Mostrar código-fonte de Função tau de Ramanujan

A '''função [[Τ|tau]] de Ramanujan''', estudada por [[Ramanujan]], é a função <math>\tau:\mathbb{N}\to\mathbb{Z}</math> definido pela seguinte identidade:

: <math>\sum_{n\geq 1}\tau(n)q^n=q\prod_{n\geq 1}(1-q^n)^{24} = \eta(z)^{24}=\Delta(z),</math>

onde  <math>q=\exp(2\pi iz)</math> com <math> \Im z > 0</math> e <math>\eta</math> é a [[função eta de Dedekind]] e a função<math>\Delta(z)</math> é uma [[forma de cúspide]] [[holomórfica]] de peso 12 e nível 1, conhecida como [[Funções elípticas de Weierstrass#Discriminante modular|forma modular discriminante]]. Aparece em conexão com um "termo de erro" envolvido na contagem do número de maneiras de expressar um [[número inteiro]] como uma soma de 24 quadrados. Uma fórmula devido a [[Ian Macdonald|Ian G. Macdonald]] foi dada em {{harvtxt|Dyson|1972}}.
[[Ficheiro:Absolute_Tau_function_for_x_up_to_16,000_with_logarithmic_scale.JPG|miniaturadaimagem|Valores de <math>|\tau(n)|</math> para <math>n <16.000</math> com [[escala logarítmica]]. A linha azul escolhe apenas os valores de <math>n</math> que são múltiplos de <math>121</math>.]]

== Valores ==
Os primeiros valores da função tau são dados na seguinte tabela {{OEIS|id=A000594}}:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
!<math>n</math>
|1
|2
|3
|4
|5
|6
|7
|8
|9
|10
|11
|12
|13
|14
|15
|16
|-
!<math>\tau(n)</math>
|1
|−24
|252
|−1472
|4830
|−6048
|−16744
|84480
|−113643
|−115920
|534612
|−370944
|−577738
|401856
|1217160
|987136
|}

== Conjecturas de Ramanujan ==
{{harvtxt|Ramanujan|1916}} observou, mas não provou, as seguintes três propriedades de <math>\tau(n)</math>:

* <math>\tau(mn) = \tau(m)\tau(n)</math> se <math>\mathrm{mdc}(m,n) = 1</math> (significa que <math>\tau(n)</math> é uma [[função multiplicativa]])
* <math>\tau(p^{r + 1}) = \tau(p)\tau(p^r) - p^{11}\tau(p^{r - 1})</math> para <math>p</math> [[Número primo|primo]] e <math>r> 0</math>.
* <math>|\tau(p)| \leq 2p^{11/2}</math> para todos os <math>p</math> primos.

As duas primeiras propriedades foram provadas por {{harvtxt|Mordell|1917}} e a terceira, chamada de [[conjectura de Ramanujan]], foi provada por [[Pierre Deligne|Deligne]] em 1974 como consequência de sua prova das [[conjecturas de Weil]] (especificamente, ele a deduziu aplicando-as a uma variedade Kuga-Sato).

== Congruências para a função tau ==
Para <math>k \in \mathbb{Z}</math> e <math>n \in \mathbb{Z}_{>0}</math>, defina <math>\sigma_k (n)</math> como a soma das <math>k</math>-ésimas potências dos divisores de <math>n</math>. A função tau satisfaz várias [[Relação de congruência|relações de congruência]]; muitas delas podem ser expressas em termos de <math>\sigma_k (n)</math>. Aqui estão algumas:<ref name="swd">Página 4 de {{harvnb|Swinnerton-Dyer|1973}}</ref>

# <math>\tau(n)\equiv\sigma_{11}(n)\ \bmod\ 2^{11}\ \text{ para }\ n\equiv 1\ \bmod\ 8 </math><ref name="kolberg">Devido a {{harvnb|Kolberg|1962}}</ref>
# <math>\tau(n)\equiv 1217 \sigma_{11}(n)\ \bmod\  2^{13}\ \text{ para }\ n\equiv 3\ \bmod\ 8</math><ref name="kolberg" />
# <math>\tau(n)\equiv 1537 \sigma_{11}(n)\ \bmod\ 2^{12}\ \text{ para }\ n\equiv 5\ \bmod\ 8</math><ref name="kolberg" />
# <math>\tau(n)\equiv 705 \sigma_{11}(n)\ \bmod\ 2^{14}\ \text{ para }\ n\equiv 7\ \bmod\ 8</math><ref name="kolberg" />
# <math>\tau(n)\equiv n^{-610}\sigma_{1231}(n)\ \bmod\ 3^{6}\ \text{ para }\ n\equiv 1\ \bmod\ 3</math><ref name="ashworth">Devido a {{harvnb|Ashworth|1968}}</ref>
# <math>\tau(n)\equiv n^{-610}\sigma_{1231}(n)\ \bmod\ 3^{7}\ \text{ para }\ n\equiv 2\ \bmod\ 3</math><ref name="ashworth" />
# <math>\tau(n)\equiv n^{-30}\sigma_{71}(n)\ \bmod\ 5^{3}\ \text{ para }\ n\not\equiv 0\ \bmod\ 5</math><ref>Devido a Lahivi</ref>
# <math>\tau(n)\equiv n\sigma_{9}(n)\ \bmod\ 7\ \text{ para }\ n\equiv 0,1,2,4\ \bmod\ 7</math><ref name="Lehmer">Devido a D. H. Lehmer</ref>
# <math>\tau(n)\equiv n\sigma_{9}(n)\ \bmod\ 7^2\ \text{ para }\ n\equiv 3,5,6\ \bmod\ 7</math><ref name="Lehmer" />
# <math>\tau(n)\equiv\sigma_{11}(n)\ \bmod\ 691.</math><ref>Devido a {{harvnb|Ramanujan|1916}}</ref>

