Mostrar código-fonte de Grupo ordenado

{{Sem fontes|data=agosto de 2021}}
Em [[matemática]], um '''grupo ordenado''' é um [[grupo (matemática)|grupo]] (G,*) com uma [[relação de ordem]], de forma que a [[operação binária]] é ''compatível'' com a relação de ordem.

Esta compatibilidade é dada por:
: <math> \forall a, b, g \in G, (a \le b \implies (a g \le b g \land g a \le g b))\,</math>

Para ser mais preciso, caso a relação de ordem seja uma relação de [[Relação de ordem#Relação de ordem total|ordem total]], temos um [[grupo totalmente ordenado]], caso seja uma relação de ordem parcial, temos um '''grupo parcialmente ordenado'''.

== Elementos positivos ==
Nota-se que, das propriedades, se ''e'' é o [[elemento neutro]] do grupo, então <math>a \le b\,</math> implica que <math>e \le a^{-1} b\,</math> e <math>e \le b a^{-1}\,</math>. Por outro lado, se <math>e \le a\,</math> e <math>e \le b\,</math>, então <math>a \le ab\,</math> e, por [[transitividade]], <math>e \le ab\,</math>. Ou seja, o subconjunto dos elementos positivos (eventualmente chamados de não-negativos, para deixar claro que inclui o elemento neutro) <math>G^{+} = \{ x : e \le x\}\,</math> é fechado com relação à operação binária do grupo.

Isto sugere uma definição alternativa de grupo (parcialmente) ordenado: seja ''H'' um subconjunto do grupo, com as seguintes propriedades:

* <math> e \in H\,</math>
* <math>a \in H, b \in H \implies ab \in H\,</math>
* <math>a \in H, x \in G \implies x^{-1} a x \in H\,</math>
* <math>a \in H \land a^{-1} \in H \implies a = e\,</math>

Então a relação definida por <math>a \le b \iff a^{-1} b \in H\,</math> é uma relação de ordem (parcial) que torna ''G'' um grupo ordenado.

{{mínimo sobre|matemática}}

{{DEFAULTSORT:Grupo Ordenado}}
[[Categoria:Teoria dos grupos]]
[[Categoria:Teoria da ordem]]