Mostrar código-fonte de Formalismo de Cartan

Em [[física matemática]], notações e definições para a noção de [[conexão de Cartan]] são seguidamente chamadas de '''formalismo de Cartan'''. A teoria ''vierbein'' ou '''tétrade''', muito usada em física teórica, é um caso especial da aplicação da conexão de Cartan em [[Variedade (matemática)|variedades]] de quatro dimensões. Aplica-se a métricas de qualquer assinatura. (Veja [[tensor métrico]].) Esta seção é uma abordagem para tétrades, mas escrito em termos gerais. Em outras dimensões além de quatro, palavras como tríade, pentade, ''zweibein'', ''fünfbein'', ''elfbein'', etc, têm sido utilizadas. ''Vielbein'' abrange todas as dimensões. (Em alemão, ''vier'' significa “quatro” e ''viel'' significa “muitos”.)<ref>Ernst Binz, Jedrzej Sniatycki; [https://books.google.com.br/books?id=h77cHq1mRh4C Geometry of Classical Fields]; Courier Corporation, 2011. pg 341.</ref><ref>Donal J. Hurley and Michael A. Vandyck; [https://books.google.com.br/books/about/Geometry_Spinors_and_Applications.html?id=dyxLHCe8VXsC Geometry, Spinors and Applications]; Springer Praxis Books, 2000.</ref><ref>Peter Petersen; [https://books.google.com.br/books?id=QSnlBwAAQBAJ Riemannian Geometry]; Springer Science & Business Media, 2013. pg 377.</ref>

Para um índice de notação dependente de base, ver [[tétrade (notação de índice)]].

== O ingredientes básicos ==

Seja uma [[variedade diferenciável]] ''M'' de dimensão n, e os números naturais fixos ''p'' e ''q'' com ''p''+''q'' = ''n''. Suponhamos que dado um [[grupo ortogonal especial generalizado|SO(p, q)]] - [[fibrado principal]] ''B'' sobre ''M'' (chamado '''fibrado de bases'''), e um [[fibrado vetorial|SO(p, q)-fibrado vetorial]] ''V'' associado a ''B'' por meio da [[representação de grupos/álgebras de Lie|representação]] natural de '''SO'''(''p'', ''q'') ''n''-dimensional. 

Suponha dado também uma [[métrica]] '''SO'''(''p'', ''q'')-invariante η de [[Assinatura métrica|assinatura]] (''p'', ''q'') sobre ''V''; e uma [[função linear]] [[inversível]] entre [[fibrado vetorial|fibrados vetoriais]] sobre ''M'', ''e: TM → V'' onde ''TM'' é o [[fibrado tangente]] de ''M''.

== Construções ==

Uma ([[variedade pseudo-riemanniana|pseudo]])[[métrica de Riemann]] se define sobre M como [[aplicação regrediente]] (''pullback'') de η por ''e''. Isto é, se temos duas seções de ''TM'', '''X ''' e '''Y''',
:g('''X''', '''Y''')=η(''e''('''X'''),''e''('''Y''')).

Uma [[conexão (fibrado vetorial)|conexão]] sobre ''V'', '''A ''' se define como a única conexão que satisfaz estas duas condições: 

* dη(''a'', ''b'')=η(d<sub>'''A'''</sub>''a'', ''b'')+η(''a'', d<sub>'''A'''</sub>b) para todas as seções diferenciáveis ''a'' e ''b'' de ''V'' (isto é, d<sub>'''A'''</sub>η=0) onde d<sub>'''A'''</sub > é a [[derivada exterior]] [[covariante]]. (isto indica basicamente que '''A ''' pode ser ampliada a uma conexão sobre o '''SO'''(''p'', ''q'') [[fibrado principal]]) 

* d<sub>'''A'''</sub>''e''=0. (isto indica basicamente que ∇ definida abaixo é [[livre de torsão]]) 

agora que tenhamos especificado '''A''', podemos utilizá-la para definir uma conexão sobre ''TM'' por [[produto fibrado]] (''[[Aplicação regrediente|pullback]]'') por ''e''; 

:''e''(∇'''X''')=d<sub>'''A'''</sub>''e''('''X''') para todas as seções diferenciáveis '''X''' de ''TM''.
 
Dado que o que agora temos é uma '''SO'''(''p'', ''q'') [[teoria de gauge]], a curvatura '''F''' de Riemann definida como '''F''' = d'''A''' + '''A'''∧'''A''' é covariante de gauge ponto a ponto. Este é simplesmente o [[tensor de Riemann]] de um modo diverso.

== A ação de Palatini ==

Na formulação tétrada da [[relatividade geral]], a [[Ação (física)|ação]], como [[funcional]] da cotétrada ‘’e’’ e a [[conexão (fibrado)|conexão]] ''A'' sobre a [[variedade diferenciável]] ''M'' tetradimensional é dada por 

:<math>S\equiv \frac{1}{2}\int_M \epsilon(F \wedge e \wedge e) </math>

onde F é a [[2-forma]] da [[curvatura de gauge]] e ‘’e’’ é o [[equivariante]] antissimétrico [[Representação de grupo|representado]] por tetravetores do [[grupo ortogonal especial generalizado|'''SO'''(3,1)]] normalizado por η.

{{referências}}

[[Categoria:Geometria diferencial]]
[[Categoria:Relatividade geral]]
[[Categoria:Física matemática]]