Mostrar código-fonte de Função de onda

{{Descrição curta|Descrição matemática do estado quântico}}
{{Não confundir com|Equação de onda}}
[[Imagem:Quantum harmonic oscillators animation.gif|thumb|upright=1.25|[[Oscilador harmônico quântico|Osciladores harmônicos quânticos]] para uma única partícula sem ''spin''. As oscilações não têm trajetória, mas são representadas cada uma como ondas; o eixo vertical mostra a parte real (azul) e a parte imaginária (vermelha) da função de onda. Os painéis (A-D) mostram quatro soluções diferentes de ondas estacionárias da [[equação de Schrödinger]]. Os painéis (E–F) mostram duas funções de onda diferentes que são soluções da equação de Schrödinger, mas não ondas estacionárias.]]
Na [[Mecânica quântica|física quântica]], uma '''função de onda''' é uma descrição matemática do [[estado quântico]] de um [[sistema quântico]] isolado. Os símbolos mais comuns para uma função de onda são as letras gregas {{Math|''ψ''}} e {{Math|Ψ}} ([[Ψ|''psi'']] minúsculo e maiúsculo, respectivamente). As funções de onda são de [[Número complexo|valor complexo]]. Por exemplo, uma função de onda pode atribuir um número complexo a cada ponto em uma região do espaço. A [[regra de Born]]<ref name=Born_1926_A /><ref name="Born_1926_B" /><ref>[[Max Born|Born, M.]] (1954).</ref> fornece os meios para transformar essas [[Amplitude de probabilidade|amplitudes de probabilidade]] complexas em probabilidades reais. Em uma forma comum, ela diz que o <!--[[:en:Square (algebra)#Absolute square]]-->módulo quadrado de uma função de onda que depende da posição é a [[Função de densidade de probabilidade|densidade de probabilidade]] de [[Medição em mecânica quântica|medir]] uma partícula como estando em um determinado lugar. A integral do módulo quadrado de uma função de onda sobre todos os graus de liberdade do sistema deve ser igual a 1, uma condição chamada ''normalização''. Como a função de onda é de valor complexo, apenas sua fase relativa e magnitude relativa podem ser medidas; seu valor não diz nada, isoladamente, sobre as magnitudes ou direções de observáveis mensuráveis. É preciso aplicar <!--[[:en:Operator (physics)#Operators in quantum mechanics
]]-->[[Operador (física)|operadores quânticos]], cujos autovalores correspondem a conjuntos de resultados possíveis de medições, à função de onda {{Math|''ψ''}} e calcular as distribuições estatísticas para quantidades mensuráveis.

Funções de onda podem ser [[Função (matemática)|funções]] de variáveis diferentes de posição, como [[Momento linear|momento]]. A informação representada por uma função de onda que é dependente de posição pode ser convertida em uma função de onda dependente de momento e vice-versa, por meio de uma [[transformada de Fourier]]. Algumas partículas, como [[elétrons]] e [[fótons]], têm ''[[spin]]'' diferente de zero, e a função de onda para tais partículas inclui ''spin'' como um grau de liberdade intrínseco e discreto; outras variáveis discretas também podem ser incluídas, como ''[[isospin]]''. Quando um sistema tem graus de liberdade internos, a função de onda em ''cada'' ponto nos graus de liberdade contínuos (por exemplo, um ponto no espaço) atribui um número complexo para cada valor possível dos graus de liberdade discretos (por exemplo, componente z do ''spin''). Esses valores são frequentemente exibidos em uma <!--[[:en:Row and column vectors]]-->matriz de coluna (por exemplo, um vetor de coluna {{Math|2 × 1}} para um elétron que não é relativístico com ''spin'' {{Math|{{Frac|1|2}}}}).

De acordo com o [[princípio da superposição]] da mecânica quântica, as funções de onda podem ser somadas e multiplicadas por números complexos para formar novas funções de onda e formar um [[espaço de Hilbert]]. O produto interno de duas funções de onda é uma medida da sobreposição entre os estados físicos correspondentes e é usado na interpretação probabilística fundamental da mecânica quântica, a [[regra de Born]], relacionando probabilidades de transição a produtos internos. A [[equação de Schrödinger]] determina como as funções de onda evoluem ao longo do tempo, e uma função de onda se comporta qualitativamente como outras [[onda]]s, como [[Onda oceânica de superfície|ondas de água]] ou ondas em uma corda, porque a equação de Schrödinger é matematicamente um tipo de [[equação de onda]]. Isso explica o nome "função de onda" e dá origem à [[Dualidade onda-corpúsculo|dualidade onda e partícula]]. No entanto, a função de onda na mecânica quântica descreve um tipo de fenômeno físico, em 2023 ainda aberto a diferentes [[Interpretações da mecânica quântica|interpretações]], que difere fundamentalmente daquele das ondas [[Teoria clássica (física)|mecânicas clássicas]].{{Sfn|Born|1927|pp=354–357}}{{Sfn|Heisenberg|1958|p=143}}<ref>[[Werner Heisenberg|Heisenberg, W.]] (1927/1985/2009). Heisenberg traduzido (em inglês) por {{Harvnb|Camilleri|2009|p=71}}, (a partir de  {{Harvnb|Bohr|1985|p=142}}).</ref>{{Sfn|Murdoch|1987|p=43}}{{Sfn|de Broglie|1960|p=48}}{{Sfn|Landau|Lifshitz|1977|p=6}}{{Sfn|Newton|2002|pp=19–21}}

==Contexto histórico==
{{Mecânica quântica|fundamentos}}
Em 1900, [[Max Planck]] postulou a proporcionalidade entre a frequência <math>f</math> de um fóton e sua energia {{Nowrap|<math>E</math>}}, {{Nowrap|<math>E = hf</math>,}}<ref>{{Cite web |title=''Planck - A very short biography of Planck'' |url=https://spark.iop.org/planck |website=spark.iop.org |publisher=''[[Institute of Physics]]'' |access-date=12-02-2023 |language=en}}</ref><ref>{{Cite book |title=C/CS Pys C191:Representations and Wave Functions 》 1. Planck-Einstein Relation E=hv |date=30-09-2008 |publisher=''EESC Instructional and Electronics Support, [[University of California, Berkeley]]'' |page=1 |url=https://inst.eecs.berkeley.edu/~cs191/fa08/lectures/lecture8_fa08.pdf |access-date=12-02-2023 |language=en}}</ref> e em 1916 a relação correspondente entre o [[Momento linear|momento]] de um fóton <math>p</math> e o [[comprimento de onda]] {{Nowrap|<math>\lambda</math>}}, {{Nowrap|<math>\lambda = \frac{h}{p}</math>,}}<ref>{{Harvnb|Einstein|1916|pp=47–62}}, e uma versão quase idêntica {{Harvnb|Einstein|1917|pp=121–128}} traduzida em {{Harvnb|ter Haar|1967|pp=167–183}}.</ref> onde <math>h</math> é a [[constante de Planck]]. Em 1923, De Broglie foi o primeiro a sugerir que a relação {{Nowrap|<math>\lambda = \frac{h}{p}</math>}}, agora chamada de [[Onda de matéria|relação de De Broglie]], vale para partículas ''massivas'', a principal pista sendo a [[Escalar de Lorentz|invariância de Lorentz]],{{Sfn|de Broglie|1923|pp=507–510,548,630}} e isso pode ser visto como o ponto de partida para o desenvolvimento moderno da mecânica quântica. As equações representam a [[Dualidade onda-corpúsculo|dualidade onda-partícula]] para partículas sem massa e massivas.

Nas décadas de 1920 e 1930, a mecânica quântica foi desenvolvida usando [[Cálculo infinitesimal|cálculo]] e [[álgebra linear]]. Aqueles que usaram as técnicas de cálculo incluíram [[Louis de Broglie]], [[Erwin Schrödinger]] e outros, desenvolvendo a "[[Onda|mecânica ondulatória]]". Aqueles que aplicaram os métodos da álgebra linear incluíram [[Werner Heisenberg]], [[Max Born]] e outros, desenvolvendo a "[[mecânica matricial]]". Schrödinger posteriormente mostrou que as duas abordagens eram equivalentes.{{Sfn|Hanle|1977|pp=606–609}}

Em 1926, Schrödinger publicou a famosa equação de onda agora nomeada em sua homenagem, a [[equação de Schrödinger]]. Esta equação foi baseada na [[Lei da conservação da energia|conservação de energia]]  [[Teoria clássica (física)|clássica]] usando [[Operador (física)|operadores quânticos]] e as relações de de Broglie e as soluções da equação são as funções de onda para o sistema quântico.{{Sfn|Schrödinger|1926|pp=1049–1070}} No entanto, ninguém tinha clareza sobre como interpretá-la.{{Sfn|Tipler|Mosca|Freeman|2008}} A princípio, Schrödinger e outros pensaram que as funções de onda representam partículas que estão espalhadas com a maioria das partículas onde a função de onda é grande.{{Sfn|Weinberg|2013}} Isso foi mostrado como incompatível com o espalhamento elástico de um pacote de ondas (representando uma partícula) de um alvo; ele se espalha em todas as direções.<ref name=Born_1926_A>{{Harvnb|Born|1926a}}, traduzido em {{Harvnb|Wheeler|Zurek|1983}} nas páginas 52–55.</ref> Embora uma partícula espalhada possa se espalhar em qualquer direção, ela não se quebra e decola em todas as direções. Em 1926, Born forneceu a perspectiva da [[amplitude de probabilidade]].<ref name=Born_1926_A /><ref name="Born_1926_B">{{harvnb|Born|1926b}}, traduzido em {{Harvnb|Ludwig|1968|pp=206–225}}. Também [http://www.ymambrini.com/My_World/History_files/Born_1.pdf aqui] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201201173255/http://www.ymambrini.com/My_World/History_files/Born_1.pdf |date=2020-12-01 }}.</ref>{{Sfn|Young|Freedman|2008|p=1333}} Isso relaciona os cálculos da mecânica quântica diretamente às observações experimentais probabilísticas. É aceito como parte da [[interpretação de Copenhague]] da mecânica quântica. Existem muitas outras [[interpretações da mecânica quântica]]. Em 1927, [[Douglas Hartree|Hartree]] e [[Vladimir Fock|Fock]] deram o primeiro passo na tentativa de resolver a função de onda de [[Problema de muitos corpos|''N'' corpos]] e desenvolveram o ''ciclo de autoconsistência'': um [[algoritmo]] [[Iteração|iterativo]] para aproximar a solução. Agora também é conhecido como [[Método de Hartree-Fock|método de Hartree e Fock]].{{Sfn|Atkins|1974}} O  [[determinante de Slater]] e o <!--[[:en:Permanent (mathematics)]]-->permanente (de uma matriz) fazia parte do método, fornecido por [[John Clarke Slater|John C. Slater]].

Schrödinger encontrou uma equação para a função de onda que satisfazia a conservação de energia [[Teoria da relatividade|relativística]] ''antes'' de publicar a que não é relativística, mas a descartou, pois previa [[probabilidade]]s negativas e [[energia]]s negativas. Em 1927, [[Oskar Klein|Klein]], [[Walter Gordon (físico)|Gordon]] e Fock também a encontraram, mas incorporaram a [[Força fundamental|interação]] [[Eletromagnetismo|eletromagnética]] e provaram que era [[Covariância de Lorentz|invariante de Lorentz]]. De Broglie também chegou à mesma equação em 1928. Esta equação de onda relativística é agora mais comumente conhecida como [[Equação de Klein–Gordon|equação de Klein e Gordon]].{{Sfn|Martin|Shaw|2008}}

Em 1927, [[Wolfgang Pauli|Pauli]] fenomenologicamente encontrou uma equação que não é relativística para descrever partículas de ''spin'' 1/2 em campos eletromagnéticos, agora chamada de [[equação de Pauli]].{{Sfn|Pauli|1927|pp=601–623.}} Pauli descobriu que a função de onda não era descrita por uma única função complexa de espaço e tempo, mas precisava de dois números complexos, que correspondem respectivamente aos estados de ''spin'' +1/2 e −1/2 do férmion. Logo depois, em 1928, [[Paul Dirac|Dirac]] encontrou uma equação da primeira unificação bem-sucedida da [[Relatividade restrita|relatividade especial]] e da mecânica quântica aplicada ao [[elétron]], agora chamada de [[equação de Dirac]]. Nisto, a função de onda é um <!--[[:en:Dirac spinor]]-->''spinor'' representado por quatro componentes de valor complexo:{{Sfn|Atkins|1974}} dois para o elétron e dois para a [[antipartícula]] do elétron, o [[pósitron]]. No limite que não é relativístico, a função de onda de Dirac se assemelha à função de onda de Pauli para o elétron. Mais tarde, outras <!--[[:en:Relativistic wave equations]]-->equações de onda relativísticas foram encontradas.

===Funções de onda e equações de onda em teorias modernas===
Todas essas equações de onda são de importância duradoura. A equação de Schrödinger e a equação de Pauli são, em muitas circunstâncias, excelentes aproximações das variantes relativísticas. Elas são consideravelmente mais fáceis de resolver em problemas práticos do que as contrapartes relativísticas.

A [[Equação de Klein–Gordon|equação de Klein e Gordon]] e a [[equação de Dirac]], embora sejam relativísticas, não representam a reconciliação completa da mecânica quântica e da relatividade especial. O ramo da mecânica quântica onde essas equações são estudadas da mesma forma que a equação de Schrödinger, frequentemente chamada de [[mecânica quântica relativística]], embora muito bem-sucedida, tem suas limitações (veja, por exemplo, [[Desvio de Lamb|deslocamento de Lamb]]) e problemas conceituais (veja, por exemplo, [[Teoria dos buracos|mar de Dirac]]).

A relatividade torna inevitável que o número de partículas em um sistema não seja constante. Para a reconciliação completa, a [[teoria quântica de campos]] é necessária.<ref>{{Harvtxt|Weinberg|2002}} assume o ponto de vista de que a teoria quântica de campos aparece do jeito que aparece porque é a ''única'' maneira de reconciliar a mecânica quântica com a relatividade especial.</ref> Nessa teoria, as equações de onda e as funções de onda têm seu lugar, mas em uma aparência um pouco diferente. Os principais objetos de interesse não são as funções de onda, mas sim operadores, os chamados ''operadores de campo'' (ou apenas campos onde "operador" é entendido) no espaço de estados de Hilbert (a ser descrito na próxima seção). Acontece que as equações de onda relativísticas originais e suas soluções ainda são necessárias para construir o espaço de Hilbert. Além disso, os ''operadores de campos livres'', ou seja, quando se supõe que as interações não existem, acabam por satisfazer (formalmente) a mesma equação que os campos (funções de onda) em muitos casos.

