Mostrar código-fonte de Função trigonométrica

{{Descrição curta|Funções de um ângulo}}
[[Imagem:Academ Base of trigonometry-pt-br.svg|thumb|upright=1.35|Base da trigonometria: se dois [[Triângulo retângulo|triângulos retângulos]] têm <!--[[:en:Angle#Types of angles]]-->[[Ângulo#Quanto à medida|ângulos agudos]] iguais, eles são [[Semelhança (geometria)|semelhantes]], então os comprimentos dos seus lados correspondentes são [[Proporcionalidade|proporcionais]].]]
Na [[matemática]], as '''funções trigonométricas''' (também chamadas de '''funções circulares''', '''funções angulares''' ou '''funções goniométricas'''){{Referências múltiplas|klein}} são <!--[[:en:Function of a real variable|-->funções reais<!--]]--> que relacionam um ângulo de um [[triângulo retângulo]] a razões de dois comprimentos laterais. Elas são amplamente utilizadas em todas as ciências relacionadas à [[geometria]], como [[navegação]], [[mecânica dos sólidos]], [[mecânica celeste]], [[geodésia]] e muitas outras. Elas estão entre as [[Função periódica|funções periódicas]] mais simples e, como tal, também são amplamente utilizadas para estudar fenômenos periódicos por meio da [[análise de Fourier]].
{{Trigonometria}}
As funções trigonométricas mais amplamente usadas na matemática moderna são as funções de [[seno]], de [[cosseno]] e de '''tangente'''. Suas [[Inverso multiplicativo|recíprocas]] são respectivamente as funções de '''cossecante''', de '''secante''', e de '''cotangente''', que são menos usadas. Cada uma dessas seis funções trigonométricas tem uma [[Funções trigonométricas inversas|função inversa]] correspondente, e uma análoga entre as [[Função hiperbólica|funções hiperbólicas]].

As definições mais antigas de funções trigonométricas, relacionadas a triângulos retângulos, as definem apenas para <!--[[:en:Angle#Types of angles]]-->[[Ângulo#Quanto à medida|ângulos agudos]]. Para estender as funções de seno e de cosseno para funções cujo [[Domínio (matemática)|domínio]] é toda a <!--[[:en:Number line]]-->[[reta real]], definições geométricas usando o [[círculo unitário]] padrão (ou seja, um círculo com [[Raio (geometria)|raio]] de 1 unidade) são frequentemente usadas; então o domínio das outras funções é a reta real com alguns pontos isolados removidos. Definições modernas expressam funções trigonométricas como [[Série (matemática)|séries infinitas]] ou como soluções de [[Equação diferencial|equações diferenciais]]. Isso permite estender o domínio das funções de seno e de cosseno para todo o [[plano complexo]], e o domínio das outras funções trigonométricas para o plano complexo com alguns pontos isolados removidos.

==Notação==
Convencionalmente, uma abreviação do nome de cada função trigonométrica é usada como seu símbolo em fórmulas. Hoje, as versões mais comuns dessas abreviações são "sen" para seno, "cos" para cosseno, "tan" ou "tg" para tangente, "sec" para secante, "csc" ou "cosec" para cossecante e "cot" ou "ctg" para cotangente. Historicamente, essas abreviações foram usadas pela primeira vez em frases em prosa para indicar <!--[[:en:Line segment]]-->segmentos de linha específicos ou seus comprimentos relacionados a um <!--[[:en:Circular arc]]-->arco de um círculo arbitrário e, mais tarde, para indicar proporções de comprimentos, mas à medida que o <!--[[:en:History of the function concept]]-->conceito de função se desenvolveu nos séculos XVII e XVIII, elas começaram a ser consideradas como funções de medidas de ângulos com valores numéricos reais e escritas com <!--[[:en:Function (mathematics)#Functional notation]]-->notação funcional, por exemplo, {{Math|sen(''x'')}}. Parênteses ainda são frequentemente omitidos para reduzir a desordem, mas às vezes são necessários; por exemplo, a expressão <math>\sen x+y</math> normalmente seria interpretada como <math>\sen (x)+y,</math> então parênteses são necessários para expressar <math>\sen (x+y)</math>.

Um [[Número natural|inteiro positivo]] aparecendo como um sobrescrito após o símbolo da função denota [[exponenciação]], não <!--[[:en:Function composition#Functional powers]]-->[[Composição de funções#Potência de uma função|composição de função]]. Por exemplo, <math>\sen^2 x</math> e <math>\sen^2 (x)</math> denotam <math>\sen(x) \cdot \sen(x)</math>, não <math>\sen(\sen x)</math>.  Isso difere da notação funcional geral (historicamente posterior) em que <math>f^2(x) = (f \circ f)(x) = f(f(x))</math>.

No entanto, o expoente <math>{-1}</math> é comumente usado para denotar a [[função inversa]], não a [[Inverso multiplicativo|recíproca]]. Por exemplo, <math>\sen^{-1}x</math> e <math>\sen^{-1}(x)</math> denotam a [[Funções trigonométricas inversas|função trigonométrica inversa]] escrita alternativamente <math>\text{arcsen } x</math>: A equação <math>\theta = \sen^{-1}x</math> implica <math>\sen \theta = x,</math> não <math>\theta \cdot \sen x = 1</math>. Neste caso, o sobrescrito ''pode'' ser considerado como denotando uma [[função iterada]] ou composta, mas sobrescritos negativos diferentes de <math>{-1}</math> não são de uso comum.

==Definições de triângulo retângulo==
[[Imagem:TrigonometryTriangle.svg|thumb|Neste triângulo retângulo, denotando a medida do ângulo BAC como A: {{Math|1=sen ''A'' = {{Sfrac|''a''|''c''}}}}; {{Math|1=cos ''A'' = {{Sfrac|''b''|''c''}}}}; {{Math|1=tan ''A'' = {{Sfrac|''a''|''b''}}}}.]]
[[Imagem:TrigFunctionDiagram.svg|thumb|Gráfico (em inglês) das seis funções trigonométricas, o círculo unitário e uma reta para o ângulo {{Math|1=''θ'' = 0,7 radianos}}. Os pontos rotulados {{Color|#D00|1}}, {{Color|#02D|Sec(''θ'')}}, {{Color|#0D1|Csc(''θ'')}} representam o comprimento do segmento de reta da origem até aquele ponto. {{Color|#D00|Sin(''θ'')}}, {{Color|#02D|Tan(''θ'')}}, e {{color|#0D1|1}} são as alturas da reta começando do eixo {{Mvar|x}}, enquanto {{Color|#D00|Cos(''θ'')}}, {{Color|#02D|1}}, e {{Color|#0D1|Cot(''θ'')}} são comprimentos ao longo do eixo {{Mvar|x}} começando da origem.]]
Se o ângulo agudo {{Mvar|θ}} for dado, então quaisquer triângulos retângulos que tenham um ângulo de {{Mvar|θ}} são [[Semelhança (geometria)|semelhantes]] entre si. Isso significa que a razão de quaisquer dois comprimentos laterais depende apenas de {{Mvar|θ}}. Assim, essas seis razões definem seis funções de {{Mvar|θ}}, que são as funções trigonométricas. Nas definições a seguir, a [[hipotenusa]] é o comprimento do lado oposto ao ângulo reto, ''oposto'' representa o lado oposto ao ângulo {{Mvar|θ}} dado, e ''adjacente'' representa o lado entre o ângulo  {{Mvar|θ}} e o ângulo reto.<ref>{{harvtxt|Protter|Morrey|1970|pp=APP-2, APP-3}}</ref><ref>{{Cite web|title=''Sine, Cosine, Tangent''|url=https://www.mathsisfun.com/sine-cosine-tangent.html|access-date=29-08-2020|website=www.mathsisfun.com|language=en}}</ref>
{|
| style="padding-left: 2em; padding-right: 2em; |
;seno: <math>\sen \theta = \frac \mathrm{oposto}\mathrm{hipotenusa}</math>
| style="padding-left: 2em; padding-right: 2em; |
;cossecante: <math>\csc \theta = \frac \mathrm{hipotenusa}\mathrm{oposto}</math>
|-
| style="padding-left: 2em; padding-right: 2em; |
;cosseno: <math>\cos \theta = \frac \mathrm{adjacente}\mathrm{hipotenusa}</math>
| style="padding-left: 2em; padding-right: 2em; |
;secante: <math>\sec \theta = \frac \mathrm{hipotenusa}\mathrm{adjacente}</math>
|-
| style="padding-left: 2em; padding-right: 2em; |
;tangente: <math>\tan \theta = \frac \mathrm{oposto}\mathrm{adjacente}</math>
| style="padding-left: 2em; padding-right: 2em; |
;cotangente: <math>\cot \theta = \frac \mathrm{adjacente}\mathrm{oposto}</math>
|}
[[Mnemônica em trigonometria|Vários mnemônicos]] podem ser usados para lembrar essas definições.

Em um triângulo retângulo, a soma dos dois ângulos agudos é um ângulo reto, ou seja, {{Math|90°}} ou ⁠{{Math|{{Sfrac|π|2}} [[radiano]]s}}. Portanto, <math>\sen(\theta)</math> e <math>\cos(90^\circ - \theta)</math> representam a mesma razão e, portanto, são iguais. Essa identidade e relações análogas entre as outras funções trigonométricas são resumidas na tabela a seguir.
[[Imagem:Periodic sine-pt-br.svg|thumb|'''Topo''': Função trigonométrica {{Math|sen ''θ''}} para ângulos selecionados {{math|''θ''}}, {{Math|{{pi}} − ''θ''}}, {{Math|{{pi}} + ''θ''}}, e {{Math|2{{pi}} − ''θ''}} nos quatro quadrantes.<br>'''Embaixo''': Gráfico de seno ''versus'' ângulo. Ângulos a partir do painel superior são identificados.]]
{| class="wikitable sortable"
|+ Resumo das relações entre funções trigonométricas<ref>{{Harvtxt|Protter|Morrey|1970|p=APP-7}}</ref>
|-
! rowspan=2 | Função
! rowspan=2 | Descrição
! colspan=2 | [[Identidade trigonométrica|Relação]]
|-
! usando [[radiano]]s
! usando [[Grau (geometria)|graus]]
|-
! seno
|align=center|{{Math|{{Sfrac|oposto|hipotenusa}}}}
| <math>\sen \theta = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\csc \theta}</math>
| <math>\sen x = \cos\left(90^\circ - x \right) = \frac{1}{\csc x}</math>
|-
! cosseno
|align=center|{{Math|{{Sfrac|adjacente|hipotenusa}}}}
| <math>\cos \theta = \sen\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\sec \theta}\,</math>
| <math>\cos x = \sen\left(90^\circ - x \right) = \frac{1}{\sec x}\,</math>
|-
! tangente
|align=center|{{Math|{{Sfrac|oposto|adjacente}}}}
| <math>\tan \theta = \frac{\sen \theta}{\cos \theta} = \cot\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\cot \theta} </math>
| <math>\tan x = \frac{\sen x}{\cos x} = \cot\left(90^\circ - x \right) = \frac{1}{\cot x} </math>
|-
! cotangente
|align=center|{{Math|{{Sfrac|adjacente|oposto}}}}
| <math>\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sen \theta} = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\tan \theta} </math>
| <math>\cot x = \frac{\cos x}{\sen x} = \tan\left(90^\circ - x \right) = \frac{1}{\tan x} </math>
|-
! secante
|align=center|{{Math|{{Sfrac|hipotenusa|adjacente}}}}
| <math>\sec \theta = \csc\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\cos \theta} </math>
| <math>\sec x = \csc\left(90^\circ - x \right) = \frac{1}{\cos x} </math>
|-
! cossecante
|align=center|{{Math|{{Sfrac|hipotenusa|oposto}}}}
| <math>\csc \theta = \sec\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\sen \theta} </math>
| <math>\csc x = \sec\left(90^\circ - x \right) = \frac{1}{\sen x} </math>
|}

