Mostrar código-fonte de Fração

{{revisão-sobre|ciência=sim|Matemática|data=Abril de 2012}}
{{PU-AO45|Fração|fracção}} é um modo de expressar uma [[quantidade]] a partir de uma [[Razão (matemática)|razão]] de dois [[número]]s [[número inteiro|inteiros]]. A palavra fração vem do [[latim]] ''{{lang|la|fractus}}'' e significa "partido", ''dividido'' ou ''quebrado'' (do verbo ''{{lang|la|frangere}}'': "quebrar").

[[Imagem:Frações.png|thumb|300px|[[Representação gráfica]] de fração. Observa-se facilmente a equivalência entre 2/4 e 1/2.]]

== Surgimento e sua Precisão ==
No antigo [[Egito]] por volta do ano [[3000 a.C.]], o [[faraó]] [[Sesóstris]] distribuiu algumas terras às margens do [[Rio Nilo]] para alguns [[agricultor]]es privilegiados. O privilégio em possuir essas [[terra]]s era porque todo ano, no mês de julho, as águas do rio inundavam essa região ao longo de suas margens e fertilizavam os campos. Essas terras, portanto, eram bastante valorizadas.

Porém, era necessário remarcar os [[terreno]]s de cada agricultor em setembro, quando as águas baixavam. Os responsáveis por essa marcação eram os [[agrimensor]]es, que também eram chamados de estiradores de corda, pois [[medição|mediam]] os terrenos com cordas nas quais uma [[unidade de medida]] estava marcada.
[[Ficheiro:Frações antigas.gif|esquerda|miniaturadaimagem|200x200px]]
Essas cordas eram esticadas e se verificava quantas vezes a tal unidade de medida cabia no terreno, mas nem sempre essa medida cabia inteira nos lados do terreno. Esse problema só foi resolvido quando os [[egípcio]]s criaram um novo número: o número fracionário. Ele era representado com o uso de frações, porém os egípcios só entendiam a fração como uma unidade (ou seja, frações cujo [[numerador]] é igual a 1).

Eles escreviam essas frações com uma espécie de sinal oval escrito em cima do [[denominador]]. Mas os cálculos eram complicados, pois no [[sistema de numeração]] que usavam no [[antigo Egito]] os símbolos se repetiam muitas vezes.<ref>Luiz, Wilson (2003). A História da Matemática <http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hm/page03.htm {{Wayback|url=http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hm/page03.htm |date=20110824174743 }}>. Visitado em 2 de abril de 2012</ref>

Só ficou mais fácil trabalhar com as frações quando os [[hindu]]s criaram o [[Sistema de numeração decimal]], quando elas passaram a ser representadas pela [[razão]] de dois [[Número natural|números naturais]].

Desde então, as frações foram usadas para a resolução de diversos tipos de [[Problema matemático|problemas matemáticos]]. Uma das formas mais correntes de se trabalhar com frações é a [[porcentagem]], em que se expressa uma [[proporção]] ou uma relação a partir de uma fração cujo denominador é 100. O uso de frações também é de valia extrema para a resolução de problemas que envolvem [[regra de três]].

== Definições ==
De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como <math>\frac{a}{b},</math> designa o inteiro [[divisão|dividido]] em <math>{b}</math> partes iguais ao qual usa-se o número <math>{a}</math> de partes.<ref name="vianna.3.98">[[João José Luiz Vianna]], ''Elementos de Arithmetica'' Capítulo III, ''Theoria das fracções ordinárias'', 98 [[s:Elementos de Arithmetica/Capítulo 3|[Wikisource]]]</ref> Neste caso, <math>{a}</math> corresponde ao [[numerador]], enquanto <math>{b}</math> corresponde ao [[denominador]].<ref name="vianna.3.98" /><ref>[http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/debate-animado-fracoes-428538.shtml NOVA ESCOLA - REPORTAGEM - Frações são números? Um debate animado]</ref>

O denominador corresponde ao número de partes que um todo será dividido e o numerador corresponde ao número de partes que serão consideradas.

Ex.: Uma professora tem que dividir três folhas de papel de seda entre quatro alunos, como ela pode fazer isso?

Cada aluno ficara com 3:4 = <math>\tfrac{3}{4}</math> (lê-se três quartos) da folha. Ou seja, você vai dividir cada folha em 4 partes e distribuir 3 para cada aluno.

