Mostrar código-fonte de Fibração de Hopf

{{Mais notas|data=setembro de 2021}}
[[Ficheiro:Hopf Fibration.png|right|250px|thumb|A fibração de Hopf pode ser visualizada usando uma [[projeção estereográfica]] de ''S''<sup>3</sup> em '''R'''<sup>3</sup> e então {{NT|compressing|comprimindo}} o ''R''<sup>3</sup> numa bola.  Esta imagem mostra pontos no ''S''<sup>2</sup> e suas fibras correspondentes com a mesma cor.]]
[[Ficheiro:Hopfkeyrings.jpg|right|250px|thumb|Aqui anéis de [[chaveiro]]s mimetizam parte da fibração de Hopf por mostrar alguns dos círculos da fibração de Hopf os quais se situam sobre um [[toro]] comum.]]

No campo [[matemática|matemático]] da [[Topologia (matemática)|topologia]], a '''fibração de Hopf''' (também conhecida como '''fibrado de Hopf''' ou '''mapa de Hopf''') descreve uma [[3-esfera]] (uma [[hiperesfera]] no [[espaço quadri-dimensional]]) em termos de [[círculo]]s e uma [[esfera]] ordinária. Descoberto por [[Heinz Hopf]] em 1931, é um exemplo primordial influente de [[fibrado de linhas]]. Tecnicamente, Hopf encontrou uma [[função contínua]] (ou "mapa") de "muitos para um" da 3-esfera para a 2-esfera tal que cada ''ponto'' distinto da 2-esfera torna-se um ''círculo'' distinto da 3-esfera.<ref name="Hopf 1931">[[Heinz Hopf|Hopf, Heinz]] (1931), [http://www.digizeitschriften.de/index.php?id=loader&tx_jkDigiTools_pi1%5BIDDOC%5D=363429&L=2 "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche"], ''[[Mathematische Annalen]]'' (Berlin: [[Springer Science+Business Media|Springer]]) 104: 637–665, [[Digital object identifier|doi]]:[http://www.springerlink.com/content/v83x460v26503j21/ 10.1007/BF01457962], [[International Standard Serial Number|ISSN]] [http://www.worldcat.org/issn/0025-5831 0025-5831]</ref> Assim a 3-esfera é composta de "fibras", onde cada "fibra" é um círculo — um para cada ponto da 2-esfera.

Esta estrutura de fibras é denotada
:<math>S^1\hookrightarrow S^3\xrightarrow{\ p\,}S^2,</math>
o que quer dizer que a fibra ''S''¹ (um círculo) está imersa no espaço total ''S''³ (a 3-esfera), e ''p'':&nbsp;''S''³→''S''² (mapa de Hopf) projeta ''S''³ na base ''S''² (a 2-esfera ordinária). A fibração de Hopf, como qualquer fibrado, tem a propriedade de ser [[localmente trivial|localmente]] um [[topologia produto|espaço produto]]. Todavia este ''não'' é um fibrado trivial, i.e., ''S''³ não é (globalmente) o produto de ''S''² e ''S''¹. Isto apresenta algumas implicações: por exemplo, a existência deste fibrado mostra que os mais altos [[grupos de homotopia de esferas]] não são triviais em geral. Também provê um exemplo básico de [[fibrado principal]] pela identificação da fibra com o [[grupo circular]].

A [[projeção estereográfica]] do fibrado de Hopf induz a uma estrutura marcante em '''R'''³, na qual o espaço é preenchido com [[toro]]s aninhados feitos de [[círculos de Villarceau]] interligados. Aqui cada fibra é projetada num círculo no espaço (um dos quais é um "círculo passando pelo infinito" — uma reta). Cada toro é a projeção estereográfica da [[imagem inversa]] de um círculo de latitude da 2-esfera. (Topologicamente, um toro é o produto de dois círculos.) Estes toros são ilustrados pelas imagens à direita.  Quando o '''R'''<sup>3</sup> é {{NT|compressed|comprimido}} numa bola, sua estrutura geométrica é perdida mas a estrutura topológica se mantém (ver [[Geometria#Topologia_e_geometria|Topologia e Geometria]]).  Os laços são [[homeomorfos]] a círculos, apesar de não serem [[círculo]]s geométricos.