==Radianos ''versus'' graus==
Nas aplicações geométricas, o argumento de uma função trigonométrica é geralmente a medida de um [[ângulo]]. Para esse propósito, qualquer [[Ângulo#Unidades de medidas|unidade angular]] é conveniente. Uma unidade comum é [[Grau (geometria)|graus]], em que um ângulo reto é 90° e uma volta completa é 360° (particularmente na <!--[[:en:Elementary mathematics]]-->matemática elementar).

No entanto, no [[Cálculo infinitesimal|cálculo]] e na [[análise matemática]], as funções trigonométricas são geralmente consideradas mais abstratamente como funções de números [[Número real|reais]] ou [[Número complexo|complexos]], em vez de ângulos. De fato, as funções {{Math|sen}} e {{Math|cos}} podem ser definidas para todos os números complexos em termos da [[função exponencial]], via [[Série de potências|séries de potências]],<ref name=":0">{{Cite book|last=Rudin, Walter, 1921–2010|url=https://www.worldcat.org/oclc/1502474|title=Principles of mathematical analysis|isbn=0-07-054235-X|edition=''Third'' |location=''New York''|oclc=1502474|language=rn}}</ref> ou como soluções para [[Equação diferencial|equações diferenciais]] dados valores iniciais particulares<ref>{{Cite journal|last=Diamond|first=Harvey|date=2014|title=''Defining Exponential and Trigonometric Functions Using Differential Equations''|url=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.4169/math.mag.87.1.37|journal=Mathematics Magazine|language=en|volume=87|issue=1|pages=37–42|doi=10.4169/math.mag.87.1.37|s2cid=126217060|issn=0025-570X}}</ref> (''veja abaixo''), sem referência a quaisquer noções geométricas. As outras quatro funções trigonométricas ({{Math|tan}}, {{Math|cot}}, {{Math|sec}}, {{Math|csc}}) podem ser definidas como quocientes e recíprocas de {{Math|sen}} e {{Math|cos}}, exceto onde zero ocorre no denominador. Pode ser provado, para argumentos reais, que essas definições coincidem com definições geométricas elementares se o argumento for considerado um ângulo em radianos.<ref name=":0" /> Além disso, essas definições resultam em expressões simples para as [[derivada]]s e [[Primitiva|integrais indefinidas]] para as funções trigonométricas.<ref name=":1">{{Cite book|last=Spivak|first=Michael|title=Calculus|publisher=''Addison-Wesley''|year=1967|chapter=15|pages=256–257|lccn=67-20770|language=en}}</ref> Assim, nos cenários além da geometria elementar, radianos são considerados a unidade matematicamente natural para descrever medidas de ângulos.

Quando [[radiano]]s (rad) são empregados, o ângulo é dado como o comprimento do <!--[[:en:Curve#Differentiable arc]]-->arco do [[círculo unitário]] subtendido por ele: o ângulo que subtende um arco de comprimento 1 no círculo unitário é 1 rad (≈ 57,3°), e uma [[Volta (geometria)|volta]] completa (360°) é um ângulo de 2{{Pi}} (≈ 6,28) rad. Para o número real ''x'', a notação {{Math|sen ''x''}}, {{Math|cos ''x''}}, etc. refere-se ao valor das funções trigonométricas avaliadas em um ângulo de ''x'' rad. Se unidades de graus forem pretendidas, o sinal de grau deve ser explicitamente mostrado ({{Math|sen ''x°''}}, {{Math|cos ''x°''}}, etc.). Usando essa notação padrão, o argumento ''x'' para as funções trigonométricas satisfaz a relação ''x'' = (180x/{{Pi}})°, de modo que, por exemplo, {{Math|1=sen {{Pi}} = sen 180°}} quando tomamos ''x'' = {{Pi}}. Dessa forma, o símbolo de grau pode ser considerado uma constante matemática tal que 1° = {{Pi}}/180 ≈ 0,0175.

==Definições de círculo unitário==
[[Imagem:Circle-trig6.svg|right|thumb|upright=1.35|Todas as funções trigonométricas do ângulo {{Math|''θ''}} (teta) podem ser construídas geometricamente em termos de um círculo unitário centrado em ''O''.]]
[[Imagem:Periodic sine-pt-br.svg|thumb|Função de seno no círculo unitário (acima) e seu gráfico (abaixo)]]
[[Imagem:Unit Circle Definitions of Six Trigonometric Functions-pt-br.svg|thumb|upright=1.2|Nesta ilustração, as seis funções trigonométricas de um ângulo arbitrário {{Math|''θ''}} são representadas como [[Sistema de coordenadas cartesiano|coordenadas]] cartesianas de pontos relacionados ao [[círculo unitário]]. As ordenadas do eixo {{Mvar|y}} de {{Math|A}}, {{Math|B}} e {{Math|D}} são {{Math|sen ''θ''}}, {{Math|tan ''θ''}} e {{Math|csc ''θ''}}, respectivamente, enquanto as abscissas do eixo {{Mvar|x}} de {{Math|A}}, {{Math|C}} e {{Math|E}} são {{Math|cos ''θ''}}, {{Math|cot ''θ''}} and {{Math|sec ''θ''}}, respectivamente.]]
[[Imagem:trigonometric function quadrant sign.svg|thumb|Sinais de funções trigonométricas em cada quadrante. [[Mnemônica em trigonometria|Mnemônicos]] como "todos os alunos fazem cálculo" (a partir do inglês, "'''''all''' '''s'''tudents '''t'''ake '''c'''alculus''") indicam quando '''s'''eno, '''c'''osseno e '''t'''angente são positivos dos quadrantes I a IV.<ref name=steuben>{{Cite book |last1=Stueben |first1=Michael |title=Twenty years before the blackboard: the lessons and humor of a mathematics teacher |last2=Sandford |first2=Diane |date=1998 |publisher=Mathematical Association of America |isbn=978-0-88385-525-6 |series=''Spectrum series'' |location=''Washington, DC''|page=119|url=https://books.google.com/books?id=qnd0P-Ja-O8C&dq=%22All+Students+Take+Calculus%22&pg=PA119}}</ref>]]
As seis funções trigonométricas podem ser definidas como [[Sistema de coordenadas cartesiano|valores de coordenadas]] de pontos no [[Plano (geometria)|plano euclidiano]] que estão relacionados ao [[círculo unitário]], que é o [[Circunferência|círculo]] de raio um centrado na origem {{Math|O}} deste sistema de coordenadas. Enquanto as [[#Definições de triângulo retângulo|definições de triângulo retângulo]] permitem a definição das funções trigonométricas para ângulos entre {{Math|0}} e <math display="inline">\frac{\pi}{2}</math> [[radiano]]s {{Math|(90°)}}, as definições do círculo unitário permitem que o domínio das funções trigonométricas seja estendido a todos os números reais positivos e negativos.

Seja <math>\mathcal L</math> o <!--[[:en:Line (geometry)#Ray]]-->raio obtido pela rotação de um ângulo {{Mvar|θ}} da metade positiva do eixo {{Math|''x''}} ([[Sentido dos ponteiros do relógio|rotação anti-horária]] para <math>\theta > 0</math>, e rotação horária para <math>\theta < 0</math>). Este raio intercepta o círculo unitário no ponto <math>\mathrm{A} = (x_\mathrm{A},y_\mathrm{A})</math>. O raio <math>\mathcal L</math>, estendido para uma [[reta]] se necessário, intercepta a reta da equação <math>x=1</math> no ponto <math>\mathrm{B} = (1,y_\mathrm{B})</math>, e a reta da equação <math>y=1</math> no ponto <math>\mathrm{C} = (x_\mathrm{C},1)</math>. A [[Tangente (geometria)|reta tangente]] ao círculo unitário no ponto {{Math|A}}, é [[Perpendicularidade|perpendicular]] a <math>\mathcal L</math>, e intercepta os eixos {{Math|''y''}} e {{Math|''x''}} nos pontos <math>\mathrm{D} = (0,y_\mathrm{D})</math> e <math>\mathrm{E} = (x_\mathrm{E},0)</math>. As [[Sistema de coordenadas cartesiano|coordenadas]] desses pontos fornecem os valores de todas as funções trigonométricas para qualquer valor real arbitrário de {{Mvar|θ}} da seguinte maneira.