Por exemplo, a fração <math>\tfrac{56}{8}</math> (lê-se cinquenta e seis oitavos) designa o quociente de 56 por 8. Ela é igual a 7, pois 7 × 8 = 56. A [[divisão]] é a operação inversa da [[multiplicação]].

Os números expressos em frações são chamados de [[número racional|números racionais]], cujo [[conjunto]] é representado por <math>\mathbb Q.</math> Assim, o conjunto dos números racionais podem ser escritos na forma <math>\tfrac {a}{b},</math> sendo <math>a,b \in \mathbb{Z}</math> e <math>b \neq 0,</math> o que resulta em:
<math>\mathbb{Q}=\left\{\begin{matrix}\frac{a}{b}\end{matrix}\,|\,a\in\mathbb{Z}\,;\,b\in\mathbb{Z^{*}}\right\}.</math><ref>Conjuntos Numéricos <http://www.fund198.ufba.br/apos_cnf/conjunu.pdf>. Visitado em 4 de abril de 2012</ref><ref>Conjuntos Numéricos <http://www.mundovestibular.com.br/articles/5951/1/Conjuntos-Numericos/Paacutegina1.html>. Visitado em 4 de abril de 2012</ref>

Outro modo de enxergar frações é imaginar uma linha reta entre os números 0 e 1. As frações serão pontos nessa reta. Por exemplo, a fração <math>\tfrac{1}{2}</math> é representada por um ponto exatamente na metade dessa reta.

É possível efetuar operações básicas com as frações: [[adição]], [[subtração]], multiplicação, divisão, potenciação, radiciação.

== Nomenclatura (leitura) de frações ==
[[Imagem:Nomenclatura de denominadores.png|thumb|400px|Regras para leitura dos denominadores.]]
A leitura de uma fração depende do seu denominador, podendo ser dividida em dois grupos. 

O primeiro grupo compreende os denominadores iguais a <math>1</math>, <math>2</math>, <math>3</math>, <math>4</math>, <math>5</math>, <math>6</math>, <math>7</math>, <math>8</math>, <math>9</math>, <math>10</math>, <math>100</math> e <math>1000</math>.

<math>*</math> Lê-se primeiro o numerador seguido de seu denominador.

<math>\frac{3}{2}\Rightarrow</math> três metades; <math>\qquad\qquad\qquad\frac{2}{6}\Rightarrow</math> dois sextos; <math>\qquad\qquad\qquad\frac{1}{10}\Rightarrow</math> um décimo;

<math>\frac{1}{3}\Rightarrow</math> um terço;<math>\qquad\qquad\qquad\quad\frac{4}{7}\Rightarrow</math> quatro sétimos;   <math>\qquad\qquad\frac{8}{100}\Rightarrow</math> oito centésimos;

<math>\frac{5}{4}\Rightarrow</math> cinco quartos; <math>\qquad\qquad\quad\frac{6}{8}\Rightarrow</math> seis oitavos;<math>\qquad\qquad\qquad\frac{2}{1000}\Rightarrow</math> dois milésimos;

<math>\frac{7}{5}\Rightarrow</math>sete Quintos;<math>\qquad\qquad\qquad\frac{3}{9}\Rightarrow</math> três nonos;<math>\qquad\qquad\qquad\frac{1}{1}\Rightarrow</math> um inteiro

O segundo grupo compreende os denominadores que não pertencem ao primeiro, e acrescentamos a palavra '''AVOS'''

<math>\frac{7}{15}\Rightarrow</math> sete quinze avos;

<math>\frac{13}{57}\Rightarrow</math> treze cinquenta e sete avos;

<math>\frac{45}{182}\Rightarrow</math> quarenta e cinco cento e oitenta e dois avos;

<math>\frac{7}{21}\Rightarrow</math> sete vinte e um avos.

<math>\frac{11}{0}\Rightarrow</math> onze zero avos.

== Tipos de Frações<ref>{{citar livro|titulo=Novo Praticando Matemática|ultimo=Andrini|primeiro=Álvaro|editora=do |ano=2002|isbn=8510031460|local=São Paulo|paginas=|acessodata=}}</ref> ==

=== Frações Equivalentes ===
<ref>{{citar livro|titulo=A conquista da Matemática|ultimo=Giovanni|primeiro=José Ruy|ultimo2=Castrucci|primeiro2=Benedicto|ultimo3=Giovanni Júnior|editora=FTD S.A.|ano=2012|isbn=9788532283245|local=São Paulo|paginas=|acessodata=}}</ref>Duas ou mais frações que representam a mesma porção da unidade. É obtida quando multiplicamos ou dividimos o numerador e denominador de uma fração por um mesmo número, diferente de zero.