Há inúmeras generalizações da fibração de Hopf. A esfera unitária em '''C'''<sup>''n''+1</sup> {{NT|fibers|projeta-se}} naturalmente em '''CP'''<sup>''n''</sup> tendo círculos como fibras, e há também versões [[número real|reais]], em [[quatérnio]]s e em [[octônio]]s destas fibrações. Em particular, a fibração de Hopf pertence a uma família de quatro fibrados cujo espaço total, a base e a fibra são todos esferas:
:<math>S^0\hookrightarrow S^1 \rightarrow S^1, \,\!</math>
:<math>S^1\hookrightarrow S^3 \rightarrow S^2, \,\!</math>
:<math>S^3\hookrightarrow S^7 \rightarrow S^4,\,\!</math>
:<math>S^7\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^8. \,\!</math>
Pelo [[teorema de Adams]], tais fibrações podem ocorrer apenas nestas dimensões.

A fibração de Hopf é importante na {{NT|twistor theory|[[Teoria dos twistores]]}}.

==Definição e construção==

Para cada [[número natural]] ''n'', pode-se definir uma esfera ''n''-dimensional, ou uma [[n-esfera]], como um conjunto de pontos num [[espaço euclidiano|espaço]] (''n''+1)-dimensional equidistantes de um centro. {{NT|For concreteness|Para concretude}}, pode-se tomar a [[origem (matemática)|origem]] como centro e assumir unitária a distância dos pontos da esfera ao centro. Com esta convenção, a ''n''-esfera, ''S''<sup>''n''</sup>, consiste dos pontos (''x''<sub>1</sub>,&nbsp;''x''<sub>2</sub>,&nbsp;…,&nbsp;''x''<sub>''n''+1</sub>) em '''R'''<sup>''n''+1</sup> com ''x''<sub>1</sub><sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''x''<sub>2</sub><sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;⋯+&nbsp;''x''<sub>''n''+1</sub><sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;1. Por exemplo, a 3-esfera consiste dos pontos (''x''<sub>1</sub>,&nbsp;''x''<sub>2</sub>,&nbsp;''x''<sub>3</sub>,&nbsp;''x''<sub>4</sub>) em '''R'''<sup>4</sup> com ''x''<sub>1</sub><sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''x''<sub>2</sub><sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''x''<sub>3</sub><sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''x''<sub>4</sub><sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;1.

A fibração de Hopf ''p'': ''S''<sup>3</sup> → ''S''<sup>2</sup> da 3-esfera na 2-esfera pode ser definida de muitas maneiras.

===Construção direta===

Identifique '''R'''<sup>4</sup>  com '''C'''<sup>2</sup> e '''R'''<sup>3</sup> com '''C'''×'''R''' (onde '''C''' denota os [[número complexo|números complexos]]) escrevendo:
:(''x''<sub>1</sub>,&nbsp;''x''<sub>2</sub>,&nbsp;''x''<sub>3</sub>,&nbsp;''x''<sub>4</sub>)  como  (''z''<sub>0</sub>&nbsp;= ''x''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;i''x''<sub>2</sub>,&nbsp;''z''<sub>1</sub>&nbsp;= ''x''<sub>3</sub>&nbsp;+&nbsp;i''x''<sub>4</sub>);  e
:(''x''<sub>1</sub>,&nbsp;''x''<sub>2</sub>,&nbsp;''x''<sub>3</sub>)  como  (''z''&nbsp;= ''x''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;i''x''<sub>2</sub>,&nbsp;''x''&nbsp;= ''x''<sub>3</sub>).
Assim ''S''<sup>3</sup> é identificado com o [[subconjunto]] dos (''z''<sub>0</sub>, ''z''<sub>1</sub>) em '''C'''<sup>2</sup> tais que |''z''<sub>0</sub>|<sup>2</sup> + |''z''<sub>1</sub>|<sup>2</sup>&nbsp;= 1, e ''S''<sup>2</sup> é identificado com o subconjunto dos (''z'', ''x'') em '''C'''×'''R''' tais que |''z''|<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''x''<sup>2</sup> = 1. (Aqui, para um número complexo ''z''&nbsp;= ''x''&nbsp;+&nbsp;i''y'', |''z''|<sup>2</sup>&nbsp;= ''z''&nbsp;''z''<sup>∗</sup>&nbsp;= ''x''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''y''<sup>2</sup>, onde o asterisco denota o [[conjugado complexo]].) Então a fibração de Hopf ''p'' é definida por
:''p''(''z''<sub>0</sub>, ''z''<sub>1</sub>) = (2''z''<sub>0</sub>''z''<sub>1</sub><sup>&lowast;</sup>, |''z''<sub>0</sub>|<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;|''z''<sub>1</sub>|<sup>2</sup>).

