz]].<ref>Siegman (1986), p645, eq. 54</ref> Assim dado um modo de ordem ''(l,m)'' referindo às direções ''x'' e ''y'', a amplitude do campo elétrico em ''x,y,z'' pode ser dado por:
<math> E(x,y,z) = u_l(x,z) u_m(y,z)</math>
onde os fatores para dependência de ''x'' e ''y'' são dados cada um por:

<math>
{u}_J(x,z) =  \left(\frac{\sqrt{2/\pi}}{ 2^J \; J! \; w_0}\right)^{\!\!1/2} \!\! \left( \frac{{q}_0}{{q}(z)}\right)^{\!\!1/2} \!\! \left(- \frac{{q}^\ast(z)}{{q}(z)}\right)^{\!\! J/2} \!\! H_J\left(\frac{\sqrt{2}x}{w(z)}\right)  \, \exp \! \left(\! -i \frac{k x^2}{2 {q}(z)}\right)
</math>

onde utilizamos o parâmetro complexo do feixe ''q(z)'' (como definido acima) para um feixe de cintura ''w<sub>0</sub>'' em ''z'' a partir do foco. Desta forma, o primeiro fator é apenas uma constante normalizadora para formar o conjunto de ''u<sub>J</sub>'' [[Ortonormalidade|ortonormal]]. O segundo fator é uma normalização adicional dependente em ''z'' que compensa a expansão da extensão espacial do modo de acordo com ''w(z)/w<sub>0</sub>'' (devido aos dois últimos fatores). Ele também contém parte da fase de Gouy. O terceiro fator é uma fase pura que aumenta a mudanca de fase de Gouy para altas ordens ''J''.

Os dois fatores finais representam a variação espacial sobre ''x'' (ou ''y''). O quarto fator é o [[Polinômios de Hermite|polinômio de Hermite]] de ordem <math>J</math> ("forma de físicos", i.e. <math>H_1(x)=2x\,</math>), enquanto o quinto representa queda de amplitude gaussiana <math>\exp(-x^2/w(z)^2)</math>, embora isto não seja óbvio utilizando o complexo ''q'' no expoente. Expansão da exponencial também produz um fator de fase em ''x'' que representa a curvatura de frente de onda (''1/R(z)'') em ''z'' ao longo do feixe.

Modos de Hermite-Gauss são tipicamente designados "TEM<sub>''lm''</sub>"; o feixe gaussiano fundamental pode assim ser referido como TEM<sub>00</sub> (onde '''TEM''' significa ''[[:en:Transverse_mode|Transverse electro-magnetic]]''). Multiplicando ''u<sub>l</sub>(x,z)'' e ''u<sub>m</sub>(y,z)'' para obter o perfil em modo 2D, e removendo a normalização de modo que o perfil principal é simplesmente chamado ''E<sub>0</sub>'', podemos escrever o modo (l,m) na forma mais acessível:
<math> E_{l,m} (x,y,z) =  E_0 \frac{w_0}{w(z)} \!\  H_l \! \!  \left(\frac{\sqrt{2} \,x}{w(z)}\right) \!
 H_m \! \! \left(\frac{\sqrt{2} \, y}{w(z)}\right) \, \exp \! \!  \left( \! -\frac{x^2+y^2}{w^2(z)} \right) \times </math>
::: <math> \exp  \! \left( \! -i\frac{k(x^2+y^2)}{2R(z)} \right)   \exp    (   \! -ikz)    \exp    (  i \psi(z)) \; \;  </math>   .
Nesta fórmula, o parâmetro ''w<sub>0</sub>'', como anteriormente, determina a família de modos, em particular escalando a extensão espacial da cintura do modo fundamental e todos os outros padrões de modo em ''z=0''. Dado ''w<sub>0</sub>'', ''w(z)'' e ''R(z)'' tem as mesmas definições como para o feixe gaussiano fundamental descrito acima. Pode ser visto que com ''l=m=0'' obtemos o feixe gaussiano fundamental descrito anteriormente (desde que ''H<sub>0</sub> = 1''). A única diferença específica nos perfis ''x'' e ''y'' em qualquer ''z'' são devido aos fatores de polinomiais de Hermite para os números de ordem ''l'' e ''m''. Entretanto há uma mudanca na evolução da fase de Gouy dos modos sobre ''z'':
: <math> \psi(z)  = (N+1) \, \arctan \left( \frac{z}{z_\mathrm{R}} \right) </math>
onde a ordem combinada do modo ''N'' é definido como ''N=l+m''. Enquanto a mudança de fase de Gouy para o modo gaussiano fundamental (0,0) apenas varia por ±π/2 radianos sobre todo ''z'' (e apenas por ±π/4 radianos entre ±''Z<sub>R</sub>''), este é aumentado por um fator ''N+1'' para os modos de ordem superior.<ref name="gouy_phase_shift2">{{citar web|título= Gouy Phase Shift|url = https://www.rp-photonics.com/gouy_phase_shift.html|obra= Encyclopedia of Laser Physics and Technology|publicado= RP Photonics|primeiro = Rüdiger|último = Paschotta|acessodata= 2 de maio de 2014}}</ref>