Exemplo: <math>\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{2}=\frac{2}{6}</math> e <math>\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{3}= \frac{3}{9}</math>

A partir da definição temos que <math>\tfrac{1}{3}</math>, <math>\tfrac{2}{6}</math> e <math>\tfrac{3}{9}</math> são [[Número racional|Equivalentes.]]

Podemos verificar se duas frações são equivalentes multiplicando os números de forma cruzada.

Exemplo: <math>\frac{3}{9}=\frac{6}{18}\Longrightarrow 3\cdot18=9\cdot6\Longrightarrow 54=54</math>

O conjunto de frações equivalentes a uma certa fração chama-se '''Classe de Equivalência'''.

=== Frações Irredutíveis e Simplificação de Frações ===
Para simplificar uma fração, devemos dividir sucessivamente o numerador e o denominador por um divisor comum, até obtermos a fração com os menores termos possíveis. Outra forma de simplificação é pelo [[Máximo divisor comum|MDC(Máximo Divisor Comum)]], onde efetuamos uma única divisão.

A fração, cujo numerador e denominador são primos entre si, é denominada ''fração irredutível'' ou ''forma simplificada'', pois não são possíveis novas simplificações.

'''Exemplo 1'''

Para simplificar a fração <math>\frac{14}{30},</math> basta observar que tanto o numerador quanto o denominador são divisíveis por dois. Neste caso,<ref name=":0">{{citar web|url=http://educacionalplenus.com.br/matematica-basica-exercicios-de-fracao-equivalente-e-simplificacao/|titulo=Exercícios de Fração Equivalente e Simplificação}}</ref>
<math display="block">\frac{14}{30} = \frac{14}{30} \times 1 = \frac{14}{30} \times \frac{1/2}{1/2} = \frac{14 / 2}{30 / 2} = \frac{7}{15}.</math>

A simplificação desta fração requer apenas a divisão, haja vista que <math>mdc(7,15)=1,</math> isto é, não podemos simplificar mais os números que não têm divisores em comum.

'''Exemplo 2'''

Considerando que o numerador e o denominador de <math>\frac{78}{12}</math> são divisíveis por 2 e por 3, obtém-se:<ref name=":0" />
<math display="block">\frac{78}{12} = \frac{78}{12} \times 1 = \frac{78}{12} \times \frac{1/2}{1/2} = \frac{78 / 2}{12 / 2} = \frac{39}{6} = \frac{39}{6} \times 1 = \frac{39}{6} \times \frac{1/3}{1/3} = \frac{39 / 3}{6 / 3} = \frac{13}{2}.</math>

Neste caso, a obtenção da forma irredutível concretizou-se após duas divisões.

'''Exemplo 3'''

Simplificando sucessivamente, tem-se:
<math display="block">\frac{18}{54} = \frac{18/2}{54/2} = \frac{9}{27} = \frac{9/3}{27/3} = \frac{3}{9} = \frac{3/3}{9/3} = \frac{1}{3}.</math>
Alternativamente, dividindo uma única vez pelo <math>mdc(18,54)=18:</math> 
<math display="block">\frac{18}{54} = \frac{18/18}{54/18} = \frac{1}{3}.</math>

Observe que <math>\frac{1}{3}</math> é uma fração irredutível equivalente a <math>\frac{18}{54}.</math>

=== Frações Próprias ===
É a fração, onde o numerador é menor que o denominador e ''que representa parte do inteiro, isto é, representa um valor maior que zero e menor que um.''

Exemplos: <math>\frac{1}{2}</math>, <math>\frac{1}{4}</math>, <math>\frac{2}{3}\cdots</math>

=== Frações Impróprias ===
''A fração que não é própria é denominada imprópria,o seu numerador é maior ou igual ao denominador.<sup>[[Fração#cite note-vianna.3.98-2|[2]]]</sup> e representam valores maiores que 1 ou o zero ou o inteiro.''

Exemplos: <math>\frac{7}{3}</math>, <math>\frac{2}{2}</math>, <math>\frac{5}{2} \cdots</math>

=== Frações Aparentes ===
É a fração onde o numerador é múltiplo do denominador, elas representam um número inteiro, mas em forma de fração. ''Frações aparentes'' são particularidades das frações impróprias.