A primeira componente é um número complexo, enquanto a segunda componente é real.  Todo ponto na 3-esfera deve ter a propriedade de que |''z''<sub>0</sub>|<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;|''z''<sub>1</sub>|<sup>2</sup>&nbsp;= 1.  Sendo o caso, ''p''(''z''<sub>0</sub>, ''z''<sub>1</sub>) situa-se na 2-esfera unitária em '''C'''×'''R''', como pode ser mostrado elevando-se ao quadrado as componentes complexa e real de ''p''

:<math>
2 z_{0} z_{1}^{\ast} \cdot 2 z_{0}^{\ast} z_{1} + 
\left( \left| z_{0} \right|^{2} - \left| z_{1} \right|^{2} \right)^{2} = 
4 \left| z_{0} \right|^{2} \left| z_{1} \right|^{2} + 
\left| z_{0} \right|^{4} - 2 \left| z_{0} \right|^{2} \left| z_{1} \right|^{2} + \left| z_{1} \right|^{4} = 
\left( \left| z_{0} \right|^{2} + \left| z_{1} \right|^{2} \right)^{2} = 1
</math>

Além disso, se dois pontos na 3-esfera são aplicados a um mesmo ponto na 2-esfera, i.e., se ''p''(''z''<sub>0</sub>, ''z''<sub>1</sub>) = ''p''(''w''<sub>0</sub>, ''w''<sub>1</sub>), então (''w''<sub>0</sub>, ''w''<sub>1</sub>) deve ser igual a (''λ''&nbsp;''z''<sub>0</sub>, ''λ''&nbsp;''z''<sub>1</sub>) para algum número complexo ''λ'' com |''λ''|<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;1.  A recíproca também é verdadeira; quaisquer dois pontos na 3-esfera que diferem de um fator complexo comum ''λ'' são aplicados a um mesmo ponto na 2-esfera.  Esta conclusão segue porque o fator complexo ''λ'' é cancelado com seu conjugado ''λ''<sup>∗</sup> em ambas as partes de ''p'': na componente complexa 2''z''<sub>0</sub>''z''<sub>1</sub><sup>∗</sup> e na componente real |''z''<sub>0</sub>|<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;|''z''<sub>1</sub>|<sup>2</sup>.

Uma vez que o conjunto dos números complexos ''λ'' tais que |''λ''|<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;1 forma o [[círculo unitário]] no plano complexo, segue que, para cada ponto ''m'' em ''S''<sup>2</sup>, a [[imagem inversa]] ''p''<sup>−1</sup>(''m'') é um círculo, i.e., ''p''<sup>−1</sup>''m''&nbsp;≅&nbsp;''S''<sup>1</sup>. Assim a 3-esfera é {{NT|realized|vista}} como uma [[união disjunta]] destas fibras circulares.

====Interpretação geométrica usando a reta projetiva complexa====

Uma interpretação geométrica da fibração pode ser obtida usando a [[reta projetiva complexa]] '''CP'''<sup>1</sup>, definida como o conjunto de todos os [[subespaço vetorial|subespaços]] complexos unidimensionais de '''C'''<sup>2</sup>. Equivalentemente, '''CP'''<sup>1</sup> é o [[espaço quociente|quociente]] de '''C'''<sup>2</sup>\{0} pela [[relação de equivalência]] que identifica (''z''<sub>0</sub>, ''z''<sub>1</sub>) com (''λ''&nbsp;''z''<sub>0</sub>, ''λ''&nbsp;''z''<sub>1</sub>) para todo número complexo não-nulo ''λ''. Em cada reta complexa de '''C'''<sup>2</sup> existe um círculo unitário, e então a restrição da [[aplicação quociente]] aos pontos de norma unitária é uma fibração de ''S''<sup>3</sup> sobre '''CP'''<sup>1</sup>. 

{{Referências}}

{{DEFAULTSORT:Fibracao Hopf}}
[[Categoria:Topologia algébrica]]
[[Categoria:Topologia (matemática)]]
[[Categoria:Geometria diferencial]]
[[Categoria:Álgebra homológica]]
[[Categoria:Teoria da homotopia]]