As funções trigonométricas de {{Math|cos}} e {{Math|sen}} são definidas, respectivamente, como os valores das coordenadas ''x'' e ''y'' do ponto {{Math|A}}. Ou seja,
:<math>\cos \theta = x_\mathrm{A} \quad</math> e <math>\quad \sen \theta = y_\mathrm{A}</math>.<ref>{{Cite web|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Trigonometric_functions|title=''Trigonometric Functions''|last=Bityutskov|first=V.I.|date=07-02-2011|website=Encyclopedia of Mathematics|language=en|archive-url=https://web.archive.org/web/20171229231821/https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Trigonometric_functions|archive-date=2017-12-29|url-status=live|access-date=29-12-2017}}</ref>
No intervalo <math>0 \le \theta \le \pi/2</math>, esta definição coincide com a definição do triângulo retângulo, tomando o triângulo retângulo como tendo o raio unitário {{Math|OA}} como [[hipotenusa]]. E como a equação <math>x^2+y^2=1</math> vale para todos os pontos <math>\mathrm{P} = (x,y)</math> no círculo unitário, esta definição de cosseno e seno também satisfaz a [[Identidade trigonométrica fundamental|identidade pitagórica]].
:<math>\cos^2\theta+\sen^2\theta=1</math>
As outras funções trigonométricas podem ser encontradas ao longo do círculo unitário como
:<math>\tan \theta = y_\mathrm{B} \quad</math> e <math> \quad\cot \theta = x_\mathrm{C}</math>,
:<math>\csc \theta\ = y_\mathrm{D} \quad</math> e <math> \quad\sec \theta = x_\mathrm{E}</math>.
Ao aplicar os métodos de identidade pitagórica e de prova geométrica, essas definições podem ser facilmente demonstradas como coincidentes com as definições de tangente, cotangente, secante e [[cossecante]] em termos de seno e cosseno, ou seja:
: <math>\tan \theta =\frac{\sen \theta}{\cos\theta},\quad \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sen\theta},\quad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\quad \csc\theta=\frac{1}{\sen\theta}</math>.
[[Imagem:Trigonometric functions.svg|right|thumb|upright=1.35|link={{filepath:trigonometric_functions_derivation_animation.svg}}|Funções trigonométricas:
{{Color|#00A|Seno}},
{{Color|#0A0|Cosseno}},
{{Color|#A00|Tangente}},
{{Color|#00A|Cossecante (pontilhada)}},
{{Color|#0A0|Secante (pontilhada)}},
{{color|#A00|Cotangente (pontilhada)}}
– [{{filepath:trigonometric_functions_derivation_animation.svg}} animação] ]]
Como uma rotação de um ângulo de <math>\pm2\pi</math> não altera a posição ou o tamanho de uma forma, os pontos {{Math|A}}, {{Math|B}}, {{Math|C}}, {{Math|D}}, e {{math|E}} são os mesmos para dois ângulos cuja diferença é um múltiplo inteiro de <math>2\pi</math>. Assim, as funções trigonométricas são [[Função periódica|funções periódicas]] com período <math>2\pi</math>. Ou seja, as igualdades
: <math> \sen\theta = \sen\left(\theta + 2 k \pi \right)\quad</math> e <math>\quad \cos\theta = \cos\left(\theta + 2 k \pi \right)</math>
valem para qualquer ângulo {{Mvar|θ}} e qualquer [[Número inteiro|inteiro]] {{Mvar|k}}. O mesmo é verdade para as outras quatro funções trigonométricas. Observando o sinal e a monotonicidade das funções de seno, cosseno, cossecante e secante nos quatro quadrantes, pode-se mostrar que <math>2\pi</math> é o menor valor para o qual elas são periódicas (ou seja, <math>2\pi</math> é o [[Função periódica|período fundamental]] dessas funções). No entanto, após uma rotação de um ângulo <math>\pi</math>, os pontos {{Mvar|B}} e {{Mvar|C}} já retornam à sua posição original, de modo que a função de tangente e a função de cotangente têm um período fundamental de <math>\pi</math>. Isto é, as igualdades
: <math> \tan\theta = \tan(\theta + k\pi) \quad</math> e <math>\quad \cot\theta = \cot(\theta + k\pi)</math>
valem para qualquer ângulo {{Mvar|θ}} e qualquer inteiro {{Mvar|k}}.

==Valores algébricos==
[[Imagem:Unit circle angles color.svg|right|thumb|O [[círculo unitário]], com alguns pontos rotulados com seus cossenos e senos (nesta ordem), e os ângulos correspondentes em radianos e graus.]]

As expressões algébricas para os ângulos mais importantes são as seguintes:
:<math>\sen 0 = \sen 0^\circ \quad= \frac{\sqrt0}2 = 0</math> (<!--[[:en:Angle#Types of angles|]]-->[[Ângulo#Quanto à medida|ângulo zero/nulo]])
:<math>\sen \frac\pi6 = \sen 30^\circ = \frac{\sqrt1}2 = \frac{1}{2}</math>
:<math>\sen \frac\pi4 = \sen 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}</math>
:<math>\sen \frac\pi3 = \sen 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>
:<math>\sen \frac\pi2 = \sen 90^\circ = \frac{\sqrt4}2 = 1</math> ([[ângulo reto]])
Escrever os numeradores como [[Raiz quadrada|raízes quadradas]] de inteiros não negativos consecutivos, com um denominador de 2, fornece uma maneira fácil de lembrar os valores.<ref name="Larson_2013"/>

Essas expressões simples geralmente não existem para outros ângulos que são múltiplos racionais de um ângulo reto.
*Para um ângulo que, medido em graus, é um múltiplo de três, os [[Número trigonométrico|valores trigonométricos exatos]] do seno e do cosseno podem ser expressos em termos de raízes quadradas. Esses valores do seno e do cosseno podem, portanto, ser [[Construções com régua e compasso|construídos por régua e compasso]].
*Para um ângulo de um número inteiro de graus, o seno e o cosseno podem ser expressos em termos de raízes quadradas e da [[raiz cúbica]] de um [[número complexo]] que não é real. A [[teoria de Galois]] permite uma prova de que, se o ângulo não for um múltiplo de 3°, raízes cúbicas que não são reais são inevitáveis.
*Para um ângulo que, expresso em graus, é um [[número racional]], o seno e o cosseno são [[Número algébrico|números algébricos]], que podem ser expressos em termos de [[Radiciação|raízes {{Mvar|n}}-ésimas]]. Isso resulta do fato de que os [[Grupo de Galois|grupos de Galois]] dos <!--[[:en:Cyclotomic polynomial]]-->polinômios ciclotômicos são [[Grupo cíclico|cíclicos]].
*Para um ângulo que, expresso em graus, não é um número racional, então o ângulo ou tanto o seno quanto o cosseno são [[Número transcendente|números transcendentais]]. Este é um [[corolário]] do <!--[[:en:Baker's theorem]]-->teorema de Baker, provado em 1966.

===Valores algébricos simples===
<!---->
A tabela a seguir lista os senos, cossenos e tangentes de múltiplos de 15 graus de 0 a 90 graus.
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
! colspan=2 | Ângulo, ''θ'', em
! rowspan=2 | <math>\sen(\theta)</math>
! rowspan=2 | <math>\cos(\theta)</math>
! rowspan=2 | <math>\tan(\theta)</math>
|-
! radianos
! graus
|-
| <math>0</math>
| <math>0^\circ</math>
| <math>0</math>
| <math>1</math>
| <math>0</math>
|-
| <math>\frac{\pi}{12}</math>
| <math>15^\circ</math>
| <math>\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math>
| <math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math>
| <math>2-\sqrt{3}</math>
|-
| <math>\frac{\pi}{6}</math>
| <math>30^\circ</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
| <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
|-
| <math>\frac{\pi}{4}</math>
| <math>45^\circ</math>
| <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
| <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
| <math>1</math>
|-
| <math>\frac{\pi}{3}</math>
| <math>60^\circ</math>
| <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| <math>\sqrt{3}</math>
|-
| <math>\frac{5\pi}{12}</math>
| <math>75^\circ</math>
| <math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math>
| <math>\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math>
| <math>2 + \sqrt{3}</math>
|-
| <math>\frac{\pi}{2}</math>
| <math>90^\circ</math>
| <math>1</math>
| <math>0</math>
| {{N/a|Indefinido}}
|}

==Definições na análise==
[[Imagem:Trigonometrija-graf-pt-br.svg|thumb|right|<!--[[:en:Graph of a function|]]-->Gráficos de seno, cosseno e tangente]]
[[Imagem:Taylorsine-pt-br.svg|thumb|right|A função seno (azul) é aproximada por seu [[Teorema de Taylor|polinômio de Taylor]] de grau 7 (rosa) para um ciclo completo centrado na origem.]]
[[Imagem:Taylor cos.gif|thumb|Animação para a aproximação do cosseno via polinômios de Taylor.]]
[[Imagem:Taylorreihenentwicklung des Kosinus.svg|thumb|<math>\cos(x)</math> juntamente com os primeiros polinômios de Taylor <math>p_n(x)=\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}</math>]]

[[Godfrey Harold Hardy|G. H. Hardy]] observou em seu trabalho de 1908, <!--[[:en:A Course of Pure Mathematics]]-->''Um Curso de Matemática Pura'', que a definição das funções trigonométricas em termos do círculo unitário não é satisfatória, porque depende implicitamente de uma noção de ângulo que pode ser medida por um número real.<ref name="Hardy">{{Citation|first=G.H.|last=Hardy|title=A course of pure mathematics|year=1950|edition=8th|pages=432–438|language=en}}</ref> Assim, na análise moderna, as funções trigonométricas são geralmente construídas sem referência à geometria.

Existem várias maneiras na literatura para definir as funções trigonométricas de uma maneira adequada para análise; elas incluem:
* Usando a "geometria" do círculo unitário, que requer a formulação do [[comprimento do arco]] de um círculo (ou área de um setor) analiticamente.<ref name="Hardy"/>
* Por uma série de potências, que é particularmente adequada para variáveis complexas.<ref name="Hardy"/><ref name="WW">Whittaker, E. T., & Watson, G. N. (1920). ''A course of modern analysis: an introduction to the general theory of infinite processes and of analytic functions; with an account of the principal transcendental functions'' (em inglês), ''University Press''.</ref>
* Usando uma expansão de produto infinito.<ref name="Hardy"/>
* Invertendo as funções trigonométricas inversas, que podem ser definidas como integrais de funções algébricas ou racionais.<ref name="Hardy"/>
* Como soluções de uma equação diferencial.

===Definição por equações diferenciais===
Seno e cosseno podem ser definidos como a solução única para o [[Problema de valor inicial|problema do valor inicial]]:{{Sfn|Bartle|Sherbert|1999|p=247}}
:<math>\frac{d}{dx}\sen x= \cos x,\ \frac{d}{dx}\cos x= -\sen x,\ \sen(0)=0,\ \cos(0)=1 </math>
Diferenciando novamente, <math display="inline">\frac{d^2}{dx^2}\sen x = \frac{d}{dx}\cos x = -\sen x</math> e <math display="inline">\frac{d^2}{dx^2}\cos x = -\frac{d}{dx}\sen x = -\cos x</math>, então tanto seno quanto cosseno são soluções da mesma [[equação diferencial ordinária]]
:<math>y''+y=0\,</math>
Seno é a solução única com {{Math|''y''(0) {{=}} 0}} e {{Math|''y''′(0) {{=}} 1}}; cosseno é a solução única com {{Math|''y''(0) {{=}} 1}} e {{Math|''y''′(0) {{=}} 0}}.

