Mostrar código-fonte de Função de Thomae

[[Ficheiro:Thomae function_(0,1).svg|direita|miniaturadaimagem|200x200px|Plotagem de pontos do gráfico da função em (0,1)]]
A '''função de Thomae''', assim chamada em homenagem a [[Carl Johannes Thomae]], tem muitos nomes: a '''função pipoca''', a '''função gota de chuva''', a '''função nuvem contável''', a '''função de Dirichlet modificada''', a '''função régua''',<ref>"…the so-called ''ruler function'', a simple but provocative example that appeared in a work of Johannes Karl Thomae … The graph suggests the vertical markings on a ruler—hence the name." </ref> a '''função de Riemann''', ou as '''Estrelas sobre a Babilônia''' (nome de [[John Conway|John Horton Conway]]).<ref>http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=1375516</ref> Esta [[Função (matemática)|função]] a valores [[Número real|reais]] ''f''(''x'') da variável real ''x'' é definida como:
<math display="block">f(x) = 
\begin{cases}
  1           &\text{se }x=0\\
  \frac{1}{q} &\text{se }x \in \mathbb{Q}, x=\tfrac{p}{q}\text{ depois de simplificada e com } q > 0\\
  0           &\text{se }x\not\in \mathbb{Q}.
\end{cases}
</math>
Ela é uma modificação da [[função de Dirichlet]], que é 1 nos números racionais e 0 nos demais casos.

== Propriedades ==
A função de Thomae tem um conjunto de  [[Função contínua|descontinuidades]] complicado: ''f'' é contínua em todos os [[Número irracional|números irracionais]] e descontínua em todos os números racionais.

A função de Thomae também tem um [[Pontos extremos de uma função|máximo]] local estrito em cada [[número racional]].

=== Prova informal das descontinuidades ===
Claramente, ''f'' é descontínua em todos os números racionais: como os irracionais são [[Conjunto denso|densos]] nos reais, para qualquer racional ''x'', não importa que escolha de ''&#x3B5;'' nós façamos, há um irracional'' a'' ainda mais próximo deste ''x'', onde ''f''(''a'') = 0 (enquanto que ''f''(''x'') é positiva). Em outras palavras, ''f'' nunca poderá "chegar perto" e "permanecer perto" de qualquer número positivo, porque o seu domínio é denso com zeros.

Para demonstrar a continuidade nos irracionais, suponha sem perda de generalidade que ''ε'' é racional (para qualquer irracional ''ε''', podemos escolher um racional ''ε"'' menor ainda). Como ε é racional, ele pode ser expresso como uma fração irredutível ''a/b''. O objetivo é mostrar que ''f''(''x'') é contínua quando ''x'' é irracional.

Observe que ''f'' assume o valor máximo 1 em cada inteiro, então podemos limitar nosso exame do intervalo entre <math>\scriptstyle \lfloor x \rfloor</math> e <math>\scriptstyle \lceil x \rceil.</math> Como ''ε'' tem um denominador finito ''b'', os únicos valores para os quais ''f'' pode retornar um valor maior do que ''ε'' são aqueles com um denominador que ''não é maior do que b''. Existe apenas um número finito de valores entre dois números inteiros, com um denominador que não é maior do que ''b'', então estes podem ser listados exaustivamente. Definindo ''δ'' como sendo menor do que a menor distância de ''x'' a um desses valores, fica garantido que a todo valor a uma distância de no máximo'' δ'' de ''x'' satisfaz ''f''(''x'') < ''ε''.

== Integrabilidade ==
O [[Integral de Riemann|critério de integrabilidade de Lebesgue]] afirma que um função limitada é integrável à Riemann se, e somente se, o conjunto de todos os pontos de descontinuidade tem [[Medida de Lebesgue|medida zero]].<ref>Spivak, M. (p. 53, Theorem 3-8)</ref> Uma vez que o conjunto de todas as descontinuidades da função de Thomae é o conjunto dos números racionais, que é um conjunto [[Conjunto contável|contável]], ele tem medida zero. Além disso, a função é limitada no intervalo [0, 1], então, pelo critério de Lebesgue, a função é integrável à Riemann em [0, 1]. A sua integral é igual a 0 em [0,1].

== Questões complementares ==
Uma pergunta natural que poderia ser feita em seguida é se existe uma função que é contínua nos números racionais e descontínua nos números irracionais. Ocorre que isso é impossível; o conjunto de descontinuidades de qualquer função deve ser um F<sub>σ</sub> conjunto. Se uma tal função existisse, então os irracionais formariam um F<sub>σ</sub> conjunto. Consequentemente os irracionals seriam um união enumerável de conjuntos fechados <math>\cup_{i = 0}^\infty C_i,</math> mas já que o irracionais não contêm um intervalo, o mesmo não pode acontecer com qualquer um dos <math>C_i.</math> Portanto, cada um dos <math>C_i</math> seria denso em lugar nenhum, e os irracionais seriam [[Conjunto magro|conjungo magro]]. Disso resultaria que os números reais, sendo uma união dos irracionais com os racionais (que é, evidentemente, magro), também seria um conjunto magro. Isto contradiria o [[teorema da categoria de Baire]]: como as reais formam um [[Espaço completo|espaço métrico completo]], eles formam um [[espaço de Baire]], que não pode ser magro em si mesmo.