Modos de Hermite-Gauss, com suas simetrias retangulares, são especialmente adequados para análise modal de radiação de radiação de lasers cujos projetos de cavidades são assimétricos em uma forma retangular. Por outro lado, lasers e sistemas com simetria circular podem ser melhor manipulados utilizando o conjunto de modos Lageurre-Gauss introduzidos na próxima seção.

===&nbsp;Modos de Laguerre-Gauss === <!--Several terms redirect here.-->

Perfis de feixe que são circularmente simétricos (ou lasers com cavidades que são cilindricamente simétricas) são frequentemente resolvidos utilizando a decomposição modal de Laguerre-Gauss.<ref name="goubau2">probably first considered by Goubau and Schwering (1961).</ref> Estas funções são escritas em [[coordenadas cilíndricas]] usando [[polinômios de Laguerre]]. Cada modo transversal é novamente rotulado utilizando dois inteiros, neste caso o índice radial <math>p\ge 0</math> e o índice azimutal <math>l</math> que pode ser positivo ou negativo (ou zero).
: <math>{u}(r,\phi,z)=\frac{C^{LG}_{lp}}{w(z)}\left(\frac{r \sqrt{2}}{w(z)}\right)^{\! |l|} \exp\! \left(\! -\frac{r^2}{w^2(z)}\right)L_p^{|l|}  \! \left(\frac{2r^2}{w^2(z)}\right)  \times </math>

::::: <math> \exp \! \left(\! - i k \frac{r^2}{2 R(z)}\right) \exp(i l \phi) \,
 \exp (   \! -ikz)  \,  \exp(i \psi(z)) \; \;  </math>   .
<ref name="orbital momentum of light">{{citar periódico|título= Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaussian laser modes|periódico= Physical Review A|volume = 45|número= 11|data= 1 de junho de 1992|página= 8185|url = http://www.science.uva.nl/research/aplp/eprints/AllBeiSpr92.pdf|primeiro1 = L.|último1 = Allen|doi = 10.1103/physreva.45.8185|bibcode = 1992PhRvA..45.8185A}}</ref>

onde <math>L_p^l</math> são os polinômios generalizados de Laguerre.
<math>C^{LG}_{lp}</math> é uma constante normalizada requerida nao detalhada aqui; <math>w(z)</math> e <math>R(z)</math>  tem as mesmas definições como acima. Tal como os modos de Hermite-Gauss de ordem superior a magnitude da mudança de fase de Gouy dos modos de Laguerre-Gauss é exagerado pelo fator ''N+1'':
: <math> \psi(z)  = (N+1) \, \arctan \left( \frac{z}{z_\mathrm{R}} \right) </math>
onde neste caso o número de modo combinado ''N =  |l| + 2p''. Como anteriormente, as variações de amplitude transversal são contidas nos dois últimos fatores da linha superior da equação, que novamente inclui a queda gaussiana básica em ''r'' mas agora multiplicado por um polinômio de Laguerre. O efeito do número do modo de rotação ''l'', além de afetar o polinômio de Laguerre, está principalmente contido no fator de fase ''exp(-ilφ)'', em que o perfil do feixe é avançado (ou retardado) por ''l'' fases completas 2π em uma rotação em torno do feixe (in φ). Este é um exemplo de um [[vórtex óptico]] de carga topológica ''l'', e pode ser associado com o [[momento angular orbital da luz]] neste modo.

