Mostrar código-fonte de Hipótese de Riemann

{{Descrição curta|Conjectura em matemática ligada à distribuição dos números primos}}
{{Ver desambig|o termo musical|teoria Riemanniana}}
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{{Problemas do prémio millenium}}
[[Ficheiro:RiemannCriticalLine.svg|miniaturadaimagem|As partes real (a vermelho) e imaginária (a azul) da função zeta de Riemann ao longo da linha crítica, Re(''s'') = 1/2. Podem ver-se os primeiros zeros não-triviais nos pontos em que Im(''s'') = ±14,135, ±21,022 e ±25,011]]
Em [[matemática]], a '''hipótese de Riemann''' é uma [[conjectura]] de que a [[função zeta de Riemann]] tem os seus [[Raiz (matemática)|zeros]] somente nos números inteiros pares negativos e em [[Número complexo|números complexos]] com [[Número complexo|parte real]] &nbsp;{{sfrac|1|2}}. Muitos consideram que este é o problema não resolvido mais importante da [[matemática pura]] {{Harv|Bombieri|2000}}. Ela é de grande interesse em [[Teoria dos números|teoria de números]], porque implica resultados sobre a distribuição dos [[Número primo|números primos]]. Ela foi proposta por {{Harvtxt|Bernhard Riemann|1859}}, de quem recebe o nome.

A hipótese de Riemann e algumas de suas generalizações, juntamente com a [[Conjetura de Goldbach|conjectura de Goldbach]] e a [[Números primos gémeos|conjectura dos primos gêmeos]], compõem o oitavo problema na lista de [[Problemas de Hilbert|23 problemas não-resolvidos]] de [[David Hilbert]]; também é um dos [[Problemas do Prémio Millennium]] do  [[Clay Mathematics Institute]]. O nome também é usado para alguns análogos intimamente relacionados, tais como a [[Função zeta local|hipótese de Riemann para curvas definidas sobre corpos finitos]].

A função zeta de Riemann ζ(''s'') é uma [[Função (matemática)|função]] cujo [[Argumento de uma função|argumento]] ''s'' pode ser qualquer [[número complexo]] diferente de 1, e cujos valores também são complexos. Ela tem zeros nos inteiros negativos pares; isto é, ζ(''s'')&nbsp;=&nbsp;0 quando ''s'' é um dos números -2, -4, -6,&nbsp;.... Estes são chamados de seus ''zeros triviais''. No entanto, os números inteiros negativos pares não são os únicos valores para os quais a função zeta é zero. Os outros são chamados de ''zeros não-triviais''. A hipótese de Riemann diz respeito à localização destes zeros não-triviais, e afirma que:{{Quote|A parte real de todo zero não trivial da função zeta de Riemann é &nbsp;{{sfrac|1|2}}}}

Assim, se a hipótese estiver correta, todos os zeros não-triviais estarão sobre a linha crítica que consiste de números complexos {{Nowrap|{{sfrac|1|2}} + ''i{{hsp}}t'',}} onde ''t'' é um [[número real]] e ''i'' é a [[unidade imaginária]].

Existem vários livros não-técnicos, sobre a hipótese de Riemann, como {{Harvtxt|Derbyshire|2003}}, {{Harvtxt|Rockmore|2005}}, (Sabbagh , 2003a, 2003b), {{Harvtxt|du Sautoy|2003}}. Os livros {{Harvtxt|Edwards|1974}}, {{Harvtxt|Patterson|1988}}, {{Harvtxt|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}, {{Harvtxt|Mazur|Stein|2015}} e {{Harvtxt|Broughan|2017}} dão uma introdução matemática, enquanto que {{Harvtxt|Titchmarsh|1986}}, {{Harvtxt|Ivić|1985}} e {{Harvtxt|Karatsuba|Voronin|1992}} são [[monografia]]s avançadas.

== Função Zeta de Riemann ==
A [[função zeta de Riemann]] é definida para o complexo ''s'' com parte real maior do que 1 pela [[Série (matemática)|série infinita]] absolutamente convergente

: <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots</math>

[[Leonhard Euler]] já havia considerado esta série na década de 1730, para valores reais de s, em conjunto com a sua solução para o [[problema de Basileia]]. Ele também provou que ela é igual ao [[produto de Euler]]

: <math>\zeta(s) = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}= \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdot \frac{1}{1-11^{-s}} \cdots</math>

onde o produto infinito se estende a todos os números primos ''p''.<ref>Leonhard Euler. [http://eulerarchive.maa.org/docs/originals/E072.pdf Variae observationes circa series infinitas.] Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9, 1744, pp. 160–188, Theorems 7 and 8. No teorema 7, Euler demonstra a fórmula para o caso especial em que <math>s=1</math>, e no teorema 8 ele a demonstra de forma mais geral. No primeiro corolário de seu teorema 7, ele observa que <math>\zeta(1)=\log\infty</math>, e faz uso deste resultado posterior em seu teorema 19, para mostrar que a soma dos inversos dos números primos é <math>\log\log\infty</math>.</ref>

A hipótese de Riemann discute os zeros fora da região de convergência desta série e produto de Euler. Para entender a hipótese, é necessário [[Extensão analítica|estender analiticamente]] a função para obter uma forma que seja válida para todo complexo ''s''. Isso é permitido porque a função zeta é [[Função meromorfa|meromorfa]], portanto, tem-se a garantia de que a sua extensão analítica é única e formas funcionais equivalente, ao longo de seus [[Domínio (matemática)|domínios]]. Começa-se por mostrar que a função zeta e a [[função eta de Dirichlet]] satisfazem a relação