Pode-se então provar, como um teorema, que as soluções <math>\cos,\sen</math> são periódicas, tendo o mesmo período. Escrever esse período como <math>2\pi</math> é então uma definição do número real <math>\pi</math> que é independente da geometria.

Aplicando a [[regra do quociente]] à tangente <math>\tan x = \sen x / \cos x</math>, 
:<math>\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos^2 x + \sen^2 x}{\cos^2 x} = 1+\tan^2 x\,,</math>
então a função tangente satisfaz a equação diferencial ordinária
:<math>y' = 1 + y^2\,</math>
É a solução única com {{Math|''y''(0) {{=}} 0}}.

===Expansão da série de potências===
As funções trigonométricas básicas podem ser definidas pelas seguintes expansões de séries de potências.<ref>Whitaker & Watson, p. 584</ref> Essas séries também são conhecidas como [[série de Taylor]] ou [[série de Maclaurin]] dessas funções trigonométricas:
:<math>
\begin{align}
\sen x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\[6mu]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\[8pt]
\cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\[6mu]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}
\end{align}
</math>
O [[raio de convergência]] dessas séries é infinito. Portanto, o seno e o cosseno podem ser estendidos para [[Função inteira|funções inteiras]] (também chamadas de "seno" e "cosseno"), que são (por definição) [[Análise complexa|funções de valor complexo]] que são definidas e [[Função holomorfa|holomórficas]] em todo o [[plano complexo]].

A diferenciação termo a termo mostra que o seno e o cosseno definidos pela série obedecem à equação diferencial discutida anteriormente e, inversamente, pode-se obter essas séries a partir de relações de recursão elementares derivadas da equação diferencial.

Sendo definidas como frações de funções inteiras, as outras funções trigonométricas podem ser estendidas para [[Função meromorfa|funções meromórficas]], ou seja, funções que são holomórficas em todo o plano complexo, exceto alguns pontos isolados chamados [[Polo (análise complexa)|polos]]. Aqui, os polos são os números da forma <math display="inline">(2k+1)\frac \pi 2</math> para a tangente e a secante, ou <math>k\pi</math> para a cotangente e a cossecante, onde {{Mvar|k}} é um inteiro arbitrário.

As relações de recorrência também podem ser computadas para os coeficientes da [[série de Taylor]] das outras funções trigonométricas. Essas séries têm um [[raio de convergência]] finito. Seus coeficientes têm uma interpretação [[combinatória]]: eles enumeram [[Permutação alternada|permutações alternadas]] de conjuntos finitos.<ref>Stanley, ''Enumerative Combinatorics'' (em inglês), Volume I., p. 149</ref>

Mais precisamente, definindo
: {{Mvar|U<sub>n</sub>}}, o {{Mvar|n}}-ésimo [[Permutação alternada|número para cima/baixo]],
: {{Mvar|B<sub>n</sub>}}, o {{Mvar|n}}-ésimo [[Números de Bernoulli|número de Bernoulli]], e
: {{Mvar|E<sub>n</sub>}}, é o {{Mvar|n}}-ésimo [[Números de Euler|número de Euler]],
temos as seguintes expansões de série:
<ref>Abramowitz; Weisstein.</ref> 
: <math>
\begin{align}
\tan x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\[8mu]
& {} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} \left(2^{2n}-1\right) B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \\[5mu]
& {} = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots, \qquad \text{para } |x| < \frac{\pi}{2}
\end{align}
</math>

: <math>
\begin{align}
\csc x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 2 \left(2^{2n-1}-1\right) B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \\[5mu]
&= x^{-1} + \frac{1}{6}x + \frac{7}{360}x^3 + \frac{31}{15120}x^5 + \cdots, \qquad \text{para } 0 < |x| < \pi
\end{align}
</math>

: <math>
\begin{align}
\sec x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n}}{(2n)!}x^{2n}
= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!}x^{2n} \\[5mu]
&= 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{24}x^4 + \frac{61}{720}x^6 + \cdots, \qquad \text{para } |x| < \frac{\pi}{2}
\end{align}
</math>

: <math>
\begin{align}
\cot x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \\[5mu]
&= x^{-1} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \cdots, \qquad \text{para } 0 < |x| < \pi
\end{align}
</math>

===Expansão de fração contínua===
As seguintes <!--[[:en:Continued fraction]]-->frações contínuas são válidas em todo o plano complexo:
:<math> \sen x =
\cfrac{x}{1 + \cfrac{x^2}{2\cdot3-x^2 +
\cfrac{2\cdot3 x^2}{4\cdot5-x^2 +
\cfrac{4\cdot5 x^2}{6\cdot7-x^2 + \ddots}}}}</math>

:<math> \cos x = \cfrac{1}{1 + \cfrac{x^2}{1 \cdot 2 - x^2 + \cfrac{1 \cdot 2x^2}{3 \cdot 4 - x^2 + \cfrac{3 \cdot 4x^2}{5 \cdot 6 - x^2 + \ddots}}}}</math>

:<math>\tan x = \cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{3 - \cfrac{x^2}{5 - \cfrac{x^2}{7 - \ddots}}}}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{x} - \cfrac{1}{\cfrac{3}{x} - \cfrac{1}{\cfrac{5}{x} - \cfrac{1}{\cfrac{7}{x} - \ddots}}}}</math>

A última foi usada na primeira [[Prova da irracionalidade de π|prova histórica de que π é irracional]].<ref>{{Citation|editor1-last = Berggren|editor1-first = Lennart|editor2-last = Borwein|editor2-first = Jonathan M.|editor2-link = Jonathan Borwein| editor3-last = Borwein|editor3-first = Peter B.|editor3-link = Peter Borwein|last = Lambert|first = Johann Heinrich|orig-year = 1768|chapter = ''Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques''|title = Pi, a source book|place = ''New York''|publisher = [[Springer Science+Business Media|''Springer-Verlag'']] |year = 2004|edition = ''3rd''|pages = 129–140|isbn = 0-387-20571-3 |language=en}}</ref>

===Expansão de fração parcial===
Há uma representação de série como [[Decomposição em frações parciais|expansão de fração parcial]] onde [[Inverso multiplicativo|funções recíprocas]] recém-transladadas são somadas, de modo que os [[Polo (análise complexa)|polos]] da função cotangente e as funções recíprocas correspondem:<ref name="Aigner_2000"/>
: <math>
\pi \cot \pi x = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^N \frac{1}{x+n}.
</math>
Essa identidade pode ser provada com o truque de [[Gustav Herglotz|Herglotz]].<ref name="Remmert_1991"/> Combinar o {{Math|(–''n'')}}ésimo com o {{Math|''n''}}-ésimo termo leva a séries <!--[[:en:Absolute convergence]]-->absolutamente convergentes:
:<math>
\pi \cot \pi x = \frac{1}{x} + 2x\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{x^2-n^2}
</math>
Da mesma forma, pode-se encontrar uma expansão de fração parcial para as funções secante, cossecante e tangente:
:<math>
\pi\csc\pi x = \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^n}{x+n}=\frac{1}{x} + 2x\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{x^2-n^2}
</math>
:<math>\pi^2\csc^2\pi x=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(x+n)^2}</math>
:<math>
\pi\sec\pi x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2n+1)}{(n+\tfrac12)^2 - x^2}
</math>
:<math>
\pi \tan \pi x = 2x\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+\tfrac12)^2 - x^2}
</math>

===Expansão de produto  infinita===
O seguinte produto infinito para o seno é devido a [[Leonhard Euler]], e é de grande importância na análise complexa:<ref>Whittaker e Watson, p. 137</ref>
:<math>\sen z = z \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2 \pi^2}\right), \quad z\in\mathbb C</math>
Isso pode ser obtido a partir da decomposição de fração parcial de <math>\cot z</math> dada acima, que é a [[derivada logarítmica]] de <math>\sen z</math>.<ref>Ahlfors, p. 197</ref> Disto, pode-se deduzir também que
:<math>\cos z = \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{(n-1/2)^2 \pi^2}\right), \quad z\in\mathbb C</math>

===Fórmula de Euler e a função exponencial===
[[Imagem:Sinus und Kosinus am Einheitskreis 3-pt-br.svg|thumb|<math>\cos(\theta)</math> e <math>\sen(\theta)</math> são a parte real e imaginária de <math>e^{i\theta}</math> respectivamente.]]
A [[fórmula de Euler]] relaciona seno e cosseno à [[função exponencial]]:
:<math> e^{ix}  = \cos x + i\sen x</math>  
Esta fórmula é comumente considerada para valores reais de {{Mvar|x}}, mas permanece verdadeira para todos os valores complexos.

''Prova'': Seja <math>f_1(x)=\cos x + i\sen x</math>, e <math>f_2(x)=e^{ix}</math>. Temos d <math>df_j(x)/dx= if_j(x)</math> para {{Math|1=''j'' = 1, 2}}. A [[regra do quociente]] implica, portanto, que <math>d/dx\, (f_1(x)/f_2(x))=0</math>. Portanto, <math>f_1(x)/f_2(x)</math> é uma função constante, que é igual a {{Val|1}}, pois <math>f_1(0)=f_2(0)=1</math>. Isso prova a fórmula.

Temos
:<math>\begin{align}
e^{ix}  &= \cos x + i\sen x\\[5pt]
e^{-ix}  &= \cos x - i\sen x
\end{align}</math>
Resolvendo este [[sistema linear]] em seno e cosseno, pode-se expressá-los em termos da função exponencial:
: <math>\begin{align}\sen x &= \frac{e^{i x} - e^{-i x}}{2i}\\[5pt]
\cos x &= \frac{e^{i x} + e^{-i x}}{2}
\end{align}</math>
Quando {{Mvar|x}} é real, isso pode ser reescrito como
: <math>\cos x = \operatorname{Re}\left(e^{i x}\right), \qquad \sen x = \operatorname{Im}\left(e^{i x}\right)</math>

A maioria das [[Identidade trigonométrica|identidades trigonométricas]] pode ser provada expressando funções trigonométricas em termos da função exponencial complexa usando as fórmulas acima e, em seguida, usando a identidade <math>e^{a+b}=e^ae^b</math> para simplificar o resultado.