===&nbsp;Modos de Ince-Gauss ===
Em [[coordenadas elípticas]], pode se escrever os modos de ordem superior utilizando [[Equação de Ince|polinômios de Ince]]. Os modos de Ince-Gauss pares e ímpares são dados por <ref>Bandres and Gutierrez-Vega (2004)</ref>

: <math>
u_\varepsilon \left( \xi ,\eta ,z\right) = \frac{w_{0}}{w\left(
z\right) }\mathrm{C}_{p}^{m}\left( i\xi ,\varepsilon \right) \mathrm{C}
_{p}^{m}\left( \eta ,\varepsilon \right) \exp \left[ -ik\frac{r^{2}}{
2q\left( z\right) }-\left( p+1\right) \zeta\left( z\right) \right] ,
</math>
onde <math>\xi</math> e <math>\eta</math> são as coordenadas elípticas radial e angular
definidas por

: <math>
x = \sqrt{\varepsilon /2}w\left( z\right) \cosh \xi \cos \eta ,
</math>
: <math>
y = \sqrt{\varepsilon /2}w\left( z\right) \sinh \xi \sin \eta.
</math>
<math>{C}_{p}^{m}\left( \eta ,\varepsilon \right)</math> são os mesmos polinômios de Ince de ordem <math>p</math> e grau <math>m</math>onde <math>\varepsilon</math> é o parâmetro de elipticidade. Os modos de Hermite-Gauss e Laguerre-Gauss são um caso especial dos modos de Ince-Gauss para <math>\varepsilon=\infty</math> e <math>\varepsilon=0</math> respectivamente.

===&nbsp;Modos Hipergeométrico-Gauss ===
Há uma outra importante classe de modos de onda paraxial em [[coordenadas polares]] em que a [[amplitude complexa]] é proporcional a uma [[função hipergeométrica confluente]].

Estes modos tem um perfil de fase [[Singularidade matemática|singular]] e são funções próprias do [[Momento angular orbital da luz|momento angular orbital do fóton]]. O perfil de intensidade é caracterizado por um anel brilhante único com uma singularidade em seu centro, onde a amplitude do campo desaparece. A amplitude é escrita em termos da coordenada radial adimensional <math>\rho=r/w_0</math> e a coordenada longitudinal adimensional <math>\Zeta=z/z_R</math>.<ref>Karimi et. al (2007)</ref>
: <math>
u_{pm}(\rho,\theta;\Zeta)=
     \sqrt{\frac{2^{p+|m|+1}}{\pi\Gamma(p+|m|+1)}} \frac{\Gamma(1+|m|+\frac{p}{2})}{\Gamma(|m|+1)}
    \,\,i^{|m|+1}\Zeta^{\frac{p}{2}}(\Zeta+i)^{-(1+|m|+\frac{p}{2})}\rho^{|m|}e^{-\frac{i\rho^2}{(\Zeta+i)}}e^{im\phi}{}_{1}F_{1}\left(-\frac{p}{2}, |m|+1;\frac{r^2}{\Zeta(\Zeta+i)}\right),
</math>
onde <math> m </math> é inteiro, <math> p\ge-|m| </math> é real com valor, <math> \Gamma(x) </math> é a função gama e <math> {}_{1}F_{1}(a,b;x) </math> é a função hipergeométrica confluente.

Algumas subfamílias de modos hipergeométrico-Gauss (HyGG) podem ser listados como modos de Bessel-Gauss modificados, os modos gaussianos exponenciais modificados, e os modos de Laguerre–Gauss.

O conjunto de modos hipergeométrico-Gauss é supercompleto e não é um conjunto ortogonal de modos. Apesar de seu perfil de campo complicado, modos HyGG tem um perfil muito simples no plano da pupila (<math>\Zeta=0</math>):
: <math>
u(\rho,\phi,0) \propto \rho^{p+|m|}e^{-\rho^2+im\phi}.
</math>
Veja [[vórtex óptico]], que explica que a onda de saída de um holograma pitch-fork é uma subfamília dos modos HyGG. O perfil HyGG enquanto o feixe propaga ao longo de <math>\zeta</math> tem uma mudança dramática e não é um modo estável abaixo do [[comprimento de Rayleigh|intervalo de Rayleigh]].

