Mostrar código-fonte de Formulação matemática da mecânica quântica

{{Descrição curta|Estruturas matemáticas que permitem explicar a mecânica quântica}}
{{Mecânica quântica|formulações}}
As '''formulações matemáticas da mecânica quântica''' são aqueles [[Objeto formal|formalismos matemáticos]] que permitem uma descrição [[Rigor#Rigor matemático|rigorosa]] da [[mecânica quântica]]. Este formalismo matemático usa principalmente uma parte da [[análise funcional]], especialmente [[Espaço de Hilbert|espaços de Hilbert]], que são um tipo de [[Espaço vetorial|espaço linear]]. Eles se distinguem dos formalismos matemáticos para teorias da física desenvolvidas antes do início dos anos 1900 pelo uso de estruturas matemáticas abstratas, como espaços de Hilbert de dimensão infinita (<!--[[:en:Square-integrable function]]-->espaço ''L''<sup>2</sup> principalmente), e [[Transformação linear|operadores]] nesses espaços. Em resumo, valores de [[Observável|observáveis]] físicos como [[energia]] e [[Momento linear|momento]] não eram mais considerados como valores de [[Função (matemática)|funções]] no [[Espaço fásico|espaço de fase]], mas como [[Autovalores e autovetores|autovalores]]; mais precisamente como [[Espectro (matemática)|valores espectrais]] de [[Operador (física)|operadores]] lineares no espaço de Hilbert.{{Sfn|Byron|Fuller|1992|page=277}}

Essas formulações da mecânica quântica continuam a ser usadas hoje. No cerne da descrição estão as ideias de ''[[estado quântico]]'' e ''observáveis quânticos'', que são radicalmente diferentes daquelas usadas em [[Modelo (matemática)|modelos]] anteriores de realidade física. Enquanto a matemática permite o cálculo de muitas quantidades que podem ser medidas experimentalmente, há um limite teórico definido para valores que podem ser medidos simultaneamente. Essa limitação foi elucidada pela primeira vez por [[Princípio da incerteza de Heisenberg|Heisenberg]] por meio de um [[experimento mental]], e é representada matematicamente no novo formalismo pela [[Comutatividade|não comutatividade]] de operadores que representam observáveis quânticos.

Antes do desenvolvimento da mecânica quântica como uma [[teoria]] separada, a matemática usada na física consistia principalmente em [[análise matemática]] formal, começando com [[Cálculo infinitesimal|cálculo]] e aumentando em complexidade até a [[geometria diferencial]] e [[Equação diferencial parcial|equações diferenciais parciais]]. A [[Teoria das probabilidades|teoria da probabilidade]] foi usada na [[mecânica estatística]]. A intuição geométrica desempenhou um papel importante nas duas primeiras e, consequentemente, as [[Teoria da relatividade|teorias da relatividade]] foram formuladas inteiramente em termos de conceitos geométricos diferenciais. A fenomenologia da física quântica surgiu aproximadamente entre 1895 e 1915, e durante os 10 a 15 anos antes do desenvolvimento da mecânica quântica (por volta de 1925), os físicos continuaram a pensar na teoria quântica dentro dos limites do que hoje é chamado de [[Teoria clássica (física)|física clássica]] e, em particular, dentro das mesmas estruturas matemáticas. O exemplo mais sofisticado disso é a regra de <!--[[:en:Sommerfeld–Wilson–Ishiwara quantization]]-->quantização de Sommerfeld, Wilson, e Ishiwara, que foi formulada inteiramente no [[Espaço fásico|espaço de fase]] clássico.

==História do formalismo==
===A "antiga teoria quântica" e a necessidade de uma nova matemática===
{{Artigo principal|Antiga teoria quântica}}
Na década de 1890, [[Max Planck|Planck]] conseguiu derivar o [[Corpo negro|espectro do corpo negro]], que mais tarde foi usado para evitar a [[catástrofe ultravioleta]] clássica ao fazer a suposição pouco ortodoxa de que, na interação da [[radiação eletromagnética]] com a [[matéria]], a energia só poderia ser trocada em unidades discretas que ele chamou de [[Quantum|''quanta'']]. Planck postulou uma proporcionalidade direta entre a frequência da radiação e o ''quantum'' de energia naquela frequência. A constante de proporcionalidade, {{Math|''h''}}, agora é chamada de [[constante de Planck]] em sua homenagem.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

Em 1905, [[Albert Einstein|Einstein]] explicou certas características do [[efeito fotoelétrico]] ao assumir que os ''quanta'' de energia de Planck eram partículas reais, que mais tarde foram apelidadas de [[fóton]]s.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}
[[Imagem:Bohr atom model (mul).svg|right|300px|luz na frequência certa]]
Todos esses desenvolvimentos eram [[Fenomenologia (física de partículas)|fenomenológicos]] e desafiavam a física teórica da época. [[Antiga teoria quântica|Bohr e Sommerfeld]] continuaram a modificar a [[mecânica clássica]] em uma tentativa de deduzir o [[Átomo de Bohr|modelo de Bohr]] a partir dos primeiros princípios. Eles propuseram que, de todas as órbitas clássicas fechadas traçadas por um sistema mecânico em seu espaço de fase, apenas aquelas que envolviam uma área que era um múltiplo da constante de Planck eram realmente permitidas. A versão mais sofisticada desse formalismo era a chamada <!--[[:en:Sommerfeld–Wilson–Ishiwara quantization]]-->quantização de Sommerfeld, Wilson e Ishiwara. Embora o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio pudesse ser explicado dessa forma, o espectro do átomo de hélio (classicamente um [[problema de três corpos]] insolúvel) não podia ser previsto. O ''status'' matemático da teoria quântica permaneceu incerto por algum tempo.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

Em 1923, [[Louis de Broglie|de Broglie]] propôs que a [[Dualidade onda-corpúsculo|dualidade do par onda e partícula]] se aplicava não apenas aos fótons, mas aos elétrons e a todos os outros sistemas físicos.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

A situação mudou rapidamente nos anos de 1925–1930, quando fundamentos matemáticos funcionais foram encontrados através do trabalho inovador de [[Erwin Schrödinger]], [[Werner Heisenberg]], [[Max Born]], [[Pascual Jordan]] e o trabalho fundamental de [[John von Neumann]], [[Hermann Weyl]] e [[Paul Dirac]], e tornou-se possível unificar várias abordagens diferentes em termos de um novo conjunto de ideias. A interpretação física da teoria também foi esclarecida nesses anos após [[Werner Heisenberg]] descobrir as relações de incerteza e [[Niels Bohr]] introduzir a ideia de [[Princípio da complementaridade|complementaridade]].{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

===A "nova teoria quântica"===
A [[mecânica matricial]] de Werner Heisenberg foi a primeira tentativa bem-sucedida de replicar a quantização observada de <!--[[:en:Spectroscopy#Atoms]]-->espectros atômicos. Mais tarde, no mesmo ano, Schrödinger criou sua [[Equação de Schrödinger|mecânica ondulatória]]. O formalismo de Schrödinger foi considerado mais fácil de entender, visualizar e calcular, pois levou a [[Equação diferencial|equações diferenciais]], que os físicos já estavam familiarizados com a solução. Em um ano, foi demonstrado que as duas teorias eram equivalentes.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

O próprio Schrödinger inicialmente não entendeu a natureza probabilística fundamental da mecânica quântica, pois pensava que o <!--[[:en:Absolute value#Complex numbers]]-->quadrado absoluto da função de onda de um [[elétron]] deveria ser interpretado como a [[densidade de carga]] de um objeto espalhado por um volume de espaço estendido, possivelmente infinito. Foi Max Born quem introduziu a interpretação do quadrado absoluto da função de onda como a distribuição de probabilidade da posição de um [[Ponto material|objeto ''pontual'']]. A ideia de Born foi logo assumida por Niels Bohr em Copenhague, que então se tornou o "pai" da [[Interpretação de Copenhaga|interpretação de Copenhague]] da mecânica quântica. A [[função de onda]] de Schrödinger pode ser vista como intimamente relacionada à [[Equação de Hamilton–Jacobi|equação de Hamilton e Jacobi]] clássica. A correspondência com a mecânica clássica era ainda mais explícita, embora um pouco mais formal, na mecânica matricial de Heisenberg. Em seu projeto de tese de doutorado, [[Paul Dirac]]{{Sfn|Dirac|1925}} descobriu que a equação para os operadores na [[representação de Heisenberg]], como é chamada agora, se traduz de perto em equações clássicas para a dinâmica de certas quantidades no formalismo hamiltoniano da mecânica clássica, quando alguém as expressa por meio de [[Parênteses de Poisson|colchetes de Poisson]], um procedimento agora conhecido como <!--[[:en:Canonical quantization]]-->quantização canônica.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