A fórmula de Euler também pode ser usada para definir a função trigonométrica básica diretamente, como segue, usando a linguagem de [[Grupo topológico|grupos topológicos]].<ref>{{Cite book |last=Bourbaki |first=Nicolas |author-link=Nicolas Bourbaki |title=Topologie generale |publisher=''Springer'' |year=1981|at=§VIII.2|language=en}}</ref> O conjunto <math>U</math> de números complexos de módulo unitário é um grupo topológico compacto e conectado, que tem uma vizinhança da identidade que é homeomórfica à reta real. Portanto, é isomórfico como um grupo topológico ao grupo toro unidimensional <math>\mathbb R/\mathbb Z</math>, por meio de um isomorfismo
<math display="block">e:\mathbb R/\mathbb Z\to U</math>
Em termos pedestres <math>e(t) = \exp(2\pi i t)</math>, e esse isomorfismo é único até a obtenção de conjugados complexos.

Para um número real diferente de zero <math>a</math> (a ''base''), a função <math>t\mapsto e(t/a)</math> define um isomorfismo do grupo <math>\mathbb R/a\mathbb Z\to U</math>. As partes real e imaginária de <math>e(t/a)</math> são o cosseno e o seno, onde <math>a</math> é usado como base para medir ângulos. Por exemplo, quando <math>a=2\pi</math>, obtemos a medida em radianos e as funções trigonométricas usuais. Quando <math>a=360</math>, obtemos o seno e o cosseno de ângulos medidos em graus.

Note que <math>a=2\pi</math> é o valor único no qual a derivada
<math display="block">\frac{d}{dt} e(t/a)</math> se torna um [[vetor unitário]] com parte imaginária positiva em <math>t=0</math>. Este fato pode, por sua vez, ser usado para definir a constante <math>2\pi</math>.

===Definição via integração===
Outra maneira de definir as funções trigonométricas na análise é usando integração.<ref name="Hardy"/><ref>{{Citation|last=Bartle|year=1964|title=Elements of real analysis|publisher=|pages=315–316|language=en}}</ref> Para um número real <math>t</math>, coloque
<math display="block">\theta(t) = \int_0^t \frac{d\tau}{1+\tau^2}=\arctan t</math>
onde isso define esta função tangente inversa. Além disso, <math>\pi</math> é definido por
<math display="block">\frac12\pi = \int_0^\infty \frac{d\tau}{1+\tau^2}</math> uma definição que remonta a [[Karl Weierstrass]].<ref>{{Cite book |last=Weierstrass |first=Karl |author-link=Karl Weierstrass |chapter=''Darstellung einer analytischen Function einer complexen Veränderlichen, deren absoluter Betrag zwischen zwei gegebenen Grenzen liegt'' |trans-chapter=Representation of an analytical function of a complex variable, whose absolute value lies between two given limits |language=de |title=Mathematische Werke |volume=1 |publication-place=''Berlin'' |publisher=''Mayer & Müller'' |year=1841 |publication-date=1894 |pages=51–66 |chapter-url=https://archive.org/details/mathematischewer01weieuoft/page/51/ }}</ref>

No intervalo <math>-\pi/2<\theta<\pi/2</math>, as funções trigonométricas são definidas pela inversão da relação <math>\theta = \arctan t</math>. Assim, definimos as funções trigonométricas por
<math display="block">\tan\theta = t,\quad \cos\theta = (1+t^2)^{-1/2},\quad \sen\theta = t(1+t^2)^{-1/2}</math>
onde o ponto <math>(t,\theta)</math> está no gráfico de <math>\theta=\arctan t</math> e a raiz quadrada positiva é obtida.

Isso define as funções trigonométricas em <math>(-\pi/2,\pi/2)</math>. A definição pode ser estendida a todos os números reais observando primeiro que, como <math>\theta\to\pi/2</math>, <math>t\to\infty</math>, e então <math>\cos\theta = (1+t^2)^{-1/2}\to 0</math> e <math>\sen\theta = t(1+t^2)^{-1/2}\to 1</math>. Assim, <math>\cos\theta</math> e <math>\sen\theta</math> são estendidos continuamente de modo que <math>\cos(\pi/2)=0,\sen(\pi/2)=1</math>. Agora as condições <math>\cos(\theta+\pi)=-\cos(\theta)</math> e <math>\sen(\theta+\pi)=-\sen(\theta)</math> definem o seno e o cosseno como funções periódicas com período <math>2\pi</math>, para todos os números reais.

Comprovando as propriedades básicas do seno e do cosseno, incluindo o fato de que seno e cosseno são analíticos, pode-se primeiro estabelecer as fórmulas de adição. Primeiro,
<math display="block">\arctan s + \arctan t = \arctan \frac{s+t}{1-st}</math> vale, desde que <math>\arctan s+\arctan t\in(-\pi/2,\pi/2)</math>, já que
<math display="block">\arctan s + \arctan t= \int_{-s}^t\frac{d\tau}{1+\tau^2}=\int_0^{\frac{s+t}{1-st}}\frac{d\tau}{1+\tau^2}</math>
após a substituição <math>\tau \to \frac{s+\tau}{1-s\tau}</math>. Em particular, o caso limite como <math>s\to\infty</math> dá
<math display="block">\arctan t + \frac{\pi}{2} = \arctan(-1/t),\quad t\in (-\infty,0)</math>Assim, temos
<math display="block">\sen\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{-1}{t\sqrt{1+(-1/t)^2}} = \frac{-1}{\sqrt{1+t^2}} = -\cos(\theta)</math>
e
<math display="block">\cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{1+(-1/t)^2}} = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} = \sen(\theta)</math>
Portanto, as funções seno e cosseno são relacionadas pela translação ao longo de um quarto de período <math>\pi/2</math>.

===Definições usando equações funcionais===
Também é possível definir as funções trigonométricas usando várias [[Equação funcional|equações funcionais]].

Por exemplo,<ref name="Kannappan_2009"/> o seno e o cosseno formam o par único de [[Função contínua|funções contínuas]] que satisfazem a fórmula da diferença
: <math>\cos(x- y) = \cos x\cos y + \sen x\sen y </math>
e a condição adicionada
: <math>0 < x\cos x < \sen x < x\quad\text{ para }\quad 0 < x < 1</math>

===No plano complexo===
O seno e o cosseno de um [[número complexo]] <math>z=x+iy</math> podem ser expressos em termos de [[Função hiperbólica|funções hiperbólicas]], cossenos, e senos reais da seguinte forma:
: <math>\begin{align}\sen z &= \sen x \cosh y + i \cos x \text{ senh } y\\[5pt]
\cos z &= \cos x \cosh y - i \sen x \text{ senh } y\end{align}</math>
Tirando vantagem da <!--[[:en:Domain coloring]]-->coloração de domínio, é possível representar graficamente as funções trigonométricas como funções de valor complexo. Vários recursos exclusivos das funções complexas podem ser vistos no gráfico; por exemplo, as funções seno e cosseno podem ser vistas como ilimitadas à medida que a parte imaginária de <math>z</math> se torna maior (já que a cor branca representa o infinito), e o fato de que as funções contêm <!--[[:en:Zeros and poles]]-->[[Polo (análise complexa)|zeros ou polos]] simples é aparente pelo fato de que o matiz circula em torno de cada zero ou polo exatamente uma vez. Comparar esses gráficos com aqueles das funções hiperbólicas correspondentes destaca as relações entre os dois.

{| style="text-align:center"
|+ '''Funções trigonométricas no plano complexo'''
|[[Imagem:Trig-sin.png|thumb]]
<math>
\sen z\,
</math>
[[Imagem:Trig-cos.png|thumb]]
<math>
\cos z\,
</math>
|[[Imagem:Trig-tan.png|thumb]]
<math>
\tan z\,
</math>
[[Imagem:Trig-cot.png|thumb]]
<math>
\cot z\,
</math>
|[[Imagem:Trig-sec.png|thumb]]
<math>
\sec z\,
</math>
[[Imagem:Trig-csc.png|thumb]]
<math>
\csc z\,
</math>
|}

==Periodicidade e assíntotas==
As funções de cosseno e de seno são [[Função periódica|periódicas]], com período <math>2\pi</math>, que é o menor período positivo:
<math display="block">\cos(z+2\pi) = \cos(z),\quad \sen(z+2\pi) = \sen(z)</math> Consequentemente, a secante e a cossecante também têm <math>2\pi</math> como seu período. As funções de seno e de cosseno também têm semiperíodos <math>\pi</math>, e:
<math display="block">\cos(z+\pi)=-\cos(z),\quad\sen(z+\pi)=-\sen(z)</math>
e consequentemente
<math display="block">\tan(z+\pi) = \tan(z),\quad \cot(z+\pi) = \cot(z)</math>
Além disso,
<math display="block">\cos(x+\pi/2) = -\sen(x),\quad \sen(x+\pi/2)=\cos(x)</math>
A função <math>\sen(z)</math> tem um zero único (em <math>z=0</math>) na faixa <math>-\pi < \real(z) <\pi</math>. A função <math>\cos(z)</math> tem o par de zeros <math>z=\pm\pi/2</math> na mesma faixa. Devido à periodicidade, os zeros de seno são:
<math display="block">\pi\mathbb Z = \left\{\dots,-2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi,\dots\right\}\subset\mathbb C</math>
Os zeros de cosseno são:
<math display="block">\frac{\pi}{2} + \pi\mathbb Z = \left\{\dots,-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\dots\right\}\subset\mathbb C</math>
Todos os zeros são zeros simples, e ambas as funções têm derivada <math>\pm 1</math> em cada um dos zeros.

A função de tangente <math>\tan(z)=\sen(z)/\cos(z)</math> tem um zero simples em <math>z=0</math> e assíntotas verticais em <math>z=\pm\pi/2</math>, onde tem um polo simples de resíduo <math>-1</math>. Novamente, devido à periodicidade, os zeros são todos os múltiplos inteiros de <math>\pi</math> e os polos são múltiplos ímpares de <math>\pi/2</math>, todos tendo o mesmo resíduo. Os polos correspondem a assíntotas verticais
<math display="block">\lim_{x\to\pi^-}\tan(x) = +\infty,\quad \lim_{x\to\pi^+}\tan(x) = -\infty</math>
A função de cotangente <math>\cot(z)=\cos(z)/\sen(z)</math> tem um polo simples de resíduo 1 nos múltiplos inteiros de <math>\pi</math> e zeros simples nos múltiplos ímpares de <math>\pi/2</math>. Os polos correspondem às assíntotas verticais
<math display="block">\lim_{x\to 0^-}\cot(x) = -\infty,\quad \lim_{x\to 0^+}\cot(x) = +\infty</math>

==Identidades básicas==
Muitas [[Identidade (matemática)|identidades]] inter-relacionam as funções trigonométricas. Esta seção contém as mais básicas; para mais identidades, veja [[Identidade trigonométrica|Lista de identidades trigonométricas]]. Essas identidades podem ser provadas geometricamente a partir das definições de círculo unitário ou de triângulo retângulo (embora, para as últimas definições, deva-se tomar cuidado com ângulos que não estejam no intervalo {{Math|[0, {{Pi}}/2]}}, veja [[Provas de identidades trigonométricas]]). Para provas não geométricas usando apenas ferramentas de [[Cálculo infinitesimal|cálculo]], pode-se usar diretamente as equações diferenciais, de uma forma semelhante à da [[#Fórmula de Euler e a função exponencial|prova acima]] da identidade de Euler. Também se pode usar a identidade de Euler para expressar todas as funções trigonométricas em termos de exponenciais complexos e usar propriedades da função exponencial.

