Mostrar código-fonte de Gráfico Q-Q

[[Ficheiro:Normal_exponential_qq.svg|direita|miniaturadaimagem|300x300px|Um gráfico Q-Q dados [[Distribuição exponencial|exponenciais]] independentes e randomicamente gerados, ({{Math|''X'' ~ Exp(1)}}). Este gráfico Q–Q compara uma [[Amostra (estatística)|amostra]] de [[dados]] no eixo vertical a uma [[População (estatística)|estatística de população]] no eixo horizontal. Os pontos seguem um forte padrão não linear, sugerindo que os dados não são distribuídos com um padrão normal ({{Math|''X'' ~ N(0,1)}}). O deslocamento entre a linha e os pontos sugere que a média dos dados não é 0. A mediana dos pontos pode ser determinada a estar perto de 0,7]]
[[Ficheiro:Normal_normal_qq.svg|direita|miniaturadaimagem|300x300px|Gráfico Q-Q normal comparando dados normais independentes gerados aleatoriamente no eixo vertical a uma população normal padrão no eixo horizontal. A linearidade dos pontos sugere que os dados são normalmente distribuídos]]
Em [[estatística]], um '''gráfico Q-Q'''<ref>{{citar periódico | ultimo1=Wilk | primeiro=M.B. | ultimo2=Gnanadesikan | primeiro2=R. | ano=1968 | volume=55 | paginas=1–17 | titulo=Probability plotting methods for the analysis of data | jstor=2334448 | numero=1 | periódico=Biometrika Trust | pmid=5661047 | doi=10.1093/biomet/55.1.1}}</ref> ("Q" significa ''[[quantil]]'') é um [[gráfico de probabilidades]], que é um método gráfico para comparar duas [[Distribuição de probabilidade|distribuições de probabilidade]], traçando seus quantis uns contra os outros. Primeiro, o conjunto de intervalos para os quantis é escolhido. Um ponto {{Math|(''x'', ''y'')}} no gráfico corresponde a um dos quantis da segunda distribuição (coordenada {{Math|''y''}}) plotadas contra o mesmo mesmo quantil da primeira distribuição de (coordenada {{Math|''x''}}). Portanto, a linha é uma curva paramétrica cujo parâmetro é o quantil de cada ponto.

Se as duas distribuições que estão sendo comparadas são semelhantes, os pontos no gráfico Q-Q vão repousar aproximadamente na linha {{Math|''y'' {{=}} ''x''}}. Se as distribuições são linearmente relacionadas, os pontos no gráfico Q-Q irão repousar aproximadamente em uma linha, mas não necessariamente na linha {{Math|''y'' {{=}} ''x''}}. Gráficos Q-Q também podem ser usados como meio gráfico de estimativa de parâmetros de dispersão e tendência central em uma família de distribuições.

Um gráfico Q-Q é usado para comparar as formas das distribuições, fornecendo uma exibição gráfica de como as propriedades, tais como [[Tendência central|medidas de tendência central]], [[Dispersão estatística|dispersão]] e [[Obliquidade|assimetria]] são semelhantes ou diferentes nas duas distribuições. Gráficos Q-Q podem ser usados para comparar conjuntos de dados ou [[População (estatística)|distribuições teóricas]]. O uso de gráficos Q-Q para comparação de duas amostras de dados pode ser visto como uma abordagem [[Estatística não paramétrica|não-paramétrica]] para comparação de suas distribuições subjacentes. Um gráfico Q-Q geralmente é uma abordagem mais poderosa para fazer essa comparação do que a técnica comum de comparação de [[histograma]]s das duas amostras, mas requer mais habilidade para interpretar. Gráficos Q-Q são comumente usados para comparar um conjunto de dados com um modelo teórico.<ref>{{citar livro|ultimo=Gnanadesikan|primeiro=R.|ano=1977|página=199|titulo=Methods for Statistical Data Analysis of Multivariate Observations|editora=John Wiley & Sons, Inc|local=New Brunswick, New Jersey}}</ref> Isto pode fornecer uma avaliação de [[qualidade do ajuste]] (''goodness of fit'') que é gráfica, ao invés de reduzir a uma exibição numérica. Gráficos Q-Q também são usados para comparar duas distribuições teóricas entre si. Uma vez que gráficos Q-Q compararam distribuições, não há necessidade de observar os valores como pares, como em um [[gráfico de dispersão]], nem há necessidade mesmo serem iguais o número de valores nos dois grupos a serem comparados.