Já antes de Schrödinger, o jovem bolsista de pós-doutorado Werner Heisenberg inventou sua [[mecânica matricial]], que foi a primeira mecânica quântica correta – o avanço essencial. A formulação da mecânica matricial de Heisenberg foi baseada em álgebras de matrizes infinitas, uma formulação muito radical à luz da matemática da física clássica, embora ele tenha começado a partir da terminologia de índice dos experimentalistas da época, nem mesmo ciente de que seus "esquemas de índice" eram matrizes, como Born logo apontou para ele. De fato, nesses primeiros anos, a [[álgebra linear]] não era geralmente popular entre os físicos em sua forma atual.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

Embora o próprio Schrödinger depois de um ano tenha provado a equivalência de sua mecânica ondulatória e da mecânica matricial de Heisenberg, a reconciliação das duas abordagens e sua abstração moderna como movimentos no espaço de Hilbert é geralmente atribuída a Paul Dirac, que escreveu um relato lúcido em seu clássico de 1930 <!--[[:en:The Principles of Quantum Mechanics]]-->''Os Princípios da Mecânica Quântica''. Ele é o terceiro, e possivelmente o mais importante, pilar desse campo (logo ele foi o único a ter descoberto uma generalização relativística da teoria). Em seu relato acima mencionado, ele introduziu a [[Notação bra-ket|notação ''bra'' e ''ket'']], juntamente com uma formulação abstrata em termos do [[espaço de Hilbert]] usado na análise funcional; ele mostrou que as abordagens de Schrödinger e Heisenberg eram duas representações diferentes da mesma teoria, e encontrou uma terceira, mais geral, que representava a dinâmica do sistema. Seu trabalho foi particularmente frutífero em muitos tipos de generalizações do campo.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

A primeira formulação matemática completa dessa abordagem, conhecida como <!--[[:en:Dirac–von Neumann axioms]]-->axiomas de Dirac e von Neumann, é geralmente creditada ao livro de John von Neumann de 1932, <!--[[:en:Mathematical Foundations of Quantum Mechanics]]-->''Fundamentos Matemáticos da Mecânica Quântica'', embora [[Hermann Weyl]] já tivesse se referido aos espaços de Hilbert (que ele chamou de ''espaços unitários'') em seu artigo e livro clássicos de 1927. Ela foi desenvolvida em paralelo com uma nova abordagem para a <!--[[:en:Spectral theory]]-->teoria espectral matemática baseada em operadores lineares em vez das [[Forma quadrática|formas quadráticas]] que eram a abordagem de [[David Hilbert]] uma geração antes. Embora as teorias da mecânica quântica continuem a evoluir até hoje, há uma estrutura básica para a formulação matemática da mecânica quântica que fundamenta a maioria das abordagens e pode ser rastreada até o trabalho matemático de John von Neumann. Em outras palavras, as discussões sobre a [[Interpretações da mecânica quântica|''interpretação'' da teoria]] e extensões a ela são agora conduzidas principalmente com base em suposições compartilhadas sobre os fundamentos matemáticos.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

===Desenvolvimentos posteriores===
A aplicação da nova teoria quântica ao eletromagnetismo resultou na [[teoria quântica de campos]], que foi desenvolvida a partir de 1930. A teoria quântica de campos impulsionou o desenvolvimento de formulações mais sofisticadas da mecânica quântica, das quais as apresentadas aqui são casos especiais simples.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

* [[Formulação de Feynman da mecânica quântica]]
* <!--[[:en:Phase-space formulation]]-->Formulação de espaço de fase da mecânica quântica e <!--[[:en:Geometric quantization]]-->quantização geométrica
* [[teoria quântica de campos em espaço-tempo curvo]]
* teoria quântica de campos [[Axiomas de Wightman|axiomática]], [[Teoria quântica dos campos locais|algébrica]], e <!--[[:en:Constructive quantum field theory]]-->construtiva
* [[Objeto formal|formalismo]] da <!--[[:en:C*-algebra]]-->álgebra C*
* [[Medida com operador positivo valorizado|modelo estatístico generalizado da mecânica quântica]]

Um tópico relacionado é a relação com a mecânica clássica. Qualquer nova teoria física deve ser reduzida a teorias antigas bem-sucedidas em alguma aproximação. Para a mecânica quântica, isso se traduz na necessidade de estudar o chamado <!--[[:en:Classical limit of quantum mechanics]]-->limite clássico da mecânica quântica. Além disso, como Bohr enfatizou, as habilidades cognitivas humanas e a linguagem estão inextricavelmente ligadas ao reino clássico e, portanto, as descrições clássicas são intuitivamente mais acessíveis do que as quânticas. Em particular, a [[Quantização (física)|quantização]], ou seja, a construção de uma teoria quântica cujo limite clássico é uma teoria clássica dada e conhecida, torna-se uma área importante da física quântica em si mesma.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

Finalmente, alguns dos criadores da teoria quântica (notavelmente Einstein e Schrödinger) estavam descontentes com o que pensavam ser as implicações filosóficas da mecânica quântica. Em particular, Einstein assumiu a posição de que a mecânica quântica deve ser incompleta, o que motivou a pesquisa nas chamadas [[Teoria das variáveis ocultas|teorias de variáveis ocultas]]. A questão das variáveis ocultas tornou-se em parte uma questão experimental com a ajuda da [[óptica quântica]].{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

==Postulados da mecânica quântica==
Um sistema físico é geralmente descrito por três ingredientes básicos: [[Estado quântico|estados]]; [[Observável|observáveis]]; e <!--[[:en:Dynamics (mechanics)]]-->[[dinâmica]] (ou lei da [[evolução temporal]]) ou, mais geralmente, um [[Teoria de gauge|grupo de simetrias físicas]]. Uma descrição clássica pode ser dada de forma bastante direta por um [[Modelagem conceitual|modelo]] de espaço de fase da mecânica: estados são pontos em um espaço de fase formulado por <!--[[:en:Symplectic manifold]]-->variedade simplética, observáveis são funções de valor real nele, a evolução temporal é dada por um [[Grupo (matemática)|grupo]] de um parâmetro de transformações simpléticas do espaço de fase, e simetrias físicas são realizadas por transformações simpléticas. Uma descrição quântica normalmente consiste em um [[espaço de Hilbert]] de estados, observáveis são [[Operador autoadjunto|operadores autoadjuntos]] no espaço de estados, a evolução temporal é dada por um <!--[[:en:Stone's theorem on one-parameter unitary groups]]-->grupo de um parâmetro de transformações unitárias no espaço de Hilbert de estados, e simetrias físicas são realizadas por <!--[[:en:Unitary transformation]]-->transformações unitárias. (É possível mapear esta imagem/representação do espaço de Hilbert para uma <!--[[:en:Phase-space formulation]]-->formulação de espaço de fase, invertivelmente. Veja abaixo.){{Carece de fontes|data=março de 2025}}

O seguinte resumo da estrutura matemática da mecânica quântica pode ser parcialmente rastreado até os <!--[[:en:Dirac–von Neumann axioms]]-->axiomas de Dirac e von Neumann.{{Sfn|Cohen-Tannoudji|Diu|Laloë|2020|p=}}

===Descrição do estado de um sistema===
Cada sistema físico isolado está associado a um espaço de Hilbert complexo separável  (topologicamente) {{Math|''H''}} com produto interno {{Math|⟨''φ''{{!}}''ψ''⟩}}.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}
{{Caixa de citação|título=Postulado I|citação=O estado de um sistema físico isolado é representado, em um tempo fixo {{Nowrap|<math>t</math>,}} por um vetor de estado <math>|\psi \rangle</math> pertencente a um espaço de Hilbert <math>\mathcal{H}</math> chamado de ''espaço de estado''.|largura=50%|posição=centro|posição-citação=centro}}
<!--[[:en:Hilbert space#Separable spaces]]-->Separabilidade é uma hipótese matematicamente conveniente, com a interpretação física de que o estado é determinado exclusivamente por muitas observações contáveis. Estados quânticos podem ser identificados com [[Classe de equivalência|classes de equivalência]] em {{Math|''H''}}, onde dois vetores (de comprimento 1) representam o mesmo estado se eles diferem apenas por um <!--[[:en:Phase factor]]-->fator de fase:{{Sfn|Bäuerle|de Kerf|1990|page=330}}{{Sfn|Solem|Biedenharn|1993 }}
<math display="block">|\psi_k \rangle \sim |\psi_l\rangle \;\; \Leftrightarrow \;\; |\psi_k \rangle = e^{i\alpha} |\psi_l\rangle, \quad\ \alpha\in\mathbb{R}</math>
Como tal, um estado quântico forma um <!--[[:en:Wigner%27s theorem#Rays and ray space]]-->'''raio''' no <!--[[:en:Projective Hilbert space]]-->espaço de Hilbert projetivo, não um ''vetor''.{{Sfn|Bäuerle|de Kerf|1990|page=341}}