==Paridade==
O cosseno e a secante são <!--[[:en:Even and odd functions#Even functions]]-->[[Paridade de funções|funções pares]]; as outras funções trigonométricas são <!--[[:en:Even and odd functions#Odd functions]]-->[[Paridade de funções|funções ímpares]]. Isto é:
:<math>\begin{align}
\sen(-x) &=-\sen x\\
\cos(-x) &=\cos x\\
\tan(-x) &=-\tan x\\
\cot(-x) &=-\cot x\\
\csc(-x) &=-\csc x\\
\sec(-x) &=\sec x
\end{align}</math>

==Períodos==
Todas as funções trigonométricas são [[Função periódica|funções periódicas]] de período {{Math|2{{Pi}}}}. Este é o menor período, exceto para a tangente e a cotangente, que têm {{Pi}} como menor período. Isto significa que, para cada inteiro {{Mvar|k}}, tem-se:
:<math>\begin{array}{lrl}
\sen(x+&2k\pi) &=\sen x \\
\cos(x+&2k\pi) &=\cos x \\
\tan(x+&k\pi) &=\tan x \\
\cot(x+&k\pi) &=\cot x \\
\csc(x+&2k\pi) &=\csc x \\
\sec(x+&2k\pi) &=\sec x
\end{array}</math>

===Identidade pitagórica===
A identidade de Pitágoras é a expressão do [[teorema de Pitágoras]] em termos de funções trigonométricas. É
:<math>\sen^2 x  + \cos^2 x  = 1</math>.
Dividindo por <math>\cos^2 x</math> ou <math>\sen^2 x</math> resulta
:<math>\tan^2 x  + 1  = \sec^2 x</math>
e
:<math>\sec^2 x  + \csc^2 x  = \sec^2 x \csc^2 x</math>

===Fórmulas de soma e diferença===
As fórmulas de soma e diferença permitem expandir o seno, o cosseno e a tangente de uma soma ou uma diferença de dois ângulos em termos de senos e cossenos e tangentes dos próprios ângulos. Elas podem ser derivadas geometricamente, usando argumentos que datam de [[Ptolomeu]]. Também é possível produzi-las algebricamente usando a [[fórmula de Euler]].
; Soma
:<math>\begin{align}
\sen\left(x+y\right)&=\sen x \cos y + \cos x \sen y\\[5mu]
\cos\left(x+y\right)&=\cos x \cos y - \sen x \sen y\\[5mu]
\tan(x + y) &= \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x\tan y}
\end{align}</math>
; Diferença
:<math>\begin{align}
\sen\left(x-y\right)&=\sen x \cos y - \cos x \sen y\\[5mu]
\cos\left(x-y\right)&=\cos x \cos y + \sen x \sen y\\[5mu]
\tan(x - y) &= \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x\tan y}
\end{align}</math>
Quando os dois ângulos são iguais, as fórmulas de soma se reduzem a equações mais simples, conhecidas como <!--[[:en:List of trigonometric identities#Multiple-angle and half-angle formulae]]-->[[Identidade trigonométrica#Formulas de arco duplo, triplo e metade|fórmulas de ângulo duplo]].
:<math>\begin{align}
\sen 2x &= 2 \sen x \cos x = \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}\\[5mu]
\cos 2x &= \cos^2 x - \sen^2 x = 2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sen^2 x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}\\[5mu]
\tan 2x &= \frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}
\end{align}</math>
Essas identidades podem ser usadas para derivar as [[Identidade trigonométrica#Produto para soma e soma para produto|identidades de produto-soma]].

Ao definir <math>t=\tan \tfrac12 \theta</math>, todas as funções trigonométricas de <math>\theta</math> podem ser expressas como <!--[[:en:Algebraic fraction#Rational fractions]]-->frações racionais de <math>t</math>:
:<math>\begin{align}
\sen \theta &= \frac{2t}{1+t^2}\\[5mu]
\cos \theta &= \frac{1-t^2}{1+t^2}\\[5mu]
\tan \theta &= \frac{2t}{1-t^2}
\end{align}</math>
Junto com
:<math>d\theta = \frac{2}{1+t^2} \, dt</math>
esta é a [[Substituição tangente do arco metade|substituição de meio-ângulo tangente]], que reduz o cálculo de [[Integral|integrais]] e [[Primitiva|antiderivadas]] de funções trigonométricas ao de frações racionais.

===Derivadas e antiderivadas===
As [[derivada]]s de funções trigonométricas resultam daquelas de seno e cosseno aplicando a [[regra do quociente]]. Os valores dados para as [[Primitiva|antiderivadas]] na tabela a seguir podem ser verificados diferenciando-as. O número&nbsp;{{Mvar|C}} é uma [[Constante arbitrária de integração|constante de integração]].
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!<math>f(x)</math> !! <math>f'(x)</math> !! <math display="inline">\int f(x) \, dx</math>
|-
|<math>\sen x</math>||<math>\cos x</math>||<math>-\cos x + C</math>
|-
|<math>\cos x</math>||<math>-\sen x</math>||<math>\sen x + C</math>
|-
|<math>\tan x</math>||<math>\sec^2 x</math>||<math>\ln \left| \sec x \right| + C</math>
|-
|<math>\csc x</math>||<math>-\csc x \cot x</math>||<math>\ln \left| \csc x - \cot x \right| + C</math>
|-
|<math>\sec x</math>||<math>\sec x \tan x</math>||<math>\ln \left| \sec x + \tan x \right| + C</math>
|-
|<math>\cot x</math>||<math>-\csc^2 x</math>||<math>-\ln \left| \csc x \right| + C</math>
|}
Nota: Para <math>0<x<\pi</math> a integral de <math>\csc x</math> também pode ser escrita como <math>-\operatorname{arsenh}(\cot x)</math>, e para a integral de <math>\sec x</math> para <math>-\pi/2<x<\pi/2</math> como <math>\operatorname{arsenh}(\tan x)</math>, onde <math>\operatorname{arsenh}</math> é o [[Função hiperbólica inversa|seno hiperbólico inverso]].

Alternativamente, as derivadas das 'cofunções' podem ser obtidas usando identidades trigonométricas e a regra de cadeia:
:<math>
\begin{align}
\frac{d\cos x}{dx} &= \frac{d}{dx}\sen(\pi/2-x)=-\cos(\pi/2-x)=-\sen x \,  \\
\frac{d\csc x}{dx} &= \frac{d}{dx}\sec(\pi/2 - x) = -\sec(\pi/2 - x)\tan(\pi/2 - x) = -\csc x \cot x \,  \\
\frac{d\cot x}{dx} &= \frac{d}{dx}\tan(\pi/2 - x) = -\sec^2(\pi/2 - x) = -\csc^2 x \, 
\end{align}
</math>

==Funções inversas==
{{Artigo principal|Funções trigonométricas inversas}}
As funções trigonométricas são periódicas e, portanto, não são [[Função injectiva|injetivas]], então, estritamente falando, elas não têm uma [[função inversa]]. No entanto, em cada intervalo em que uma função trigonométrica é [[Função monótona|monotônica]], pode-se definir uma função inversa, e isso define funções trigonométricas inversas como [[Função multivalorada|funções multivaloradas]]. Para definir uma função inversa verdadeira, deve-se restringir o domínio a um intervalo em que a função é monotônica e, portanto, é [[Função bijectiva|bijetiva]] desse intervalo para sua imagem pela função. A escolha comum para esse intervalo, chamada de conjunto de <!--[[:en:Principal value]]-->valores principais, é dada na tabela a seguir. Como de costume, as funções trigonométricas inversas são denotadas com o prefixo "arc" antes do nome ou sua abreviação da função.
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
! Função !! Definição !! Domínio !! Conjunto de valores principais
|-
| <math>y = \text{arcsen } x</math> || <math>\sen y = x</math> || <math>-1 \le x \le 1</math> || <math display="inline">-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}</math>
|-
| <math>y = \arccos x</math> || <math>\cos y = x</math> || <math>-1 \le x \le 1</math> || <math display="inline">0 \le y \le \pi</math>
|-
| <math>y = \arctan x</math> || <math>\tan y = x</math> || <math>-\infty < x < \infty</math> || <math display="inline">-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}</math>
|-
| <math>y = \arccot x</math> || <math>\cot y = x</math> || <math>-\infty < x < \infty</math> || <math display="inline">0 < y < \pi</math>
|- 
| <math>y = \arcsec x</math> || <math>\sec y = x</math> || <math>x<-1 \text{ ou } x>1</math> || <math display="inline">0 \le y \le \pi,\; y \ne \frac{\pi}{2}</math>
|-
| <math>y = \arccsc x</math> || <math>\csc y = x</math> || <math>x<-1 \text{ ou } x>1</math> || <math display="inline">-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2},\; y \ne 0</math>
|}
As notações {{Math|sen<sup>−1</sup>}}, {{Math|cos<sup>−1</sup>}},  etc. são frequentemente usadas para {{Math|arcsen}} e {{Math|arccos}}, etc. Quando essa notação é usada, funções inversas podem ser confundidas com inversos multiplicativos. A notação com o prefixo "arc" evita tal confusão, embora "arcsec" para arcossecante possa ser confundido com "[[Segundo de arco|arcossegundo]]" (em inglês).

Assim como o seno e o cosseno, as funções trigonométricas inversas também podem ser expressas em termos de séries infinitas. Elas também podem ser expressas em termos de [[Logaritmo complexo|logaritmos complexos]].

==Aplicações==
<!---->
===Ângulos e lados de um triângulo===
Nesta seção {{Mvar|A}}, {{Mvar|B}}, e {{Mvar|C}} denotam os três ângulos (internos) de um triângulo, e {{Mvar|a}}, {{Mvar|b}}, e {{Mvar|c}} denotam os comprimentos das respectivas arestas opostas. Eles são relacionados por várias fórmulas, que são nomeadas pelas funções trigonométricas que envolvem.