Assim, a equação de Klein–Gordon (''spin'' {{Math|0}}) e a equação de Dirac (''spin'' {{Math|{{Frac|1|2}}}}) nesta forma permanecem na teoria. Análogos de ''spin'' mais altos incluem a [[equação de Proca]] (''spin'' {{Math|1}}), a <!--[[:en:Rarita–Schwinger equation]]-->equação de Rarita e Schwinger (''spin'' {{Math|{{Frac|3|2}}}}) e, mais geralmente, as <!--[[:en:Bargmann–Wigner equations]]-->equações de Bargmann e Wigner. Para campos livres ''sem massa'', dois exemplos são a [[Equações de Maxwell|equação de Maxwell]] de campo livre (''spin'' {{Math|1}}) e a [[Equações de campo de Einstein|equação de Einstein]] de campo livre (''spin'' {{Math|2}}) para os operadores de campo.<ref>{{Harvtxt|Weinberg|2002}} Veja especialmente o capítulo 5, onde alguns desses resultados são derivados.</ref> Todos eles são essencialmente uma consequência direta do requisito da [[Escalar de Lorentz|invariância de Lorentz]]. Suas soluções devem se transformar sob a transformação de Lorentz de uma forma prescrita, ou seja, sob uma <!--[[:en:Representation theory of the Lorentz group#Common representations]]-->representação do grupo de Lorentz particular e que, juntamente com poucas outras demandas razoáveis, por exemplo, a <!--[[:en:Cluster decomposition]]-->propriedade de decomposição de ''cluster'',<ref>{{Harvnb|Weinberg|2002}} Capítulo 4.</ref> com implicações para [[causalidade]] é suficiente para consertar as equações.

Isso se aplica a equações de campo livre; interações não são incluídas. Se uma densidade Lagrangiana (incluindo interações) estiver disponível, então o formalismo Lagrangiano produzirá uma equação de movimento no nível clássico. Esta equação pode ser muito complexa e não passível de solução. Qualquer solução se referiria a um número ''fixo'' de partículas e não levaria em conta o termo "interação" como referido nessas teorias, que envolve a criação e aniquilação de partículas e não potenciais externos como na teoria quântica "primeiramente quantizada" comum.

Na [[teoria das cordas]], a situação permanece análoga. Por exemplo, uma função de onda no espaço de momento tem o papel de coeficiente de expansão de Fourier em um estado geral de uma partícula (corda) com momento que não é nitidamente definido.{{Sfn|Zwiebach|2009}}

==Definição (uma partícula sem ''spin'' em uma dimensão)==
{{Imagem múltipla|align=right|direction=vertical|width=402|footer=As <!--[[:en:Real and imaginary parts]]-->[[Número complexo|partes reais]] da função de onda de posição {{Math|Ψ(''x'')}} e da função de onda de momento {{Math|Φ(''p'')}}, e as densidades de probabilidade correspondentes {{Math|{{!}}Ψ(''x''){{!}}<sup>2</sup>}} e {{Math|{{!}}Φ(''p''){{!}}<sup>2</sup>}}, para uma partícula de ''spin''-0 em uma dimensão {{Mvar|x}} ou {{Mvar|p}}. A opacidade da cor das partículas corresponde à densidade de probabilidade (''não'' à função de onda) de encontrar a partícula na posição {{Mvar|x}} ou momento {{Math|''p''}}.|image1=Quantum mechanics standing wavefunctions.svg|caption1=[[Onda estacionária|Ondas estacionárias]] para uma [[partícula em uma caixa]], exemplos de <!--[[:en:Stationary state]]-->estados estacionários.|image2=Quantum mechanics travelling wavefunctions.svg|caption2=Ondas viajantes de uma partícula livre.}}

Por enquanto, considere o caso simples de uma partícula única que não é relativística, sem ''spin'', em uma dimensão espacial. Casos mais gerais são discutidos abaixo.

De acordo com os [[postulados da mecânica quântica]], o [[Estado quântico|estado]] de um sistema físico, em tempo fixo <math>t</math>, é dado pela função de onda pertencente a um [[espaço de Hilbert]] [[Número complexo|complexo]] [[Espaço separável|separável]].{{Sfn|Applications of Quantum Mechanics}}{{Sfn|Griffiths|2004|p=94}} Como tal, o <!--[[:en:Inner product space]]-->produto interno de duas funções de onda {{Math|Ψ<sub>1</sub>}} e {{Math|Ψ<sub>2</sub>}} pode ser definido como o número complexo (no tempo {{Mvar|t}})<ref group="nb">As funções são aqui assumidas como elementos de {{Math|[[Espaço Lp|''L''<sup>2</sup>]]}}, o espaço de funções integráveis ao quadrado. Os elementos deste espaço são mais precisamente classes de equivalência de funções integráveis ao quadrado, duas funções declaradas equivalentes se elas diferem em um conjunto de [[medida de Lebesgue]] {{Math|0}}. Isto é necessário para obter um produto interno (isto é, {{Math|1=(Ψ, Ψ) = 0 ⇒ Ψ ≡ 0}}) em oposição a um '''semi-produto interno'''. A integral é considerada a [[integral de Lebesgue]]. Isto é essencial para a completude do espaço, produzindo assim um espaço do produto interno completo = espaço de Hilbert.</ref>
:<math>( \Psi_1 , \Psi_2 ) = \int_{-\infty}^\infty \, \Psi_1^*(x, t)\Psi_2(x, t)\,dx < \infty</math>
Mais detalhes são fornecidos [[#Funções de onda e espaços de funções|abaixo]]. No entanto, o produto interno de uma função de onda {{Math|Ψ}} consigo mesma,
:<math>(\Psi,\Psi) = \|\Psi\|^2</math>
é ''sempre'' um número real positivo. O número {{Math|1=<!--{{Norm|-->&#x2016;<span class="nowrap" style="padding-left:0.1em; padding-right:0.1em;">Ψ</span>&#x2016;<!--}}-->}} (não {{Math|1=<!--{{Norm|-->&#x2016;<span class="nowrap" style="padding-left:0.1em; padding-right:0.1em;">Ψ</span>&#x2016;<!--}}--><sup>2</sup>}}) é chamado de [[Norma (matemática)|'''norma''']] da função de onda {{Math|Ψ}}. O <!--[[:en:Hilbert space#Separable spaces]]-->espaço de Hilbert separável sendo considerado é infinitamente [[Dimensão (espaço vetorial)|dimensional]],<ref group="nb">Na mecânica quântica, apenas <!--[[:en:Hilbert space#Separable spaces]]-->espaços de Hilbert separáveis são considerados, o que, usando o [[Lema de Zorn]], implica que ele admite uma [[base de Schauder]] infinita contável em vez de uma base ortonormal no sentido da álgebra linear (<!--[[:en:Basis (linear algebra)#Hamel basis]]-->base de Hamel).</ref> o que significa que não há um conjunto finito de <!--[[:en:Square-integrable function]]-->funções integráveis ao quadrado que podem ser adicionadas em várias combinações para criar todas as funções integráveis ao quadrado possíveis.

===Funções de onda do espaço de posição===
O estado de tal partícula é completamente descrito por sua função de onda,
<math display="block">\Psi(x,t)</math>
onde {{Mvar|x}} é a posição e {{Mvar|t}} é o tempo. Esta é uma [[Análise complexa|função de valor complexo]] de duas variáveis reais {{Mvar|x}} e {{Mvar|t}}.

Para uma partícula sem ''spin'' em uma dimensão, se a função de onda for interpretada como uma [[amplitude de probabilidade]]; o [[Função modular|módulo]] quadrado da função de onda, o número real positivo
<math display="block"> \left|\Psi(x, t)\right|^2 = \Psi^*(x, t)\Psi(x, t) = \rho(x)</math>
é interpretado como a [[Função de densidade de probabilidade|densidade de probabilidade]] para uma medição da posição da partícula em um dado tempo {{Mvar|t}}. O asterisco indica o [[Conjugado de um número complexo|conjugado complexo]]. Se a posição da partícula for [[Medição em mecânica quântica|medida]], sua localização não poderá ser determinada pela função de onda, mas será descrita por uma [[distribuição de probabilidade]].

====Condição de normalização====
A probabilidade de que sua posição {{Math|''x''}} esteja no intervalo {{Math|''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b''}} é a integral da densidade sobre esse intervalo:
<math display="block">P_{a\le x\le b} (t) = \int_a^b \,|\Psi(x,t)|^2 dx </math>
onde {{Mvar|t}} é o tempo em que a partícula foi medida. Isso leva à '''condição de normalização''':
<math display="block">\int_{-\infty}^\infty \, |\Psi(x,t)|^2dx  = 1</math>
porque se a partícula for medida, há 100% de probabilidade de que ela esteja em ''algum lugar''.

Para um dado sistema, o conjunto de todas as funções de onda normalizáveis possíveis (em qualquer dado momento) forma um [[espaço vetorial]] matemático abstrato, o que significa que é possível somar diferentes funções de onda e multiplicar funções de onda por números complexos. Tecnicamente, as funções de onda formam um [[Formulação matemática da mecânica quântica#Descrição do estado de um sistema|raio]] em um <!--[[:en:Projective Hilbert space]]-->espaço de Hilbert projetivo em vez de um espaço vetorial comum.

====Estados quânticos como vetores====
{{VT|Formulação matemática da mecânica quântica|Notação bra-ket{{!}}Notação ''bra-ket''<!--|-->}}
Em um instante particular de tempo, todos os valores da função de onda {{Math|Ψ(''x'', ''t'')}} são componentes de um vetor. Há um número incontável de infinitamente muitos deles e a integração é usada no lugar da soma. Na [[Notação bra-ket|notação ''bra-ket'']], esse vetor é escrito
<math display="block">|\Psi(t)\rangle = \int\Psi(x,t) |x\rangle  dx </math>
e é chamado de "vetor de estado quântico" ou simplesmente "estado quântico". Existem várias vantagens em entender as funções de onda como representando elementos de um espaço vetorial abstrato:
* Todas as ferramentas poderosas da [[álgebra linear]] podem ser usadas para manipular e entender funções de onda. Por exemplo:
** A álgebra linear explica como um espaço vetorial pode receber uma [[Base (álgebra linear)|base]], e então qualquer vetor no espaço vetorial pode ser expresso nessa base. Isso explica a relação entre uma função de onda no espaço de posição e uma função de onda no espaço de momento e sugere que há outras possibilidades também.
** A [[Notação bra-ket|notação ''bra-ket'']] pode ser usada para manipular funções de onda.
* A ideia de que [[Estado quântico|estados quânticos]] são vetores em um espaço vetorial abstrato é completamente geral em todos os aspectos da mecânica quântica e da [[teoria quântica de campos]], enquanto a ideia de que estados quânticos são funções de "onda" de valor complexo do espaço é verdadeira apenas em certas situações.

O parâmetro de tempo é frequentemente suprimido, e será no seguinte. A coordenada {{Mvar|x}} é um índice contínuo. Os {{Math|1=<span class="nowrap">&#124;''x''&#x27E9;</span>}} são chamados de ''vetores impróprios'' que, diferentemente dos ''vetores próprios'' que são normalizáveis para a unidade, só podem ser normalizados para uma função delta de Dirac.<ref group="nb">Como, tecnicamente, eles não estão no espaço de Hilbert. Veja <!--[[:en:Self-adjoint operator#Spectral theorem-->[[Teorema espectral]] para mais detalhes.</ref><ref name=":0" group="nb" />{{Sfn|Shankar|1994|p=117}}
<math display="block">\langle x' | x \rangle = \delta(x' - x) </math> assim
<math display="block">\langle x' |\Psi\rangle = \int \Psi(x) \langle x'|x\rangle dx= \Psi(x') </math>
e
<math display="block">|\Psi\rangle = \int  |x\rangle \langle x |\Psi\rangle dx= \left( \int |x\rangle \langle x |dx\right) |\Psi\rangle </math>
que ilumina o [[Função identidade|operador de identidade]]
<math display="block">I = \int |x\rangle \langle x | dx</math>
que é análogo à relação de completude da base ortonormal no espaço de Hilbert N-dimensional.

Encontrar o operador de identidade em uma base permite que o estado abstrato seja expresso explicitamente em uma base, e mais (o produto interno entre dois vetores de estado, e outros operadores para observáveis, podem ser expressos na base).

===Funções de onda do espaço de momento===
A partícula também tem uma função de onda no <!--[[:en:Position and momentum spaces]]-->espaço de momento:
<math display="block">\Phi(p,t)</math>
onde {{Mvar|p}} é o <!--[[:en:Momentum#Quantum mechanical]]-->momento em uma dimensão, que pode ser qualquer valor de {{Math|−∞}} a {{Math|+∞}}, e {{Mvar|t}} é o tempo.

Análogo ao caso da posição, o produto interno de duas funções de onda {{Math|Φ<sub>1</sub>(''p'', ''t'')}} e {{Math|Φ<sub>2</sub>(''p'', ''t'')}} pode ser definido como:
<math display="block">(\Phi_1 , \Phi_2 ) = \int_{-\infty}^\infty \, \Phi_1^*(p, t)\Phi_2(p, t) dp</math>
Uma solução particular para a equação de Schrödinger independente do tempo é
<math display="block">\Psi_p(x) = e^{ipx/\hbar}</math>
uma [[onda plana]], que pode ser usada na descrição de uma partícula com momento exatamente {{Mvar|p}}, uma vez que é uma autofunção do operador de momento. Essas funções não são normalizáveis para a unidade (elas não são integráveis ao quadrado), então elas não são realmente elementos do espaço físico de Hilbert. O conjunto
<math display="block">\{\Psi_p(x, t), -\infty \le p \le \infty\}</math>
forma o que é chamado de '''base de momento'''. Esta "base" não é uma base no sentido matemático usual. Por um lado, uma vez que as funções não são normalizáveis, elas são ''normalizadas para uma função delta'',<ref group="nb" name=":0">Também chamada de "ortonormalidade de Dirac", segundo {{Cite book |last=Griffiths |first=David J. |title=Introduction to Quantum Mechanics |edition=''3rd'' |language=en}}</ref>
<math display="block">(\Psi_{p},\Psi_{p'}) = \delta(p - p')</math>

Por outro lado, embora sejam linearmente independentes, há muitas delas (elas formam um conjunto incontável) para uma base para o espaço físico de Hilbert. Eles ainda podem ser usados para expressar todas as funções usando transformadas de Fourier, conforme descrito a seguir.