Acompanhando o Postulado I está o postulado do sistema composto:{{Sfn|Jauch|Wigner|Yanase|1997}}
{{Caixa de citação |título=Postulado do sistema composto |citação=O espaço de Hilbert de um sistema composto é o [[produto tensorial]] do espaço de Hilbert dos espaços de estado associados aos sistemas componentes. Para um sistema que não é relativístico consistindo de um número finito de partículas distinguíveis, os sistemas componentes são as partículas individuais. |largura=50% |posição=centro |posição-citação=centro}}
Na presença de [[Entrelaçamento quântico|emaranhamento quântico]], o estado quântico do sistema composto não pode ser fatorado como um produto tensorial de estados de seus constituintes locais; em vez disso, é expresso como uma soma, ou [[Sobreposição quântica|superposição]], de produtos tensoriais de estados de subsistemas componentes. Um subsistema em um sistema composto emaranhado geralmente não pode ser descrito por um vetor de estado (ou um raio), mas sim por um [[Matriz densidade|operador de densidade]]; tal estado quântico é conhecido como um <!--[[:en:Quantum state#Mixed states]]-->estado misto. O [[Matriz densidade|operador de densidade]] de um estado misto é uma [[Classe tracial|classe de traço]], operador autoadjunto que não é negativo (<!--[[:en:Definite matrix]]-->semidefinido positivo) {{Math|''ρ''}} normalizado para ser de [[Traço (álgebra linear)|traço]] 1. Por sua vez, qualquer operador de densidade de um estado misto pode ser representado como um subsistema de um sistema composto maior em um estado puro (<!--veja o [[:en:Schrödinger–HJW theorem|]]-->teorema da purificação).{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

Na ausência de emaranhamento quântico, o estado quântico do sistema composto é chamado de <!--[[:en:Separable state]]-->estado separável. A matriz de densidade de um sistema bipartido em um estado separável pode ser expressa como <math>
\rho=\sum_k p_k \rho_1^k \otimes \rho_2^k
</math>, onde <math>\;
\sum_k p_k = 1
</math>. Se houver apenas um único <math>p_k</math> diferente de zero, então o estado pode ser expresso como <math display="inline"> \rho = \rho_1 \otimes \rho_2</math>, e é chamado simplesmente de estado separável ou produto.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

===Medição em um sistema <span class="anchor" id="Medição"></span>===
====Descrição das grandezas físicas====
Observáveis físicos são representados por [[Matriz hermitiana|matrizes Hermitianas]] em {{Math|''H''}}. Como esses operadores são Hermitianos, seus [[Autovalores e autovetores|autovalores]] são sempre reais e representam os possíveis resultados/saídas da medição do observável correspondente. Se o espectro do observável for <!--[[:en:Discrete spectrum]]-->discreto, então os resultados possíveis são ''quantizados''.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}
{{Caixa de citação |título=Postulado II.a |citação=Toda grandeza física mensurável <math>\mathcal{A}</math> é descrita por um operador hermitiano <math>A</math> atuando no espaço de estados <math>\mathcal{H}</math>. Este operador é um observável, o que significa que seus [[Autovalores e autovetores|autovetores]] formam uma base para <math>\mathcal{H}</math>. O resultado da medição de uma grandeza física <math>\mathcal{A}</math> deve ser um dos autovalores do observável correspondente <math>A</math>. |largura=50% |posição=centro |posição-citação=centro}}
====Resultados da medição====
Pela teoria espectral, podemos associar uma [[medida de probabilidade]] aos valores de {{Math|''A''}} em qualquer estado {{Math|''ψ''}}. Também podemos mostrar que os valores possíveis do observável {{Math|''A''}} em qualquer estado devem pertencer ao [[Espectro (matemática)|espectro]] de {{Math|''A''}}. O [[valor esperado]] (no sentido da teoria da probabilidade) do observável {{Math|''A''}} para o sistema no estado representado pelo vetor unitário {{Math|''ψ''}} ∈ ''H'' é <math>\langle\psi|A|\psi\rangle</math>. Se representarmos o estado {{Math|''ψ''}} na base formada pelos autovetores de {{Math|''A''}}, então o quadrado do módulo do componente anexado a um dado autovetor é a probabilidade de observar seu autovalor correspondente.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}
{{Caixa de citação |título=Postulado II.b |citação=Quando a grandeza física <math>\mathcal{A}</math> é medida em um sistema em um estado normalizado <math>|\psi\rangle</math>, a probabilidade de obter um autovalor (denotado <math>a_n</math> para espectros discretos e <math>\alpha</math> para espectros contínuos) do observável correspondente <math>A</math> é dada pela ''amplitude ao quadrado'' da função de onda apropriada (projeção no autovetor correspondente).

<math>\begin{align}\mathbb{P}(a_n)&= |\langle a_n|\psi \rangle|^2 & \text{(Espectro que não é degenerado, discreto)} \\ \mathbb{P}(a_n) &= \sum_i^{g_n} |\langle a_n^i|\psi \rangle|^2 & \text{(Espectro degenerado, discreto)} \\ d\mathbb{P}(\alpha) &= |\langle \alpha | \psi \rangle |^2 d\alpha & \text{(Espectro que não é degenerado, contínuo)} \end{align}</math> |largura=75% |posição=centro |posição-citação=centro}}
Para um estado misto {{Math|''ρ''}}, o valor esperado de {{Math|''A''}} no estado {{Math|''ρ''}} é <math> \operatorname{tr}(A\rho)</math>, e a probabilidade de obter um autovalor <math> a_n </math> em um espectro que não é degenerado, discreto, do observável correspondente <math> A </math> é dada por <math> \mathbb P(a_n)=\operatorname{tr}(|a_n\rangle\langle a_n|\rho)=\langle a_n|\rho|a_n\rangle </math>.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

Se o autovalor <math> a_n </math> tem autovetores ortonormais, [[Nível degenerado de energia|degenerados]], <math> \{|a_{n1}\rangle,|a_{n2}\rangle, \dots , |a_{nm}\rangle\} </math>, então o [[Projeção (álgebra linear)|operador de projeção]] no autosubespaço pode ser definido como o operador de identidade no autosubespaço: {{Carece de fontes|data=março de 2025}}<math display="block"> P_n=|a_{n1}\rangle\langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle\langle a_{n2}| + \dots + |a_{nm}\rangle\langle a_{nm}|</math> e então <math> \mathbb P(a_n)=\operatorname{tr}(P_n\rho) </math>.

Os postulados II.a e II.b são conhecidos coletivamente como a [[regra de Born]] da mecânica quântica.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

====Efeito da medição no estado====
Quando uma medição é realizada, apenas um resultado é obtido (de acordo com algumas [[interpretações da mecânica quântica]]). Isso é modelado matematicamente como o processamento de informações adicionais da medição, confinando as probabilidades de uma segunda medição imediata do mesmo observável. No caso de um espectro não degenerado, discreto, duas medições sequenciais do mesmo observável sempre darão o mesmo valor, assumindo que a segunda segue imediatamente a primeira. Portanto, o vetor de estado deve mudar como resultado da medição e colapsar no autosubespaço associado ao autovalor medido.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}
{{Caixa de citação |título=Postulado II.c |citação=Se a medição da grandeza física <math>\mathcal{A}</math> no sistema no estado <math>|\psi\rangle </math> der o resultado <math>a_n </math>, então o estado do sistema imediatamente após a medição é a projeção normalizada de <math> |\psi\rangle</math> no autosubespaço associado a <math>a_n </math><br/><br/> <math>|\psi\rangle \quad \overset{a_n}{\Longrightarrow}\quad \frac{P_n|\psi\rangle}{\sqrt{\langle \psi | P_n | \psi \rangle}}</math> |largura=50% |posição=centro |posição-citação=centro}}
Para um estado misto {{Math|''ρ''}}, após obter um autovalor <math> a_n </math> em um espectro que não é degenerado, discreto, do observável correspondente <math> A </math>, o estado atualizado é dado por <math display="inline"> \rho'=\frac{P_n\rho P_n^\dagger}{\operatorname{tr}(P_n\rho P_n^\dagger)} </math>. Se o autovalor <math> a_n </math> tem autovetores ortonormais degenerados <math> \{|a_{n1}\rangle,|a_{n2}\rangle, \dots ,|a_{nm}\rangle\} </math>, então o operador de projeção no autosubespaço é <math> P_n=|a_{n1}\rangle\langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle\langle a_{n2}| + \dots + |a_{nm}\rangle\langle a_{nm}| </math>.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

Os postulados II.c são algumas vezes chamados de "regra de atualização de estado" ou "regra de colapso"; junto com a regra de Born (Postulados II.a e II.b), eles formam uma representação completa de [[Medição em mecânica quântica|medições]] e algumas vezes são coletivamente chamados de postulado(s) de medição.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

Observe que as [[Medida espectral|medidas de valor de projeção]] (''PVM'') descritas nos postulados de medição podem ser generalizadas para [[Medida com operador positivo valorizado|medidas de valor de operador positivo]] (''POVM''), que é o tipo mais geral de medição na mecânica quântica. Um POVM pode ser entendido como o efeito em um subsistema componente quando um PVM é executado em um sistema composto maior (<!--veja o [[:en:Naimark's dilation theorem]]-->teorema de dilatação de Naimark).{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