Exemplos: <math>\frac{25}{5}</math>, <math>\frac{18}{3}</math>, <math>\frac{14}{7} \cdots</math>

=== Frações Mistas ===
É a fração constituída por uma parte inteira e uma fracionária.<sup>[[Fração#cite note-vianna.3.100-6|[6]]]</sup>  Pode-se encontrar uma fração imprópria a partir do número misto.

Exemplos: <math>4\frac{2}{3}</math> que é equivalente a fração imprópria <math>\frac{14}{3}</math>

<math>\qquad \qquad 3\frac{2}{8}</math> que é equivalente a fração imprópria <math>\frac{26}{8}</math>.

==== Conversão de Frações Mistas e Impróprias<ref>{{citar web|url=http://educacao.umcomo.com.br/artigo/como-converter-fracoes-improprias-em-mistas-20868.html|titulo=Como converter frações impróprias em mistas|data=|acessodata=26/10/2016|obra=|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref> ====
Para escrever uma fração de forma Imprópria em uma fração de forma Mista, inicialmente devemos dividir o numerador pelo seu denominador. Tomamos como exemplo a fração <math>\frac{9}{4}</math>:
[[Ficheiro:Img 20868 ins 94741 600.jpg|miniaturadaimagem|200x200px|centro]]
Com isso o quociente da divisão é a parte inteira da fração mista, o resto será seu numerador e o [[divisor]] será seu denominador. 

Então temos:

<math>2\frac{1}{4}</math> equivale a fração imprópria <math>\frac{9}{4}</math>.

Outro de modo:

<math>\frac{9}{4}=\underbrace{ \frac{4}{4}+\frac{4}{4} }_{2}+\underbrace{\frac{1}{4}}_{\frac{1}{4}}\Rightarrow 2\frac{1}{4}</math>

Para transformar uma fração mista em uma fração imprópria, devemos fazer a soma da parte inteira com a parte fracionária da fração mista.

<math>2\frac{1}{4}= 2+\frac{1}{4}=\frac{8}{4}+\frac{1}{4}= \frac{8+1}{4} = \frac{9}{4}</math>.

=== Frações Compostas ===
São frações onde o numerador, o denominador ou ambos possuem frações, também são conhecidas por '''Frações Complexas.'''

Exemplo: <math>{\frac{2}{7}\over \frac{5}{9}}</math>, <math>{\frac{17}{11}+\frac{3}{14}\over \frac{6}{11}\cdot\frac{1}{3}}</math>, <math>{\frac{2}{3}\over 5}</math>, <math>{11 \over \frac{7}{16}+\frac{1}{2}} \cdots</math>

=== Frações Unitárias ===
É a fração onde o numerador é igual a <math>1</math> e o denominador é um inteiro positivo. Exemplo:<math>\frac{1}{5}</math>

A soma das frações unitárias, distintas entre si é chamada de '''Fração Egípcia,''' pois para os egípcios era mais prático e fácil de comparar as quantidades dessa forma. Exemplo: <math>\frac{1}{3} + \frac{1}{15} = \frac{2}{5}</math>.

Para explicar os métodos egípcios nas decomposições de uma fração em uma soma de frações unitárias, usaremos duas afirmações:

<math>i)</math> Toda fração da forma <math>\frac{1}{n}</math> pode ser decomposta como:

<math>\frac{1}{n+k} +</math><math> {\frac{1}{\frac{n(n+k)}{k}}}</math>   com  <math>k</math> , <math>n</math> <math>\in\mathbb{N}^*</math>  e <math>k</math> variando de <math>1</math> a <math>n</math>.

<math>\frac{1}{n+k} + \frac{1}{n(n+k)}\cdot\frac{k}{1} = \frac{1}{n+k}+\frac{k}{n(n+k)} = \frac{n}{n(n+k)}+\frac{k}{n(n+k)}=\frac{n+k}{n(n+k)}=\frac{1}{n}</math>

<math>ii)</math> Dada a fração <math>\frac{z}{w}</math> , podemos transformar o denominador <math>w</math> em um produto de <math>p</math> por <math>q</math>.