Para <math>p \neq 23</math> primo, temos<ref name="swd" /><ref>Devido a {{harvnb|Wilton|1930}}</ref>

# <math>\tau(p)\equiv 0\ \bmod\ 23\ \text{ se }\ \left(\frac{p}{23}\right)=-1</math>
# <math>\tau(p)\equiv \sigma_{11}(p)\ \bmod\ 23^2\ \text{ se }\ p \ \text{ é da forma }\ a^2+23b^2</math><ref>Devido a J.-P. Serre 1968, Seção 4.5</ref>
# <math>\tau(p)\equiv -1\ \bmod\ 23\ \text{ caso contrário}.</math>

== Conjecturas sobre τ (n) ==
Suponha que <math>f</math> é um peso <math>k</math> inteiro de nova forma e os coeficientes de Fourier <math>a (n)</math> são inteiros. Considere o problema: Se <math>f</math> não tem [[multiplicação complexa]], prove que quase todos os primos <math>p</math> têm a propriedade que <math>a (p) \ne 0 \bmod p</math>. Na verdade, a maioria dos primos deve ter essa propriedade e, portanto, são chamados de comuns. Apesar dos grandes avanços de Deligne e Serre nas representações de [[Galois]], que determinam <math>a (n) \bmod p</math> para <math>n</math> [[coprimo]] com <math>p</math>, não temos nenhuma pista de como calcular <math>a (n) \bmod p</math>. O único teorema a esse respeito é o famoso resultado de Elkies para [[Curva elíptica|curvas elípticas]] modulares, que de fato garante que existem infinitos primos <math>p</math> para os quais <math>a (p) = 0</math>, que por sua vez é obviamente <math>0 \bmod p</math>. Não conhecemos nenhum exemplo de <math>f</math> não-CM com peso <math>> 2</math> para o qual <math>a (p) \ne 0 \bmod p</math> para infinitos números primos <math>p</math> (embora deva ser verdadeiro para quase todos <math>p</math>). Também não conhecemos nenhum exemplo onde <math>a (p) = 0 \bmod p</math> para um número infinito de <math>p</math>. Algumas pessoas começaram a duvidar se <math>a (p) = 0 \bmod p</math> de fato para um número infinito de <math>p</math>. Como evidência, muitos forneceram o <math>\tau (p)</math> de Ramanujan (caso de peso <math>12</math>). O maior <math>p</math> conhecido para o qual <math>\tau (p) = 0 \bmod p</math> é <math>p = 7758337633</math>. As únicas soluções para a equação <math>\tau (p) \equiv 0 \bmod p</math> são <math>p = 2, 3, 5, 7, 2411</math> e <math>7758337633</math> até <math>10 ^ {10}</math>.<ref name="Lygeros">Due to [https://www.lygeros.org/articles.php?n=11713&l=fr N. Lygeros and O. Rozier 2010] </ref>

{{harvtxt|Lehmer|1947}} conjecturou que <math>\tau(n) \ne 0</math> para todo <math>n</math>, uma afirmação às vezes conhecida como [[conjectura]] de Lehmer. Lehmer verificou a conjectura para <math>n < 214928639999</math>.<ref>(Apostol 1997, p.&nbsp;22)</ref> A tabela a seguir resume o progresso na descoberta de valores sucessivamente maiores de <math>N</math> para o qual esta condição vale para todos <math>n\le N</math>.
{| class="wikitable"
!N
!referência
|-
|3316799
|Lehmer (1947)
|-
|214928639999
|Lehmer (1949)
|-
|<math>10^{15}</math>
|Serre (1973, p.&nbsp;98), Serre (1985)
|-
|1213229187071998
|Jennings (1993)
|-
|22689242781695999
|Jordan e Kelly (1999)
|-
|22798241520242687999
|Bosman (2007)
|-
|982149821766199295999
|Zeng e Yin (2013)
|-
|816212624008487344127999
|Derickx, van Hoeij, e Zeng (2013)
|}