===Relações entre as representações de posição e de momento===
As representações {{Math|''x''}} e {{Math|''p''}}  são <math display="block">\begin{align}
|\Psi\rangle = I|\Psi\rangle &= \int |x\rangle \langle x|\Psi\rangle dx = \int \Psi(x) |x\rangle dx,\\
|\Psi\rangle = I|\Psi\rangle &= \int |p\rangle \langle p|\Psi\rangle dp = \int \Phi(p) |p\rangle dp
\end{align}</math>

Agora pegue a projeção do estado {{Math|Ψ}} em autofunções de momento usando a última expressão nas duas equações,
<math display="block">\int \Psi(x) \langle p|x\rangle dx = \int \Phi(p') \langle p|p'\rangle dp' = \int \Phi(p') \delta(p-p') dp' = \Phi(p)</math>
Em seguida, utilizando a expressão conhecida para estados próprios de momento adequadamente normalizados nas soluções de representação de posição da [[Partícula livre#Descrição matemática|equação de Schrödinger livre]]
<math display="block">\langle x | p \rangle = p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{i}{\hbar}px} \Rightarrow \langle p | x \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-\frac{i}{\hbar}px}</math>
obtém-se
<math display="block">\Phi(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int \Psi(x)e^{-\frac{i}{\hbar}px}dx</math>

Da mesma forma, usando autofunções de posição,
<math display="block">\Psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int \Phi(p)e^{\frac{i}{\hbar}px}dp</math>
As funções de onda do espaço de posição e do espaço de momento são, portanto, [[Transformada de Fourier|transformadas de Fourier]] uma da outra.{{Sfn|Griffiths|2004}} Elas são duas representações do mesmo estado; contendo as mesmas informações, e qualquer uma delas é suficiente para calcular qualquer propriedade da partícula.

Na prática, a função de onda do espaço de posição é usada com muito mais frequência do que a função de onda do espaço de momento. O potencial que entra na equação relevante (Schrödinger, Dirac, etc.) determina em qual base a descrição é mais fácil. Para o [[oscilador harmônico]], {{Mvar|x}} e {{Mvar|p}} entram simetricamente, então não importa qual descrição se usa. A mesma equação (constantes de módulo) resulta. Disto, com um pouco de reflexão tardia, segue-se que as soluções para a equação de onda do oscilador harmônico são autofunções da transformada de Fourier em {{Math|''L''<sup>2</sup>}}.<ref group=nb>A transformada de Fourier vista como um operador unitário no espaço {{Math|''L''<sup>2</sup>}} tem autovalores {{Math|±1, ±''i''}}. Os autovetores são "funções de Hermite", ou seja, [[polinômios de Hermite]] multiplicados por uma [[função gaussiana]]. Veja {{Harvtxt|Byron|Fuller|1992}} para uma descrição da transformada de Fourier como uma transformação unitária. Para autovalores e autovalores, consulte o Problema 27 Cap. 9.</ref>

==Definições (outros casos)==
A seguir estão as formas gerais da função de onda para sistemas em dimensões superiores e mais partículas, além de incluir outros graus de liberdade além de coordenadas de posição ou componentes de momento.

===Espaço de Hilbert de dimensão finita===
Embora os [[Espaço de Hilbert|espaços de Hilbert]] originalmente se refiram a <!--[[:en:Inner product space]]-->espaços de produto interno [[Espaço completo|completos]] de dimensão infinita, eles, por definição, incluem também espaços de produto interno completos de dimensão finita.{{Sfn|Treves|2006|p=112-125}} Na física, eles são frequentemente chamados de ''espaços de Hilbert de dimensão finita''.<ref>{{Cite web |last=B. Griffiths |first=Robert |author-link=Robert Griffiths |title=''Hilbert Space Quantum Mechanics'' |url=https://quantum.phys.cmu.edu/QCQI/qitd114.pdf |page=1 |language=en}}</ref> Para cada espaço de Hilbert de dimensão finita, existem ''kets'' de [[Base ortonormal|base ortonormais]] que [[Espaço vectorial gerado|abrangem]] todo o espaço de Hilbert.

Se o conjunto {{Math|''N''}}-dimensional <math display="inline">\{ |\phi_i\rangle \}</math> for ortonormal, então o operador de projeção para o espaço abrangido por esses estados é dado por:
<math display="block">P = \sum_i |\phi_i\rangle\langle \phi_i | = I </math>
onde a projeção é equivalente ao operador de identidade, pois <math display="inline">\{ |\phi_i\rangle \}</math> abrange todo o espaço de Hilbert, deixando qualquer vetor do espaço de Hilbert inalterado. Isso também é conhecido como relação de completude do espaço de Hilbert de dimensão finita.

A função de onda é dada por:

| ψ ⟩ = I | ψ ⟩ = ∑ i | ϕ i ⟩ ⟨ ϕ i | ψ ⟩
<math display="block">|\psi\rangle = I|\psi\rangle = \sum_i |\phi_i\rangle\langle \phi_i |\psi\rangle  </math>
onde <math display="inline">\{ \langle \phi_i |\psi\rangle \} </math>, é um conjunto de números complexos que podem ser usados para construir uma função de onda usando a fórmula acima.

====Interpretação de probabilidade do produto interno====
Se o conjunto <math display="inline">\{ |\phi_i\rangle \}</math> são autovetores de um [[observável]] que não é [[Nível degenerado de energia|degenerado]] com autovalores <math display="inline">\lambda_i</math>, pelos [[postulados da mecânica quântica]], a probabilidade de medir o observável como <math display="inline">\lambda_i</math> é dada de acordo com a [[regra de Born]] como:{{Sfn|Landsman|2009}}
<math display="block">P_\psi(\lambda_i) = |\langle \phi_i|\psi \rangle|^2    </math>
Para <math display="inline">\{ |\phi_i\rangle \}</math> de algum observável, se os autovalores <math display="inline">\lambda</math> tiverem subconjunto de autovetores rotulados como <math display="inline">\{ |\lambda^{(j)}\rangle \}</math>, pelos [[postulados da mecânica quântica]], a probabilidade de medir o observável como <math display="inline">\lambda</math> é dada por:
<math display="block">P_\psi(\lambda) =\sum_j |\langle \lambda^{(j)}|\psi \rangle|^2 = |\widehat P_\lambda |\psi \rangle |^2          </math>
onde
<math display="inline">\widehat P_\lambda =\sum_j|\lambda^{(j)}\rangle\langle\lambda^{(j)}|         </math>
é um operador de projeção de estados para o subespaço abrangido por <math display="inline">\{ |\lambda^{(j)}\rangle \}</math>. A igualdade segue devido à natureza ortogonal de <math display="inline">\{ |\phi_i\rangle \}</math>.

Portanto, <math display="inline">\{ \langle \phi_i |\psi\rangle \} </math> que especificam o estado do sistema mecânico quântico, têm magnitudes cujo quadrado fornece a probabilidade de medir o respectivo estado <math display="inline">|\phi_i\rangle   </math>.

====Significado físico da fase relativa====
Enquanto a fase relativa tem efeitos observáveis em experimentos, a fase global do sistema é experimentalmente indistinguível. Por exemplo, em uma partícula em superposição de dois estados, a fase global da partícula não pode ser distinguida encontrando o valor esperado do observável ou probabilidades de observar estados diferentes, mas as fases relativas podem afetar os valores esperados dos observáveis.

Embora a fase geral do sistema seja considerada arbitrária, a fase relativa para cada estado <math display="inline">|\phi_i\rangle   </math> de um estado preparado em superposição pode ser determinada com base no significado físico do estado preparado e sua simetria. Por exemplo, a construção de estados de ''spin'' ao longo da direção x como uma superposição de estados de ''spin'' ao longo da direção z, pode ser feita aplicando a transformação de rotação apropriada no ''spin'' ao longo dos estados z, que fornece a fase apropriada dos estados em relação uns aos outros.

====Aplicação para incluir ''spin''====
Um exemplo de espaço de Hilbert de dimensão finita pode ser construído usando autovetores de ''spin'' de partículas de ''spin'' <math display="inline">s</math> que formam um [[espaço de Hilbert]] de dimensão <math display="inline">2s+1</math>. No entanto, a função de onda geral de uma partícula que descreve completamente seu estado é sempre de um [[espaço de Hilbert]] de dimensão infinita, pois envolve um produto tensorial com [[espaço de Hilbert]] relacionado à posição ou momento da partícula. No entanto, as técnicas desenvolvidas para o espaço de Hilbert de dimensão finita são úteis, pois podem ser tratadas independentemente ou tratadas em consideração à linearidade do produto tensorial.

Como o <!--[[:en:Spin (physics)#Operator]]-->operador de ''spin'' para uma dada partícula de ''spin'' <math display="inline">s</math> pode ser representado como uma [[Matriz (matemática)|matriz]] finita <math display="inline">(2s+1)^2    </math> que atua em componentes de vetor de ''spin'' independentes de <math display="inline">2s+1</math>, geralmente é preferível denotar componentes de ''spin'' usando notação de matriz coluna/linha, conforme aplicável.

Por exemplo, cada {{Math|1=<span class="nowrap">&#124;''s<sub>z</sub>''&#x27E9;</span>}} é geralmente identificado como um vetor coluna:
<math display="block">|s\rangle \leftrightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \,, \quad |s-1\rangle \leftrightarrow \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \,, \ldots \,, \quad |-(s-1)\rangle \leftrightarrow \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \,,\quad |-s\rangle \leftrightarrow  \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}</math>
mas é um abuso comum de notação, porque os ''kets'' {{Math|1=<span class="nowrap">&#124;''s<sub>z</sub>''&#x27E9;</span>}} não são sinônimos ou iguais aos vetores coluna. Os vetores coluna simplesmente fornecem uma maneira conveniente de expressar os componentes de ''spin''.

Correspondendo à notação, o operador de ''spin'' do componente z pode ser escrito como:
<math display="block">\frac{1}{\hbar}\hat{S}_z = \begin{bmatrix} s & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & s-1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -(s-1) & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & -s \end{bmatrix} </math>
já que os [[Autovalores e autovetores|autovetores]] do operador de ''spin'' do componente z são os vetores da coluna acima, com autovalores sendo os números quânticos de ''spin'' correspondentes.

Correspondendo à notação, um vetor de tal espaço de Hilbert de dimensão finita é, portanto, representado como:
<math display="block">|\phi\rangle  =  \begin{bmatrix} \langle s| \phi\rangle \\ \langle s-1| \phi\rangle \\ \vdots \\ \langle -(s-1)| \phi\rangle \\ \langle -s| \phi\rangle \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \varepsilon_s \\  \varepsilon_{s-1}\\ \vdots \\ \varepsilon_{-s+1} \\ \varepsilon_{-s} \\ \end{bmatrix} </math>
onde <math display="inline"> \{ \varepsilon_i \}       </math> são números complexos correspondentes.

Na discussão a seguir envolvendo ''spin'', a função de onda completa é considerada como produto tensorial de estados de ''spin'' de espaços de Hilbert de dimensão finita e a função de onda que foi desenvolvida anteriormente. A base para este espaço de Hilbert é, portanto, considerada:
<math>  |\mathbf{r}, s_z\rangle   = |\mathbf{r}\rangle |s_z\rangle   </math>

===Estados de uma partícula no espaço de posição 3D===
A função de onda do espaço de posição de uma única partícula sem ''spin'' em três dimensões espaciais é semelhante ao caso de uma dimensão espacial acima:
<math display="block">\Psi(\mathbf{r},t)</math>
onde {{Math|'''r'''}} é o [[Posição|vetor de posição]] no espaço tridimensional e {{Math|''t''}} é o tempo. Como sempre, {{Math|Ψ('''r''', ''t'')}} é uma função de valor complexo de variáveis reais. Como um único vetor na [[Notação bra-ket|notação de Dirac]]
<math display="block">|\Psi(t)\rangle = \int d^3\! \mathbf{r}\, \Psi(\mathbf{r},t) \,|\mathbf{r}\rangle </math>
Todas as observações anteriores sobre produtos internos, funções de onda de espaço de momento, transformadas de Fourier e assim por diante se estendem a mais dimensões.

Para uma partícula com ''[[spin]]'', ignorando os graus de liberdade de posição, a função de onda é uma função apenas de ''spin'' (o tempo é um parâmetro);
<math display="block">\xi(s_z,t)</math>
onde {{Math|''s''<sub>z</sub>}} é o [[Spin|número quântico de projeção de ''spin'']] ao longo do eixo {{Mvar|z}}. (O eixo {{Mvar|z}} é uma escolha arbitrária; outros eixos podem ser usados em vez disso se a função de onda for transformada adequadamente, veja abaixo.) O parâmetro {{Math|''s<sub>z</sub>''}}, diferentemente de {{Math|'''r'''}} e {{Mvar|t}}, é uma <!--[[:en:Continuous or discrete variable#Discrete variable]]-->variável discreta. Por exemplo, para uma partícula de [[Spin-½|''spin'' 1/2]], {{Math|''s''<sub>z</sub>}} pode ser somente {{Math|+1/2}} ou {{Math|−1/2}}, e nenhum outro valor. (Em geral, para ''spin'' {{Mvar|s}}, {{Math|''s<sub>z</sub>''}} pode ser {{Math|''s'', ''s'' − 1, ..., −''s'' + 1, −''s''}}). Inserir cada número quântico fornece uma função de valor complexo de espaço e tempo, há {{Math|2''s'' + 1}} deles. Eles podem ser organizados em um <!--[[:en:Row and column vectors]]-->vetor de coluna
<math display="block">\xi = \begin{bmatrix} \xi(s,t) \\ \xi(s-1,t) \\ \vdots \\ \xi(-(s-1),t) \\ \xi(-s,t) \\ \end{bmatrix} = \xi(s,t) \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + \xi(s-1,t)\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + \cdots + \xi(-(s-1),t) \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + \xi(-s,t) \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} </math>
Na [[Notação bra-ket|notação ''bra'' e ''ket'']], eles se organizam facilmente nos componentes de um vetor:
<math display="block">|\xi (t)\rangle = \sum_{s_z=-s}^s \xi(s_z,t) \,| s_z \rangle </math>
O vetor {{Math|''ξ''}} inteiro é uma solução da equação de Schrödinger (com um hamiltoniano adequado), que se desdobra em um sistema acoplado de equações diferenciais ordinárias {{Math|2''s'' + 1}} com soluções {{Math|''ξ''(''s'', ''t''), ''ξ''(''s'' − 1, ''t''), ..., ''ξ''(−''s'', ''t'')}}. O termo "função de ''spin''" em vez de "função de onda" é usado por alguns autores. Isso contrasta as soluções para funções de onda de espaço de posição, as coordenadas de posição sendo graus de liberdade contínuos, porque então a equação de Schrödinger assume a forma de uma equação de onda.

Mais geralmente, para uma partícula em 3d com qualquer ''spin'', a função de onda pode ser escrita em "espaço de posição e ''spin''" como:
<math display="block">\Psi(\mathbf{r},s_z,t)</math>
e estes também podem ser organizados em um vetor de coluna
<math display="block">\Psi(\mathbf{r},t) = \begin{bmatrix} \Psi(\mathbf{r},s,t) \\ \Psi(\mathbf{r},s-1,t) \\ \vdots \\ \Psi(\mathbf{r},-(s-1),t) \\ \Psi(\mathbf{r},-s,t) \\ \end{bmatrix}</math>
em que a dependência de ''spin'' é colocada na indexação das entradas, e a função de onda é uma função complexa de valor vetorial de espaço e tempo apenas.

