Mostrar código-fonte de Geometria aritmética

[[Imagem:Example of a hyperelliptic curve.svg|miniatura|250px|A curva hiperelíptica definida por <math>y^2=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2)</math> tem apenas finitamente muitos pontos racionais (como os pontos <math>(-2, 0)</math> e <math>(-1, 0)</math>) pelo teorema de Faltings.]]
Em matemática, a '''geometria aritmética''' é simplificadamente a aplicação de técnicas da [[geometria algébrica]] a problemas na [[teoria dos números]].<ref>{{cite web|title=Introduction to Arithmetic Geometry|last=Sutherland|first=Andrew V. |url= https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-782-introduction-to-arithmetic-geometry-fall-2013/lecture-notes/MIT18_782F13_lec1.pdf|date=5 de setembro de 2013|access-date=1 de janeiro de 2022}}</ref> A geometria aritmética é centrada em torno da [[geometria diofantina]], o estudo dos pontos racionais das [[Variedade algébrica|variedades algébricas]].<ref name="Quanta">{{cite web|url=https://www.quantamagazine.org/peter-scholze-and-the-future-of-arithmetic-geometry-20160628/|title=Peter Scholze and the Future of Arithmetic Geometry|last=Klarreich|first=Erica|date=28 de junho de 2016|access-date=1 de janeiro de 2022}}</ref><ref name="poonen-notes">{{cite web|title=Introduction to Arithmetic Geometry |last=Poonen |first=Bjorn |author-link=Bjorn Poonen|url=http://math.mit.edu/~poonen/782/782notes.pdf|year=2009|access-date=1 de janeiro de 2022}}</ref>

Em termos mais abstratos, a geometria aritmética pode ser definida como o estudo de [[Esquema (matemática)|esquemas]] de tipo finito sobre o [[Espectro de um anel|espectro]] do [[anel de inteiros]].<ref>{{nlab|id=arithmetic+geometry|title=Arithmetic geometry}}</ref>

==Visão geral==
Os objetos clássicos de interesse em geometria aritmética são pontos racionais: conjuntos de soluções de um sistema de equações polinomiais sobre [[Corpo de números algébricos|campos numéricos]], [[Corpo finito|campos finitos]], [[Número p-ádico|campos p-ádicos]] ou campos de função, ou seja, [[Corpo (matemática)|campos]] que não são [[Corpo algebricamente fechado|algebricamente fechados]] excluindo os [[Número real|números reais]]. Os pontos racionais podem ser diretamente caracterizados por funções de altura que medem sua complexidade aritmética.<ref>{{cite book | first=Serge | last=Lang | author-link=Serge Lang | title=Survey of Diophantine Geometry | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1997 | ISBN=3-540-61223-8 | zbl=0869.11051 | pages=43–67 }}</ref>

A estrutura de variedades algébricas definidas sobre campos não fechados algébricamente tornou-se uma área central de interesse que surgiu com o desenvolvimento abstrato moderno da geometria algébrica. Sobre campos finitos, [[coomologia etal]] fornece [[Lista de invariantes topológicos|invariantes topológicos]] associados a variedades algébricas.<ref name="grothendieck-cohomology"/> A [[teoria de Hodge]] p-ádica fornece ferramentas para examinar quando as propriedades cohomológicas de variedades sobre os [[Número complexo|números complexos]] se estendem para os campos p-ádicos.<ref>{{cite journal | last=Serre | first=Jean-Pierre | author-link=Jean-Pierre Serre | title=Résumé des cours, 1965–66 | journal=Annuaire du Collège de France | location=Paris | year=1967 | pages=49–58}}</ref>

==História==
===Século XIX: início de geometria aritmética===
No início do século 19, [[Carl Friedrich Gauss]] observou que soluções [[Número inteiro|inteiras]] diferentes de zero para [[Polinômio homogêneo|equações polinomiais homogêneas]] com coeficientes [[Número racional|racionais]] existem se soluções racionais diferentes de zero existirem.<ref>{{cite book|title=Diophantine Equations|last=Mordell|first=Louis J.|author-link=Louis Mordell|year=1969|publisher=Academic Press|ISBN=978-0125062503|page=1}}</ref>