===Evolução temporal de um sistema===
Embora seja possível derivar a equação de Schrödinger, que descreve como um vetor de estado evolui no tempo, a maioria dos textos afirma a equação como um postulado. Derivações comuns incluem o uso da [[Onda de matéria|hipótese de de Broglie]] ou <!--[[:en:Relation between Schrödinger's equation and the path integral formulation of quantum mechanics]]-->integrais de caminho.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

De forma equivalente, o postulado da evolução temporal pode ser declarado como:{{Carece de fontes|data=março de 2025}}
{{Caixa de citação |título=Postulado III |citação=A evolução temporal do vetor de estado <math>|\psi(t)\rangle</math> é governada pela equação de Schrödinger, onde <math>H(t)</math> é o observável associado à energia total do sistema (chamado de [[Hamiltoniano (mecânica quântica)|Hamiltoniano]])<br/><br/><math>i\hbar \frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = H(t)|\psi(t)\rangle </math> |largura=50% |posição=centro |posição-citação=centro}}
Para um sistema fechado em um estado misto {{Math|''ρ''}}, a evolução temporal é <math>\rho(t)=U(t;t_0)\rho(t_0) U^\dagger(t;t_0)</math>{{Carece de fontes|data=março de 2025}}
{{Caixa de citação |título=Postulado III |citação=A evolução temporal de um <!--[[:en:Closed system#In quantum physics]]-->[[sistema fechado]] é descrita por uma <!--[[:en:Unitary transformation (quantum mechanics)]]-->transformação unitária no estado inicial.<br/><br/><math>|\psi(t)\rangle = U(t;t_0)|\psi(t_0)\rangle </math> |largura=50% |posição=centro |posição-citação=centro}}
A evolução de um [[sistema quântico aberto]] pode ser descrita por [[Operação quântica|operações quânticas]] (em um formalismo de <!--[[:en:Quantum operation#Statement of the theorem]]-->soma de operadores) e <!--[[:en:Quantum instrument]]-->instrumentos quânticos, e geralmente não precisa ser unitária.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

===Outras implicações dos postulados===
* Simetrias físicas agem no espaço de Hilbert de estados quânticos [[Operador unitário|unitariamente]] ou <!--[[:en:Antiunitary operator]]-->antiunitariamente devido ao <!--[[:en:Wigner's theorem]]-->teorema de Wigner ([[supersimetria]] é outra questão completamente diferente).{{Carece de fontes|data=março de 2025}}
* Operadores de densidade são aqueles que estão no fechamento do [[Envoltória convexa|casco convexo]] dos projetores ortogonais unidimensionais. Por outro lado, projetores ortogonais unidimensionais são <!--[[:en:Extreme point]]-->pontos extremos do conjunto de operadores de densidade. Físicos também chamam projetores ortogonais unidimensionais de estados puros e outros operadores de densidade de ''estados mistos''.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}
* Pode-se, neste formalismo, declarar o [[princípio da incerteza de Heisenberg]] e [[Prova matemática|prová-lo]] como um teorema, embora a sequência histórica exata de eventos, a respeito de quem derivou o quê e sob qual estrutura, seja o assunto de investigações históricas fora do escopo deste artigo.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}
* Pesquisas recentes mostraram{{Sfn|Carcassi|Maccone|Aidala|2021}} que o postulado do sistema composto (postulado do produto tensorial) pode ser derivado do postulado de estado (Postulado I) e dos postulados de medição (Postulados II); Além disso, também foi demonstrado{{Sfn|Masanes|Galley|Müller|2019}} que os postulados de medição (Postulados II) podem ser derivados da "mecânica quântica unitária", que inclui apenas o postulado de estado (Postulado I), o postulado do sistema composto (postulado do produto tensorial) e o postulado da evolução unitária (Postulado III).

Além disso, aos postulados da mecânica quântica também se deve adicionar afirmações básicas sobre as propriedades do ''[[spin]]'' e o [[princípio de exclusão de Pauli]], veja abaixo.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

===''Spin''===
Além de suas outras propriedades, todas as partículas possuem uma grandeza chamada ''[[spin]]'', um ''momento angular intrínseco''. Apesar do nome, as partículas não giram literalmente em torno de um eixo, e o ''spin'' mecânico quântico não tem correspondência na física clássica. Na representação de posição, uma função de onda sem ''spin'' tem posição {{Math|'''r'''}} e tempo {{Math|''t''}} como variáveis contínuas, {{Math|1=''ψ'' = ''ψ''('''r''', ''t'')}}. Para funções de onda de ''spin'', o ''spin'' é uma variável discreta adicional: {{Math|1=''ψ'' = ''ψ''('''r''', ''t'', ''σ'')}}, onde {{Math|''σ''}} assume os valores;{{Carece de fontes|data=março de 2025}}
<math display="block">\sigma = -S \hbar , -(S-1) \hbar , \dots, 0, \dots ,+(S-1) \hbar ,+S \hbar </math>

Isto é, o estado de uma única partícula com ''spin'' {{Math|''S''}} é representado por um <!--[[:en:Spinor]]-->''spinor'' de {{Math|(2''S'' + 1)}}-componente de funções de onda de valor complexo.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

Duas classes de partículas com comportamento ''muito diferente'' são [[bóson]]s que têm ''spin'' inteiro ({{Math|1=''S'' = 0, 1, 2, ...}}), e [[férmion]]s que possuem ''spin'' meio inteiro ({{Math|1=''S'' = {{frac|1|2}}, {{frac|3|2}}, {{frac|5|2}}, ...}}).{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

===Postulado de simetrização===
{{Artigo principal|Partículas idênticas{{!}}Partículas indistinguíveis}}
Na mecânica quântica, duas partículas podem ser distinguidas uma da outra usando dois métodos. Ao realizar uma medição das propriedades intrínsecas de cada partícula, partículas de diferentes tipos podem ser distinguidas. Caso contrário, se as partículas forem idênticas, suas trajetórias podem ser rastreadas, o que distingue as partículas com base na localidade de cada partícula. Enquanto o segundo método é permitido na mecânica clássica (ou seja, todas as partículas clássicas são tratadas com distinguibilidade), o mesmo não pode ser dito para partículas mecânicas quânticas, uma vez que o processo é inviável devido aos princípios fundamentais da incerteza que governam pequenas escalas. Portanto, o requisito de indistinguibilidade de partículas quânticas é apresentado pelo postulado de simetrização. O postulado é aplicável a um sistema de bósons ou férmions, por exemplo, na previsão dos espectros do <!--[[:en:Helium atom]]-->átomo de hélio. O postulado, explicado nas seções a seguir, pode ser declarado da seguinte forma:{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

Exceções podem ocorrer quando as partículas são restringidas a duas dimensões espaciais onde a existência de partículas conhecidas como <!--[[:en:Anyon]]-->''anyons'' é possível, as quais são ditas como tendo um contínuo de propriedades estatísticas abrangendo o intervalo entre férmions e bósons.{{Sfn|Sakurai|Napolitano|2021|p=443}} A conexão entre o comportamento de partículas idênticas e seu ''spin'' é dada pelo <!--[[:en:Teorema da estatística do spin]]-->teorema de estatística e ''spin''.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}
{{Caixa de citação |título=Postulado de simetrização{{Sfn|Sakurai|Napolitano|2021|p=443}} |citação=A função de onda de um sistema de ''N'' partículas idênticas (em 3D) é totalmente simétrica (bósons) ou totalmente antisimétrica (férmions) sob troca de qualquer par de partículas. |largura=50% |posição=centro |posição-citação=centro}}
Pode ser demonstrado que duas partículas localizadas em diferentes regiões do espaço ainda podem ser representadas usando uma função de onda simetrizada/antissimetrizada e que o tratamento independente dessas funções de onda dá o mesmo resultado.{{Sfn|Sakurai|Napolitano|2021|p=434-437}} Portanto, o postulado de simetrização é aplicável no caso geral de um sistema de partículas idênticas.