== Ver também ==
* [[Feixe de Bessel]]

== Notas ==
*{{Trad/ref|en|Gaussian beam}}

== Referências ==
<references />

== Bibliografia ==
* {{citar periódico|primeiro1 = Miguel A.|último1 = Bandres|primeiro2 = Julio C.|último2 = Gutierrez-Vega|título= Ince Gaussian beams|periódico= Opt. Lett.|páginas= 144–146|publicado= OSA|volume = 29|ano= 2004|url = http://www.opticsinfobase.org/abstract.cfm?URI=ol-29-2-144|doi = 10.1364/OL.29.000144|pmid = 14743992|número= 2|bibcode = 2004OptL...29..144B}}
* {{citar livro|título= Classical Electromagnetism in a Nutshell|último = Garg|primeiro = Anupam|publicado= Princeton University Press|local= Princeton, N.J.|ano= 2012|isbn = 0691130183}}
* {{citar periódico|autor = Goubau, G. and Schwering, F.|título= On the guided propagation of electromagnetic wave beams|periódico= IRE Trans.|volume = 9|ano= 1961|páginas= 248–256|doi = 10.1109/TAP.1961.1144999|mr = 0134166|bibcode = 1961ITAP....9..248G}}
* {{citar periódico|primeiro1 = E.|último1 = Karimi|primeiro2 = G.|último2 = Zito|primeiro3 = B.|último3 = Piccirillo|primeiro4 = L.|último4 = Marrucci|primeiro5 = E.|último5 = Santamato|título= Hypergeometric-Gaussian beams|periódico= Opt. Lett.|páginas= 3053–3055|publicado= OSA|volume = 32|ano= 2007|url = http://www.opticsinfobase.org/abstract.cfm?URI=ol-32-21-3053|doi = 10.1364/OL.32.003053|pmid = 17975594|número= 21|bibcode = 2007OptL...32.3053K|arxiv = 0712.0782}}
* {{citar livro|título= Optical Coherence and Quantum Optics|último1 = Mandel|primeiro1 = Leonard|último2 = Wolf|primeiro2 = Emil|publicado= Cambridge University Press|local= Cambridge|ano= 1995|isbn = 0-521-41711-2}} Chapter 5, "Optical Beams," pp.&nbsp;267.
* {{Citar arXiv|autor = Pampaloni,F. and Enderlein, J.|título= Gaussian, Hermite-Gaussian, and Laguerre-Gaussian beams: A primer|periódico= |ano= 2004|eprint = physics/0410021|class = physics.optics}}
* {{citar livro|título= Fundamentals of Photonics|último1 = Saleh|primeiro1 = Bahaa E. A.|último2 = Teich|primeiro2 = Malvin Carl|publicado= John Wiley & Sons|local= New York|ano= 1991|isbn = 0-471-83965-5}} Chapter 3, "Beam Optics," pp.&nbsp;80&#x2013;107.
* {{citar livro|primeiro = Anthony E.|último = Siegman|ano= 1986|título= Lasers|publicado= University Science Books|isbn = 0-935702-11-3}} Chapter 16.
* {{citar livro|primeiro = Orazio|último = Svelto|título= Principles of Lasers|edição= 5th|ano= 2010}}
* {{citar livro|primeiro = Amnon|último = Yariv|ano= 1989|título= Quantum Electronics|edição= 3rd|publicado= Wiley|isbn = 0-471-60997-8}}

== Ligações externas ==
* [https://web.archive.org/web/20141110230426/http://marketplace.idexop.com/store/SupportDocuments/Gaussian_Beam_PropagationWEB.pdf Gaussian Beam Propagation] - IDEX Optics & Photonics Technical Guide
* [http://www.newport.com/Gaussian-Beam-Optics/144899/1033/content.aspx Gaussian Beam Optics Tutorial, Newport]

== Notas ==
{{Tradução/ref|en|Gaussian beam|oldid=724385422}}

[[Categoria:Radiação eletromagnética]]
[[Categoria:Laser]]