<math>\frac{z}{p\cdot q}= \frac{1}{p\cdot r}+\frac{1}{q\cdot r}</math>, onde <math>r=\frac{p+q}{z}</math> com  <math>p</math>, <math>q</math>, <math>r</math> e <math>z \in \mathbb{R}^*</math>

<math>\frac{z}{p\cdot q} = </math><math>{\frac{1}{\frac{p\cdot(p+q)}{z}}} + {\frac{1}{\frac{q\cdot(p+q)}{z}}} </math>

<math>\frac{z}{p\cdot q} = \frac{1}{1}\cdot\frac{z}{p\cdot(p+q)} + \frac{1}{1}\cdot\frac{z}{q\cdot(p+q)}</math>

<math>\frac{z}{p\cdot q}=\frac{z}{p\cdot(p+q)}+\frac{z}{q\cdot(p+q)}</math>

<math>\frac{z}{p\cdot q}=\frac{z\cdot q +z\cdot p}{p\cdot q\cdot(p+q)}</math>

<math>\frac{z}{p\cdot q}=\frac{z\cdot(p+q)}{p\cdot q\cdot(p+q)}</math>

<math>\frac{z}{p\cdot q}=\frac{z}{p\cdot q}</math>

=== Fração Contínua ===
Também conhecida como '''[[Fração contínua|Fração Continuada]]'''[[Fração contínua|,]] é uma forma de representar números reais. A fração contínua de um número racional pode ser representada por uma sequência finita de inteiros, já a de um [[número irracional]] é representada por uma sequência infinita de inteiros.

Para obter uma fração continua, podemos aplicar o [[algoritmo]] da divisão de Euclides sucessivamente em uma divisão de inteiros. Usando um racional irredutível, temos que: <math>\frac{t}{s}</math> tal que <math>t=a_1\cdot s+r_1</math>, com <math>0< r_1<s</math>

Logo, <math>\frac{t}{s}=\frac{a_1\cdot s}{s}+ \frac{r_1}{s}= a_1 + \frac{1}{\frac{s}{r_1}} </math> ,

Para <math>s</math> e <math>r_1</math>, obtemos <math>a_2</math> e <math>r_2</math> tal que, <math>s=a_2\cdot r_1+r_2</math>, com <math>0< r_2<r_1</math>

Logo, <math>\frac{t}{s}=a_1+\frac{1}{a_2+\frac{r_1}{r_2}}</math>

E assim sucessivamente, <math>\frac{t}{s}= a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3 +\frac{1}{\cdots a_{n-1}+\frac{1}{a_n}}}}</math>, com <math>n \in \mathbb{N^*}</math>

Como o algoritmo da divisão de Euclides é um processo finito, escrevemos essa fração contínua que representa o racional <math>\frac{t}{s}</math> dessa maneira:

<math>\frac{t}{s}= [a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n]</math>.

=== Fração Decimal ===
Toda fração cujo denominador é uma potência positiva de 10 é chamada de fração decimal. Essas frações podem ser representadas por um número decimal.

Exemplos: <math>\frac{2}{10}=0,2</math>, <math>\frac{-11}{100}=</math> <math>\frac{-11}{10^2}=-0,11</math>, <math>\frac{7}{1000}=</math> <math>\frac{7}{10^3}=0,007\cdots</math>

'''Teorema:''' A parte fracionária de cada fração decimal(positiva) pode ser decomposta como uma soma de frações decimais especiais, e cada uma delas tem como numerador um dos dígitos que expressa o denominador da fração original.

<math>\frac{584}{1000}=\frac{5}{10}+\frac{8}{100}+\frac{4}{1000}=0,584</math>

Podemos verificar que todo número racional determinado por uma fração decimal terá quantidade finita de dígitos na parte fracionária, ou seja tem expansão finita.

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \{^+_- a_n a_{n1} \cdots a_1 a_0,b_1 b_2\cdots b_n\}</math>.

=== Fração Ordinária ===
É toda fração da forma <math>\frac{a}{b}</math>, onde <math>a</math> é um inteiro qualquer e <math>b</math> um inteiro estritamente positivo.

Exemplo: <math>\frac{-2}{3}</math>, <math>\frac{1}{4}\cdots</math>

'''Teorema:''' Quando o denominador de uma fração ordinária tiver uma fatoração em primos,

contendo apenas os fatores <math>2</math> e/ou <math>5</math>, esta fração será equivalente a uma fração decimal.

Demonstração: Sendo a fração <math>\frac{a}{b}</math>, <math>\quad a</math>, <math>b \in \mathbb{Z}</math> e <math>b\neq0</math>.

Pela Hipótese <math>b=2^{m}\cdot 5^{n}</math> <math>\quad m</math>, <math>n \in \mathbb{Z}</math> <math>\quad m</math>, <math>n\geq0</math>.