Na década de 1850 [[Leopold Kronecker]] formulou o [[teorema de Kronecker-Weber]], introduziu a teoria dos divisores e fez várias outras conexões entre a teoria dos números e a [[álgebra]]. Ele então conjeturou seu [[Décimo segundo problema de Hilbert|"Jugendtraum de Kronecker"]] ("sonho mais querido da juventude"), uma generalização que mais tarde foi apresentada por Hilbert de uma forma modificada como seu [[Problemas de Hilbert|décimo segundo problema]], que descreve o objetivo de fazer a teoria dos números operar apenas com anéis que são quocientes de anéis polinomiais sobre os inteiros.<ref name="Princeton">{{cite book| last1 = Gowers| first1 = Timothy| last2 = Barrow-Green| first2 = June| last3 = Leader| first3 = Imre| title = The Princeton companion to mathematics| url = https://archive.org/details/princetoncompanio00gowe| year = 2008| publisher = Princeton University Press|ISBN = 978-0-691-11880-2| pages = 773–774 }}</ref>

===Início a meados do século 20: desenvolvimentos algébricas e conjecturas de Weil===
No final da década de 1920 [[André Weil]] demonstrou profundas conexões entre geometria algébrica e teoria dos números com seu trabalho de [[Doutoramento|doutorado]] levando ao [[teorema de Mordell-Weil]], que demonstra que o conjunto de pontos racionais de uma [[variedade abeliana]] é um [[grupo abeliano]] finitamente gerado.<ref>A. Weil, ''L'arithmétique sur les courbes algébriques'', Acta Math 52, (1929) p.&nbsp;281-315, reprinted in vol 1 of his collected papers {{ISBN|0-387-90330-5}}.</ref>

Os fundamentos modernos da geometria algébrica foram desenvolvidos com base na [[álgebra comutativa]] contemporânea, incluindo a [[Valoração (álgebra)|teoria da valoração]] e a teoria dos [[Ideal (teoria dos anéis)|ideais]] de [[Oscar Zariski]] e outros nas décadas de 1930 e 1940.<ref>{{cite book | last1=Zariski | first1=Oscar | author1-link=Oscar Zariski | editor1-last=Abhyankar | editor1-first=Shreeram S. | editor1-link=Shreeram Abhyankar| editor2-last=Lipman | editor2-first=Joseph | editor2-link=Joseph Lipman| editor3-last=Mumford | editor3-first=David | editor3-link=David Mumford | title=Algebraic surfaces | orig-year=1935 | url=https://books.google.com/books?id=d6Zzhm9eCmgC | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=second supplemented | series=Classics in mathematics | ISBN=978-3-540-58658-6 | year=2004 | mr=0469915}}</ref>