Uma variante função de Thomae pode ser usada para mostrar que qualquer F<sub>σ</sub> subconjunto dos números reais pode ser o conjunto de descontinuidades de uma função. Se <math>\scriptstyle A \;=\; \bigcup_{n=1}^{\infty}F_n</math> é uma união contável de conjuntos fechados <math>\scriptstyle F_n,</math> defina
<math display="block">f_A(x) = \begin{cases}
  \frac{1}{n}  & \text{se } x \in \mathbb{Q}\text{ e }   n \text{ for o menor inteiro tal que } x \in F_n\\
  -\frac{1}{n} & \text{se } x \not\in \mathbb{Q} \text{ e } n \text{ for o menor inteiro tal que } x \in F_n\\
  0            & \text{se } x \notin A
\end{cases}</math>
Então, um argumento semelhante ao usado para a função de Thomae mostra que <math>\scriptstyle f_A</math> tem ''A'' como o seu conjunto de descontinuidades.

Para uma construção geral em um espaço métrico arbitrário, pode-se consultar o artigo, [ftp://softbank.iust.ac.ir/MathBooks/American%20Mathematical%20Monthly/106/3-march/9.pdf Kim Sung Soo.]{{Ligação inativa|1=data=abril de 2019 }} [ftp://softbank.iust.ac.ir/MathBooks/American%20Mathematical%20Monthly/106/3-march/9.pdf "Uma Caracterização do Conjunto de Pontos de Continuidade de uma Função Real." American Mathematical Monthly 106.3 (1999): 258-259.]{{Ligação inativa|1=data=abril de 2019 }}

== Distribuições de probabilidade relacionadas ==
Distribuições de probabilidade empíricas relacionadas à função de Thomae aparecem no [[sequenciamento de DNA]].<ref name="Trifonov">{{Citar periódico|volume=1|pmid=22355706|doi=10.1038/srep00191}}</ref> O genoma humano é [[Ploidia|diploide]], tendo duas vertentes por cromossomo. Quando sequenciados, pequenos pedaços ("leituras") são gerados: para cada ponto no genoma, um [[número inteiro]] de leituras se sobrepõe com ele. A sua razão é um número racional, e normalmente distribuído de forma semelhante à função de Thomae.

Se é feita uma amostragem de pares de inteiros positivos <math>m,n</math> de uma distribuição <math>f(n,m)</math> e eles são usados para gerar quocientes <math>q=n/(n+m),</math> isso dá origem a uma distribuição <math>g(q)</math> sobre  os números racionais. Se os inteiros são independentes a distribuição pode ser vista como uma [[convolução]] sobre os números racionais, <math>g(a/(a+b))=\sum_{t=1}^\infty f(ta)f(tb).</math> Existem formas fechadas para distribuições [[lei de potência]] com um ''cut-off''. Se <math>f(k)=k^{-\alpha} e^{-\beta k}/\mathrm{Li}_\alpha(e^{-\beta})</math> (em que <math>\mathrm{Li}_\alpha</math> é a função [[Função polilogarítmica|polilogarítmica]]) então <math>g(a/(a+b)) = (ab)^{-\alpha} \mathrm{Li}_{2\alpha}(e^{-(a+b)\beta})/\mathrm{Li}^2_{\alpha}(e^{-\beta}).</math> No caso de distribuições uniformes no conjunto <math>\{1,2,\ldots , L\}</math> <math>g(a/(a+b)) = (1/L^2) \lfloor L/\max(a,b) \rfloor,</math> que é bastante similar à função de Thomae. Ambos os gráficos possuem dimensão [[fractal]] 3/2.

== A função régua ==
Para os inteiros, o expoente da maior potência de 2 que divide <math>n</math> resulta em 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, ... {{OEIS|id=A007814}}. Se for somado 1, ou se forem removidas as ocorrências de 0, obtém-se 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, ... {{OEIS|id=A001511}}. Os valores lembram as marcas de uma régua graduada de 1/16, daí o nome. Estes valores correspondem a restrição da função de Thomae aos números racionais cujos denominadores são potências de 2.

== Ver também ==
* [[Pomar de Euclides]] – A função de Thomae pode ser interpretada como um desenho em perspectiva do pomar de Euclides.

== Notas ==
{{reflist}}

== Referências ==
{{refbegin}}
*{{citar livro|último1 =Bartle |primeiro1 =Robert G. |último2 =Sherbert |primeiro2 =Donald R. |ano=1999 |título=Introduction to Real Analysis |edição=3rd |publicado=Wiley |isbn=978-0-471-32148-4}} (Example 5.1.6 (h))
*{{citar livro|último =Spivak |primeiro =M. |autorlink =Michael Spivak |ano=1965 |título=Calculus on manifolds |publicado=Perseus Books |isbn=0-8053-9021-9}}
*{{citar livro|último =Abbot |primeiro =Stephen |ano=2001 |título=Understanding Analysis |publicado=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |local=Berlin |isbn=0-387-95060-5}}
{{refend}}


== Ligações externas ==
* {{springer|title=Dirichlet-function|id=p/d032860}}
* {{MathWorld |title=Dirichlet Function |urlname=DirichletFunction}}

[[Categoria:Cálculo]]