== Notas ==
{{reflist|20em}}

== Referências ==

* {{Citation|último =Apostol|primeiro =T. M.|autorlink =Tom M. Apostol|título=Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory|ano=1997|periódico=New York: Springer-Verlag 2nd Ed.}}
* {{Citation|último =Ashworth|primeiro =M. H.|título=Congruence and identical properties of modular forms (D. Phil. Thesis, Oxford)|ano=1968}}
* {{citation|último1 =Dyson|primeiro1 =F. J.|autorlink1 =Freeman Dyson|título=Missed opportunities|zbl=0271.01005|periódico=Bull. Amer. Math. Soc.|volume=78|número=5|páginas=635–652|ano=1972|doi=10.1090/S0002-9904-1972-12971-9}}
* {{Citation|último =Kolberg|primeiro =O.|título=Congruences for Ramanujan's function τ(''n'')|periódico=Arbok Univ. Bergen Mat.-Natur. Ser.|número=11|ano=1962|mr=0158873|zbl=0168.29502}}
* {{citation|último1 =Lehmer|primeiro1 =D.H.|autorlink1 =D. H. Lehmer|título=The vanishing of Ramanujan's function τ(n)|zbl=0029.34502|periódico=Duke Math. J.|volume=14|páginas=429–433|ano=1947|doi=10.1215/s0012-7094-47-01436-1}}
* {{Citation|último =Lygeros|primeiro =N.|título=A New Solution to the Equation τ(p) ≡ 0 (mod p)|url=http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL13/Lygeros/lygeros5.pdf|ano=2010|periódico=Journal of Integer Sequences|volume=13|páginas=Article 10.7.4}}
* {{Citation|último1 =Mordell|primeiro1 =Louis J.|autorlink1 =Louis Mordell|título=On Mr. Ramanujan's empirical expansions of modular functions.|url=https://archive.org/stream/proceedingsofcam1920191721camb#page/n133|jfm=46.0605.01|ano=1917|periódico=[[Proceedings of the Cambridge Philosophical Society]]|volume=19|páginas=117–124}}
* {{Citation|último =Newman|primeiro =M.|título=A table of τ (p) modulo p, p prime, 3 ≤ p ≤ 16067|ano=1972|publicado=National Bureau of Standards}}
* {{Citation|último1 =Rankin|primeiro1 =Robert A.|editor-sobrenome1 =Andrews|editor-nome1 =George E.|título=Ramanujan revisited (Urbana-Champaign, Ill., 1987)|url=https://books.google.com/books?id=GJUEAQAAIAAJ|publicado=[[Academic Press]]|local=Boston, MA|isbn=978-0-12-058560-1|mr=938968|ano=1988|capítulo=Ramanujan's tau-function and its generalizations|páginas=245–268}}
* {{Citation|último =Ramanujan|primeiro =Srinivasa|autorlink =Srinivasa Ramanujan|título=On certain arithmetical functions|periódico=Trans. Camb. Philos. Soc.|ano=1916|volume=22|número=9|páginas=159–184|mr=2280861}}
* {{Citation|último =Serre|primeiro =J-P.|título=Une interprétation des congruences relatives à la fonction <math>\tau</math> de Ramanujan|periódico=Séminaire Delange-Pisot-Poitou|volume=14|ano=1968|autorlink =Jean-Pierre Serre|url=http://www.numdam.org/item?id=SDPP_1967-1968__9_1_A13_0}}
* {{Citation|último =Swinnerton-Dyer|mr=0406931|editor-nome2 =Jean-Pierre|editor-sobrenome2 =Serre|editor-nome1 =Willem|editor-sobrenome1 =Kuyk|doi=10.1007/978-3-540-37802-0|páginas=1–55|volume=350|primeiro =H. P. F.|series=Lecture Notes in Mathematics|isbn=978-3-540-06483-1|ano=1973|contribuição=On ℓ-adic representations and congruences for coefficients of modular forms|título=Modular functions of one variable, III|autorlink =Peter Swinnerton-Dyer|editor2-link=Jean-Pierre Serre}}
* {{Citation|último =Wilton|primeiro =J. R.|título=Congruence properties of Ramanujan's function τ(''n'')|ano=1930|periódico=Proceedings of the London Mathematical Society|volume=31|páginas=1–10|doi=10.1112/plms/s2-31.1.1}}
{{Portal3|matemática}}
[[Categoria:Funções multiplicativas]]
[[Categoria:Srinivasa Ramanujan]]