Todos os valores da função de onda, não apenas para variáveis discretas, mas também <!--[[:en:Continuous or discrete variable#Discrete variable]]-->contínuas, são coletados em um único vetor
<math display="block">|\Psi(t)\rangle =
\sum_{s_z}\int d^3\!\mathbf{r} \,\Psi(\mathbf{r},s_z,t)\, |\mathbf{r}, s_z\rangle </math>
Para uma única partícula, o <!--[[:en:Bra–ket notation#Composite bras and kets]]-->produto tensorial {{Math|&otimes;}} do seu vetor de estado de posição {{Math|1=<span class="nowrap">&#124;''ψ''&#x27E9;</span>}} e do vetor de estado de ''spin'' {{Math|1=<span class="nowrap">&#124;''ξ''&#x27E9;</span>}} fornece o vetor de estado de posição e ''spin'' composto
<math display="block">|\psi(t)\rangle\! \otimes\! |\xi(t)\rangle =
\sum_{s_z}\int d^3\! \mathbf{r}\, \psi(\mathbf{r},t)\,\xi(s_z,t) \,|\mathbf{r}\rangle \!\otimes\! |s_z\rangle </math>
com as identificações
<math display="block">|\Psi (t)\rangle = |\psi(t)\rangle
\!\otimes\!
 |\xi(t)\rangle </math>
<math display="block">\Psi(\mathbf{r},s_z,t) = \psi(\mathbf{r},t)\,\xi(s_z,t) </math>
<math display="block">|\mathbf{r},s_z \rangle= |\mathbf{r}\rangle \!\otimes\! |s_z\rangle </math>
A fatoração do produto tensorial de autoestados de energia é sempre possível se os momentos angulares orbitais e de ''spin'' da partícula forem separáveis no [[Hamiltoniano (mecânica quântica)|operador hamiltoniano]] subjacente à dinâmica do sistema (em outras palavras, o hamiltoniano pode ser dividido na soma dos termos orbitais e de ''spin''{{Sfn|Shankar|1994|pp=378–379}}). A dependência de tempo pode ser colocada em qualquer fator, e a evolução temporal de cada um pode ser estudada separadamente. Sob tais hamiltonianos, qualquer estado de produto tensorial evolui para outro estado de produto tensorial, o que significa essencialmente que qualquer estado não emaranhado permanece não emaranhado sob a evolução temporal. Diz-se que isso acontece quando não há interação física entre os estados dos produtos tensoriais. No caso de hamiltonianos que não são separáveis, os autoestados de energia são considerados alguma combinação linear de tais estados, que não precisam ser fatoráveis; exemplos incluem uma partícula em um [[campo magnético]], e [[Interação spin-órbita|acoplamento de ''spin'' e órbita]].

A discussão anterior não se limita ao ''spin'' como uma variável discreta, o momento angular total ''J'' também pode ser usado.{{Sfn|Landau|Lifshitz|1977}} Outros graus discretos de liberdade, como o ''isospin'', podem ser expressos de forma semelhante ao caso de ''spin'' acima.

===Estados de muitas partículas no espaço de posição 3D===
[[Imagem:Two particle wavefunction.svg|upright=1.4|thumb|Ondas viajantes de duas partículas livres, com duas das três dimensões suprimidas. A parte superior é a função de onda de espaço de posição, a parte inferior é a função de onda de espaço de momento, com densidades de probabilidade correspondentes.]]
Se houver muitas partículas, em geral há apenas ''uma'' função de onda, não uma função de onda separada para cada partícula. O fato de uma função de onda descrever ''muitas'' partículas é o que torna o [[Entrelaçamento quântico|emaranhamento quântico]] e o [[Paradoxo EPR|paradoxo de Einstein,Podolsky, e Rosen (EPR)]] possíveis. A função de onda de espaço de posição para {{Math|''N''}} partículas é escrita:{{sfn|Atkins|1974}}
<math display="block">\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 \cdots \mathbf{r}_N,t)</math>
onde {{Math|'''r'''<sub>''i''</sub>}} é a posição da {{Mvar|i}}-ésima partícula no espaço tridimensional, e {{Mvar|t}} é o tempo. No total, esta é uma função de valor complexo de {{Math|3''N'' + 1}} variáveis reais.

Na mecânica quântica, há uma distinção fundamental entre ''[[partículas idênticas]]'' e ''partículas distinguíveis''. Por exemplo, quaisquer dois elétrons são idênticos e fundamentalmente indistinguíveis um do outro; as leis da física tornam impossível "carimbar um número de identificação" em um determinado elétron para mantê-lo sob controle.{{Sfn|Griffiths|2004}} Isso se traduz em um requisito na função de onda para um sistema de partículas idênticas:
Ψ <math display="block">\Psi \left ( \ldots \mathbf{r}_a, \ldots , \mathbf{r}_b, \ldots \right ) = \pm \Psi \left ( \ldots \mathbf{r}_b, \ldots , \mathbf{r}_a, \ldots \right )</math>
onde o sinal {{Math|+}} ocorre se as partículas forem ''todas bósons'' e o sinal {{Math|−}} se forem ''todas férmions''. Em outras palavras, a função de onda é totalmente simétrica nas posições dos bósons ou totalmente antisimétrica nas posições dos férmions.{{Sfn|Zettili|2009|p=463}} A troca física de partículas corresponde a argumentos de comutação matemática na função de onda. A característica antisimétrica das funções de onda fermiônicas leva ao [[Princípio de exclusão de Pauli|princípio de Pauli]]. Geralmente, os requisitos de simetria bosônica e fermiônica são a manifestação de <!--[[:en:Particle statistics]]-->estatísticas de partículas e estão presentes em outros formalismos de estado quântico.

Para {{Math|''N''}} partículas ''distinguíveis'' (nenhuma sendo duas [[Partículas idênticas|idênticas]], ou seja, nenhuma tendo o mesmo conjunto de números quânticos), não há exigência de que a função de onda seja simétrica ou antissimétrica.

Para uma coleção de partículas, algumas idênticas com coordenadas {{Math|'''r'''<sub>1</sub>, '''r'''<sub>2</sub>, ...}} e outras distinguíveis {{Math|'''x'''<sub>1</sub>, '''x'''<sub>2</sub>, ...}}, ... (que não são idênticas entre si, e que não são idênticas às partículas idênticas mencionadas acima), a função de onda é simétrica ou antisimétrica nas coordenadas de partículas idênticas {{Math|'''r'''<sub>''i''</sub>}} apenas:
<math display="block">\Psi \left ( \ldots \mathbf{r}_a, \ldots , \mathbf{r}_b, \ldots , \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots \right ) = \pm \Psi \left ( \ldots \mathbf{r}_b, \ldots , \mathbf{r}_a, \ldots , \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots \right )</math>
Novamente, não há exigência de simetria para as coordenadas de partículas distinguíveis {{Math|'''x'''<sub>''i''</sub>}}.

A função de onda para ''N'' partículas, cada uma com ''spin'', é a função de valor complexo
<math display="block">\Psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2 \cdots \mathbf{r}_N, s_{z\,1}, s_{z\,2} \cdots s_{z\,N}, t)</math>
Acumulando todos esses componentes em um único vetor,
<math display="block">| \Psi \rangle = \overbrace{\sum_{s_{z\,1},\ldots,s_{z\,N}}}^{\text{rótulos discretos}} \overbrace{\int_{R_N} d^3\mathbf{r}_N \cdots \int_{R_1} d^3\mathbf{r}_1}^{\text{rótulos contínuos}} \; \underbrace{{\Psi}( \mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_N , s_{z\,1} , \ldots , s_{z\,N} )}_{\begin{array}{c}\text{função de onda (componente de } \\ \text{ vetor de estado ao longo do estado base)}\end{array}} \; \underbrace{| \mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_N , s_{z\,1} , \ldots , s_{z\,N} \rangle }_{\text{estado base (base ket)}}</math>
Para partículas idênticas, os requisitos de simetria se aplicam aos argumentos de posição e ''spin'' da função de onda, de modo que ela tenha a simetria geral correta.

As fórmulas para os produtos internos são integrais sobre todas as coordenadas ou momentos e somas sobre todos os números quânticos de ''spin''. Para o caso geral de {{Math|''N''}} partículas com ''spin'' em 3-d,
<math display="block"> ( \Psi_1 , \Psi_2 ) = \sum_{s_{z\,N}} \cdots \sum_{s_{z\,2}} \sum_{s_{z\,1}} \int\limits_{\text{ espaço todo}} d ^3\mathbf{r}_1 \int\limits_{\text{ espaço todo}} d ^3\mathbf{r}_2\cdots \int\limits_{\text{ espaço todo}} d ^3 \mathbf{r}_N \Psi^{*}_1 \left(\mathbf{r}_1 \cdots \mathbf{r}_N,s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t \right )\Psi_2 \left(\mathbf{r}_1 \cdots \mathbf{r}_N,s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t \right ) </math>
isto é, no total, {{Mvar|N}} [[Integral de volume|integrais de volume]] tridimensionais e {{Mvar|N}} somas sobre os ''spins''. Os elementos de volume diferencial {{Math|''d''<sup>3</sup>'''r'''<sub>''i''</sub>}} também são escritos "{{Math|''dV''<sub>''i''</sub>}}" ou "{{Math|''dx<sub>i</sub> dy<sub>i</sub> dz<sub>i</sub>''}}".

As transformadas de Fourier multidimensionais das funções de onda de espaço de posição ou posição e ''spin'' produzem funções de onda de espaço de momento ou momento e ''spin''.

====Interpretação de probabilidade====
Para o caso geral de {{Mvar|N}} partículas com ''spin'' em 3d, se {{Math|Ψ}} for interpretado como uma amplitude de probabilidade, a densidade de probabilidade é
<math display="block">\rho\left(\mathbf{r}_1 \cdots \mathbf{r}_N,s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t \right ) =  \left | \Psi\left (\mathbf{r}_1 \cdots \mathbf{r}_N,s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t \right ) \right |^2</math>
e a probabilidade de que a partícula 1 esteja na região {{Math|''R''<sub>1</sub>}} com ''spin'' {{Math|1=''s''<sub>''z''1</sub> = ''m''<sub>1</sub>}} e a partícula 2 esteja na região {{Math|''R''<sub>2</sub>}} com ''spin'' {{Math|1=''s''<sub>''z''2</sub> = ''m''<sub>2</sub>}} etc. no tempo {{Math|''t''}} é a integral da densidade de probabilidade sobre essas regiões e avaliada nesses números de ''spin'':
:<math>P_{\mathbf{r}_1\in R_1,s_{z\,1} = m_1, \ldots, \mathbf{r}_N\in R_N,s_{z\,N} = m_N} (t) = \int_{R_1} d ^3\mathbf{r}_1 \int_{R_2} d ^3\mathbf{r}_2\cdots \int_{R_N} d ^3\mathbf{r}_N \left | \Psi\left (\mathbf{r}_1 \cdots \mathbf{r}_N,m_1\cdots m_N,t \right ) \right |^2</math>

====Significado físico da fase====
Na mecânica quântica que não é relativística, pode ser demonstrado usando a equação de onda dependente de tempo de Schrodinger que a equação:
<math display="block">\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf J = 0  </math>
é satisfeita, onde <math display="inline">\rho(\mathbf x,t) = | \psi(\mathbf x,t)|^2   </math> é a densidade de probabilidade e <math display="inline">\mathbf J(\mathbf x,t) = \frac{\hbar}{2im}(\psi^* \nabla\psi-\psi\nabla\psi^*) = \frac{\hbar}{m} \text{Im}(\psi^* \nabla\psi)  </math>, é conhecido como o <!--[[:en:Probability current]]-->fluxo de probabilidade de acordo com a forma de equação de continuidade da equação acima.

Usando a seguinte expressão para função de onda:
<math display="block">\psi(\mathbf x,t)= \sqrt{\rho(\mathbf x,t)}\exp{\frac{iS(\mathbf x,t )}{\hbar}} </math>
onde <math display="inline">\rho(\mathbf x,t) = | \psi(\mathbf x,t)|^2   </math> é a densidade de probabilidade e <math display="inline">S(\mathbf x,t) </math> é a fase da função de onda, pode ser mostrado que:
<math display="block">\mathbf J(\mathbf x,t) = \frac{\rho \nabla S}{m} </math>
Portanto, a variação espacial da fase caracteriza o <!--[[:en:Probability current]]-->fluxo de probabilidade.

Na analogia clássica, para <math display="inline">\mathbf J = \rho \mathbf v </math>, a quantidade <math display="inline"> \frac{\nabla S}{m} </math> é análoga à velocidade. Note que isso não implica uma interpretação literal de <math display="inline"> \frac{\nabla S}{m} </math> como velocidade, uma vez que velocidade e posição não podem ser determinadas simultaneamente de acordo com o [[Princípio da incerteza de Heisenberg|princípio da incerteza]]. Substituindo a forma da função de onda na equação de onda dependente de tempo de Schrodinger e tomando o limite clássico, <math display="inline"> \hbar |\nabla^2 S| \ll |\nabla S|^2 </math>:
<math display="block">\frac{1}{2m} |\nabla S(\mathbf x, t)|^2 + V(\mathbf x) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 </math>
Que é análogo à [[Equação de Hamilton–Jacobi|equação de Hamilton e Jacobi]] da mecânica clássica. Esta interpretação se encaixa com a [[Equação de Hamilton–Jacobi|teoria de Hamilton e Jacobi]], na qual <math display="inline"> \mathbf{P}_{\text{class.}} = \nabla S </math>, onde ''{{Mvar|S}}'' é a [[Equação de Hamilton–Jacobi|função principal de Hamilton]].<ref>{{Cite book |last1=Sakurai |first1=Jun John |title=Modern quantum mechanics |last2=Napolitano |first2=Jim |date=2021 |publisher=''Cambridge University Press'' |isbn=978-1-108-47322-4 |edition=''3rd'' |location=''Cambridge'' |pages=94–97 |language=en}}</ref>

==Dependência do tempo==
<!---->
Para sistemas em potenciais independentes do tempo, a função de onda pode sempre ser escrita como uma função dos graus de liberdade multiplicados por um fator de fase dependente do tempo, cuja forma é dada pela equação de Schrödinger. Para {{Mvar|N}} partículas, considerando apenas suas posições e suprimindo outros graus de liberdade,
<math display="block">\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_N,t) = e^{-i Et/\hbar} \,\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_N)</math>
onde {{Mvar|E}} é o autovalor de energia do sistema correspondente ao autoestado {{Math|Ψ}}. Funções de onda dessa forma são chamadas de <!--[[:en:Stationary state]]-->estados estacionários.