<math>\Rightarrow m>n</math>

<math>\frac{a}{b}=\frac{a}{2^{m}\cdot 5^{n}} \cdot \frac{5^{m-n}}{5^{m-n}}= \frac{a\cdot 5^{m-n}}{2^{m}\cdot 5^{n+m-n}}=\frac{a\cdot 5^{m-n}}{(2\cdot5)^{m}}=\frac{a\cdot 5^{m-n}}{10^m}</math>

Para   <math>m<n</math> a demonstração   é de forma análoga.

'''Proposição:''' Todo numero racional <math>r</math>, tem uma decomposição na forma <math>r=r'+r''</math>, onde:

<math>r'\geq 0</math> e é um número inteiro (parte inteira de <math>r</math>)

<math>r''</math> é um racional, sendo <math>0\leq r''\leq 1</math> (parte fracionária de <math>r</math>)

Com isso temos <math>dec(r)=dec(r')+dec(r'')</math>, onde <math>dec=</math> decimal

<math>\Rightarrow\frac{8}{5}=\underbrace{ 1,6=1+0,6 }_{r=r'+r''}</math>

Temos ainda:

<math>*</math> A parte inteira <math>r'</math> de <math>r</math> pode ser obtida como o quociente <math>q</math>, da divisão euclidiana de <math>a</math> por <math>b</math>, onde <math>a</math>, <math>b>0</math> e é uma representação em fração ordinária de <math>r</math>, ou seja <math>r=\frac{a}{b}</math> .

Pela divisão euclidiana <math>a=b\cdot q+s</math>, então <math>8=5\cdot 1+3</math>, onde <math>1=q=r'</math>

<math>*</math> A parte fracionária <math>r''</math> de <math>r</math> é <math>r-q</math>, ou seja

<math>\underbrace{ r-r'=r'' }_{1,6-1=0,6}</math> ou <math>r-q=r''</math>

Ou seja, <math>r''=\frac{b_1}{10}+\frac{b_2}{10^2}+\frac{b_3}{10^3}+\cdots +\frac{b_n}{10^n}</math>.

== Comparação entre frações<ref>{{citar web|url=http://brasilescola.uol.com.br/matematica/comparacao-fracao.htm|titulo=Comparação de frações|data=|acessodata=|obra=|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref><ref>{{citar web|url=http://www.matika.com.br/fracao/comparacao-de-fracoes-|titulo=Comparação de frações|data=|acessodata=|obra=|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref><ref>{{citar web|url=http://www.matematicadidatica.com.br/Comparacao-de-fracoes.aspx|titulo=Comparação de fração|data=|acessodata=|obra=|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref> ==
Comparar frações significa analisar qual representa a maior ou menor quantidade ou ainda, se elas são iguais(equivalentes).

Para comparar as frações temos duas situações:

<math>1^\circ)</math> '''As frações possuem denominadores iguais:'''

Para analisar as frações com mesmo denominador, basta verificar seu numerador.

Exemplo: Temos as seguinte frações <math>\frac{1}{3}</math> e <math>\frac{2}{3}</math>, como <math>2</math> é maior que <math>1</math>, então <math>\frac{2}{3}>\frac{1}{3}</math>.
[[Ficheiro:Comparação_de_fração.jpg|centro|miniaturadaimagem]]
<math>2^\circ)</math> '''As frações possuem denominadores diferentes:'''

Para compararmos frações com denominadores diferentes precisamos reduzi-las a um mesmo denominador. Podemos fazer de dois modos:

<math>a)</math> '''Pelo [[Mínimo múltiplo comum|MMC]]:'''

Dadas as seguintes frações: <math>\frac{2}{5}</math> e <math>\frac{2}{3}</math>. faremos o <math>mmc</math> entre os dois denominadores e ao obter o resultado transformaremos em novas frações equivalentes a primeira e com denominadores iguais.

Temos então:  <math>\begin{array}{c|} 3 & 5  \\ \hline 1&5\\ &1\\  \end{array}\begin{array}{lcl} 3 \\ 5 \end{array}</math>    <math>\quad3\cdot 5 =15</math>

Como <math>3</math> e <math>5</math> são [[Número primo|números primos]] o <math>mmc(3,5)=15</math>, este resultado será o denominador comum entre as frações.