Em 1949 [[André Weil]] apresentou as conjecturas de Weil sobre as [[Função zeta local|funções zeta locais]] de variedades algébricas sobre campos finitos.<ref>{{cite journal | last1=Weil | first1=André | author1-link=André Weil | title=Numbers of solutions of equations in finite fields | doi=10.1090/S0002-9904-1949-09219-4  | mr=0029393 | year=1949 | journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9904 | volume=55 | pages=497–508 | issue=5}} Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil {{ISBN|0-387-90330-5}}</ref> Essas conjecturas ofereceram uma estrutura entre a geometria algébrica e a teoria dos números que impulsionou [[Alexander Grothendieck]] a reformular os fundamentos fazendo uso da [[teoria dos feixes]] (junto com [[Jean-Pierre Serre]]) e, posteriormente, da teoria do esquema, nas décadas de 1950 e 1960.<ref>{{cite journal | last1 = Serre | first1 = Jean-Pierre | year = 1955 | title = Faisceaux Algebriques Coherents | journal = The Annals of Mathematics | volume = 61 | issue = 2| pages = 197–278 | doi=10.2307/1969915| jstor = 1969915 }}</ref> [[Bernard Dwork]] provou uma das quatro conjecturas de Weil (racionalidade da função zeta local) em 1960.<ref>{{cite journal | last1=Dwork | first1=Bernard | author1-link=Bernard Dwork | title=On the rationality of the zeta function of an algebraic variety | jstor=2372974 | mr=0140494 | year=1960 | journal=[[American Journal of Mathematics]] | issn=0002-9327 | volume=82 | pages=631–648 | doi=10.2307/2372974 | issue=3 | publisher=American Journal of Mathematics, Vol. 82, No. 3}}</ref> Grothendieck desenvolveu a teoria da [[coomologia etal]] para provar duas das conjecturas de Weil (junto com [[Michael Artin]] e [[Jean-Louis Verdier]]) em 1965.<ref name="grothendieck-cohomology">{{cite book | last1=Grothendieck | first1=Alexander | author1-link=Alexander Grothendieck | title=Proc. Internat. Congress Math. (Edinburgh, 1958) | publisher=[[Cambridge University Press]] | mr=0130879 | year=1960 | chapter=The cohomology theory of abstract algebraic varieties | pages=103–118|chapter-url=http://grothendieckcircle.org/}}</ref><ref>{{cite book | last1=Grothendieck | first1=Alexander | author1-link=Alexander Grothendieck | title=Séminaire Bourbaki | chapter-url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1964-1966__9__41_0 | publisher=[[Société Mathématique de France]] | location=Paris | mr=1608788 | year=1995 | volume=9 | chapter=Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L | pages=41–55|orig-year=1965 |ref= {{harvid|Grothendieck|1965}} }}</ref> A última das conjecturas de Weil (um análogo da [[hipótese de Riemann]]) foi finalmente provada em 1974 por [[Pierre Deligne]].<ref>{{cite journal | last1=Deligne | first1=Pierre | author1-link=Pierre Deligne | title=La conjecture de Weil. I | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__43__273_0 | mr=0340258 | year=1974 | journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]] | volume=43 | issn=1618-1913 | issue=1 | pages=273–307| doi=10.1007/BF02684373 }}</ref>

===Metade ao fim do século 20: desenvolvimentos na modularidade, métodos p-ádicos, e além===
Entre 1956 e 1957 [[Yutaka Taniyama]] e [[Goro Shimura]] formularam o [[teorema de Shimura-Taniyama-Weil]] (agora conhecido como o teorema de modularidade) relativo a [[Curva elíptica|curvas elípticas]] para [[Forma modular|formas modulares]].<ref>{{cite journal|last=Taniyama|first=Yutaka |journal=Sugaku|volume=7|page=269|year=1956|title=Problem 12|language=ja}}</ref><ref>{{cite journal | last1=Shimura | first1=Goro | title=Yutaka Taniyama and his time. Very personal recollections | doi=10.1112/blms/21.2.186 | mr=976064 | year=1989 | journal=The Bulletin of the London Mathematical Society | issn=0024-6093 | volume=21 | issue=2 | pages=186–196}}</ref> Esta ligação acabaria por levar à [[Resolução do último teorema de Fermat|primeira prova]] do [[último teorema de Fermat]] na teoria dos números através de técnicas de geometria algébrica de levantamento de modularidade desenvolvidas por [[Andrew Wiles]] em 1995.<ref name="wiles1995">{{cite journal|last=Wiles|first=Andrew|author-link=Andrew Wiles|year=1995|title=Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem|url=http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf|journal=Annals of Mathematics|volume=141|issue=3|pages=443–551|oclc=37032255|doi=10.2307/2118559|jstor=2118559|citeseerx=10.1.1.169.9076}}</ref>

Na década de 1960 Goro Shimura introduziu variedades de Shimura como generalizações de curvas modulares.<ref>{{cite book|last=Shimura|first=Goro|title=The Collected Works of Goro Shimura|publisher=Springer Nature|ISBN=978-0387954158|year=2003}}</ref> Desde 1979 as variedades de Shimura têm desempenhado um papel crucial no [[Programa Langlands]] como um reino natural de exemplos para testar conjecturas.<ref>{{cite book|title=Automorphic Forms, Representations, and L-Functions: Symposium in Pure Mathematics|publisher=Chelsea Publishing Company|editor-last1=Borel|editor-first1=Armand|editor-link1=Armand Borel|editor-last2=Casselman|editor-first2=William|editor-link2=Bill Casselman (mathematician)|year=1979|volume=XXXIII Part 1|last=Langlands|first=Robert|author-link=Robert Langlands|chapter-url=http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/pdf/autoreps-ps.pdf|chapter=Automorphic Representations, Shimura Varieties, and Motives. Ein Märchen|pages=205–246}}</ref>