A dependência temporal do estado quântico e dos operadores pode ser colocada de acordo com transformações unitárias nos operadores e estados. Para qualquer estado quântico {{Math|1=<span class="nowrap">&#124;Ψ&#x27E9;</span>}} e operador {{Math|''O''}}, na imagem de Schrödinger {{Math|1=<span class="nowrap">&#124;Ψ(''t'')&#x27E9;</span>}} muda com o tempo de acordo com a equação de Schrödinger enquanto {{Math|''O''}} é constante. Na imagem de Heisenberg é o contrário, {{Math|1=<span class="nowrap">&#124;Ψ&#x27E9;</span>}} é constante enquanto {{Math|''O''(''t'')}} evolui com o tempo de acordo com a equação de movimento de Heisenberg. A imagem de Dirac (ou interação) é intermediária, a dependência temporal é colocada em operadores e estados que evoluem de acordo com equações de movimento. É útil principalmente na computação de <!--[[:en:S-matrix]]-->elementos da matriz S.<ref>{{Harvnb|Weinberg|2002}} ''Chapter 3, Scattering matrix''.</ref>

==Exemplos que não são relativísticos==
A seguir estão soluções para a equação de Schrödinger para uma partícula sem ''spin'' que não é relativística.
===Barreira de potencial finita===
[[Imagem:Finitepot.png|thumb|Espalhamento em uma barreira potencial finita de altura {{Math|''V''<sub>0</sub>}}. As amplitudes e a direção das ondas em movimento para a esquerda e para a direita são indicadas. Em vermelho, as ondas usadas para a derivação da amplitude de reflexão e transmissão. {{Math|''E'' > ''V''<sub>0</sub>}} para esta ilustração.]]
Uma das características mais proeminentes da mecânica ondulatória é a possibilidade de uma partícula atingir um local com um [[Energia potencial|potencial de força]] proibitivo (na mecânica clássica). Um modelo comum é a <!--[[:en:Rectangular potential barrier]]-->"barreira de potencial", o caso unidimensional tem o potencial
<math display="block">V(x)=\begin{cases}V_0 & |x|<a \\ 0 & | x | \geq a\end{cases}</math>
e as soluções de estado estacionário para a equação de onda têm a forma (para algumas constantes {{math|''k'', ''κ''}})
<math display="block">\Psi (x) = \begin{cases}
A_{\mathrm{r}}e^{ikx}+A_{\mathrm{l}}e^{-ikx} & x<-a \\
B_{\mathrm{r}}e^{\kappa x}+B_{\mathrm{l}}e^{-\kappa x} & |x|\le a \\
C_{\mathrm{r}}e^{ikx}+C_{\mathrm{l}}e^{-ikx} & x>a
\end{cases}</math>

Observe que essas funções de onda não são normalizadas; veja a <!--[[:en:Scattering#Theory]]-->[[Teoria da dispersão|teoria de espalhamento]] para discussão.

A interpretação padrão disso é como um fluxo de partículas sendo disparadas no passo da esquerda (a direção de {{Mvar|x}} negativo): definir {{Math|1=''A''<sub>r</sub> = 1}} corresponde a disparar partículas individualmente; os termos contendo {{Math|''A''<sub>r</sub>}} e {{Math|''C''<sub>r</sub>}} significam movimento para a direita, enquanto {{Math|''A''<sub>l</sub>}} e {{math|''C''<sub>l</sub>}} – para a esquerda. Sob essa interpretação de feixe, coloque {{Math|1=''C''<sub>l</sub> = 0}}, já que nenhuma partícula está vindo da direita. Aplicando a continuidade das funções de onda e suas derivadas nas fronteiras, é possível determinar as constantes acima.
[[Imagem:Quantum dot.png|thumb|upright=1.3|Funções de onda de elétrons confinados em 3D em um ponto quântico. Aqui, pontos quânticos retangulares e triangulares são mostrados. Estados de energia em pontos retangulares são mais do ''tipo s'' e do ''tipo p''. No entanto, em um ponto triangular, as funções de onda são misturadas devido à simetria de confinamento. (Clique para animação)|link=Imagem:QuantumDot_wf.gif]]
Em um [[cristalito]] semicondutor cujo raio é menor que o tamanho do [[raio de Bohr]] do seu [[excíton]], os excitons são comprimidos, levando ao [[Poço de potencial#Confinamento quântico|confinamento quântico]]. Os níveis de energia podem então ser modelados usando o modelo de [[partícula em uma caixa]], no qual a energia de diferentes estados depende do comprimento da caixa.

===Oscilador harmônico quântico===
As funções de onda para o [[oscilador harmônico quântico]] podem ser expressas em termos de [[polinômios de Hermite]] {{Math|''H<sub>n</sub>''}}, eles são
<math display="block">  \Psi_n(x) = \sqrt{\frac{1}{2^n\,n!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot e^{
- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar}} \cdot H_n{\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right)} </math>
onde {{Math|1=''n'' = 0, 1, 2, ...}}.

A densidade de probabilidade de elétrons para os primeiros orbitais de elétrons do <!--[[:en:Hydrogen atom]]-->átomo de hidrogênio mostrados como seções transversais. Esses [[Orbital atômico|orbitais]] formam uma [[base ortonormal]] para a função de onda do elétron. Diferentes orbitais são representados com escalas diferentes.

===Átomo de hidrogênio===
As funções de onda de um elétron em um átomo de hidrogênio são expressas em termos de [[harmônicos esféricos]] e [[Polinômios de Laguerre#Polinômios associados de Laguerre|polinômios de Laguerre generalizados]] (estes são definidos de forma diferente por diferentes autores — veja o artigo principal sobre eles e o átomo de hidrogênio).

É conveniente usar coordenadas esféricas, e a função de onda pode ser separada em funções de cada coordenada,<ref>''Physics for Scientists and Engineers – with Modern Physics'' (''6th Edition'') (em inglês), P. A. Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, {{ISBN|0-7167-8964-7}}</ref>
<math display="block"> \Psi_{n\ell m}(r,\theta,\phi) = R(r)\,\,Y_\ell^m\!(\theta, \phi)</math>
onde:
* {{Math|''R''}} são funções radiais;
* {{Math|''Y''{{su|p=''m''|b=''ℓ''}}(''θ'', ''φ'')}} são [[harmônicos esféricos]] de grau {{Math|''ℓ''}} e ordem {{Math|''m''}}.
Este é o único átomo para o qual a equação de Schrödinger foi resolvida exatamente. Átomos multielétrons requerem métodos aproximados. A família de soluções é:{{Sfn|Griffiths|2008|pp=162ff}}
<math display="block"> \Psi_{n\ell m}(r,\theta,\phi) = \sqrt {{\left (  \frac{2}{n a_0} \right )}^3\frac{(n-\ell-1)!}{2n[(n+\ell)!]} } e^{- r/na_0} \left(\frac{2r}{na_0}\right)^{\ell} L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}\left(\frac{2r}{na_0}\right) \cdot Y_{\ell}^{m}(\theta, \phi ) </math>
onde:
* {{Math|1=''a''<sub>0</sub> = 4''πε''<sub>0</sub>''ħ''<sup>2</sup>/''m<sub>e</sub>e''<sup>2</sup>}} é o [[raio de Bohr]]; 
* {{Math|''L''{{su|b=''n'' − ''ℓ'' − 1|p=2''ℓ'' + 1}}}} são os [[Polinômios de Laguerre#Polinômios associados de Laguerre|polinômios de Laguerre generalizados]] de grau {{Math|''n'' − ''ℓ'' − 1}};
* {{Math|1=''n'' = 1, 2, ...}} é o [[número quântico principal]];
* {{Math|1=''ℓ'' = 0, 1, ..., ''n'' − 1}} o [[Número quântico secundário|número quântico azimutal]];
* {{Math|1=''m'' = −''ℓ'', −''ℓ'' + 1, ...,  ''ℓ'' − 1, ''ℓ''}} o [[número quântico magnético]].
[[Átomo hidrogenoide|Átomos semelhantes ao hidrogênio]] têm soluções muito semelhantes.

Esta solução não leva em consideração o ''spin'' do elétron.

Na figura dos orbitais de hidrogênio, as 19 subimagens são imagens de funções de onda no espaço de posição (sua norma ao quadrado). As funções de onda representam o estado abstrato caracterizado pelo triplo dos números quânticos ({{Math|(''n'', ''ℓ'', ''m'')}}), no canto inferior direito de cada imagem. Estes são o número quântico principal, o número quântico do momento angular orbital e o número quântico magnético. Junto com um número quântico de projeção de ''spin'' do elétron, este é um conjunto completo de observáveis.

A figura pode servir para ilustrar algumas propriedades adicionais dos espaços de função de funções de onda.
* Neste caso, as funções de onda são integráveis ao quadrado. Pode-se inicialmente tomar o espaço de função como o espaço de funções integráveis ao quadrado, geralmente denotado [[Espaço Lp|{{Math|''L''<sup>2</sup>}}]].
* As funções exibidas são soluções para a equação de Schrödinger. Obviamente, nem toda função em {{Math|''L''<sup>2</sup>}} satisfaz a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio. O espaço de função é, portanto, um subespaço de {{Math|''L''<sup>2</sup>}}.
* As funções exibidas fazem parte de uma base para o espaço de função. Para cada triplo {{Math|(''n'', ''ℓ'', ''m'')}}, corresponde uma função de onda base. Se o ''spin'' for levado em conta, há duas funções base para cada triplo. O espaço de funções, portanto, tem uma [[Base de Schauder|base contável]].
As funções base são mutuamente [[Ortonormalidade|ortonormais]].

==Funções de onda e espaços de funções==
O conceito de [[Espaço funcional|espaços de funções]] entra naturalmente na discussão sobre funções de onda. Um espaço de funções é um conjunto de funções, geralmente com alguns requisitos de definição sobre as funções (no caso presente, que elas sejam <!--[[:en:Square-integrable function]]-->integráveis ao quadrado), às vezes com uma [[estrutura algébrica]] no conjunto (no caso presente, uma estrutura de [[espaço vetorial]] com um <!--[[:en:Inner product space]]-->produto interno), juntamente com uma [[Espaço topológico|topologia]] no conjunto. Este último será usado esparsamente aqui, é necessário apenas para obter uma definição precisa do que significa para um subconjunto de um espaço de funções ser [[Conjunto fechado|fechado]]. Conclui-se abaixo que o espaço de funções de funções de onda é um [[espaço de Hilbert]]. Esta observação é a base da formulação matemática predominante da mecânica quântica.

===Estrutura do espaço vetorial===
Uma função de onda é um elemento de um espaço de função parcialmente caracterizado pelas seguintes descrições concretas e abstratas.
* A equação de Schrödinger é linear. Isso significa que as soluções para ela, funções de onda, podem ser adicionadas e multiplicadas por escalares para formar uma nova solução. O conjunto de soluções para a equação de Schrödinger é um espaço vetorial.
* O princípio da superposição da mecânica quântica. Se {{Math|Ψ}} e {{Math|Φ}} são dois estados no espaço abstrato de '''estados''' de um sistema mecânico quântico, e {{Math|''a''}} e {{Math|''b''}} são quaisquer dois números complexos, então {{Math|''a''Ψ}} + {{Math|''b''Φ}} também é um estado válido. (Se o <!--[[:en:Null vector]]-->vetor nulo conta como um estado válido ("nenhum sistema presente") é uma questão de definição. O vetor nulo ''não'' descreve de forma alguma o [[Vácuo quântico|estado de vácuo]] na teoria quântica de campos.) O conjunto de estados permitidos é um espaço vetorial.
Essa similaridade não é acidental, é claro. Também há distinções entre os espaços para manter em mente.

===Representações===
Estados básicos são caracterizados por um conjunto de números quânticos. Este é um conjunto de autovalores de um '''conjunto máximo''' de [[Observável|observáveis]] <!--[[:en:Canonical commutation relation]]-->comutantes. Os observáveis físicos são representados por operadores lineares, também chamados de observáveis, no espaço vetorial. Maximalidade significa que não pode ser adicionado ao conjunto nenhum outro observável algebricamente independente que comute com os já presentes. Uma escolha de tal conjunto pode ser chamada de escolha de '''representação'''.
* É um postulado da mecânica quântica que uma quantidade fisicamente observável de um sistema, como posição, momento ou ''spin'', é representada por um [[Operador autoadjunto|operador hermitiano]] linear no espaço de estados. Os possíveis resultados da medição da quantidade são os [[Autovalores e autovetores|autovalores]] do operador.{{Sfn|Weinberg|2013}} Em um nível mais profundo, a maioria dos observáveis, talvez todos, surgem como geradores de [[Simetria (mecânica quântica)|simetrias]].{{Sfn|Weinberg|2013}}{{Sfn|Weinberg|2002}}<ref group=nb>Para que essa afirmação faça sentido, os observáveis precisam ser elementos de um conjunto de comutação máxima. Para ver isso, é uma questão simples notar que, por exemplo, o operador de momento da i'ésima partícula em um sistema de n partículas ''não'' é um gerador de qualquer simetria na natureza. Por outro lado, o momento ''total'' ''é'' um gerador de uma simetria na natureza; a simetria translacional.</ref>
* A interpretação física é que tal conjunto representa o que pode – em teoria – ser medido simultaneamente com precisão arbitrária. A [[Princípio da incerteza de Heisenberg|relação de incerteza de Heisenberg]] proíbe medições exatas simultâneas de dois observáveis que não são comutativos.
* O conjunto não é único. Pode ser para um sistema de uma partícula, por exemplo, posição e projeção {{Math|''z''}} de ''spin'', {{Math|(''x'', ''S''<sub>''z''</sub>)}}, ou pode ser momento e projeção {{Math|''y''}} de ''spin'', {{Math|(''p'', ''S''<sub>''y''</sub>)}}. Neste caso, o operador correspondente à posição (um <!--[[:en:Multiplication operator]]-->operador de multiplicação na representação de posição) e o operador correspondente ao momento (um [[operador diferencial]] na representação de posição) não comutam.
* Uma vez que uma representação é escolhida, ainda há arbitrariedade. Resta escolher um sistema de coordenadas. Isso pode, por exemplo, corresponder a uma escolha dos eixos {{Math|''x'', ''y''}} e {{Math|''z''}}, ou uma escolha de '''coordenadas curvilíneas''', como exemplificado pelas [[Sistema esférico de coordenadas|coordenadas esféricas]] usadas para as funções de onda atômicas do hidrogênio. Essa escolha final também fixa uma base no espaço de Hilbert abstrato. Os estados básicos são rotulados pelos números quânticos correspondentes ao conjunto máximo de observáveis de comutação e um sistema de coordenadas apropriado.<ref group=nb>A base resultante pode ou não ser tecnicamente uma base no sentido matemático dos espaços de Hilbert. Por exemplo, estados de posição definida e momento definido não são integráveis ao quadrado. Isso pode ser superado com o uso de <!--[[:en:Wave packet]]-->pacotes de ondas ou encerrando o sistema em uma "caixa". Veja mais comentários abaixo.</ref>
Os estados abstratos são "abstratos" apenas no sentido de que uma escolha arbitrária necessária para uma descrição ''explícita'' particular dele não é dada. Isso é o mesmo que dizer que nenhuma escolha de conjunto máximo de observáveis de comutação foi dada. Isso é análogo a um espaço vetorial sem uma base especificada. As funções de onda correspondentes a um estado não são, portanto, únicas. Essa não unicidade reflete a não unicidade na escolha de um conjunto máximo de observáveis de comutação. Para uma partícula de ''spin'' em uma dimensão, a um estado particular correspondem duas funções de onda, {{Math|Ψ(''x'', ''S''<sub>''z''</sub>)}} e {{Math|Ψ(''p'', ''S''<sub>''y''</sub>)}}, ambas descrevendo o ''mesmo'' estado.
* Para cada escolha de conjuntos de comutação máxima de observáveis para o espaço de estado abstrato, há uma representação correspondente que é associada a um espaço de função de funções de onda.
* Entre todos esses diferentes espaços de função e o espaço de estado abstrato, há correspondências um-para-um (aqui desconsiderando a normalização e os fatores de fase não observáveis), o denominador comum aqui sendo um estado abstrato particular. A relação entre as funções de onda do espaço de momento e posição, por exemplo, descrevendo o mesmo estado é a [[transformada de Fourier]].
Cada escolha de representação deve ser pensada como especificando um espaço de função único no qual as funções de onda correspondentes a essa escolha de representação vivem. Essa distinção é melhor mantida, mesmo que se possa argumentar que dois desses espaços de função são matematicamente iguais, por exemplo, sendo o conjunto de funções integráveis quadradas. Pode-se então pensar nos espaços de função como duas cópias distintas desse conjunto.