Para obtermos o novo numerador, dividimos o número <math>15</math> pelo denominador da primeira fração, e o resultado multiplicamos com o numerador. Então:

Pegando a fração <math>\frac{2}{5}</math>,

<math>\begin{align} 15\div5 & = 3 \\ & \Rightarrow 3\cdot 2=6\\ \end{align}</math>

<math>\Longrightarrow\frac{6}{15}</math>

Fazemos o mesmo com a fração <math>\frac{2}{3}</math>,

<math>\begin{align} 15\div3 & = 5 \\ & \Rightarrow 5\cdot 2=10\\ \end{align}</math>

<math>\Longrightarrow\frac{10}{15}</math>

Uma vez igualados os denominadores, pode-se fazer a comparação entre as frações:

<math>\qquad\qquad\frac{2}{5}<\frac{2}{3}\qquad\qquad\qquad</math>
[[Ficheiro:Comparação_de_frações_4.png|nenhum|miniaturadaimagem]]
pois <math>\qquad\frac{6}{15} < \frac{10}{15}</math>.
[[Ficheiro:Comparação_de_fração_3.png|nenhum|miniaturadaimagem]]
<math>b)</math>'''Multiplicando Cruzado:'''

Neste caso multiplicamos o numerador da primeira fração com o denominador da segunda e o numerador da segunda fração pelo denominador da primeira.

<math>\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\Longrightarrow  a\cdot d \quad \text{e}\quad c \cdot b </math>

Com isso, temos:

<math>\Rrightarrow\frac{a}{b}>\frac{c}{d}</math> quando <math>a\cdot d > c \cdot b</math>  e

<math>\Rrightarrow\frac{c}{d}>\frac{a}{b}</math> quando <math>c\cdot b> a\cdot d</math>

Caso o resultado seja igual <math>a\cdot d = c \cdot b</math> significa que elas são equivalentes.

Exemplo: <math>\frac{4}{5} \text{ } \text{e} \text{ } \frac{1}{3}</math>

<math>\Rightarrow\frac{4}{5}\times\frac{1}{3}</math>

<math>\Rightarrow 4\cdot 3=12 \quad \text{e}\quad 1 \cdot 5=5</math>

Temos então, <math>12>5</math>, logo

<math>\qquad\qquad\quad\frac{4}{5}>\frac{1}{3}</math>.
[[Ficheiro:Comparação_de_Frações_3.png|nenhum|miniaturadaimagem]]

== Adição e Subtração de Frações<ref>{{citar livro|titulo=Projeto Araribá: matemática: ensino fundamental|ultimo=Obra coletiva|primeiro=|editora=Moderna|ano=2007|isbn=8516055141|edicao=2ª|local=São Paulo|paginas=|acessodata=}}</ref> ==
Assim como na comparação de frações, na adição e subtração temos dois casos:

<math>\vartriangleright</math> Com denominadores iguais;

<math>\vartriangleright</math> Com denominadores diferentes.

<math>1^\circ)</math> '''Frações com o mesmo denominador:'''

Para frações com denominador em comum, somamos ou subtraímos os numeradores de acordo com a operação solicitada e mantemos o denominador.

Exemplos:

<math>\qquad\qquad a)</math> <math>\frac{2}{9}+\frac{5}{9} = \frac{2+5}{9} = \frac{7}{9}</math>
[[Ficheiro:Soma_de_frações.png|nenhum|miniaturadaimagem|334x334px]]
<math>\qquad\qquad b)</math> <math> \frac{5}{3}-\frac{1}{3}=\frac{5-1}{3}=\frac{4}{3}</math>

Essa expressão pode ser escrita também deste modo:

<math>\quad 1\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=1\frac{2-1}{3}=1\frac{1}{3}</math>
[[Ficheiro:Subtração_de_Fração.png|nenhum|miniaturadaimagem]]
<math>*</math> no caso de ter duas frações mistas, somamos ou subtraímos os números inteiros, mantemos o denominador e somamos ou subtraímos o numerador.
[[Ficheiro:Fração_wiki_melhorada.jpg|centro|miniaturadaimagem|310x310px]]
<math>2^\circ)</math> '''Frações com denominadores diferentes:'''

Neste caso temos que transformar as frações em uma fração com denominador em comum, fazemos isso através do [[Mínimo múltiplo comum|MMC]].