O termo "gráfico de probabilidades" às vezes, refere-se especificamente a um gráfico Q-Q, e menos comumente o [[gráfico P-P]]. O '''coeficiente de correlação do gráfico de probabilidade''' é uma grandeza derivada da ideia de gráficos Q-Q, que mede a concordância de uma distribuição ajustada com os dados observados e que às vezes é usada como um meio de ajuste de uma distribuição de dados.

== Posições de plotagem ==
A escolha dos quantis de uma distribuição teórica pode depender do contexto e do propósito. Uma escolha, dada uma amostra de tamanho {{math|''n''}}, é {{math|''k'' / ''n''}} para {{math|''k'' {{ =}} 1, …, ''n''}}, pois estes são os quantis que a distribuição amostral analisa. O último deles, {{math|''n'' / ''n''}}, corresponde ao percentil 100 (o valor máximo da distribuição teórica, que às vezes é infinito). Outras opções são o uso de {{math|(''k'' − 0.5) / ''n''}}, ou espaçar os pontos uniformemente na distribuição uniforme, usando {{math|''k'' /(''n'' + 1)}}.<ref>{{citation
|primeiro=Waloddi
|último=Weibull
|título=The Statistical Theory of the Strength of Materials
|periódico=IVA Handlingar, Royal Swedish Academy of Engineering Sciences
|número= 151
|ano=1939
}}</ref>

Muitas outras escolhas foram sugeridas, tanto formais quanto heurísticas, baseadas em teoria ou simulações. As subseções a seguir discutem algumas delas.

=== Heurística ===
Várias fórmulas diferentes foram usadas ou propostas como [[Gráfico_Q-Q#Posições de plotagem|posições de plotagem]]. Tais fórmulas têm a forma {{math|(''k'' − ''a'') / (''n'' + 1 − 2''a'')}} para algum valor de {{math|''a''}} no intervalo de 0 a 1, que dá um intervalo entre {{math|''k'' / (''n'' + 1)}} e {{math|(''k'' − 1) / (''n'' &minus; 1)}}<ref>{{citation|primeiro=H.O.
|último=Madsen
|título=Methods of Structural Safety
|ano=1986
|numero-autores=etal}}</ref>
.<ref>{{citation
|primeiro=L.
|último=Makkonen
|título=Bringing closure to the plotting position controversy
|periódico=Communications in Statistics – Theory and Methods
|número=3
|páginas=460–467
|ano=2008
|volume=37
|doi=10.1080/03610920701653094
|s2cid=122822135
}}</ref>