===Produto interno===
Há uma estrutura algébrica adicional nos espaços vetoriais de funções de onda e no espaço de estado abstrato.

Fisicamente, diferentes funções de onda são interpretadas como sobrepostas até certo ponto. Um sistema em um estado {{Math|Ψ}} que ''não'' se sobrepõe a um estado {{Math|Φ}} não pode ser encontrado no estado {{Math|Φ}} após a medição. Mas se {{Math|Φ<sub>1</sub>, Φ<sub>2</sub>, …}} se sobrepõem a {{Math|Ψ}} até ''certo'' ponto, há uma chance de que a medição de um sistema descrito por {{Math|Ψ}} seja encontrada nos estados {{Math|Φ<sub>1</sub>, Φ<sub>2</sub>, …}}. Também são observadas [[regras de seleção]]. Elas são geralmente formuladas na preservação de alguns números quânticos. Isso significa que certos processos permitidos de algumas perspectivas (por exemplo, conservação de energia e momento) não ocorrem porque as funções de onda iniciais e finais ''totais'' não se sobrepõem.
* Matematicamente, verifica-se que as soluções para a equação de Schrödinger para potenciais particulares são '''ortogonais''' de alguma maneira, isso é geralmente descrito por uma integral
<math display="block">\int\Psi_m^*\Psi_n w\, dV = \delta_{nm}</math>
onde {{Math|''m'', ''n''}} são (conjuntos de) índices (números quânticos) rotulando diferentes soluções, a função estritamente positiva {{Mvar|w}} é chamada de função de peso, e {{Math|''δ''<sub>''mn''</sub>}} é o [[Delta de Kronecker|''delta'' de Kronecker]]. A integração é feita em todo o espaço relevante.

Isso motiva a introdução de um <!--[[:en:Inner product space]]-->produto interno no espaço vetorial de estados quânticos abstratos, compatível com as observações matemáticas acima ao passar para uma representação. Ele é denotado {{Math|(Ψ, Φ)}}, ou na [[Notação bra-ket|notação ''bra-ket'']] <span class="nowrap">&#x27E8;Ψ&#124;Φ&#x27E9;</span>. Ele produz um número complexo. Com o produto interno, o espaço de função é um espaço de produto interno. A aparência explícita do produto interno (geralmente uma integral ou uma soma de integrais) depende da escolha da representação, mas o número complexo {{Math|(Ψ, Φ)}} não. Grande parte da interpretação física da mecânica quântica deriva da [[regra de Born]]. Ela afirma que a probabilidade {{Mvar|p}} de encontrar, após a medição, o estado {{Math|Φ}} dado que o sistema está no estado {{Math|Ψ}} é
<math display="block">p = |(\Phi, \Psi)|^2</math>
onde {{Math|Φ}} e {{Math|Ψ}} são assumidos normalizados. Considere um <!--[[en:Scattering#Theory]]-->[[Teoria da dispersão|experimento de espalhamento]]. Na teoria quântica de campos, se {{Math|Φ<sub>out</sub>}} descreve um estado no "futuro distante" (um "estado ''out''") após as interações entre partículas de espalhamento terem cessado, e {{Math|Ψ<sub>in</sub>}} um "estado ''in''" no "passado distante", então as quantidades {{Math|(Φ<sub>out</sub>, Ψ<sub>in</sub>)}}, com {{Math|Φ<sub>out</sub>}} e {{Math|Ψ<sub>in</sub>}} variando em um conjunto completo de estados ''in'' e ''out'' respectivamente, são chamadas de <!--[[:en:S-matrix]]-->matriz S ou '''matriz de espalhamento'''. O conhecimento dela é, efetivamente, ter ''resolvido'' a teoria em questão, pelo menos no que diz respeito às previsões. Quantidades mensuráveis, como [[Radioatividade|taxas de decaimento]] e [[Seção de choque|seções transversais de espalhamento]], são calculáveis a partir da matriz S.{{Sfn|Weinberg|2002|loc=Chapter 3}}

===Espaço de Hilbert===
As observações acima encapsulam a essência dos espaços de funções dos quais as funções de onda são elementos. No entanto, a descrição ainda não está completa. Há um requisito técnico adicional no espaço de funções, o da [[Espaço completo|completude]], que permite que se tome limites de sequências no espaço de funções e se garanta que, se o limite existir, ele seja um elemento do espaço de funções. Um espaço de produto interno completo é chamado de [[espaço de Hilbert]]. A propriedade de completude é crucial em aplicações e tratamentos avançados da mecânica quântica. Por exemplo, a existência de [[Projeção (álgebra linear)|operadores de projeção]] ou '''projeções ortogonais''' depende da completude do espaço.{{Sfn|Conway|1990}} Esses operadores de projeção, por sua vez, são essenciais para a declaração e prova de muitos teoremas úteis, por exemplo, o [[teorema espectral]]. Não é muito importante na mecânica quântica introdutória, e detalhes técnicos e ''links'' podem ser encontrados em notas como a que se segue.<ref group=nb>Em termos técnicos, isso é formulado da seguinte maneira. O produto interno produz uma [[Espaços normados|norma]]. Essa norma, por sua vez, induz uma [[Espaço métrico|métrica]]. Se essa métrica for [[Espaço completo|completa]], os limites acima mencionados estarão no espaço de função. O espaço de produto interno é então chamado de completo. Um espaço de produto interno completo é um [[espaço de Hilbert]]. O espaço de estado abstrato é sempre tomado como um espaço de Hilbert. O requisito de correspondência para os espaços de funções é natural. A propriedade do espaço de Hilbert de espaço de estado abstrato foi originalmente extraída da observação de que os espaços funcionais que formam soluções normalizáveis para a equação de Schrödinger são espaços de Hilbert.</ref> O espaço {{Math|''L''<sup>2</sup>}} é um espaço de Hilbert, com produto interno apresentado posteriormente. O espaço de funções do exemplo da figura é um subespaço de {{Math|''L''<sup>2</sup>}}. Um subespaço de um espaço de Hilbert é um espaço de Hilbert se for fechado.

Em resumo, o conjunto de todas as funções de onda normalizáveis possíveis para um sistema com uma escolha particular de base, juntamente com o vetor nulo, constitui um espaço de Hilbert.

Nem todas as funções de interesse são elementos de algum espaço de Hilbert, digamos {{Math|''L''<sup>2</sup>}}. O exemplo mais gritante é o conjunto de funções {{Math|''e''<sup>{{frac|2''πi'''''p''' · '''x'''|h}}</sup>}}. Estas são soluções de onda plana da equação de Schrödinger para uma [[partícula livre]] que não são normalizáveis, portanto não estão em {{Math|''L''<sup>2</sup>}}. Mas elas são, no entanto, fundamentais para a descrição. Pode-se, usando-as, expressar funções que ''são'' normalizáveis usando <!--[[:en:Wave packet]]-->pacotes de onda. Elas são, em certo sentido, uma base (mas não uma base de espaço de Hilbert, nem uma <!--[[:en:Hamel basis]]-->base de Hamel) na qual funções de onda de interesse podem ser expressas. Há também o artefato "normalização para uma função ''delta''" que é frequentemente empregado para conveniência de notação, veja mais abaixo. As próprias funções ''delta'' também não são integráveis ao quadrado.

A descrição do espaço de função acima contendo as funções de onda é motivada principalmente matematicamente. Os espaços funcionais são, devido à completude, muito ''grandes'' em um certo sentido. Nem todas as funções são descrições realistas de qualquer sistema físico. Por exemplo, no espaço funcional {{Math|''L''<sup>2</sup>}} pode-se encontrar a função que assume o valor {{Math|0}} para todos os números racionais e {{Math|-''i''}} para os irracionais no intervalo {{Math|[0, 1]}}. Isso ''é'' integrável ao quadrado,<ref group=nb>Como é explicado em uma nota posterior, a integral deve ser considerada como a [[integral de Lebesgue]]; a [[integral de Riemann]] não é suficiente.</ref> mas dificilmente pode representar um estado físico.

===Espaços de Hilbert comuns===
Enquanto o espaço de soluções como um todo é um espaço de Hilbert, há muitos outros espaços de Hilbert que comumente ocorrem como ingredientes.
* Funções de valor complexo integráveis ao quadrado no intervalo {{Math|1=&#91;0, 2''π''&#93;}}. O conjunto {{Math|{''e''<sup>''int''</sup>/2''π'', ''n'' ∈ '''Z'''} }} é uma base de espaço de Hilbert, ou seja, um conjunto ortonormal máximo.
* A [[transformada de Fourier]] leva funções no espaço acima para elementos de {{Math|''l''<sup>2</sup>('''Z''')}}, o espaço de funções somáveis ao quadrado {{Math|'''Z''' → '''C'''}}. O último espaço é um espaço de Hilbert e a transformada de Fourier é um isomorfismo de espaços de Hilbert.<ref group=nb>{{Harvnb|Conway|1990}}. Isso significa que produtos internos, portanto normas, são preservados e que o mapeamento é uma bijeção linear limitada, portanto contínua. A propriedade de completude também é preservada. Portanto, esse é o conceito correto de isomorfismo na [[Teoria das categorias|categoria]] de espaços de Hilbert.</ref> Sua base é {{Math|{''e''<sub>''i''</sub>, ''i'' ∈ '''Z'''}}} com {{Math|1=''e''<sub>''i''</sub>(''j'') = ''δ''<sub>''ij''</sub>, ''i'', ''j'' ∈ '''Z'''}}.
* O exemplo mais básico de polinômios de abrangência está no espaço de funções integráveis ao quadrado no intervalo {{Math|1=&#91;–1, 1&#93;}} para o qual os [[polinômios de Legendre]] são uma base de espaço de Hilbert (conjunto ortonormal completo).
* As funções integráveis quadradas na <!--[[:en:Unit sphere]]-->esfera unitária {{Math|''S''<sup>2</sup>}} são um espaço de Hilbert. As funções de base neste caso são os [[harmônicos esféricos]]. Os polinômios de Legendre são ingredientes nos harmônicos esféricos. A maioria dos problemas com simetria rotacional terá "a mesma" solução (conhecida) com relação a essa simetria, então o problema original é reduzido a um problema de menor dimensionalidade.
* Os [[Polinômios de Laguerre|polinômios de Laguerre associados]] aparecem no problema da função de onda hidrogênica após fatorar os harmônicos esféricos. Eles abrangem o espaço de Hilbert de funções integráveis quadradas no intervalo semi-infinito {{Math|1=&#91;0, ∞)}}.
De forma mais geral, pode-se considerar um tratamento unificado de todas as soluções polinomiais de segunda ordem para as [[Teoria de Sturm-Liouville|equações de Sturm e Liouville]] no cenário do espaço de Hilbert. Isso inclui os polinômios de Legendre e Laguerre, bem como os polinômios de Chebyshev, os <!--[[:en:Jacobi polynomials]]-->polinômios de Jacobi e os [[polinômios de Hermite]]. Todos esses realmente aparecem em problemas físicos, os últimos no [[Oscilador harmônico quântico|oscilador harmônico]], e o que de outra forma seria um labirinto desconcertante de propriedades de [[Função especial|funções especiais]] se torna um corpo organizado de fatos. Para isso, veja {{Harvtxt|Byron|Fuller|1992|loc=''Chapter'' 5}}.

Também ocorrem espaços de Hilbert de dimensão finita. O espaço {{Math|'''C'''<sup>''n''</sup>}} é um espaço de Hilbert de dimensão {{Mvar|n}}. O produto interno é o produto interno padrão nesses espaços. Nele, reside a "parte de spin" de uma função de onda de partícula única.
* Na descrição que não é relativística de um elétron, tem-se {{Math|1=''n'' = 2}} e a função de onda total é uma solução da [[equação de Pauli]].
* No tratamento relativístico correspondente, {{Math|1=''n'' = 4}} e a função de onda resolve a [[equação de Dirac]].
Com mais partículas, a situação é mais complicada. É preciso empregar [[Produto tensorial|produtos tensoriais]] e usar a teoria de representação dos grupos de simetria envolvidos (o [[Grupo ortogonal|grupo de rotação]] e o [[grupo de Lorentz]], respectivamente) para extrair do produto tensorial os espaços nos quais as funções de onda de ''spin'' (total) residem. (Outros problemas surgem no caso relativístico, a menos que as partículas sejam livres.{{Sfn|Greiner|Reinhardt|2008}} Veja a <!--[[:en:Bethe–Salpeter equation]]-->equação de Bethe e Salpeter.) Observações correspondentes se aplicam ao conceito de ''[[isospin]]'', para o qual o grupo de simetria é <!--[[:en:Special unitary group#The group SU(2)]]-->[[Grupo especial unitário#SU(2)|SU(2)]]. Os modelos das forças nucleares dos anos 60 (ainda úteis hoje, veja [[força nuclear]]) usaram o grupo de simetria [[Grupo especial unitário#SU(3)|SU(3)]]. Neste caso, também, a parte das funções de onda correspondentes às simetrias internas reside em alguns {{Math|'''C'''<sup>''n''</sup>}} ou subespaços de produtos tensoriais de tais espaços.
* Na teoria quântica de campos, o espaço de Hilbert subjacente é o [[espaço de Fock]]. Ele é construído a partir de estados livres de partículas individuais, ou seja, funções de onda quando uma representação é escolhida, e pode acomodar qualquer número finito, não necessariamente constante no tempo, de partículas. A dinâmica interessante (ou melhor, ''tratável'') não está nas funções de onda, mas nos <!--[[:en:Canonical quantization#Field operators]]-->operadores de campo que são operadores agindo no espaço de Fock. Assim, a [[Representação de Heisenberg|imagem de Heisenberg]] é a escolha mais comum (estados constantes, operadores que variam com o tempo).
Devido à natureza infinitamente dimensional do sistema, as ferramentas matemáticas apropriadas são objetos de estudo na [[análise funcional]].