Em artigos de 1977 e 1978, [[Barry Mazur]] provou a conjectura de torção dando uma lista completa dos possíveis subgrupos de torção de curvas elípticas sobre os números racionais. A primeira prova de Mazur desse teorema dependeu de uma análise completa dos pontos racionais de certas curvas modulares.<ref>{{cite journal|last=Mazur|first=Barry|author-link=Barry Mazur|title=Modular curves and the Eisenstein ideal|volume=47|issue=1|pages=33–186|year=1977|doi=10.1007/BF02684339|mr=0488287|journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]]|url=http://www.numdam.org/item/PMIHES_1977__47__33_0/}}</ref><ref>{{cite journal|last=Mazur|first=Barry|title=Rational isogenies of prime degree|volume=44|issue=2|pages=129–162|year=1978|doi=10.1007/BF01390348|mr=0482230|journal=[[Inventiones Mathematicae]]|others=with appendix by [[Dorian Goldfeld]]|bibcode=1978InMat..44..129M}}</ref> Em 1996 a prova da conjectura de torção foi estendida a todos os campos de números por [[Loïc Merel]].<ref>{{cite journal | last1=Merel | first1=Loïc | author1-link=Loïc Merel | title=Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres | trans-title=Bounds for the torsion of elliptic curves over number fields | language=fr | doi=10.1007/s002220050059 |mr=1369424 | year=1996 | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | volume=124 | issue=1 | pages=437–449 | bibcode=1996InMat.124..437M }}</ref>

Em 1983 [[Gerd Faltings]] provou a conjectura de Mordell, demonstrando que uma curva de gênero maior que 1 tem apenas pontos racionais finitos (onde o teorema de Mordell-Weil apenas demonstra a geração finita do conjunto de pontos racionais em oposição à finitude).<ref>{{cite journal |author-link=Gerd Faltings| last=Faltings |first=Gerd |year=1983 |title=Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern |journal=[[Inventiones Mathematicae]] |volume=73 |issue=3 |pages=349–366 |doi=10.1007/BF01388432 | mr=0718935 | trans-title=Finiteness theorems for abelian varieties over number fields | language=de | bibcode=1983InMat..73..349F}}</ref><ref>{{cite journal |last=Faltings |first=Gerd |year=1984 |title=Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern |journal=[[Inventiones Mathematicae]] |volume=75 |issue=2 |pages=381 |doi=10.1007/BF01388572 | mr=0732554 | language=de}}</ref>

Em 2001 a prova das conjecturas locais de Langlands para GL<sub>n</sub> foi baseada na geometria de certas variedades de Shimura.<ref>{{cite book |  author1-link=Michael Harris (mathematician)| last1=Harris | first1=Michael |  author2-link=Richard Taylor (mathematician)| last2=Taylor | first2=Richard | title=The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties | url=https://books.google.com/books?id=sigBbO69hvMC | publisher=[[Princeton University Press]] | series=Annals of Mathematics Studies | ISBN=978-0-691-09090-0 | mr=1876802 | year=2001 | volume=151}}</ref>

Na década de 2010 [[Peter Scholze]] desenvolveu espaços perfectóides e novas teorias de cohomologia em geometria aritmética sobre campos p-ádicos com aplicação a representações de Galois e certos casos da conjectura de monodromia de peso.<ref>{{cite web |title=Fields Medals 2018 |url=https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal/fields-medals-2018 |publisher=[[União Internacional de Matemática]] |access-date=1 de janeiro de 2022}}</ref><ref>{{cite web|last=Scholze|first=Peter|url=http://www.math.uni-bonn.de/people/scholze/CDM.pdf|title=Perfectoid spaces: A survey|website=University of Bonn|access-date=4 de novembro de 2018}}</ref>

==Ver também==
*[[Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer]]

{{Referências}}

{{Teoria dos números}}
{{Áreas da matemática}}

{{Controle de autoridade}}

{{DEFAULTSORT:Geometria aritmetica}}
[[Categoria:Áreas da matemática]]