As expressões incluem:
* {{math|''k'' / (''n'' + 1)}}
* {{math|(''k'' − 0,3) / (''n'' + 0,4)}}.<ref>{{harvtxt|Benard|Bos-Levenbach|1953}}. The plotting of observations on probability paper. Statistica Neederlandica, 7: 163-173. {{doi|10.1111/j.1467-9574.1953.tb00821.x}}. {{in lang|nl}}</ref>
* {{math|(''k'' − 0.3175) / (''n'' + 0.365)}}.<ref>{{citar web|título=1.3.3.21. Normal Probability Plot|url=https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/normprpl.htm|acessodata=2022-02-16|website=itl.nist.gov}}</ref>{{NoteTag| Observe que isso também usa uma expressão diferente para o primeiro e o último pontos. [http://engineering.tufts.edu/cee/people/vogel/publications/probability1986.pdf] cita o trabalho original de {{harv|Filliben|1975}}. Esta expressão é uma estimativa das [[medianas]] de {{math|''U''<sub>(''k'')</sub>}}.}}
* {{math|(''k'' − 0.326) / (''n'' + 0.348)}}.<ref>[http://cat.inist.fr/?aModele=afficheN&cpsidt=14151257 ''Distribution free plotting position'', Yu & Huang]</ref>
* {{math|(''k'' − ⅓) / (''n'' + ⅓)}}.{{NoteTag|Uma fórmula simples (e fácil de lembrar) para traçar posições; usado em [[BMDP]] statistical package.}}
* {{math|(''k'' − 0.375) / (''n'' + 0.25)}}.{{NoteTag|Esta é a aproximação mais antiga de {{harv|Blom|1958}} e é a expressão usada em [[MINITAB]].}}
* {{math|(''k'' − 0.4) / (''n'' + 0.2)}}.<ref>{{harvtxt|Cunnane|1978}}.</ref>
* {{math|(''k'' − 0.44) / (''n'' + 0.12)}}.{{NoteTag|Esta [[Gráfico_Q-Q#Posições de plotagem|posição de plotagem]] foi usada por Irving I. Gringorten<ref>{{citar periódico |último=Gringorten |primeiro=Irving I. |data=1963 |título=A plotting rule for extreme probability paper |url=https://agupubs.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1029/JZ068i003p00813 |periódico=Journal of Geophysical Research |língua=en |volume=68 |número=3 |páginas=813–814 |doi=10.1029/JZ068i003p00813 |bibcode=1963JGR....68..813G |issn=2156-2202}}</ref> para traçar pontos em testes para a [[distribuição de Gumbel]].}}
* {{math|(''k'' − 0.5) / ''n''}}.<ref>{{citation
|primeiro=Allen
|último=Hazen
|título=Storage to be provided in the impounding reservoirs for municipal water supply
|periódico=Transactions of the American Society of Civil Engineers
|número= 77
|ano=1914
|páginas=1547–1550
}}</ref>
* {{math|(''k'' − 0.567) / (''n'' − 0.134)}}.<ref>{{harvtxt|Larsen|Curran|Hunt|1980}}.</ref>
* {{math|(''k'' − 1) / (''n'' − 1)}}.{{NoteTag|Usados por {{harvtxt|Filliben|1975}}, esses [[Gráfico_Q-Q#Posições de plotagem|posições de plotagem]] são iguais aos [[modo (estatístico)|modo]]s de {{math|''U''<sub>(''k'')</sub>}}.}}

Para tamanho de amostra com {{math|''n''}} grande, há pouca diferença entre essas várias expressões.

== Um exemplo: Comparando uma amostra com a distribuição normal ==
Existem diversas [[Lista de distribuições de probabilidade|distribuições populacionais teóricas]], cada uma com características próprias. Os gráficos Q-Q podem utilizar qualquer uma delas, ou duas delas. De maneira mais geral, o [[teste de Shapiro–Wilk]] usa os valores esperados das estatísticas de ordem da distribuição dada; o gráfico e a linha resultantes produzem a estimativa de [[mínimos quadrados generalizados]] para localização e dispersão (da [[Y-intercept|intercepto]] e [[inclinação]] da linha ajustada).<ref name="thode31">[https://books.google.com/books?id=gbegXB4SdosC Testing for Normality], by Henry C. Thode, CRC Press, 2002, {{ISBN|978-0-2039-1089-4}}, [https://books.google.com/books?id=gbegXB4SdosC&pg=PA31 p. 31]</ref>

O uso comum de gráficos Q–Q é comparar a distribuição de uma amostra com uma distribuição teórica, como a [[distribuição normal]] padrão {{math|''N''(0,1)}}.<ref name="thode21">{{Harv|Thode|2002|loc=Section 2.2.2, Quantile-Quantile Plots, [https://books.google.com/books?id=gbegXB4SdosC&pg=PA21#PPA21,M1 p. 21]}}</ref>

Para exemplificar a construção de uma gráfico Q-Q, a partir desse ponto são apresentadas as funções matemáticas relacionadas com a [[distribuição normal]], que é uma das distribuições estatísticas mais utilizadas.

Sendo a [[Função densidade|função de densidade de probabilidade]] da [[distribuição normal]] (com média <math> \mu </math> e desvio-padrão <math> \sigma </math>):

[[Função densidade|f.d.p.]] <math> = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}</math>

A função <math> \mbox{erf}(x) </math> é a [[função erro]], utilizada para se integrar a função da [[distribuição normal]] padrão, com <math>\mu=0 </math> e <math> \sigma=1</math>:

<math> \mbox{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} e^{-t^2}\, dt </math>

Sendo <math> \mbox{erfc}(x) + \mbox{erf}(x)=1 </math>, portanto <math> \mbox{erfc}(x)</math> é complementar à [[função erro]] <math> \mbox{erf}(x)</math>.