===Descrição simplificada===
[[Imagem:wavefunction continuity space.svg|thumb|Continuidade da função de onda e sua primeira derivada espacial (na direção ''x'', coordenadas ''y'' e ''z'' não mostradas), em algum momento ''t''.]]
Nem todos os livros didáticos introdutórios seguem o caminho longo e introduzem a maquinaria completa do espaço de Hilbert, mas o foco está na equação de Schrödinger não relativística na representação de posição para certos potenciais padrão. As seguintes restrições na função de onda são às vezes explicitamente formuladas para que os cálculos e a interpretação física façam sentido:{{Sfn|Eisberg|Resnick|1985}}{{Sfn|Rae|2008}}

* A função de onda deve ser <!--[[:en:Square-integrable function]]-->integrável ao quadrado. Isso é motivado pela interpretação de Copenhagen da função de onda como uma amplitude de probabilidade.
* Ela deve ser [[Função contínua|contínua]] em todos os lugares e [[Função diferenciável#continuamente diferenciável|continuamente diferenciável]] em todos os lugares. Isso é motivado pelo surgimento da equação de Schrödinger para a maioria dos potenciais fisicamente razoáveis.
É possível relaxar um pouco essas condições para propósitos especiais.<ref group=nb>Um desses relaxamentos é que a função de onda deve pertencer ao [[Espaços de Sobolev|espaço de Sobolev]] ''W''<sup>1,2</sup>. Isso significa que ela é diferenciável no sentido de [[Teoria das distribuições|distribuições]], e seu [[gradiente]] é <!--[[:en:Square-integrable function]]-->integrável ao quadrado. Esse relaxamento é necessário para potenciais que não são funções, mas são distribuições, como a [[Delta de Dirac|função ''delta'' de Dirac]].</ref> Se esses requisitos não forem atendidos, não é possível interpretar a função de onda como uma amplitude de probabilidade.{{Sfn|Atkins|1974|p=258}} Observe que exceções podem surgir à regra de continuidade das derivadas em pontos de descontinuidade infinita do campo potencial. Por exemplo, em uma [[partícula em uma caixa]] onde a derivada da função de onda pode ser descontínua no limite da caixa onde o potencial é conhecido por ter descontinuidade infinita.

Isso não altera a estrutura do espaço de Hilbert que essas funções de onda particulares habitam, mas o subespaço das funções integráveis ao quadrado {{Math|''L''<sup>2</sup>}}, que é um espaço de Hilbert, satisfazendo o segundo requisito não é fechado em {{Math|''L''<sup>2</sup>}}, portanto não é um espaço de Hilbert em si.<!--<ref group=nb>É fácil visualizar uma sequência de funções que atendem ao requisito que converge para uma função ''descontínua''. Para isso, modifique um exemplo dado em [[:en:Inner product space#Examples]]. Este elemento, porém, ''é'' um elemento de {{Math|''L''<sup>2</sup>}}.</ref>--> As funções que não atendem aos requisitos ainda são necessárias por razões técnicas e práticas.<ref group=nb>Por exemplo, na [[Teoria das perturbações|teoria de perturbação]], pode-se construir uma sequência de funções aproximando a função de onda verdadeira. Esta sequência terá a garantia de convergir em um espaço maior, mas sem a suposição de um espaço de Hilbert completo, não será garantido que a convergência seja para uma função no espaço relevante e, portanto, resolverá o problema original.</ref><ref group=nb>Algumas funções que não são integráveis ao quadrado, como as soluções de partículas livres de ondas planas, são necessárias para a descrição, conforme descrito em uma nota anterior e também mais adiante.</ref>

==Mais sobre espaço de estado abstrato e funções de onda==
{{Artigo principal|Estado quântico}}
Como foi demonstrado, o conjunto de todas as funções de onda possíveis em alguma representação para um sistema constitui um espaço de Hilbert de [[Dimensão (espaço vetorial)|dimensão infinita]] em geral. Devido às múltiplas escolhas possíveis de base de representação, esses espaços de Hilbert não são únicos. Portanto, fala-se de um espaço de Hilbert abstrato, '''espaço de estado''', onde a escolha da representação e da base é deixada indeterminada. Especificamente, cada estado é representado como um vetor abstrato no espaço de estado.{{Sfn|Cohen-Tannoudji|Diu|Laloë|2019|pp=103,215}} Um estado quântico {{Math|1=<span class="nowrap">&#124;Ψ&#x27E9;</span>}} em qualquer representação é geralmente expresso como um vetor<!---->
<math display="block">|\Psi\rangle =
\sum_{\boldsymbol{\alpha}}\int d^m\!\boldsymbol{\omega}\,\,
\Psi_t(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\omega)\,
|\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\omega\rangle</math>
onde:

* {{Math|1=<span class="nowrap">&#124;'''α''', '''ω'''&#x27E9;</span>}} os vetores base da representação escolhida;
* {{Math|1=''d<sup>m</sup>'''''ω''' = ''dω''<sub>1</sub>''dω''<sub>2</sub>...''dω<sub>m</sub>''}} um <!--[[:en:Volume element]]-->elemento de volume diferencial nos graus de liberdade contínuos;
* <math>\boldsymbol{\Psi}_t(\boldsymbol\alpha, \boldsymbol\omega)</math> a component of the vector <math>|\Psi\rangle</math>, chamado de função de onda do sistema;
* {{Math|1='''α''' = (''α''<sub>1</sub>, ''α''<sub>2</sub>, ..., ''α<sub>n</sub>'')}} números quânticos discretos adimensionais;
* {{Math|1='''ω''' = (''ω''<sub>1</sub>, ''ω''<sub>2</sub>, ..., ''ω<sub>m</sub>'')}} variáveis contínuas (não necessariamente adimensionais).

Esses números quânticos indexam os componentes do vetor de estado. Além disso, todos os {{Math|'''α'''}} estão em um [[conjunto]] {{Math|''n''}}-dimensional {{Math|1=''A'' = ''A''<sub>1</sub> × ''A''<sub>2</sub> × ... × ''A<sub>n</sub>''}} onde cada {{Math|''A<sub>i</sub>''}} é o conjunto de valores permitidos para {{Math|''α<sub>i</sub>''}}; todos os {{Math|'''ω'''}} estão em um "volume" {{Math|''m''}}-dimensional {{Math|Ω ⊆ ℝ<sup>''m''</sup>}} onde {{Math|1=Ω = Ω<sub>1</sub> × Ω<sub>2</sub> × ... × Ω<sub>''m''</sub>}} e cada {{Math|Ω<sub>''i''</sub> ⊆ '''R'''}} é o conjunto de valores permitidos para {{Math|''ω<sub>i</sub>''}}, um [[subconjunto]] dos [[Número real|números reais]] {{Math|'''R'''}}. Para generalidade, {{Mvar|n}} e {{Mvar|m}} não são necessariamente iguais.

'''Exemplo:'''
{{Lista ordenada|list-style-type=lower-alpha|1=Para uma única partícula em ''3d'' com ''spin'' ''s'', negligenciando outros graus de liberdade, usando coordenadas cartesianas, poderíamos tomar {{Math|1='''α''' = (''s<sub>z</sub>'')}} para o número quântico de ''spin'' da partícula ao longo da direção z, e {{math|1='''ω''' = (''x'', ''y'', ''z'')}} para as coordenadas de posição da partícula. Aqui {{Math|1=''A'' = {−''s'', −''s'' + 1, ..., ''s'' − 1, ''s''} }} é o conjunto de números quânticos de ''spin'' permitidos e {{Math|1=Ω = '''R'''<sup>3</sup>}} é o conjunto de todas as posições possíveis de partículas em todo o espaço de posição ''3d''.|2=Uma escolha alternativa é {{Math|1='''α''' = (''s<sub>y</sub>'')}} para o número quântico de ''spin'' ao longo da direção y e {{Math|1='''ω''' = (''p<sub>x</sub>'', ''p<sub>y</sub>'', ''p<sub>z</sub>'')}} para os componentes de momento da partícula. Neste caso, {{Math|''A''}} e {{Math|Ω}} são os mesmos de antes.}}

A [[Função de densidade de probabilidade|densidade de probabilidade]] de encontrar o sistema no tempo <math>t</math> no estado {{Math|1=<span class="nowrap">&#124;'''α''', '''ω'''&#x27E9;</span>}} é
<math display="block">\rho_{\alpha, \omega} (t)= |\Psi(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\omega},t)|^2</math>

A probabilidade de encontrar um sistema com {{Math|'''α'''}} em algumas ou todas as configurações possíveis de variáveis discretas, {{Math|''D'' ⊆ ''A''}}, e {{Math|'''ω'''}} em algumas ou todas as configurações possíveis de variáveis contínuas, {{Math|''C'' ⊆ Ω}}, é a soma e a integral sobre a densidade,<ref group="nb">Aqui: <math display="block">\sum_{\boldsymbol{\alpha}} \equiv \sum_{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n} \equiv \sum_{\alpha_1}\sum_{\alpha_2}\cdots\sum_{\alpha_n} </math>é uma soma múltipla.</ref>
<math display="block">P(t)=\sum_{\boldsymbol{\alpha}\in D}\int_C d^m\!\boldsymbol{\omega}\,\,\rho_{\alpha, \omega}(t)</math>

Como a soma de todas as probabilidades deve ser 1, a condição de normalização
<math display="block">1=\sum_{\boldsymbol{\alpha}\in A}\int_{\Omega}d^m\!\boldsymbol{\omega}\,\,\rho_{\alpha, \omega} (t)</math> deve ser válida em todos os momentos durante a evolução do sistema.

A condição de normalização requer que {{Math|''ρ d<sup>m</sup>'''''ω'''}} seja adimensional, pela [[análise dimensional]] {{Math|Ψ}} deve ter as mesmas unidades que {{Math|(''ω''<sub>1</sub>''ω''<sub>2</sub>...''ω<sub>m</sub>'')<sup>−1/2</sup>}}.

==Ontologia==
{{Artigo principal|Interpretações da mecânica quântica}}
Se a função de onda existe na realidade, e o que ela representa, são questões importantes na [[Interpretações da mecânica quântica|interpretação da mecânica quântica]]. Muitos físicos famosos de uma geração anterior ficaram intrigados com esse problema, como [[Erwin Schrödinger]], [[Albert Einstein]] e [[Niels Bohr]]. Alguns defendem formulações ou variantes da [[interpretação de Copenhague]] (por exemplo, Bohr, [[Eugene Wigner]] e [[John von Neumann]]), enquanto outros, como [[John Archibald Wheeler]] ou [[Edwin Thompson Jaynes]], adotam a abordagem mais clássica{{Sfn|Jaynes|2003}} e consideram a função de onda como representando informações na mente do observador, ou seja, uma medida do nosso conhecimento da realidade. Alguns, incluindo Schrödinger, [[David Bohm]] e [[Hugh Everett III]] e outros, argumentaram que a função de onda deve ter uma existência física objetiva. Einstein pensou que uma descrição completa da realidade física deveria se referir diretamente ao espaço e tempo físicos, diferentemente da função de onda, que se refere a um espaço matemático abstrato.{{Sfn|Einstein|1998|p=682}}

==Ver também==
* [[Bóson]]
* [[Colapso da função de onda]]
* [[Equação de Schrödinger]]
* [[Experiência da dupla fenda]]
* [[Férmion]]
* [[Interpretação de Bohm|Teoria de De Broglie e Bohm]]

