Mostrar código-fonte de Função linear

{{Descrição curta|Mapa linear ou função polinomial de grau um}}
{{Para|o uso do termo em cálculo|Função afim{{!}}Função linear (cálculo)}}

Na [[matemática]], o termo '''função linear''' se refere a duas noções distintas, mas relacionadas:<ref>"O termo ''função linear'' significa uma forma linear em alguns livros e uma função afim em outros." Vaserstein (2006), página(s) 50 - 51</ref>

* No [[Cálculo infinitesimal|cálculo]] e em áreas afins, uma função linear é uma [[Função (matemática)|função]] cujo gráfico{{Ill|en||Graph of a function|nlk=true}} é uma [[Reta|linha reta]], ou seja, uma [[função polinomial]]{{Ill|en||Polynomial#Polynomial_functions|nlk=true}} de [[Grau de um polinômio|grau]] zero ou um.<ref>Stewart (2012), página 23</ref> Para distinguir tal função linear do outro conceito, o termo ''[[função afim]]'' é frequentemente usado.<ref>{{Cite book |author=A. Kurosh |title=Higher algebra |year=1975 |publisher=''Mir publishers'' |page=214 |language=en }}</ref>
* Na [[álgebra linear]], na [[análise matemática]]<ref>{{Cite book |author=T. M. Apostol |title=Mathematical analysis |year=1981 |publisher=Addison-Wesley |page=345 |language=en }}</ref> e na [[análise funcional]], uma função linear é um [[Transformação linear|mapa linear]].<ref>Shores (2007), página 71</ref>

== Como uma função polinomial ==

{{Artigo principal|Função afim{{!}}Função linear (cálculo)}}

[[File:Linear Function Graph.svg|thumb|Gráficos de duas funções lineares.]]

No cálculo, na [[geometria analítica]] e em áreas afins, uma função linear é um polinômio de grau um ou menor, incluindo o polinômio zero{{Ill|en||Polynomial#zero_polynomial|nlk=true}} (este último não sendo considerado como tendo grau zero).

Quando a função é de apenas uma [[Variável (matemática)|variável]], ela é da forma

: <math>f(x)=ax+b,</math>

onde {{Mvar|''a''}} e {{Mvar|''b''}} são [[Constante matemática|constantes]], frequentemente [[Número real|números reais]]. O gráfico{{Ill|en||Graph of a function|nlk=true}} de tal função de uma variável é uma linha não vertical. {{Mvar|''a''}} é frequentemente referido como a inclinação da linha e {{Mvar|''b''}} como a interceptação.

Se ''a'' > 0, então o [[Declive|gradiente]] é positivo e o gráfico se inclina para cima.

Se ''a'' < 0, então o [[Declive|gradiente]] é negativo e o gráfico se inclina para baixo.

Para uma função <math>f(x_1, \ldots, x_k)</math> de qualquer número finito de variáveis, a fórmula geral é

: <math>f(x_1, \ldots, x_k) = b + a_1 x_1 + \cdots + a_k x_k ,</math>

e o gráfico é um [[hiperplano]] de dimensão {{Nowrap|''k''}}.

Uma [[função constante]] também é considerada linear neste contexto, pois é um polinômio de grau zero ou é o polinômio zero. Seu gráfico, quando há apenas uma variável, é uma linha horizontal.

Nesse contexto, uma função que também é um mapa linear (o outro significado) pode ser chamada de função linear [[Função homogênea|homogênea]] ou [[forma linear]]. No contexto da álgebra linear, as funções polinomiais de grau 0 ou 1 são os mapas afins{{Ill|en||Affine transformation#Affine maps|nlk=true}} de valor escalar.

== Como um mapa linear ==

{{Artigo principal|Transformação linear{{!}}Mapa linear}}

[[File:Integral as region under curve.svg|thumb|A [[integral]] de uma função é um mapa linear do espaço vetorial de funções integráveis para os números reais.]]

Na álgebra linear, uma função linear é um mapa ''f'' entre dois [[Espaço vetorial|espaços vetoriais]] s.t.

:<math>f(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = f(\mathbf{x}) + f(\mathbf{y}) </math>
:<math>f(a\mathbf{x}) = af(\mathbf{x}). </math>

Aqui {{Math|''a''}} denota uma constante pertencente a algum [[Corpo (matemática)|campo]] {{Math|''K''}} de [[Grandeza escalar|escalares]] (por exemplo, os [[Número real|números reais]]) e {{Math|''x''}} e {{Math|''y''}} são elementos de um [[espaço vetorial]], que pode ser o próprio {{Math|''K''}}.

Em outros termos, a função linear preserva a [[Vetor (matemática)#Adição|adição vetorial]]{{Ill|en||Euclidean vector#Addition and subtraction|nlk=true}} e a [[multiplicação escalar]].

Alguns autores usam "função linear" apenas para mapas lineares que assumem valores no campo escalar;<ref>Gelfand (1961)</ref> estes são mais comumente chamados de [[Forma linear|formas lineares]].

As "funções lineares" do cálculo se qualificam como "mapas lineares" quando (e somente quando) {{Math|1=''f''(0, ..., 0) = 0}}, ou, equivalentemente, quando a constante {{Mvar|b}} é igual a zero no polinômio de um grau acima. Geometricamente, o gráfico da função deve passar pela origem.

== Ver também ==

* [[Aproximação linear]]
* [[Função homogênea]]
* [[Função linear em trecho|Função linear em partes]]
* [[Interpolação linear]]
* Mapa linear descontínuo{{Ill|en||Discontinuous linear map|nlk=true}}

* [[Sistema dinâmico não linear|Sistema não linear]]
* Mínimo de quadrados linear{{Ill|en||Linear least squares|nlk=true}}

== Notas ==

<references/>

== Referências ==

* Izrail Moiseevich Gelfand (1961), ''Lectures on Linear algebra'' (em inglês), ''Interscience publishers, Inc.'', ''Nova York''. Reimpresso por ''Dover'', 1989. {{Isbn|0-486-66082-6}}
* Thomas S. Shores (2007), ''Applied linear algebra and matrix analysis'' (em inglês), [[Undergraduate Texts in Mathematics|''Undergraduate texts in mathematics'']], ''Springer''. {{Isbn|0-387-33195-6}}
*James Stewart (2012), ''Calculus: Early transcendentals'' (em inglês), edição 7E, ''Brooks/Cole''. {{Isbn|978-0-538-49790-9}}
* Leonid N. Vaserstein (2006), "Linear programming" (em inglês), em Leslie Hogben{{Ill|en||Leslie Hogben|nlk=true}}, ed., ''Handbook of linear algebra'' (em inglês), ''Discrete mathematics and its applications'' (em inglês), ''Chapman and Hall/CRC'', capítulo 50.  {{Isbn|1-584-88510-6}}

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[[Categoria:Funções polinomiais]]