Mostrar código-fonte de Grupo totalmente ordenado

{{Sem fontes|data=agosto de 2021}}
Em [[álgebra abstrata|Álgebra abstracta]], um '''grupo totalmente ordenado''' é um [[grupo ordenado]] (''G'',≤) onde a relação de ordem ≤ é total. Posto de outro modo, trata-se de um grupo ''G'' onde está definida uma relação de ordem ≤ para a qual se tem, para quaisquer elementos ''a'', ''b'' e ''c'' de ''G'':
# ''a''&nbsp;≤&nbsp;''a'' (reflexividade);
# se ''a''&nbsp;≤&nbsp;''b'' e ''b''&nbsp;≤&nbsp;''a'', ''a''&nbsp;=&nbsp;''b'' (anti-simetria);
# se ''a''&nbsp;≤&nbsp;''b'' e ''b''&nbsp;≤&nbsp;''c'', ''a''&nbsp;≤&nbsp;''c'' (transitividade);
# ''a''&nbsp;≤&nbsp;''b'' ou ''b''&nbsp;≤&nbsp;''a'' (totalidade);
# se ''a''&nbsp;≤&nbsp;''b'', então ''a''&nbsp;+&nbsp;''c''&nbsp;≤&nbsp;''b''&nbsp;+&nbsp;''c'' e ''c''&nbsp;+&nbsp;''a''&nbsp;≤&nbsp;''c''&nbsp;+&nbsp;''b'' (compatibilidade com a operação de grupo).

Se ''K'' for um [[corpo ordenado]], então o grupo (''K'',+) é totalmente ordenado.

Se (''G'',≤) for um grupo totalmente ordenado, então define-se o conjunto ''G''<sup>+</sup> dos ''elementos positivos'' de ''G'' por
:<math>G^+=\{g\in G\,\vert\,0\leqslant g\text{ e }g\neq0\}.</math>
É então claro que, para cada ''g''&nbsp;∈&nbsp;''G'', tem-se uma e uma só das seguintes possibilidades:
# ''g''&nbsp;=&nbsp;0;
# ''g''&nbsp;∈&nbsp;''G''<sup>+</sup>;
# −''g''&nbsp;∈&nbsp;''G''<sup>+</sup>.

Um grupo totalmente ordenado ou é trivial (isto é, só tem o [[elemento neutro]]) ou é infinito. Isto porque se ''g'' for um elemento do grupo e ''g''&nbsp;≠&nbsp;0, então ''g''&nbsp;∈&nbsp;''G''<sup>+</sup> ou −''g''&nbsp;∈&nbsp;''G''<sup>+</sup>. No primeiro caso, verifica-se facilmente que
:<math>0\leqslant g\leqslant g+g\leqslant g+g+g\leqslant\cdots</math>
e que nunca se tem igualdade entre dois elementos da sucessão. O caso em que −''g''&nbsp;∈&nbsp;''G''<sup>+</sup> é análogo.

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[[Categoria:Álgebra abstrata]]