==Notas==
===Comentários===
{{Reflist|group=nb}}
===Citações===
{{Reflist|22em}}
==Referências==
{{InícioRef|30em}}
* {{Cite web |title=''Applications of Quantum Mechanics'' |publisher=''Department of Quantum Nanoscience studies at TU Delft'' |website=Lecture notes for the course AP3303 |url=https://appquantmech.quantumtinkerer.tudelft.nl/ch21/ |ref={{Sfnref |Applications of Quantum Mechanics}} |date=2022 |language=en}}
* {{Cite journal |title=''Einstein's proposal of the photon concept: A translation of the Annalen der Physik paper of 1905'' |last1=Arons |first1=A. B. |last2=Peppard |first2=M. B. |journal=<!--[[:en:American Journal of Physics]]-->American Journal of Physics |year=1965 |volume=33 |issue=5 |page=367 |url=http://astro1.panet.utoledo.edu/~ljc/PE_eng.pdf |bibcode=1965AmJPh..33..367A |doi=10.1119/1.1971542 |language=en}}
* {{Cite book |title=Quanta: A Handbook of Concepts |last=Atkins |first=P. W. |year=1974 |publisher=''Clarendon Press'' |isbn=978-0-19-855494-3 |language=en}}
* {{Cite book |title=Niels Bohr - Collected Works: Foundations of Quantum Physics I (1926 - 1932) |last=Bohr |first=N. |year=1985 |author-link=Niels Bohr |editor1-last=Kalckar |editor1-first=J. |publisher=''North Holland'' |location=''Amsterdam'' |volume=6 |isbn=978-044453289-3 |language=en}}
* {{Cite journal |title=''Zur Quantenmechanik der Stoßvorgange'' |last=Born |first=M. |journal=Z. Phys. |year=1926a |volume=37 |issue=12 |pages=863–867 |bibcode=1926ZPhy...37..863B |doi=10.1007/bf01397477 |s2cid=119896026 |language=de}}
* {{Cite journal |title=''Quantenmechanik der Stoßvorgange'' |last=Born |first=M. |journal=Z. Phys. |year=1926b |volume=38 |issue=11–12 |pages=803–827 |bibcode=1926ZPhy...38..803B |doi=10.1007/bf01397184 |s2cid=126244962 |language=de}}
* {{Cite journal |title=''Physical aspects of quantum mechanics'' |last=Born |first=M. |author-link=Max Born |journal=Nature |year=1927 |volume=119 |issue=2992 |pages=354–357 |bibcode=1927Natur.119..354B |doi=10.1038/119354a0 |doi-access=free |language=en}}
* {{Cite journal |title=''The statistical interpretation of quantum mechanics'' |last=Born |first=M. |journal=Nobel Lecture |publisher=[[Fundação Nobel|''Nobel Foundation'']] |url=https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1954/born/lecture/ |date=11-12-1954 |volume=122 |issue=3172 |pages=675–9 |doi=10.1126/science.122.3172.675 |pmid=17798674 |language=en}}
* {{Cite journal |title=''Radiations—Ondes et quanta'' |trans-title=Radiação—Ondas e quanta |last=de Broglie |first=L. |journal=Comptes Rendus |year=1923 |volume=177 |pages=507–510, 548, 630 |language=fr}} [http://www.academie-sciences.fr/pdf/dossiers/Broglie/Broglie_pdf/CR1923_p507.pdf Cópia ''on-line'' (francês)] [http://www.davis-inc.com/physics/broglie/broglie.shtml Cópia ''on-line'' (inglês)]
* {{Cite book |title=Non-linear Wave Mechanics: a Causal Interpretation |last=de Broglie |first=L. |year=1960 |author-link=Louis de Broglie |publisher=''Elsevier'' |location=''Amsterdam'' |url=https://archive.org/details/nonlinearwavemec0000brog |url-access=registro |via=''[[Internet Archive]]'' |language=en}}
* {{Cite book |title=Mathematics of Classical and Quantum Physics |edition=''revised'' |last1=Byron |first1=F. W. |last2=Fuller |first2=R. W. <!--|author2-link=:en:Robert W. Fuller -->|year=1992 |orig-year=''First published 1969'' |publisher=''[[Dover Publications]]'' |series=''Dover Books on Physics'' |url=https://archive.org/details/mathematicsofcla00byro |via=[[Internet Archive]] |isbn=978-0-486-67164-2 |language=en}}
* {{Cite book |title=Heisenberg and the Interpretation of Quantum Mechanics: the Physicist as Philosopher |last=Camilleri |first=K. |year=2009 |publisher=''Cambridge University Press'' |location=''Cambridge UK'' |isbn=978-0-521-88484-6 |language=en }}
* {{Cite book |last=Cohen-Tannoudji |first=Claude |last2=Diu |first2=Bernard |last3=Laloë |first3=Franck |title=Quantum Mechanics, Volume 1 |publisher=''John Wiley & Sons'' |publication-place=''Weinheim, Germany'' |date=2019 |isbn=978-3-527-34553-3 |language=en}}
* {{Cite book |title=A Course in Functional Analysis |last=Conway |first=J. B. |year=1990 |author-link=John Bligh Conway |publisher=''[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]'' |volume=96 |series=''Graduate Texts in Mathematics'' |isbn=978-0-387-97245-9 |language=en}}
* {{Cite journal |title=''A new notation for quantum mechanics'' |last=Dirac |first=P. A. M. |journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society |year=1939 |volume=35 |issue=3 |pages=416–418 |bibcode=1939PCPS...35..416D |doi=10.1017/S0305004100021162 |s2cid=121466183 |language=en }}
* {{Cite book |title=The principles of quantum mechanics |edition=''4th'' |last=Dirac |first=P. A. M. |year=1982 |author-link=Paul Dirac |publisher=''Oxford University Press'' |series=''The international series on monographs on physics'' |isbn=0-19-852011-5 |language=en}}
* {{Cite journal |title=''Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt'' |last=Einstein |first=A. |author-link=Albert Einstein |journal=[[Annalen der Physik]] |year=1905 |volume=17 |issue=6 |pages=132–148 |language=de |bibcode=1905AnP...322..132E |doi=10.1002/andp.19053220607 |doi-access=free}}
*{{Cite journal |title=''Zur Quantentheorie der Strahlung'' |last=Einstein |first=A. |journal=Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich |year=1916 |volume=18 |pages=47–62 }}
* {{Cite journal |title=''Zur Quantentheorie der Strahlung'' |last=Einstein |first=A. |journal=<!--[[:en:Physikalische Zeitschrift]]-->Physikalische Zeitschrift |year=1917 |volume=18 |pages=121–128 |language=de |bibcode=1917PhyZ...18..121E}}
* {{Cite book |title=Albert Einstein: Philosopher-Scientist |edition=''3rd'' |last=Einstein |first=A. |year=1998 |editor1-last=Schilpp |editor1-first=P. A. <!--|editor-link=:en:Paul Arthur Schilpp -->|publisher=''Open Court'' |location=''La Salle Publishing Company, Illinois'' |volume=VII |series=''The Library of Living Philosophers'' |isbn=978-0-87548-133-3 |language=en}}
* {{Cite book |title=Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles |edition=''2nd'' |last1=Eisberg |first1=Robert Martin |last2=Resnick |first2=Robert |author-link2=Robert Resnick |year=1985 |publisher=''John Wiley & Sons'' |url=https://archive.org/details/quantumphysicsof00eisb |via=''[[Internet Archive]]'' |isbn=978-0-471-87373-0 |language=en}}
* {{Cite book |title=Quantum Electrodynamics |edition=''4th'' |last1=Greiner |first1=W. |last2=Reinhardt |first2=J. |author1-link=Walter Greiner |year=2008 |publisher=''Springer'' |url=https://books.google.com/books?id=5Kd3dBL8a64C&q=walter+greiner+Quantum+electrodynamics |isbn=978-354087560-4 |language=en}}
* {{Cite book |title=Introduction to Quantum Mechanics |edition=''2nd'' |last=Griffiths |first=D. J. |year=2004 |publisher=''Pearson Education'' |location=''Essex England'' |isbn=978-013111892-8 |language=en}}
* {{Cite book |title=Introduction to elementary particles |last=Griffiths |first=David |year=2008 |publisher=''Wiley-VCH'' |url=https://books.google.com/books?id=w9Dz56myXm8C&pg=PA162 |pages=162ff |isbn=978-3-527-40601-2 |language=en}}
* {{Cite book |title=The Old Quantum Theory |last=ter Haar |first=D. |year=1967 |author-link=Dirk ter Haar |publisher=<!--[[:en:Pergamon Press]]-->''Pergamon Press'' |url=https://archive.org/details/oldquantumtheory0000haar |url-access=registro |via=''[[Internet Archive]]'' |pages=[https://archive.org/details/oldquantumtheory0000haar/page/167 167–183] |lccn=66029628 |language=en}}
* {{Citation |title=''Erwin Schrodinger's Reaction to Louis de Broglie's Thesis on the Quantum Theory'' |last=Hanle |first=P.A. |year=1977 |journal=Isis |volume=68 |issue=4 |pages=606–609 |doi=10.1086/351880 |s2cid=121913205 |language=en}}
* {{Cite book |title=Physics and Philosophy: the Revolution in Modern Science |last=Heisenberg |first=W. |year=1958 |author-link=Werner Heisenberg |publisher=''Harper & Row'' |location=''New York'' |url=https://archive.org/details/physicsphilosoph0000heis |url-access=registro |via=''[[Internet Archive]]'' |language=en}}
* {{Cite book |title=Probability Theory: The Logic of Science |last=Jaynes |first=E. T. |year=2003 |editor1-last=Larry |editor1-first=G. |publisher=''[[Cambridge University Press]]'' |isbn=978-0-521 59271-0 |language=en}}
* {{Cite book |title=Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory |edition=''3rd'' |last1=Landau |first1=L.D. |last2=Lifshitz |first2=E. M. |author1-link=Lev Landau |author2-link=Evgeny Lifshitz |year=1977 |publisher=<!--[[:en:Pergamon Press]]-->''Pergamon Press'' |volume=3 |isbn=978-0-08-020940-1 |language=en}} [https://archive.org/details/QuantumMechanics_104 Cópia ''on-line'']
* {{Cite book |last=Landsman |first=N. P. |title=Compendium of Quantum Physics |chapter=''Born Rule and its Interpretation'' |chapter-url=https://www.math.ru.nl/~landsman/Born.pdf |publisher=''Springer Berlin Heidelberg'' |publication-place=''Berlin, Heidelberg'' |year=2009 |pages=64–70 |isbn=978-3-540-70622-9 |doi=10.1007/978-3-540-70626-7_20 |language=en}}
* {{Cite book |title=Encyclopaedia of Physics |edition=''2nd'' |last1=Lerner |first1=R.G. <!--|author1-link=:en:Rita G. Lerner -->|last2=Trigg |first2=G.L. |year=1991 |publisher=''VHC Publishers'' |url=https://archive.org/details/encyclopediaofph00lern |via=''[[Internet Archive]]'' |isbn=978-0-89573-752-6 |language=en}}
* {{Cite book |title=Wave Mechanics |last=Ludwig |first=G. |year=1968 |publisher=''Pergamon Press'' |location=''Oxford UK'' |url=https://archive.org/details/wavemechanics0000ludw |url-access=registro |via=''[[Internet Archive]]'' |isbn=978-0-08-203204-5 |lccn=66-30631 |language=en}}
* {{Cite book |title=Particle Physics |edition=''3rd'' |last1=Martin |first1=B.R. |last2=Shaw |first2=G. |year=2008 |publisher=''John Wiley & Sons'' |series=''Manchester Physics Series'' |isbn=978-0-470-03294-7 |language=en}}
* {{Cite book |title=Niels Bohr's Philosophy of Physics |last=Murdoch |first=D. |year=1987 |publisher=''Cambridge University Press'' |location=''Cambridge UK'' |url=https://archive.org/details/nielsbohrsphilos0000murd |url-access=registro |via=''[[Internet Archive]]'' |isbn=978-0-521-33320-7 |language=en}}
* {{Cite book |title=Quantum Physics: a Text for Graduate Student |last=Newton |first=R.G. |year=2002 |publisher=''Springer'' |location=''New York'' |isbn=978-0-387-95473-8 |language=en}}
* {{Cite journal |title=''Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons'' |last=Pauli |first=Wolfgang |author-link=Wolfgang Pauli |journal=Zeitschrift für Physik |year=1927 |volume=43 |issue=9–10 |pages=601–623 |language=de |bibcode=1927ZPhy...43..601P |doi=10.1007/bf01397326 |s2cid=128228729 }}
* {{Cite book |title=Quantum mechanics |edition=''2nd'' |last1=Peleg |first1=Y. |last2=Pnini |first2=R. |last3=Zaarur |first3=E. |last4=Hecht |first4=E. |year=2010 |publisher=''McGraw Hill'' |series=''Schaum's outlines'' |isbn=978-0-07-162358-2 |language=en}}
* {{Cite book |title=Quantum Mechanics |edition=''5th'' |last=Rae |first=A.I.M. |year=2008 |publisher=''Taylor & Francis Group'' |volume=2 |url=https://books.google.com/books?id=YDhHAQAAIAAJ&q=quantum+mechanics+Alastair+Rae+5th+edition |isbn=978-1-5848-89700 |language=en}}
* {{Cite journal |title=''An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules'' |last=Schrödinger |first=E. |author-link=Erwin Schrödinger |journal=[[Physical Review]] |year=1926 |volume=28 |issue=6 |pages=1049–1070 |url=http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20081217040121/http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf |archive-date=2008-12-17 |bibcode=1926PhRv...28.1049S |doi=10.1103/PhysRev.28.1049 |language=en}}
* {{Cite book |title=Principles of Quantum Mechanics |edition=''2nd'' |last=Shankar |first=R. |year=1994 |isbn=978-030644790-7 |language=en}}
* {{Cite book |title=Physics for Scientists and Engineers – with Modern Physics |edition=''6th'' |last1=Tipler |first1=P. A. |last2=Mosca |first2=G. |last3=Freeman |year=2008 |publisher=''W. H. Freeman'' |isbn=978-0-7167-8964-2 |language=en}}
* {{Cite book |last=Treves |first=Francois |title=Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels |publisher=''Courier Corporation'' |publication-place=''Mineola, NY'' |date=2006 |isbn=978-0-486-45352-1 |language=en}}
* {{Citation |title=The Quantum Theory of Fields |last=Weinberg |first=S. |year=2002 |publisher=''Cambridge University Press'' |volume=1 |url=https://archive.org/details/quantumtheoryoff00stev |via=''[[Internet Archive]]'' |isbn=978-0-521-55001-7 |language=en}}
* {{Citation |title=Lectures in Quantum Mechanics |last=Weinberg |first=S. |year=2013 |author-link=Steven Weinberg |publisher=''Cambridge University Press'' |isbn=978-1-107-02872-2 |language=en}}
* {{Cite book |title=Quantum Theory and Measurement |last1=Wheeler |first1=J.A. |last2=Zurek |first2=W.H. |author1-link=John Archibald Wheeler |author2-link=Wojciech Zurek |year=1983 |publisher=''Princeton University Press'' |location=''Princeton NJ'' |language=en}}
* {{Cite book |title=Sears' and Zemansky's University Physics |edition=''12th'' |last1=Young |first1=H. D. |last2=Freedman |first2=R. A. |year=2008 |editor=Pearson |publisher=''Addison-Wesley'' |isbn=978-0-321-50130-1 |language=en}}
* {{Cite book |title=Quantum Mechanics: Concepts and Applications |edition=''2nd'' |last=Zettili |first=N. |year=2009 |publisher=''Wiley'' |isbn=978-0-470-02679-3 |language=en}}
* {{Cite book |title=A First Course in String Theory |last=Zwiebach |first=Barton |publisher=''Cambridge University Press'' |date=2009 |isbn=978-0-521-88032-9 |language=en}}
{{-fim}}

==Leitura adicional==
{{InícioRef}}
* {{Cite book |title=Practical Atomic Physics |last=Kim |first=Yong-Ki |publisher=''National Institute of Standards and Technology'' |pages=1 (55 s) |url=http://amods.kaeri.re.kr/mcdf/lectnote.pdf |urlmorta=sim |archive-url=https://web.archive.org/web/20110722141558/http://amods.kaeri.re.kr/mcdf/lectnote.pdf |date=02-09-2000 |archive-date=2011-07-22 |ref=none |language=en}}
* {{Cite book |title=Quantum Theory, A Very Short Introduction |last=Polkinghorne |first=John |year=2002 |author-link=John Polkinghorne |publisher=''Oxford University Press'' |isbn=978-0-19-280252-1 |ref=none |language=en}}
{{-fim}}
{{Portal3|Ciência|Física|Matemática}}
<!---->
{{DEFAULTSORT:Função de onda}}
[[Categoria:Mecânica quântica]]<!---->
[[Categoria:Ondas]]