====Degeneração de troca====
Em um sistema de partículas idênticas, seja ''P'' conhecido como operador de troca que atua na função de onda como:
: <math>P \bigg(\cdots|\psi\rang |\phi\rang \cdots\bigg) \equiv \cdots |\phi\rang |\psi\rang \cdots </math>

Se um sistema físico de partículas idênticas for dado, a função de onda de todas as partículas pode ser bem conhecida a partir da observação, mas estas não podem ser rotuladas para cada partícula. Assim, a função de onda trocada acima representa o mesmo estado físico que o estado original, o que implica que a função de onda não é única. Isso é conhecido como degeneração de troca.{{Sfn|Cohen-Tannoudji|Diu|Laloë|2020|p=1375–1377}}

Mais geralmente, considere uma combinação linear de tais estados, <math>|\Psi\rangle </math>. Para a melhor representação do sistema físico, esperamos que este seja um autovetor de ''P'', já que o operador de troca não é esperado para fornecer vetores completamente diferentes no espaço de Hilbert projetivo. Já que <math>P^2 = 1</math>, os possíveis autovalores de ''P'' são +1 e −1. Os estados <math>|\Psi\rangle </math> para sistemas de partículas idênticos são representados como simétricos para autovalor +1 ou antisimétricos para autovalor -1, como segue:{{Carece de fontes|data=março de 2025}}
: <math>P|\cdots n_i,n_j \cdots; S\rang = + |\cdots n_i,n_j \cdots; S\rang  </math>
: <math>P|\cdots n_i, n_j \cdots; A\rang = - |\cdots n_i, n_j \cdots; A\rang</math>

====Princípio de exclusão de Pauli====
A propriedade de ''spin'' se relaciona com outra propriedade básica referente a sistemas de {{Math|''N''}} partículas idênticas: o [[princípio de exclusão de Pauli]], que é uma consequência do seguinte comportamento de permutação de uma função de onda de {{Math|''N''}}-partículas; novamente na representação de posição deve-se postular que para a transposição de quaisquer duas das {{Math|''N''}} partículas deve-se sempre ter:{{Carece de fontes|data=março de 2025}}
{{Equation box 1|indent=:|title='''Princípio de Pauli'''|equation=<math>\psi (\dots, \,\mathbf r_i,\sigma_i, \, \dots, \,\mathbf r_j,\sigma_j, \,\dots) = (-1)^{2S}\cdot \psi ( \dots, \,\mathbf r_j,\sigma_j, \, \dots, \mathbf r_i,\sigma_i,\, \dots)</math>|cellpadding|border|border colour=#50C878|background colour=#ECFCF4}}
ou seja, na <!--[[:en:Transposition (mathematics)|]]-->transposição dos argumentos de quaisquer duas partículas a função de onda deve ''reproduzir'', além de um prefator {{Math|(−1)<sup>2''S''</sup>}} que é {{Math|+1}} para bósons, mas ({{Math|−1}}) para [[férmion]]s.
Elétrons são férmions com {{Math|1=''S'' = 1/2}}; ''quanta'' de luz são bósons com {{Math|1=''S'' = 1}}.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

Devido à forma da função de onda anti-simetrizada:
: <math>\Psi^{(A)}_{n_1 \cdots n_N} (x_1, \ldots, x_N) =
  \frac{1}{\sqrt{N!}} \left|
  \begin{matrix}
    \psi_{n_1}(x_1) & \psi_{n_1}(x_2) & \cdots & \psi_{n_1}(x_N) \\
    \psi_{n_2}(x_1) & \psi_{n_2}(x_2) & \cdots & \psi_{n_2}(x_N) \\
             \vdots &          \vdots & \ddots &          \vdots \\
    \psi_{n_N}(x_1) & \psi_{n_N}(x_2) & \cdots & \psi_{n_N}(x_N) \\
  \end{matrix}
  \right|</math>
se a função de onda de cada partícula for completamente determinada por um conjunto de números quânticos, então dois férmions não podem compartilhar o mesmo conjunto de números quânticos, já que a função resultante não pode ser antissimetrizada (ou seja, a fórmula acima dá zero). O mesmo não pode ser dito dos bósons, já que sua função de onda é:{{Carece de fontes|data=março de 2025}}
: <math>|x_1 x_2 \cdots x_N; S \rangle = \frac{\prod_j n_j!}{N!} \sum_p \left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle       </math>
onde <math>n_j </math> é o número de partículas com a mesma função de onda.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

====Exceções ao postulado de simetrização====
Na mecânica quântica que não é relativística, todas as partículas são bósons ou [[férmion]]s; nas teorias quânticas relativísticas, também existem teorias [[Supersimetria|"supersimétricas"]], onde uma partícula é uma combinação linear de uma parte bosônica e uma parte fermiônica. Somente na dimensão {{Math|1=''d'' = 2}} é possível construir entidades onde {{Math|(−1)<sup>2''S''</sup>}} é substituído por um número complexo arbitrário com magnitude 1, chamado <!--[[:en:anyons]]-->''anyons''. Na mecânica quântica relativística, o teorema estatístico de ''spin'' pode provar que, sob certo conjunto de suposições, as partículas de ''spin'' inteiro são classificadas como bósons e as partículas de meio ''spin'' são classificadas como [[férmion]]s. ''Anyons'' que não formam estados simétricos nem antisimétricos são considerados como tendo ''spin'' fracionário.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

Embora ''spin'' e o ''princípio de Pauli'' só possam ser derivados de generalizações relativísticas da mecânica quântica, as propriedades mencionadas nos dois últimos parágrafos pertencem aos postulados básicos já no limite que não é relativístico. Especialmente, muitas propriedades importantes na ciência natural, por exemplo, o [[Tabela periódica|sistema periódico]] da química, são consequências das duas propriedades.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

==Estrutura matemática da mecânica quântica==
===Representações da dinâmica===
<!---->
{{Lista com marcas|1=Na chamada [[representação de Schrödinger]] da mecânica quântica, a dinâmica é dada da seguinte forma:

A [[evolução temporal]] do estado é dada por uma função diferenciável dos números reais {{Math|'''R'''}}, representando instantes de tempo, para o espaço de Hilbert de estados do sistema. Este mapa é caracterizado por uma equação diferencial da seguinte forma: Se <!---->&#124;''ψ''(''t'')⟩ denota o estado do sistema em qualquer momento {{Math|''t''}}, a seguinte equação de Schrödinger é válida:
{{Equation box 1
|indent=:
|title='''Equação de Schrödinger ''' ''(geral)''
|equation=<math> i\hbar\frac{d}{d t}\left|\psi(t)\right\rangle=H\left|\psi(t)\right\rangle</math>
|cellpadding
|border
|border colour=#50C878
|background colour=#ECFCF4}}
onde {{Math|''H''}} é um operador autoadjunto densamente definido, chamado de [[Hamiltoniano (mecânica quântica)|Hamiltoniano]] do sistema, {{Math|''i''}} é a [[Número complexo|unidade imaginária]] e {{Math|''ħ''}} é a [[Constante de Planck#Constante reduzida de Planck|constante de Planck reduzida]]. Como um observável, {{Math|''H''}} corresponde à [[energia]] total do sistema.

Alternativamente, pelo <!--[[:en:Stone's theorem on one-parameter unitary groups]]-->teorema de Stone, pode-se afirmar que há um mapa unitário fortemente contínuo de um parâmetro {{Math|''U''(''t'')}}: {{Math|''H'' → ''H''}} tal que
<math display="block">\left|\psi(t+s)\right\rangle=U(t)\left|\psi(s)\right\rangle</math>
para todos os tempos {{Math|''s'', ''t''}}. A existência de um hamiltoniano auto-adjunto {{Math|''H''}} tal que
<math display="block">U(t)=e^{-(i/\hbar)t H}</math>
é uma consequência do teorema de Stone sobre grupos unitários de um parâmetro. Assume-se que {{Math|''H''}} não depende do tempo e que a perturbação começa em {{Math|1=''t''<sub>0</sub> = 0}}; caso contrário, deve-se usar a [[série de Dyson]], escrita formalmente como
<math display="block">U(t)=\mathcal{T}\left[\exp\left(-\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t dt'\, H(t')\right)\right]</math>
onde <math>{\mathcal{T}}</math> é o símbolo de <!--[[:en:Path-ordering#Time ordering]]-->ordenação temporal de Dyson.

(Este símbolo permuta um produto de operadores não comutativos da forma
<math display="block"> B_1(t_1)\cdot  B_2(t_2)\cdot\dots \cdot B_n(t_n)</math>
na expressão reordenada determinada exclusivamente
<math display="block">B_{i_1}(t_{i_1})\cdot  B_{i_2}(t_{i_2})\cdot\dots \cdot B_{i_n}(t_{i_n})</math>
O resultado é uma cadeia causal, a ''causa'' primária no passado no máximo r.h.s., e finalmente o efeito presente no máximo l.h.s. .)|2=A representação de Heisenberg da mecânica quântica foca em observáveis e, em vez de considerar estados como variáveis no tempo, ela considera os estados como fixos e os observáveis como mutáveis. Para ir da representação de Schrödinger para a de Heisenberg, é preciso definir estados independentes do tempo e operadores dependentes do tempo assim:
<math display="block">\left|\psi\right\rangle = \left|\psi(0)\right\rangle</math>
<math display="block">A(t) = U(-t)AU(t)</math>
É então facilmente verificado que os valores esperados de todos os observáveis são os mesmos em ambas as representações
<math display="block">\langle\psi\mid A(t)\mid\psi\rangle=\langle\psi(t)\mid A\mid\psi(t)\rangle</math>
e que os operadores de Heisenberg dependentes do tempo satisfazem
{{Equation box 1
|indent=:
|title='''Representação de Heisenberg''' ''(geral)''
|equation=<math>\frac{d}{dt}A(t)=\frac{i}{\hbar}[H,A(t)]+\frac{\partial A(t)}{\partial t},</math>
|cellpadding=6
|border
|border colour=#0073CF
|background colour=#F9FFF7}}
o que é verdade para {{Math|1=''A'' = ''A''(''t'')}} dependente do tempo. Observe que a expressão do comutador é puramente formal quando um dos operadores é [[Operador linear ilimitado|ilimitado]]. Alguém especificaria uma representação para a expressão para fazer sentido dela.|3=A chamada [[representação de Dirac]] ou [[Representação de Dirac|representação de interação]] tem estados e observáveis dependentes do tempo, evoluindo com relação a diferentes hamiltonianos. Esta representação é mais útil quando a evolução dos observáveis pode ser resolvida exatamente, confinando quaisquer complicações à evolução dos estados. Por esta razão, o hamiltoniano para os observáveis é chamado de "hamiltoniano livre" e o hamiltoniano para os estados é chamado de "hamiltoniano de interação". Em símbolos:
{{Equation box 1
|indent=:
|title='''Representação de Dirac'''
|equation=<math> i\hbar\frac{d}{dt}\left|\psi(t)\right\rangle = {H}_{\rm int}(t) \left|\psi(t)\right\rangle</math>