<math> \mbox{erfc}(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty} e^{-t^2}\, dt </math>

Sendo ''A'' um conjunto de dados amostrais de tamanho {{math|''n''}}, ordenado crescentemente, no qual estão contidos os valores ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ...,''a''<sub>k</sub>, ..., ''a''<sub>n</sub>, que apresentam [[média]] <math>\overline{a}</math> e [[desvio-padrão]] <math>s</math>. Serão calculados [[quantis]] correspondentes ''q''<sub>1</sub>, ''q''<sub>2</sub>, ...,''q''<sub>k</sub>, ..., ''q''<sub>n</sub>.

Seja <math>\Phi </math> a [[função distribuição acumulada]] (f.d.a.) da [[distribuição normal]] padrão. Então a [[função distribuição acumulada]] para o {{math|''k''}}-ésimo elemento é:

<math> \mbox{f.d.a} = \Phi(a_k) = \frac{1}{2} \left[ 1 + \mbox{erf}\left ( \dfrac{a_k-\overline{a}}{s\sqrt{2}} \right) \right] </math>

Outra forma de se calcular a [[função distribuição acumulada|f.d.a.]] é:

<math> \mbox{f.d.a.} = \Phi(a_k) = \frac{1}{2} \,\mbox{erfc}\left ( \dfrac{a_k-\overline{a}}{s\sqrt{2}} \right) </math>

A [[inversa da função erro complementar]] é: <math> \mbox{erfc}^{-1}(z) </math>

que se relaciona com [[inversa da função erro]]<ref name="had2know"> {{Citar web|url=https://www.had2know.org/academics/error-function-calculator-erf.html|título=''Inverse error function''|acessodata=2022/10/24}}</ref>: <math> \mbox{erf}^{-1}(z) = \mbox{erfc}^{-1}(1-z)</math>

=== Escolhendo uma regra para um gráfico Q-Q bicaudal ===

As fórmulas das [[Gráfico_Q-Q#Posições de plotagem|posições de plotagem]] (descritas numa seção acima) são definidas para o intervalo [0,1]. Mas para as [[Gráfico_Q-Q#Posições de plotagem|posições de plotagem]] abrangerem o [[Domínio (matemática)|domínio]] [-1,1] é necessário multiplicar a fórmula por dois, e subtrair uma unidade. Ou seja, <math> [-1,1] \sim </math>  {{math|2((''k'' − ''a'') / (''n'' + 1 − 2''a'')) -1}}. Essa fórmula garante que a [[mediana]] (percentil 50) recaia exatamente quando a [[função distribuição acumulada|f.d.a.]] for 1/2 e <math> \mbox{erf}^{-1}(0)=0 </math>.

Coordenada <math> x_k = z_{\mbox{esperado}} = \sqrt{2}\, \mbox{erf}^{-1} \left( \frac{2(k-a)}{(n+1-2a)}-1 \right) </math>

=== A tunagem<ref>https://pt.wiktionary.org/wiki/tunagem</ref> das [[Gráfico_Q-Q#Posições de plotagem|posições de plotagem]] para a distribuição normal ===
Acima, foi fixado o ponto central da curva (percentil 50). O valor de {{math|''a''}} altera a dispersão dos quantis, sem alterar a posição do ponto central. É necessário garantir que a [[dispersão]] dos [[quantis]] seja idêntica à dispersão dos [[percentil|percentis]]. Para isso ocorrer, precisamos definir o valor de {{math|''a''}}, que é o mesmo para todos os percentis diferentes de percentil 50.

Segundo Wolfram,<ref>[http://mathworld.wolfram.com/Percentile.html Weisstein, Eric W. ''Percentile.'' MathWorld -- A Wolfram Web Resource]. Consultado em 3/4/2007.</ref> o percentil "p" é calculado na posição <math> k = \frac{p(n+1)}{100}  </math>.