====Lei dos senos====
{{Artigo principal|Lei dos senos}}
A lei dos senos afirma que para um triângulo arbitrário com lados {{Mvar|a}}, {{Mvar|b}}, e {{Mvar|c}} e ângulos opostos a esses lados {{Mvar|A}}, {{Mvar|B}} e {{Mvar|C}}:
<math display="block">\frac{\sen A}{a} = \frac{\sen B}{b} = \frac{\sen C}{c} = \frac{2\Delta}{abc}</math>
onde {{Math|Δ}} é a área do triângulo, ou, equivalentemente,
<math display="block">\frac{a}{\sen A} = \frac{b}{\sen B} = \frac{c}{\sen C} = 2R</math>
onde {{Mvar|R}} é o <!--[[:en:Circumscribed circle]]-->raio do círculo circunscrito do triângulo.

Pode ser provado dividindo o triângulo em dois retângulos e usando a definição de seno acima. A lei dos senos é útil para calcular os comprimentos dos lados desconhecidos em um triângulo se dois ângulos e um lado são conhecidos. Esta é uma situação comum que ocorre na <!--[[:en:Triangulation]]-->''triangulação'', uma técnica para determinar distâncias desconhecidas medindo dois ângulos e uma distância fechada acessível.

====Lei dos cossenos====
{{Artigo principal|Lei dos cossenos}}
A [[lei dos cossenos]] (também conhecida como fórmula do cosseno ou regra do cosseno) é uma extensão do [[teorema de Pitágoras]]:
<math display="block">c^2=a^2+b^2-2ab\cos C</math>
ou equivalentemente,
<math display="block">\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>
Nesta fórmula, o ângulo em {{Mvar|C}} é oposto ao lado&nbsp;{{Mvar|c}}. Este teorema pode ser provado dividindo o triângulo em dois retângulos e usando o teorema de Pitágoras.

A lei dos cossenos pode ser usada para determinar um lado de um triângulo se dois lados e o ângulo entre eles forem conhecidos. Ele também pode ser usado para encontrar os cossenos de um ângulo (e consequentemente os próprios ângulos) se os comprimentos de todos os lados forem conhecidos.

====Lei das tangentes====
{{Artigo principal|Lei das tangentes}}
A lei das tangentes diz que:
:<math>\frac{\tan \frac{A-B}{2 }}{\tan \frac{A+B}{2 } } = \frac{a-b}{a+b}</math>

====Lei das cotangentes====
<!---->
Se ''s'' é o semiperímetro do triângulo, (''a'' + ''b'' + ''c'')/2, e ''r'' é o raio do [[Círculos inscrito e exinscrito em um triângulo|círculo inscrito]] do triângulo, então ''rs'' é a área do triângulo. Portanto, a [[Teorema de Herão|fórmula de Heron]] implica que:
:<math> r = \sqrt{\frac{1}{s} (s-a)(s-b)(s-c)}</math>
A lei das cotangentes diz que:<ref name="Allen_1976"/>
:<math>\cot{ \frac{A}{2}} = \frac{s-a}{r}</math>
Segue-se que
:<math>\frac{\cot \dfrac{A}{2}}{s-a}=\frac{\cot \dfrac{B}{2}}{s-b}=\frac{\cot \dfrac{C}{2}}{s-c}=\frac{1}{r}</math>

===Funções periódicas===
[[Imagem:Lissajous curve 5by4.svg|thumb|right|Uma [[curva de Lissajous]], uma figura formada com uma função baseada em trigonometria.]]
[[Imagem:Synthesis square.gif|thumb|upright=1.5|right|Uma animação da <!--[[:en:Additive synthesis]]-->síntese aditiva de uma [[onda quadrada]] com um número crescente de harmônicos]]
[[Imagem:Sawtooth Fourier Animation.gif|thumb|upright=1.3|Funções de base sinusoidais (embaixo) podem formar uma onda dente de serra (em cima) quando adicionadas. Todas as funções de base têm nós nos nós do dente de serra, e todas, exceto a fundamental ({{Math|1=''k'' = 1}}), têm nós adicionais. A oscilação vista sobre o dente de serra quando {{Mvar|k}} é grande é chamada de [[fenômeno de Gibbs]]. (em inglês)]]
As funções trigonométricas também são importantes na física. As funções seno e cosseno, por exemplo, são usadas para descrever o [[movimento harmônico simples]], que modela muitos fenômenos naturais, como o movimento de uma massa presa a uma mola e, para ângulos pequenos, o movimento pendular de uma massa pendurada por uma corda. As funções seno e cosseno são projeções unidimensionais de <!--[[:en:Circular motion#Uniform circular motion]]-->[[movimento circular uniforme]].

As funções trigonométricas também se mostram úteis no estudo de [[Função periódica|funções periódicas]] gerais. Os padrões de onda característicos de funções periódicas são úteis para modelar fenômenos recorrentes, como [[onda]]s sonoras ou luminosas.<ref name="Farlow_1993"/>

Sob condições bastante gerais, uma função periódica {{Math|1=''f''&hairsp;(''x'')}}  pode ser expressa como uma soma de ondas senoidais ou ondas cosseno em uma [[série de Fourier]].<ref name="Folland_1992"/> Denotando as <!--[[:en:Basis function]]-->funções de base seno ou cosseno por {{Mvar|φ<sub>k</sub>}}, a expansão da função periódica {{Math|1=''f''&hairsp;(''t'')}}  assume a forma:
<math display="block">f(t) = \sum _{k=1}^\infty c_k \varphi_k(t)</math>
Por exemplo, a [[onda quadrada]] pode ser escrita como a [[série de Fourier]]
<math display="block"> f_\text{quad.}(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty {\sen \big( (2k-1)t \big) \over 2k-1}</math>
Na animação de uma onda quadrada no canto superior direito, pode-se ver que apenas alguns termos já produzem uma aproximação razoavelmente boa. A superposição de vários termos na expansão de uma [[onda dente de serra]] é mostrada abaixo.

===História===
{{Artigo principal|História da trigonometria}}
Embora o estudo inicial da [[trigonometria]] possa ser rastreado até a antiguidade, as funções trigonométricas como são usadas hoje foram desenvolvidas no período medieval. A função [[Corda (geometria)|corda]] foi definida por [[Hiparco]] de [[Niceia]] (180–125&nbsp;AEC) e [[Ptolomeu]] do [[Egito romano|Egito Romano]] (90–165&nbsp;EC). As funções de seno e [[seno verso]] (1 – cosseno) estão estreitamente relacionadas com as funções <!--[[:en:Jyā, koti-jyā and utkrama-jyā]]-->''jyā'' e ''koti-jyā'' usadas na [[astronomia indiana]] do [[Império Gupta|período Gupta]] ([[Aryabhatiya|''Āryabhaṭīya'']], <!--[[:en:Surya Siddhanta]]-->''Sūrya Siddhānta''), por meio da tradução do sânscrito para o árabe e depois do árabe para o latim.<ref name="Boyer_1991"/> <!--(Veja a [[:en:Āryabhaṭa's sine table|tabela de seno de ''Āryabhaṭīya'']].)-->

Todas as seis funções trigonométricas em uso atual eram conhecidas na [[matemática islâmica]] no século IX, assim como a [[lei dos senos]], usada na [[Solução de triângulos|resolução de triângulos]].<ref name="Gingerich_1986"/> [[Alcuarismi|''al-Khwārizmī'']] (c. 780–850) produziu tabelas de senos, e cossenos. Por volta de 860, <!--[[:en:Habash al-Hasib]]-->Habash al-Hasib al-Marwazi definiu a tangente e a cotangente, e produziu suas tabelas.<ref name="Sesiano">Jacques Sesiano, "''Islamic mathematics''", p. 157, em {{Cite book |title=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics |editor1-first=Helaine |editor1-last=Selin <!--|editor1-link=:en:Helaine Selin -->|editor2-first=Ubiratan |editor2-last=D'Ambrosio |editor2-link=Ubiratan D'Ambrosio |year=2000 |publisher=''[[Springer Science+Business Media]]'' |isbn=978-1-4020-0260-1 |language=en}}</ref><ref name="Britannica">{{Cite web |title=''trigonometry'' |date=17-11-2023 |url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/605281/trigonometry |publisher=Encyclopedia Britannica |language=en}}</ref> [[Albatani|Muḥammad ibn Jābir al-Ḥarrānī al-Battānī]] (853–929) definiu as funções recíprocas de secante e cossecante e produziu a primeira tabela de cossecantes para cada grau de 1° a 90°.<ref name="Britannica"/> As funções trigonométricas foram posteriormente estudadas por matemáticos, incluindo [[Omar Caiam]], [[Bhaskara II]], [[Naceradim de Tus]], [[Alcaxi]] (século XIV), [[Ulugue Begue]] (século XIV), [[Johannes Müller von Königsberg|Regiomontanus]] (1464), [[Georg Joachim Rheticus|Rheticus]] e o aluno de Rheticus, [[Valentinus Otho]].

[[Madhava de Sangamagrama]] (c. 1400) fez avanços iniciais na [[Análise matemática|análise]] de funções trigonométricas em termos de [[Série (matemática)|séries infinitas]].<ref name="mact-biog"/> (Veja <!--[[:en:Madhava series|série de Madhava]] e -->[[tabela de senos de Mādhava]].)