<math>i\hbar \frac{d}{dt}A(t) = [A(t),H_{0}]</math>
|cellpadding=6
|border
|border colour=#0073CF
|background colour=#F9FFF7}}
A representação de interação nem sempre existe, no entanto. Em teorias de campos quânticos de interação, o [[teorema de Haag]] afirma que a representação de interação não existe. Isso ocorre porque o hamiltoniano não pode ser dividido em uma parte livre e uma parte interativa dentro de um <!--[[:en:Superselection]]-->setor de superseleção. Além disso, mesmo que na representação de Schrödinger o hamiltoniano não dependa do tempo, por exemplo, {{Math|1=''H'' = ''H''<sub>0</sub> + ''V''}}, na representação de interação ele depende, pelo menos, se {{Math|''V''}} não comuta com {{Math|''H''<sub>0</sub>}}, uma vez que
<math display="block">H_{\rm int}(t)\equiv e^{{(i/\hbar})tH_0}\,V\,e^{{(-i/\hbar})tH_0}</math>
Então a série de Dyson mencionada acima tem que ser usada de qualquer forma.

A representação de Heisenberg é a mais próxima da mecânica hamiltoniana clássica (por exemplo, os comutadores que aparecem nas equações acima são diretamente traduzidos para os colchetes clássicos de Poisson); mas isso já é um tanto "intelectual", e a representação de Schrödinger é considerada a mais fácil de visualizar e entender pela maioria das pessoas, a julgar por relatos pedagógicos da mecânica quântica. A representação de Dirac é a usada na teoria de perturbação e é especialmente associada à teoria quântica de campos e à física de muitos corpos.

Equações semelhantes podem ser escritas para qualquer grupo unitário de simetrias de um parâmetro do sistema físico. O tempo seria substituído por uma coordenada adequada parametrizando o grupo unitário (por exemplo, um ângulo de rotação ou uma distância de translação) e o hamiltoniano seria substituído pela quantidade conservada associada à simetria (por exemplo, momento angular ou linear).
}}
'''Resumo''':
{| class="wikitable" style="padding:0.3em; clear:right; margin:1em auto; text-align:center;"
| rowspan=2 style="background-color:#E0FFEE;" | Evolução de:
| colspan=3 style="background-color:#E0FFEE;" | <!--[[:en:Dynamical pictures|]]-->Representação <!---->
|-----
| style="background-color:#E0F0FF;" | [[Representação de Schrödinger|Schrödinger]] (S)
| style="background-color:#E0F0FF;" | [[Representação de Heisenberg|Heisenberg]] (H)
| style="background-color:#E0F0FF;" | [[Representação de Dirac|Interação]] (I)
|-----
| style="background-color:#D0FFDD;" | [[Notação bra-ket|Estado ''ket'']]
| <math> | \psi_{\rm S}(t) \rang = e^{-i H_{\rm S} ~t / \hbar} | \psi_{\rm S}(0) \rang </math>
| constante
| <math> | \psi_{\rm I}(t) \rang = e^{i H_{0, \mathrm{S}} ~t / \hbar} | \psi_{\rm S}(t) \rang </math>
|-----
| style="background-color:#D0FFDD;" | [[Observável]]
| constante
| <math>A_{\rm H} (t)=e^{i H_{\rm S}~ t / \hbar} A_{\rm S} e^{-i H_{\rm S}~ t / \hbar}</math>
| <math>A_{\rm I} (t)=e^{i H_{0, \mathrm{S}} ~t / \hbar} A_{\rm S} e^{-i H_{0, \mathrm{S}}~ t / \hbar} </math>
|-----
| style="background-color:#D0FFDD;" | [[Matriz densidade|Matriz de densidade]]
| <math>\rho_{\rm S} (t)=  e^{-i H_{ \rm S} ~t / \hbar} \rho_{\rm S}(0) e^{i H_{\rm  S}~ t / \hbar} </math>
| constante
| <math>\rho_{\rm I} (t)=e^{i H_{0, \mathrm{S}} ~t / \hbar}  \rho_{\rm S} (t) e^{-i H_{0, \mathrm{S}}~ t / \hbar}</math>
|-----
|}
===Representações===
A forma original da equação de Schrödinger depende da escolha de uma representação particular das <!--[[:en:Canonical commutation relation]]-->relações de comutação canônicas de Heisenberg. O <!--[[:en:Stone–von Neumann theorem]]-->teorema de Stone e von Neumann determina que todas as representações irredutíveis das relações de comutação de Heisenberg de dimensão finita são unitariamente equivalentes. Uma compreensão sistemática de suas consequências levou à <!--[[:en:Phase-space formulation]]-->formulação do [[Espaço fásico|espaço de fase]] da mecânica quântica, que funciona no espaço de fase completo em vez do [[espaço de Hilbert]], então com um ''link'' mais intuitivo para o <!--[[:en:Classical limit]]-->limite clássico dele. Esta representação também simplifica as considerações de [[Quantização (física)|quantização]], a extensão da deformação da mecânica clássica para a quântica.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

O [[oscilador harmônico quântico]] é um sistema exatamente solucionável onde as diferentes representações são facilmente comparadas. Lá, além das representações de Heisenberg, ou Schrödinger (posição ou momento), ou espaço de fase, também se encontra a representação de Fock (número) e a <!--[[:en:Oscillator representation]]-->representação de Segal e Bargmann (espaço de Fock ou estado coerente) (nomeada em homenagem a [[Irving Segal]] e [[Valentine Bargmann]]). Todas as quatro são unitariamente equivalentes.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

===Tempo como um operador===
A estrutura apresentada até agora destaca o tempo como o parâmetro do qual tudo depende. É possível formular a mecânica de tal forma que o tempo se torne ele próprio um observável associado a um operador autoadjunto. No nível clássico, é possível parametrizar arbitrariamente as trajetórias de partículas em termos de um parâmetro não físico {{Math|''s''}}, e nesse caso o tempo ''t'' se torna uma coordenada generalizada adicional do sistema físico. No nível quântico, as traduções em {{Math|''s''}} seriam geradas por um "Hamiltoniano" {{Math|''H'' − ''E''}}, onde ''E'' é o operador de energia e {{Math|''H''}} é o Hamiltoniano "comum". No entanto, como ''s'' é um parâmetro que não é físico, os estados ''físicos'' devem ser deixados invariantes pela "''s''-evolução", e assim o espaço de estados físicos é o núcleo de {{Math|''H'' − ''E''}} (isso requer o uso de um <!--[[:en:Rigged Hilbert space]]-->espaço de Hilbert manipulado e uma renormalização da norma).{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

Isso está relacionado à <!--[[:en:Dirac bracket]]-->quantização de sistemas restritos e à quantização de [[Teoria de gauge|teorias de ''gauge'']]. Também é possível formular uma teoria quântica de “eventos” onde o tempo se torna um observável.{{Sfn|Edwards|1979}}

==Problema de medição==
{{Artigo principal|Medição em mecânica quântica{{!}}Medição na mecânica quântica}}
A representação dada nos parágrafos anteriores é suficiente para a descrição de um sistema completamente isolado. No entanto, ela falha em explicar uma das principais diferenças entre a mecânica quântica e a mecânica clássica, isto é, os efeitos da [[medição]].{{Sfn|Greenstein|Zajonc|2006|p=215}} A descrição de von Neumann da medição quântica de um observável {{Math|''A''}}, quando o sistema é preparado em um estado puro {{Math|''ψ''}} é a seguinte (note, no entanto, que a descrição de von Neumann remonta à década de 1930 e é baseada em experimentos realizados durante esse tempo – mais especificamente o <!--[[:en:Compton scattering]]-->experimento de Compton e Simon; não é aplicável à maioria das medições atuais dentro do domínio quântico):{{Carece de fontes|data=março de 2025}}
* Seja {{Math|''A''}} com resolução espectral <math display="block"> A = \int \lambda \, d \operatorname{E}_A(\lambda)</math> onde {{Math|E<sub>''A''</sub>}} é a <!--[[:en:Borel functional calculus#Resolution of the identity]]-->resolução da identidade (também chamada de [[Medida espectral|medida do valor de projeção]]) associada a {{Math|''A''}}. Então a probabilidade do resultado da medição estar em um intervalo {{Math|''B''}} de {{Math|'''R'''}} é {{Math|{{!}}E<sub>''A''</sub>(''B'') ''ψ''{{!}}<sup>2</sup>}}. Em outras palavras, a probabilidade é obtida integrando a função característica de {{Math|''B''}} contra a medida aditiva contável {{Carece de fontes|data=março de 2025}}<math display="block"> \langle \psi \mid \operatorname{E}_A \psi \rangle</math>
* Se o valor medido estiver contido em {{Math|''B''}}, então imediatamente após a medição, o sistema estará no estado (geralmente não normalizado) {{Math|E<sub>''A''</sub>(''B'')''ψ''}}. Se o valor medido não estiver em {{Math|''B''}}, substitua {{Math|''B''}} pelo seu complemento para o estado acima.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