Assim, é escolhido arbitrariamente o terceiro [[quartil]], ou [[percentil]] 75, cuja [[função distribuição acumulada|f.d.a.]] é 3/4, situação em que o escore-z<ref name="Não_nomeado-xffb-1">{{citar livro|título=Estatística aplicada|ultimo=Larson|primeiro=Ron|ultimo2=Farber|primeiro2=Betsy|editora=Pearson Education do Brasil|ano=2004|local=|páginas=1|}}</ref> <math>\approx 0{,}674489741</math> e <math>\mbox{erf}^{-1}(1/2) \approx 0{,}47693627 </math>. Para se encontrar o valor de {{math|''a''}} da regra bicaudal das [[Gráfico_Q-Q#Posições de plotagem|posições de plotagem]] utilizamos:

<math>\frac{2(k-a)}{(n+1-2a)}-1  \; \; \; \; (1) </math>

e <math> k = \frac{75(n+1)}{100}. \; \; \; \; (2) </math>

Substituindo (2) em (1):

<math>\frac{2\left(\frac{75(n+1)}{100}-a\right)}{(n+1-2a)}-1</math>

Assim, neste exemplo, atribui-se arbitrariamente a regra bicaudal das [[Gráfico_Q-Q#Posições de plotagem|posições de plotagem]] ao percentil 75, fazendo:

<math>\frac{2\left(\frac{75(n+1)}{100}-a\right)}{(n+1-2a)}-1 = \frac{1}{2}</math>

Resolvendo a equação acima, encontra-se que {{math|''a''}}=0, que corresponde:

Coordenada <math> x_k = z_{\mbox{esperado}} = \sqrt{2}\, \mbox{erf}^{-1} \left( \frac{2\mbox{k}}{n+1}-1 \right) </math>{{NoteTag|Para evitar vieses de análise no gráfico Q-Q, o valor de {{math|''a''}} da regra bicaudal das [[Gráfico_Q-Q#Posições de plotagem|posições de plotagem]] deve ser calculado para cada [[Lista de distribuições de probabilidade|distribuição estatística teórica]], com a finalidade de que cada quantil recaia exatamente no percentil correspondente.}}

Coordenada <math> y_k = z_{\mbox{obtido}}   = q_k = \frac{a_k-\overline{a}}{s}   </math>

== Interpretação ==
Os pontos plotados em um gráfico Q–Q são sempre crescentes quando vistos da esquerda para a direita. Se as duas distribuições comparadas forem idênticas, o gráfico Q–Q segue a linha de 45° {{math|''y'' {{=}} ''x''}}. Se as duas distribuições concordarem depois de transformar linearmente os valores em uma das distribuições, então o gráfico Q–Q segue alguma linha, mas não necessariamente a linha {{math|''y'' {{=}} ''x'' }}. Se a inclinação geral do gráfico Q–Q for mais plana que a linha {{math|''y'' {{=}} ''x''}}, a distribuição plotada no eixo horizontal é mais [[dispersão estatística |disperso]] do que a distribuição plotada no eixo vertical. Por outro lado, se a inclinação geral do gráfico Q–Q for mais íngreme do que a linha {{math|''y'' {{=}} ''x''}}, a distribuição plotada no eixo vertical é mais [[ dispersão estatística|dispersa]] do que a distribuição plotada no eixo horizontal. Os gráficos Q–Q são frequentemente arqueados, ou em forma de "S", indicando que uma das distribuições é mais assimétrica que a outra, ou que uma das distribuições tem caudas mais pesadas que a outra.

A intercepção e inclinação de uma regressão linear entre os quantis dá medidarelativas da localização e da dispersão das amostras. Se a mediana da distribuição plotada no eixo horizontal for 0, a interceptação de uma linha de regressão é uma medida de localização e a inclinação é uma medida de dispersão. A distância entre as medianas é outra medida de localização relativa refletida em um gráfico Q–Q. O "[[coeficiente de correlação do gráfico de probabilidade]]" (gráfico PPCC) é o [[coeficiente de correlação do momento do produto de Pearson|coeficiente de correlação]] entre os quantis. Quanto mais próximo o coeficiente de correlação estiver de 1, mais próximas as distribuições estarão de serem versões deslocadas e escalonadas uma das outra.

== Notas ==
{{NoteFoot}}

==Referências ==
{{reflist}}
[[Categoria:Diagramas estatísticos]]
{{Estatística}}
{{Controle de autoridade}}

== Conexões externas ==
{{Commons category|Q-Q plot}}
* [http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/probplot.htm Probability plot]
* Descrição alternativa do gráfico Q-Q: http://www.stats.gla.ac.uk/steps/glossary/probability_distributions.html#qqplot