Mostrar código-fonte de GRS 80

O '''Sistema Geodésico de Referência&nbsp;1980''' ('''GRS&nbsp;80''', do inglês ''Geodetic Reference System&nbsp;1980'') é um [[modelo da Terra]] que inclui os parâmetros mais importantes da [[figura da Terra]], da [[rotação da Terra]] e do [[Gravidade da Terra|campo gravitacional terrestre]].<ref name=Moritz1980>{{cite journal |last=Moritz |first=Helmut |authorlink=:de:Helmut Moritz |title=Geodetic Reference System 1980 |journal=[[Bulletin Géodésique]] |volume=54 |issue=3 |date=setembro 1980 |pages=395–405 |doi=10.1007/BF02521480 |bibcode=1980BGeod..54..395M |s2cid=198209711 |url=http://geoweb.mit.edu/~tah/12.221_2005/grs80_corr.pdf}}</ref><ref name="Moritz1992">{{cite journal | last=Moritz | first=H. |authorlink=:de:Helmut Moritz | title=Geodetic Reference System 1980 | journal=Bulletin Géodésique | publisher=Springer Science and Business Media LLC | volume=66 | issue=2 | year=1992 | issn=0007-4632 | doi=10.1007/bf00989270 | pages=187–192| bibcode=1992BGeod..66..187M | s2cid=122916060 }}</ref><ref name=Moritz2000>{{cite journal |last=Moritz |first=Helmut |authorlink=:de:Helmut Moritz |date=Março 2000 |title=Geodetic Reference System 1980 |journal=Journal of Geodesy |volume=74 |issue=1 |pages=128–162 |doi=10.1007/S001900050278 |s2cid=195290884 |url=https://geodesy.geology.ohio-state.edu/course/refpapers/00740128.pdf}}</ref>

==Descrição==
O [[elipsoide de referência]] do&nbsp;GRS&nbsp;80 serve o sistema europeu de referência espacial [[Sistema Europeu de Referência Terrestre 1989|ETRS89]] como superfície de cálculo geométrico e de cartografia e, juntamente com ele, forma o [[datum geodésico]] para os [[Cartografia|levantamentos nacionais]] normalizados.

O sistema cartográfico utilizado é o [[projeção conforme|conformal]], sendo utilizado o [[sistema de coordenadas UTM]]. Na Alemanha, o [[elipsoide de Bessel]] ([[Potsdam Datum]]) e o [[Elipsoide de Krassowski]] ([[Geodetic Datum|Pulkovo Datum]]) são convertidos para o [[sistema de coordenadas Gauss-Krueger]] ([[sistema Gauß-Krüger]]) e dele para o [[GRS80]] e&nbsp;[[Universal Transversa de Mercator|UTM]].

O GRS&nbsp;80 também define a [[gravidade normal]] e, portanto, substitui a [[fórmula da gravidade normal#Fórmula Internacional da Gravidade 1967|GRS&nbsp;67]]. O [[Sistema Geodésico Mundial 1984|WGS&nbsp;84]] utiliza praticamente o elipsoide do GRS&nbsp;80, mas contém mais dados sobre o [[campo gravítico da Terra]].

O GRS&nbsp;80 foi adotado em 1979 na assembleia geral da [[International Union of Geodesy and Geophysics|IUGG]], a organização internacional que engloba a [[geodesia]] e a [[geofísica]], e publicado em pormenor em 1980 pelo chefe do grupo de estudo, [[Helmut Moritz]], após consulta da [[International Astronomical Union]] (IAU).
===Antecedentes===
A [[geodesia]] é a disciplina científica que se ocupa da medição e representação da [[Terra]], do seu [[campo gravitacional]] e dos fenómenos [[Geodinâmica|geodinâmicos]] (movimentos polares, [[marés]] e movimentos da crosta terrestre) no espaço tridimensional e variável no tempo.

O [[geoide]] é essencialmente a [[figura da Terra]] abstraída das suas características topográficas. É uma superfície de equilíbrio idealizada da água do mar, a superfície do [[nível médio do mar]] na ausência de correntes, variações da [[pressão atmosférica]], entre outras perturbações, e contínua sob as massas continentais.

O geoide, ao contrário do [[elipsoide]], é irregular e demasiado complicado para servir de superfície de cálculo para a resolução de problemas geométricos como o posicionamento de pontos. A separação geométrica entre o geoide e o elipsoide de referência é designada por [[Geoide#Ondulação|ondulação geoidal]], ou mais geralmente por [[separação geoide-elipsoide]], ''N''. Varia globalmente entre {{val|110|u=m|p=±}}.