Por exemplo, suponha que o espaço de estados seja o espaço de Hilbert complexo {{Math|''n''}}-dimensional {{math|'''C'''<sup>''n''</sup>}} e {{Math|''A''}} seja uma matriz hermitiana com autovalores {{Math|''λ''<sub>''i''</sub>}}, com autovetores correspondentes {{Math|''ψ<sub>i</sub>''}}. A medida de valor de projeção associada a {{Math|''A''}}, {{Math|E<sub>''A''</sub>}}, é então {{Carece de fontes|data=março de 2025}}<math display="block"> \operatorname{E}_A (B) = | \psi_i\rangle \langle \psi_i|</math> onde {{Math|''B''}} é um conjunto de Borel contendo apenas o único autovalor {{Math|''λ<sub>i</sub>''}}. Se o sistema for preparado no estado {{Carece de fontes|data=março de 2025}}<math display="block">| \psi \rangle</math>
Então a probabilidade de uma medição retornar o valor {{Math|''λ<sub>i</sub>''}} pode ser calculada integrando a medida espectral {{Carece de fontes|data=março de 2025}}<math display="block"> \langle \psi \mid \operatorname{E}_A \psi \rangle </math> sobre {{Math|''B<sub>i</sub>''}}. Isso dá trivialmente <math display="block"> \langle \psi| \psi_i\rangle \langle \psi_i \mid \psi \rangle = | \langle \psi \mid \psi_i\rangle | ^2</math>

A propriedade característica do esquema de medição de von Neumann é que repetir a mesma medição dará os mesmos resultados. Isso também é chamado de ''postulado de projeção''.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

Uma formulação mais geral substitui a medida de valor de projeção por uma medida de valor de operador positivo (''POVM''). Para ilustrar, tome novamente o caso de dimensão finita. Aqui, substituiríamos as projeções de classificação 1 {{Carece de fontes|data=março de 2025}}<math display="block"> | \psi_i\rangle \langle \psi_i| </math> por um conjunto finito de operadores positivos <math display="block"> F_i F_i^* </math> cuja soma ainda é o operador de identidade como antes (a resolução da identidade). Assim como um conjunto de resultados possíveis {{Math|{''λ''<sub>1</sub> ... ''λ<sub>n</sub>''} }} é associado a uma medida de valor de projeção, o mesmo pode ser dito para uma medida de valor de operador positivo (''POVM''). Suponha que o resultado da medição seja {{Math|''λ<sub>i</sub>''}}. Em vez de entrar em colapso para o estado (que não é normalizado) {{Carece de fontes|data=março de 2025}}<math display="block"> | \psi_i\rangle \langle \psi_i |\psi\rangle </math> após a medição, o sistema agora estará no estado {{Carece de fontes|data=março de 2025}}<math display="block"> F_i |\psi\rangle</math>

Como os operadores {{Math|''F<sub>i</sub> F<sub>i</sub>*''}} não precisam ser projeções mutuamente ortogonais, o postulado de projeção de von Neumann não é mais válido.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

A mesma formulação se aplica a <!--[[:en:Mixed state (physics)]]-->[[Estado quântico|estados mistos]] gerais.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

Na abordagem de von Neumann, a transformação de estado devido à medição é distinta daquela devido à evolução temporal de várias maneiras. Por exemplo, a evolução temporal é determinística e unitária, enquanto a medição não é determinística e não é unitária. No entanto, como ambos os tipos de transformação de estado levam um estado quântico a outro, essa diferença foi vista por muitos como insatisfatória. O formalismo da medida de valor de operador positivo (''POVM'') vê a medição como uma entre muitas outras [[Operação quântica|operações quânticas]], que são descritas por [[Mapa completamente positivo|mapas completamente positivos]] que não aumentam o traço.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

Em qualquer caso, parece que os problemas acima mencionados só podem ser resolvidos se a evolução temporal incluir não apenas o sistema quântico, mas também, e essencialmente, o aparato de medição clássico (veja acima).{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

==Lista de ferramentas matemáticas==
Parte do folclore do assunto diz respeito ao livro didático de [[física matemática]] [[Methoden der mathematischen Physik|''Métodos de Física Matemática'']], elaborado por [[Richard Courant]] dos cursos da [[Universidade de Göttingen]] de [[David Hilbert]]. A história é contada (por matemáticos) que os físicos haviam descartado o material como não interessante nas áreas de pesquisa atuais, até o advento da equação de Schrödinger. Naquele ponto, percebeu-se que a matemática da nova mecânica quântica já estava definida nele. Também é dito que Heisenberg havia consultado Hilbert sobre sua mecânica matricial, e Hilbert observou que sua própria experiência com matrizes de dimensão infinita havia derivado de equações diferenciais, conselho que Heisenberg ignorou, perdendo a oportunidade de unificar a teoria como Weyl e Dirac fizeram alguns anos depois. Qualquer que seja a base das anedotas, a matemática da teoria era convencional na época, enquanto a física era radicalmente nova.{{Carece de fontes|data=março de 2025}}

As principais ferramentas incluem:
* [[álgebra linear]]: [[Número complexo|números complexos]], [[Autovalores e autovetores|autovetores]], [[Autovalores e autovetores|autovalores]]
* [[análise funcional]]: [[Espaço de Hilbert|espaços de Hilbert]], [[Transformação linear|operadores lineares]], <!--[[:en:Spectral theory]]-->teoria espectral
* [[equações diferenciais]]: [[Equação diferencial parcial|equações diferenciais parciais]], [[separação de variáveis]], [[Equação diferencial ordinária|equações diferenciais ordinárias]], [[Teoria de Sturm-Liouville|teoria de Sturm e Liouville]], <!--[[:en:Eigenfunction]]-->autofunções
* [[análise harmônica]]: [[Transformada de Fourier|transformadas de Fourier]]

==Ver também==
* [[Simetria (mecânica quântica)|Simetria na mecânica quântica]]

{{referências}}

== Bibliografia ==
* {{citar livro |último1=Bäuerle |primeiro1=Gerard G. A. |último2=de Kerf |primeiro2=Eddy A. |título=Lie Algebras, Part 1: Finite and Infinite Dimensional Lie Algebras and Applications in Physics |series=''Studies in Mathematical Physics'' |publicado=''North Holland'' |publication-place=''Amsterdam'' |data=1990 |isbn=0-444-88776-8|ref=harv}}
* {{citar livro |último1=Byron |primeiro1=Frederick W. |último2=Fuller |primeiro2=Robert W. |título=Mathematics of Classical and Quantum Physics |publicado=''Courier Corporation'' |publication-place=''New York'' |ano=1992 |isbn=978-0-486-67164-2 |ref=harv}}
* {{citar periódico |último1=Carcassi |primeiro1=Gabriele |último2=Maccone |primeiro2=Lorenzo |último3=Aidala |primeiro3=Christine A. |título=''Four Postulates of Quantum Mechanics Are Three'' |publicação=Physical Review Letters |publicado=''American Physical Society (APS)'' |volume=126 |número=11 |data=2021-03-16 |página=110402 |issn=0031-9007 |doi=10.1103/physrevlett.126.110402| pmid=33798366 |arxiv=2003.11007 |bibcode=2021PhRvL.126k0402C |s2cid=214623241 |ref=harv}}
* {{citar livro |último1=Cohen-Tannoudji |primeiro1=Claude |último2=Diu |primeiro2=Bernard |último3=Laloë |primeiro3=Franck |título=Quantum mechanics. Volume 2: Angular momentum, spin, and approximation methods |publicado=''Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA'' |publication-place=''Weinheim'' |data=2020 |isbn=978-3-527-82272-0|ref=harv}}
* {{citar periódico |último1=Dirac |primeiro1=P. A. M. |título=''The Fundamental Equations of Quantum Mechanics'' |doi=10.1098/rspa.1925.0150 |publicação=Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences |volume=109 |número=752 |páginas=642–653 |ano=1925 |bibcode=1925RSPSA.109..642D |doi-access=free |ref=harv}}
* {{citar periódico |último=Edwards |primeiro=David A. |título=''The mathematical foundations of quantum mechanics'' |publicação=Synthese |publicado=''Springer Science and Business Media LLC'' |volume=42 |número=1 |ano=1979 |issn=0039-7857 |doi=10.1007/bf00413704 |páginas=1–70 |s2cid=46969028 |ref=harv}}
* {{citar livro |último1=Greenstein |primeiro1=George |último2=Zajonc |primeiro2=Arthur |título=The Quantum Challenge |publicado=''Jones & Bartlett Learning'' |publication-place=''Sudbury, Mass.'' |data=2006 |isbn=978-0-7637-2470-2 |língua=en|ref=harv}}
* {{citar livro |último1=Jauch |primeiro1=J. M. |último2=Wigner |primeiro2=E. P. |último3=Yanase |primeiro3=M. M. |título=Part I: Particles and Fields. Part II: Foundations of Quantum Mechanics |capítulo=''Some Comments Concerning Measurements in Quantum Mechanics'' |publicado=''Springer Berlin Heidelberg'' |publication-place=''Berlin, Heidelberg'' |ano=1997 |páginas=475–482 |isbn=978-3-642-08179-8 |doi=10.1007/978-3-662-09203-3_52 |capítulourl=https://archive-ouverte.unige.ch/unige:162146 |língua=en|ref=harv}}
* {{citar periódico |último1=Masanes |primeiro1=Lluís |último2=Galley |primeiro2=Thomas D. |último3=Müller |primeiro3=Markus P. |título=''The measurement postulates of quantum mechanics are operationally redundant'' |publicação=Nature Communications |publicado=''Springer Science and Business Media LLC'' |volume=10 |número=1 |data=2019 |página=1361 |issn=2041-1723 |doi=10.1038/s41467-019-09348-x| pmid=30911009 |pmc=6434053 |arxiv=1811.11060 |bibcode=2019NatCo..10.1361M |doi-access=free |língua=en|ref=harv}}
* {{citar periódico |último1=Solem |primeiro1=J. C. |último2=Biedenharn |primeiro2=L. C. |data=1993 |título=''Understanding geometrical phases in quantum mechanics: An elementary example'' |publicação=Foundations of Physics |volume=23 |número=2 |páginas=185–195 |doi=10.1007/BF01883623|bibcode=1993FoPh...23..185S |s2cid=121930907 |língua=en|ref=harv}}
* {{citar livro |último1=Sakurai |primeiro1=Jun John |último2=Napolitano |primeiro2=Jim |título=Modern quantum mechanics |publicado=''Cambridge University Press'' |isbn=978-1-108-47322-4 |edição=''3rd'' |local=''Cambridge'' |ano=2021 |língua=en|ref=harv}}