A função tangente foi trazida para a Europa por [[Giovanni Bianchini]] em 1467 em tabelas de trigonometria que ele criou para dar suporte ao cálculo de coordenadas estelares.<ref>{{Cite journal |url=https://www.jstor.org/stable/45211959 |jstor=45211959 |title=''The end of an error: Bianchini, Regiomontanus, and the tabulation of stellar coordinates'' |last1=Van Brummelen |first1=Glen |journal=Archive for History of Exact Sciences |year=2018 |volume=72 |issue=5 |pages=547–563 |doi=10.1007/s00407-018-0214-2 |s2cid=240294796 |language=en}}</ref> 

Os termos ''tangente'' e ''secante'' foram introduzidos pela primeira vez pelo matemático dinamarquês [[Thomas Fincke]] em seu livro ''Geometria rotundi'' (1583).<ref name="Fincke"/>

O matemático francês do século XVII [[Albert Girard]] fez o primeiro uso publicado das abreviações ''sen'', ''cos'' e ''tan'' em seu livro ''Trigonométrie''.<ref name=MacTutor>{{MacTutor|id=Girard_Albert}}</ref>

Em um artigo publicado em 1682, [[Gottfried Leibniz]] provou que {{Math|sen ''x''}} não é uma [[função algébrica]] de {{Mvar|x}}.<ref name="Bourbaki_1994"/> Embora definido como razões de lados de um [[triângulo retângulo]], e assim parecendo ser [[Função racional|funções racionais]], o resultado de Leibniz estabeleceu que elas são na verdade [[Função transcendente|funções transcendentais]] de seu argumento. A tarefa de assimilar funções circulares em expressões algébricas foi realizada por Euler em sua [[Introductio in analysin infinitorum|''Introdução à Análise do Infinito'']] (1748). Seu método era mostrar que as funções seno e cosseno são [[Série alternada|séries alternadas]] formadas a partir dos termos pares e ímpares, respectivamente, da [[Função exponencial|série exponencial]]. Ele apresentou a "[[fórmula de Euler]]", bem como abreviações quase modernas (''sen.'', ''cos.'', ''tang.'', ''cot.'', ''sec.'', e ''cosec.'').<ref name="Boyer_1991"/>

Algumas funções eram comuns historicamente, mas agora são raramente usadas, como [[Corda (geometria)|corda]], [[seno verso]] (que apareceu nas primeiras tabelas<ref name="Boyer_1991"/>, <!--[[:en:Haversine]]-->seno semiverso, <!--[[:en:Coversine]]-->seno coverso,<ref>{{Harvtxt|Nielsen|1966|pp=xxiii–xxiv}}</ref> semitangente (tangente de meio ângulo) e <!--[[:en:Exsecant]]-->secante externa. A [[Identidade trigonométrica|lista de identidades trigonométricas]] mostra mais relações entre essas funções.
: <math>\begin{align}
\operatorname{crd}\theta &= 2 \sen\tfrac12\theta \\[5mu]
\operatorname{senver}\theta&=1-\cos \theta = 2\sen^2\tfrac12\theta \\[5mu]
\operatorname{sensemiver}\theta&=\tfrac{1}{2}\operatorname{senver}\theta = \sen^2\tfrac12\theta \\[5mu]
\operatorname{sencover}\theta&=1-\sen\theta = \operatorname{senver}\bigl(\tfrac12\pi - \theta\bigr) \\[5mu]
\operatorname{secex}\theta &= \sec\theta - 1
\end{align}</math>
{{Âncora|Seno logarítmico|Cosseno logarítmico|Secante logarítmica|Cossecante logarítmica|Tangente logarítmica|Cotangente logarítmica}}
Historicamente, as funções trigonométricas eram frequentemente combinadas com [[logaritmo]]s em funções compostas como o seno logarítmico, o cosseno logarítmico, a secante logarítmica, a cossecante logarítmica, a tangente logarítmica e a cotangente logarítmica.<ref name="Hammer_1897">{{Cite book |title=Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie. Zum Gebrauch bei Selbstunterricht und in Schulen, besonders als Vorbereitung auf Geodäsie und sphärische Astronomie |language=de |trans-title= |editor-first=Ernst Hermann Heinrich |editor-last=von Hammer <!--|editor-link=:de:Ernst von Hammer -->|location=''Stuttgart, Germany'' |publisher=<!--[[:en:J. B. Metzlerscher Verlag]]-->''J. B. Metzlerscher Verlag'' |date=1897 |edition=2 |url=https://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/ABN6964.0001.001/?view=toc |access-date=2024-02-06}}</ref><ref name="Heß_1916">{{Cite book |title=Trigonometrie für Maschinenbauer und Elektrotechniker - Ein Lehr- und Aufgabenbuch für den Unterricht und zum Selbststudium |language=de |trans-title= |author-first=Adolf |author-last=Heß |location=''Winterthur, Switzerland'' |publisher=''Springer'' |edition=6 |date=1926 |orig-date=1916 |doi=10.1007/978-3-662-36585-4 |isbn=978-3-662-35755-2}}</ref><ref name="Lötzbeyer_1950">{{Cite book |title=Erläuterungen und Beispiele für den Gebrauch der vierstelligen Tafeln zum praktischen Rechnen |language=de |trans-title= |chapter=''§ 14. Erläuterungen u. Beispiele zu T. 13: lg sin X; lg cos X und T. 14: lg tg x; lg ctg X'' |trans-chapter= |author-first=Philipp |author-last=Lötzbeyer |date=1950 |edition=1 |isbn=978-3-11114038-4 |id=Archive ID 541650 |publication-place=''Berlin, Germany'' |publisher=[[Walter de Gruyter|''Walter de Gruyter & Co.'']] |doi=10.1515/9783111507545 |url=https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/9783111507545/html |chapter-url=https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/9783111507545-015/html |access-date=2024-02-06}}</ref><ref name="Roegel_2016">{{Cite book |title=A reconstruction of Peters's table of 7-place logarithms (volume 2, 1940) |date=2016-08-30 |editor-first=Denis |editor-last=Roegel |id=hal-01357842 |url=https://inria.hal.science/hal-01357842/document |location=''Vandoeuvre-lès-Nancy, France'' |publisher=<!--[[:en:Université de Lorraine|]]-->''Université de Lorraine'' |access-date=2024-02-06 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20240206211422/https://inria.hal.science/hal-01357842/document |archive-date=2024-02-06 |language=en}}</ref>

==Etimologia==
{{Artigo principal|História da trigonometria#Etimologia{{!}}História da trigonometria § Etimologia}}
A palavra {{Lang|la-x-medieval|''sine''}} deriva<ref>A forma anglicizada foi registrada pela primeira vez em 1593 em ''Horologiographia, the Art of Dialling'' de <!--[[:en:Thomas Fale]]-->Thomas Fale.</ref> do [[latim]] <!--[[wikt:en:sinus|sinus]]-->''sinus'', que significa "curvatura; baía", e mais especificamente "a dobra pendurada da parte superior de uma [[toga]]", "o seio de uma vestimenta", que foi escolhida como a tradução do que foi interpretado como a palavra árabe ''jaib'', que significa "bolso" ou "dobra" nas traduções do século XII das obras de [[Albatani|al-Battānī]] e [[Alcuarismi|al-Khwārizmī]] para o [[latim medieval]].<ref>Várias fontes atribuem o primeiro uso de {{Lang|la-x-medieval|''sinus''}} à:
* tradução de [[Plato de Tivoli|Platão Tiburtino]] de 1116 de ''Astronomia'' de al-Battānī;
* tradução de [[Gerardo de Cremona]] de ''Álgebra'' de al-Khwārizmī;
* tradução de <!--[[:en:Robert of Chester]]-->Robert de Chester de 1145 das tabelas de al-Khwārizmī.
Ver Merlet, [https://link.springer.com/chapter/10.1007/1-4020-2204-2_16#page-1 ''A Note on the History of the Trigonometric Functions''] (em inglês) em Ceccarelli (ed.), ''International Symposium on History of Machines and Mechanisms'' (em inglês), ''Springer'', 2004<br>Ver Maor (1998), capítulo 3, para uma etimologia anterior creditando Gerard.<br>Ver {{Cite book |last=Katx |first=Victor |date=07-2008 |title=A history of mathematics |edition=''3rd'' |location=''Boston'' |publisher=[[Pearson PLC|''Pearson'']] |page=210 (barra lateral) |isbn=978-0321387004 |language=en }}</ref> A escolha foi baseada em uma leitura errada da forma escrita árabe ''j-y-b'' ({{Lang|ar|<!--[[:wikt:en:جيب]]-->جيب}}), que se originou como uma [[transliteração]] do sânscrito {{IAST|''jīvā''}}, que junto com seu sinônimo {{IAST|''jyā''}} (o termo sânscrito padrão para o seno) se traduz como "corda de arco", sendo por sua vez adotado do [[Língua grega antiga|grego antigo]] {{Lang|grc|[[Corda (geometria)|''χορδή'']]}} "corda".<ref name="Plofker_2009"/>

A palavra ''tangente'' vem do latim ''tangens'' que significa "tocar", já que a linha ''toca'' o círculo de raio unitário, enquanto ''secante'' deriva do latim ''secans'' — "cortar" — já que a linha ''corta'' o círculo.<ref>''Oxford English Dictionary''</ref>

O prefixo <!--[[:en:Cofunction]]-->"co-" (em "cosseno", "cotangente", "cossecante") é encontrado em ''Canon triangulorum'' de [[Edmund Gunter]] (1620), que define o ''cosinus'' como uma abreviação para ''sinus complementi'' (seno do [[Ângulo#Quanto a complementações|ângulo complementar]]) e prossegue para definir ''cotangens'' de forma semelhante.<ref name="Gunter_1620"/><ref name="Roegel_2010"/>

==Ver também==
* [[Aproximação para ângulos pequenos]]
* [[Diferenciação de funções trigonométricas]]
* [[Função sinc|Função seno cardinal]]
* [[Lista de integrais de funções trigonométricas]]

==Referências==
{{Reflist|refs=
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<ref name="Aigner_2000">{{Cite book |author-last1=Aigner |author-first1=Martin |author1-link=Martin Aigner |author-last2=Ziegler |author-first2=Günter M. |author-link2=Günter Matthias Ziegler |title=Proofs from THE BOOK |publisher=''[[Springer-Verlag]]'' |edition=''2nd'' |date=2000 |isbn=978-3-642-00855-9 |page=149 |url=https://www.springer.com/mathematics/book/978-3-642-00855-9 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20140308034453/http://www.springer.com/mathematics/book/978-3-642-00855-9 |archive-date=2014-03-08 |language=en}}</ref>
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<ref name="Gingerich_1986">{{Cite magazine |title=''Islamic Astronomy'' |author-first=Owen |author-last=Gingerich |magazine=[[Scientific American]] |date=1986 |volume=254 |page=74 |url=http://faculty.kfupm.edu.sa/PHYS/alshukri/PHYS215/Islamic_astronomy.htm |access-date=2010-07-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20131019140821/http://faculty.kfupm.edu.sa/PHYS/alshukri/PHYS215/Islamic_astronomy.htm |archive-date=2013-10-19 |language=en}}</ref>
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<ref name="Plofker_2009">Ver Plofker, <!--[[:en:Mathematics in India (book)|]]-->''Mathematics in India'' (em inglês), ''Princeton University Press'', 2009, p. 257<br>Ver {{Cite web |url=http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/ |title=''Clark University'' |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20080615133310/http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/ |archive-date=2008-06-15 |language=en}}<br>Ver Maor (1998), capítulo 3, sobre a etimologia.</ref>
}}

==Ligações externas==
{{Wikilivros|Trigonometria}}
<!---->
{{Controle de autoridade}}
{{DEFAULTSORT:Funções trigonométricas}}
[[Categoria:Ângulos]]
[[Categoria:Números adimensionais]]
[[Categoria:Razão matemática]]