Um [[elipsoide de referência]], habitualmente escolhido para ter o mesmo tamanho (volume) que o geoide, é descrito pelo seu semi-eixo maior (raio equatorial) ''a'' e [[achatamento]] ''f''. A quantidade ''f''&nbsp;= (''a''−''b'')/''a'', onde ''b'' é o semi-eixo menor (raio polar), é puramente geométrica. A [[elipticidade]] mecânica da Terra (o [[achatamento dinâmico]], símbolo ''J''<sub>2</sub>) é determinado com grande precisão pela observação das perturbações da [[órbita]] dos satélites. A sua relação com o achatamento geométrico é indireta. A relação depende da distribuição da densidade interna do [[corpo planetário]].

O [[Sistema Geodésico de Referência de 1980]] (GRS 80) postula um semi-eixo maior de {{val|6378137|u=m}} e um [[achatamento polar]] de {{frac|298.257222101}}. Este sistema foi adotado na XVII Assembleia Geral da [[União Internacional de Geodesia e Geofísica]] ([[IUGG]]) realizada em Camberra, Austrália, em 1979.

O sistema de referência GRS 80 foi originalmente utilizado pelo [[WGS 84|World Geodetic System 1984]] (WGS 84). O elipsoide de referência do WGS 84 difere agora ligeiramente devido a aperfeiçoamentos posteriores.

Os numerosos outros sistemas que têm sido utilizados por diversos países para os seus mapas e cartas topográficas estão gradualmente a deixar de ser utilizados, à medida que cada vez mais países avançam para sistemas de referência globais e geocêntricos que utilizam o elipsoide de referência GRS80.
===Parâmetros definidores===
Um elipsoide de referência é geralmente definido pelo seu [[semi-eixo maior]] (raio equatorial) <math>a</math> e pelo seu [[semi-eixo menor]] (raio polar) <math>b</math>, [[razão de aspeto]] <math>(b/a)</math> ou [[achatamento]] <math>f</math>, mas a GRS80 é uma exceção: são necessárias quatro constantes independentes para uma definição completa. A GRS&nbsp;80 escolhe como tais <math>a</math>, <math>GM</math>, <math>J_2</math> e <math>\omega</math>, fazendo da constante geométrica <math>f</math> uma quantidade derivada.

As constantes independentes escolhidas são as seguintes:
*Definição das [[constante (matemática)|constantes]] [[Geometria|geométricas]]:
:Semi-eixo maior = raio equatorial = <math>a = 6\,378\,137\,\mathrm{m}</math>;
*Definição das [[constante (matemática)|constantes]] [[física]]s:
:[[Constante gravitacional geocêntrica]] determinada a partir da [[constante gravitacional]] e da [[massa da Terra]] com atmosfera <math>GM = 3986005\times10^8\, \mathrm{m^3/s^2}</math>;
:Fator de forma dinâmico <math>J_2 = 108\,263\times10^{-8}</math>;
:[[Velocidade angular]] de rotação <math>\omega = 7\,292\,115\times10^{-11}\, \mathrm{s^{-1}}</math>;