==Leitura adicional==
* {{citar livro |último1=Streater |primeiro1=Raymond Frederick |último2=Wightman |primeiro2=Arthur Strong |título=PCT, Spin and Statistics, and All that |publicado=''Princeton University Press'' |publication-place=''Princeton, NJ'' |data=2000 |isbn=978-0-691-07062-9 |língua=en|ref=harv}}
* {{citar livro |último=Auyang |primeiro=Sunny Y. |título=How is Quantum Field Theory Possible? |publicado=''Oxford University Press on Demand'' |publication-place=''New York, NY'' |data=1995 |isbn=978-0-19-509344-5 |língua=en}}
* {{citar livro |último=Emch |primeiro=Gérard G. |título=Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory |publicado=''John Wiley & Sons'' |publication-place=''New York'' |data=1972 |isbn=0-471-23900-3 |língua=en}}
* {{citar livro |último1=Giachetta |primeiro1=Giovanni |último2=Mangiarotti |primeiro2=Luigi |último3=Sardanashvily |primeiro3=Gennadi |título=Geometric and Algebraic Topological Methods in Quantum Mechanics |publicado=''WORLD SCIENTIFIC'' |ano=2005 |isbn=978-981-256-129-9 |doi=10.1142/5731|arxiv=math-ph/0410040 |língua=en}}
* {{citar periódico |último=Gleason |primeiro=Andrew M. |título=''Measures on the Closed Subspaces of a Hilbert Space'' |publicação=Journal of Mathematics and Mechanics |publicado=''Indiana University Mathematics Department'' |volume=6 |número=6 |ano=1957 |jstor=24900629 |páginas=885–893 |url=http://www.jstor.org/stable/24900629 |língua=en}}
* {{citar livro |último=Hall |primeiro=Brian C. |título=Quantum Theory for Mathematicians |series=''Graduate Texts in Mathematics'' |publicado=''Springer New York'' |publication-place=''New York, NY'' |ano=2013 |volume=267 |isbn=978-1-4614-7115-8 |issn=0072-5285 |doi=10.1007/978-1-4614-7116-5|bibcode=2013qtm..book.....H |s2cid=117837329 |língua=en}}
* {{citar livro |último=Jauch |primeiro=Josef Maria |título=Foundations of Quantum Mechanics |publicado=''Addison-Wesley'' |publication-place=''Reading, Mass.'' |data=1968 |isbn=0-201-03298-8 |língua=en}}
* {{citar livro |último=Jost |primeiro=R. |título=The General Theory of Quantized Fields |publicado=''American Mathematical Society'' |series=''Lectures in applied mathematics'' |ano=1965 |língua=en}}
* {{citar livro |último=Kuhn |primeiro=Thomas S. |título=Black-Body Theory and the Quantum Discontinuity, 1894-1912 |publicado=''University of Chicago Press'' |publication-place=''Chicago'' |data=1987 |isbn=978-0-226-45800-7 |língua=en}}
* {{citar livro |último=Landsman |primeiro=Klaas |título=Foundations of Quantum Theory |series=''Fundamental Theories of Physics'' |publicado=''Springer International Publishing'' |publication-place=Cham |ano=2017 |volume=188 |isbn=978-3-319-51776-6 |issn=0168-1222 |doi=10.1007/978-3-319-51777-3 |língua=en}}
* {{citar livro |último=Mackey |primeiro=George W. |título=Mathematical Foundations of Quantum Mechanics |publicado=''Courier Corporation'' |publication-place=''Mineola, N.Y'' |ano=2004 |isbn=978-0-486-43517-6 |língua=en}}
* {{citar livro |último=McMahon |primeiro=David |título=Quantum Mechanics Demystified, 2nd Edition |publicado=''McGraw-Hill Prof Med/Tech'' |publication-place=''New York, NY'' |data=2013 |url=https://theswissbay.ch/pdf/Gentoomen%20Library/Misc/Demystified%20Series/McGraw-Hill%20-%20Quantum%20Mechanics%20Demystified%20%282006%29.pdf |isbn=978-0-07-176563-3 |língua=en}}
* {{citar livro |último=Moretti |primeiro=Valter |título=Spectral Theory and Quantum Mechanics |series=''Unitext'' |publicado=''Springer International Publishing'' |publication-place=''Cham'' |ano=2017 |volume=110 |isbn=978-3-319-70705-1 |issn=2038-5714 |doi=10.1007/978-3-319-70706-8|s2cid=125121522 |língua=en}}
* {{citar livro |último=Moretti |primeiro=Valter |título=Fundamental Mathematical Structures of Quantum Theory |publicado=''Springer International Publishing'' |publication-place=''Cham'' |ano=2019 |isbn=978-3-030-18345-5 |doi=10.1007/978-3-030-18346-2|s2cid=197485828 |língua=en}}
* {{citar livro |último=Prugovecki |primeiro=Eduard |título=Quantum Mechanics in Hilbert Space |publicado=''Courier Dover Publications'' |publication-place=''Mineola, NY'' |data=2006 |isbn=978-0-486-45327-9 |língua=en}}
* {{citar livro |último1=Reed |primeiro1=Michael |último2=Simon |primeiro2=Barry |título=Methods of Modern Mathematical Physics |publicado=''Academic Press'' |publication-place=''New York'' |data=1972 |isbn=978-0-12-585001-8 |língua=en}}
* {{citar livro |último=Shankar |primeiro=R. |título=Principles of Quantum Mechanics |publicado=''Springer'' |data=2013 |url=https://www.fisica.net/mecanica-quantica/Shankar%20-%20Principles%20of%20quantum%20mechanics.pdf |isbn=978-1-4615-7675-4 |língua=en}}
* {{citar livro |último=Teschl |primeiro=Gerald |título=Mathematical Methods in Quantum Mechanics |publicado=''American Mathematical Soc.'' |publication-place=''Providence, R.I'' |url= https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/schroe.pdf |data=2009 |isbn=978-0-8218-4660-5 |língua=en}}
* {{citar livro |último= von Neumann |primeiro=John |título=Mathematical Foundations of Quantum Mechanics |publicado=''Princeton University Press'' |publication-place=''Princeton Oxford'' |ano=2018 |isbn=978-0-691-17856-1 |língua=en}}
* {{citar livro |último=Weaver |primeiro=Nik |título=Mathematical Quantization |publicado=''Chapman and Hall/CRC'' |data=2001 |isbn=978-0-429-07514-8 |doi=10.1201/9781420036237 |língua=en}}
* {{citar livro |último=Weyl |primeiro=Hermann |título=The Theory of Groups and Quantum Mechanics |publicado=''Courier Corporation'' |publication-place=''Mineola, NY'' |ano=1950 |isbn=978-0-486-60269-1 |língua=en}}
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