Por exemplo: <math>\frac{1}{9} + \frac{3}{6}</math>

Fazendo o <math>mmc</math> entre os denominadores, teremos: <math>\begin{array}{c|} 9 & 6  \\ \hline 9&3\\ 3&1\\ 1& \end{array}\begin{array}{lcl} 2 \\ 3 \\3 \end{array}</math><math>\qquad2\cdot3\cdot3=18</math>

O <math>mmc(9,6)=18</math>.

Agora que encontramos um denominador em comum, faremos o processo análogo ao processo de '''comparação entre frações com denominadores diferentes''', porém iremos somar seus numeradores, mantendo o denominador que tivemos como resultado do <math>mmc</math>. Temos então:

<math>\frac{1}{9} + \frac{3}{6} = \frac{1\times2}{18}+\frac{3\times3}{18} = \frac{2}{18}+\frac{9}{18}= \frac{11}{18}</math>
[[Ficheiro:Soma_de_fração_2.png|nenhum|miniaturadaimagem|331x331px]]
Na subtração o processo é análogo. 

== Multiplicação de Frações ==
Tendo as seguintes frações <math>\frac{a}{b}</math> e <math>\frac{c}{d}</math>, para multiplica-las basta fazer o produto de seus numeradores e o produto de seus denominadores, temos então:

<math>\frac{a}{b}\times \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>, com <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>d \in \mathbb{R}</math>

Exemplo: <math>\frac{2}{3} \times \frac{1}{3}= \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{2}{9}</math>
[[Ficheiro:Multiplicação_de_Fração.png|nenhum|miniaturadaimagem]]
No caso de um número inteiro multiplicar uma fração, fazemos o produto do número inteiro com o numerador e conservamos o denominador, isso ocorre porque o número inteiro na fração possui como denominador o número <math>1</math>, e qualquer número multiplicado por <math>1</math> é ele mesmo.

Exemplo: <math>1\times \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3} = \frac{2}{3}</math>

É o mesmo que fazer <math>\frac{1}{1} \times \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3}</math>
[[Ficheiro:Multiplicando_com_números_inteiros_e_frações.png|nenhum|miniaturadaimagem|305x305px]] 

== Divisão ==
Para efetuar a divisão entre duas frações, multiplica-se a fração que está no numerador pelo inverso da fração que está no denominador.
Ex.:<math>\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{2}} = \frac{3}{4}\times\frac{2}{5} = \frac{6}{20} = \frac {3}{10}.</math>

No último passo foi feita [[Fração#Simplificação de frações|Simplificação de Frações]].

== Exponenciação ou potenciação de frações ==
É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:<ref name="operacoes">ARANTES, Flávia Borges; CASTRO, Marco Antonio Claret de; COSTA, Patrícia Oliveira. Matemática Elementar. São João del-Rei: UFSJ, 2010. Disponível em: <http://www.ufsj.edu.br/portal2-repositorio/File/demat/PASTA-PROF/claret/matematica_elementar_versao_final27072011.doc>.</ref>

<math display="block">\left (\dfrac{1}{2}  \right )^2 = \dfrac{1^2} {2^2} = \dfrac{1}{4} = 0,25</math>

Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:

<math display="block"> \left (\dfrac{1}{2}  \right )^2 = ({0,5})^{2} = 0,25</math>

== Radiciação ==
A [[raiz (matemática)|raiz]] de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação:<ref name="operacoes"></ref>

<math>\sqrt{\frac{1}{4}}= \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} = 0,5</math>

E, analogamente, é possível fazer a divisão antes da radiciação.
== Expoente fracionário ==
Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:

<math display="block">8^{{2} \over {3}} = \sqrt[3]{8^{2}} = \sqrt[3]{64} = {4}</math>

==Corpo de frações==
{{Artigo principal|Corpo de frações}}
Se um conjunto <math>A</math> tem duas [[operação binária|operações binárias]] <math>+</math> e <math>\times</math> satisfazendo determinadas propriedades, pode-se perguntar em que condições é possível [[extensão algébrica|estender]] <math>A</math> para um outro conjunto <math>B</math> com operações binárias <math>+</math> e <math>\times</math>, de forma que <math>(B,+,\times)</math> seja um [[corpo (matemática)|corpo]] e as operações <math>A+B</math> e <math>A \times B</math> dêem o mesmo resultado quando efetuadas em <math>A</math> ou em <math>B</math>. Quando possível, temos a construção do [[corpo de frações]].

{{Referências|Notas e referências}}

{{Portal3|Matemática}}

[[Categoria:Frações| ]]
[[Categoria:Números]]
[[Categoria:Aritmética]]