A partir dessas definições, os valores dos quatro parâmetros geométricos e físicos definidores são os seguintes:
{| class="wikitable"
|-
|Semi-eixo maior / raio no [[Equador da Terra|equador]]
|<math>a = 6{,}378 \, 137 \cdot 10^6 \, \textrm{m}</math>
|-
|[[Constante gravitacional]] vezes [[massa da Terra]]<br />(mais precisamente mensurável do que os factores individuais)
|<math>GM_\oplus = 3{,}986 \, 005 \cdot 10^{14} \, \textrm{m}^3/\textrm{s}^2\,</math>
|-
|Diferença dos [[Momento de inércia|momentos de inércia principais]] relativos a&nbsp;''M''<sub>&#x2295;</sub>''a''<sup>2</sup><br />(sem a influência de [[força de maré|forças de maré]])
|<math>J_2 = 1{,}08263\cdot 10^{-3}</math>
|-
|[[Velocidade angular]]<br />(incluindo informações sobre a orientação do <br>eixo de rotação e do [[meridiano primário]])
|<math>\omega = 7{,}292\,115\cdot 10^{-5}\,\textrm{rad/s}\,</math>
|}
===Quantidades derivadas===
A partir dos quatro parâmetros definidores do sistema são derivadas valores (as quantidades derivadas) utilizados na paramerização do sistema. A quantidades derivadas são as seguintes:
*Constantes geométricas derivadas (todas arredondadas)
:Achatamento = <math>f</math> = 0,003 352 810 681 183 637 418;
:Recíproco do achatamento = <math>1/f</math> = 298,257 222 100 882 711 243;
:Semi-eixo menor = Raio polar = <math>b</math> = 6 356 752,314 140 347 m;
:Rácio de aspeto = <math>b/a</math> = 0,996 647 189 318 816 363;
:[[Raio da Terra#Raio médio: R1|Raio médio da Terra]], tal como definido pela [[União Internacional de Geodesia e Geofísica]] (IUGG): <math>R_1 = (2a+b)/3</math> = 6 371 008,7714 m;
:[[Raio da Terra#Raio autálico|Raio médio autálico]] = <math>R_2</math> = 6 371 007,1809 m;
:Raio de uma esfera com o mesmo volume = <math>R_3 = (a^2b)^{1/3}</math> = 6 371 000,7900 m;
:Excentricidade linear = <math>c = \sqrt{a^2-b^2}</math> = 521 854,0097 m;
:[[Excentricidade (matemática)|Ecentricidade]] da secção elíptica através dos pólos = <math>e = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}</math> = 0,081 819 191 0428;
:Raio de curvatura polar = <math>a^2/b</math> = 6 399 593,6259 m;
:Raio de curvatura equatorial para um meridiano = <math>b^2/a</math> = 6 335 439,3271 m;
:Quadrante do meridiano = 10 001 965,7292 m;
* Constantes físicas derivadas (arredondadas):
:Período de rotação ([[dia sideral]]) = <math>2\pi/\omega</math> = 86 164.100 637 s

A fórmula que dá a excentricidade do [[esferoide]] GRS80 é:<ref name=Moritz1980/>

:<math>e^2  =  \frac {a^2 - b^2}{a^2} = 3J_2 + \frac4{15} \frac{\omega^2 a^3}{GM} \frac{e^3}{2q_0},</math>

onde,

:<math> 2q_0 = \left(1 + \frac3{e'^2}\right) \arctan e' - \frac3{e'}</math>

e&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>e' = \frac{e}{\sqrt{1 - e^2}} </math> (sendo <math>\arctan e' = \arcsin e</math>).  A equação é resolvida iterativamente para obter:

:<math>e^2 = 0.00669\,43800\,22903\,41574\,95749\,48586\,28930\,62124\,43890\,\ldots</math>

que dá:

:<math>f = 1/298.25722\,21008\,82711\,24316\,28366\,\ldots.</math>

Tendo em conta as constantes atrás derivadas, os valores dos parâmetros derivados para descrever a forma do elipsoide da Terra são:
{| class="wikitable"
|-
|[[Semi-eixo menor]] / semi-eixo polar
|<math>b \approx 6{,}356\,752\,314\cdot 10^6\,\textrm{m}</math>
|-
|Parâmetros do [[achatamento da Terra]]
|<math>f^{-1} \approx 2{,}98257222\cdot 10^2</math>
|}

==Referências==
{{Reflist}}
== Bibliografia ==
* Bernhard Heckmann: ''Einführung des Lagebezugssystems ETRS89/UTM beim Umstieg auf ALKIS.'' In: Mitteilungen des DVW Hessen-Thüringen, 1/2005, S.&nbsp;17&nbsp;ff.
* Ralf Strehmel: ''Amtliches Bezugssystem der Lage – ETRS89.'' Vermessung Brandenburg, 1/1996 ([https://geobasis-bb.de/sixcms/media.php/9/vbb_196.pdf PDF]).
* [[Bernhard Heck]]: ''Rechenverfahren und Auswertemodelle der Landesvermessung.'' Karlsruhe 1987.
* [[Hans-Gert Kahle]]: ''Einführung in die Höhere Geodäsie''. 2., durchgesehene und erweiterte Auflage. Verlag der Fachvereine, Zürich 1988.
* [[International Association of Geodesy]] (IAG): ''Geodesist’s Handbook 1980.''

== {{Links}} ==
* Helmut Moritz: [https://www.iag-aig.org/attach/bc842687a973633aaa20d6617492c5d5/grs80_corr.doc Geodetic Reference System 1980] 
* [https://web.archive.org/web/20051225213554/http://www.gfy.ku.dk/~iag/HB2000/part4/grs80_corr.htm GRS 80 Specification] <!-- The formulas missing in the htm can be found in the original document http://www.iag-aig.org/attach/bc842687a973633aaa20d6617492c5d5/grs80_corr.doc
If formulas are not displayed switch to field codes, "Alt-F9"
{{Controlo de autoridade}}

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