: <math>\left(1-\frac{2}{2^s}\right)\zeta(s) = \eta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} = \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \cdots.</math>

Mas a série à direita converge não apenas quando a parte real de ''s'' é maior do que um, mas, mais geralmente, sempre que ''s'' tem parte real positiva. Assim, esta série alternativa estende a função zeta de {{Nowrap|Re(''s'') > 1}} para o domínio maior {{Nowrap|Re(''s'') > 0}}, excluindo os zeros <math>s = 1 + 2\pi in/\ln(2)</math> de <math>1-2/2^s</math> em que <math>n</math> é qualquer inteiro não nulo (ver [[função eta de Dirichlet]]). A função zeta também pode ser estendida para esses valores tomando limites, dando um valor finito para todos os valores de ''s'' com parte real positiva, exceto para o [[Polo (análise complexa)|polo simples]] em ''s''&nbsp;=&nbsp;1.

Na faixa {{Nowrap|0 < Re(''s'') < 1}} a função zeta satisfaz a [[equação funcional]]

: <math>\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s).</math>

Pode-se então definir ζ(''s'') para todos os números complexos ''s''  não nulos restantes ({{nowrap|Re(''s'') ≤ 0}} e ''s'' ≠ 0) aplicando-se esta equação fora da faixa, e fazendo com que ζ(''s'') seja igual ao lado direito da equação, sempre que ''s'' tiver parte real não positiva (e ''s'' ≠ 0).

Se ''s'' é um [[número inteiro]] negativo, então ζ(''s'') = 0, porque o fator sin(π''s''/2) desaparece; estes são os ''zeros triviais'' da função zeta. (Se ''s'' é um número inteiro positivo, este argumento não se aplica porque os zeros da função [[seno]] são cancelados pelos da [[função gama]], já que leva argumentos negativos.)

O valor de [[1 + 1 + 1 + 1 + ⋯|ζ(0)&nbsp;=&nbsp;-1/2]] não é determinado pela equação funcional, mas é o valor limite de ζ(''s'') quando ''s'' tende a zero. A equação funcional implica também que a função zeta não tem zeros com parte real negativa além dos zeros triviais, de modo que todos os zeros não-triviais encontram-se na faixa crítica em que ''s'' tem parte real entre 0 e 1.

== Origem ==
 
{{quote | text={{lang|de|...es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.}}
<br /><br />
(…é bem provável que todas as raízes sejam reais. É claro que seria desejável uma prova rigorosa aqui; Por enquanto, após algumas tentativas em vão, eu deixei de lado a busca por isso, já que parece ser dispensável para o objetivo imediato da minha investigação.)|source=Declaração de Riemann sobre sua hipótese, extraída de {{harv|Riemann|1859}}. (ele discutia uma versão da função zeta, modificada de modo que suas raízes (zeros) fossem reais em vez de estar sobre a linha crítica.)}}

A declaração de Riemann sobre a hipótese de Riemann, de {{harv|Riemann|1859}}. (Ele estava discutindo uma versão da função zeta, modificada para que suas raízes (seus zeros) fossem reais em vez de estar sobre a linha crítica.)

A motivação original de Riemann para o estudo da função zeta e seus zeros foi a ocorrência dos mesmos em sua [[fórmula explícita]] para o [[Função de contagem de números primos|número de primos]] {{Pi}}(''x'') menores ou iguais a um determinado número ''x'', que ele publicou em seu artigo de 1859 "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude". A sua fórmula foi dada em termos da função relacionada

:<math>\Pi(x) = \pi(x) + \tfrac{1}{2} \pi(x^{\frac{1}{2}}) +\tfrac{1}{3} \pi(x^{\frac{1}{3}}) + \tfrac{1}{4}\pi(x^{\frac{1}{4}}) + \tfrac{1}{5} \pi(x^{\frac{1}{5}}) +\tfrac{1}{6}\pi(x^{\frac{1}{6}}) +\cdots </math>

que conta os primos e potências de primos até ''x'', contando uma potência de primo ''p''<sup>''n''</sup> como 1/n. O número de primos pode ser recuperado a partir dessa função usando a [[fórmula de inversão de Möbius]],

:<math>\begin{align}
\pi(x) &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n}\Pi(x^{\frac{1}{n}}) \\ 
       &= \Pi(x) -\frac{1}{2}\Pi(x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{3}\Pi(x^{\frac{1}{3}}) - \frac{1}{5}\Pi(x^{\frac{1}{5}}) + \frac{1}{6} \Pi(x^{\frac{1}{6}}) -\cdots,
\end{align}</math>

em que ''μ'' é a [[função de Möbius]]. A fórmula de Riemann é então

:<math>\Pi_0(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_\rho \operatorname{li}(x^\rho) -\log(2) + \int_x^\infty\frac{dt}{t(t^2-1)\log(t)}</math>

onde a soma é sobre os zeros não triviais da função zeta e onde Π<sub>0</sub> é uma versão ligeiramente modificada de Π que substitui o seu valor em seus pontos de descontinuidade, pela média de seus limites superiores e inferiores:

: <math>\Pi_0(x) = \lim_{\varepsilon \to 0}\frac{\Pi(x-\varepsilon) + \Pi(x+\varepsilon)}2. </math>

A soma na fórmula de Riemann não é absolutamente convergente, mas pode ser avaliada tomando os zeros ρ, por ordem de valor absoluto de sua parte imaginária. A função li que aparece no primeiro termo é a [[Logaritmo integral|função logarítmica integral]] (não deslocada), dada pelo [[valor principal de Cauchy]] da integral divergente

:<math>\operatorname{li}(x) = \int_0^x\frac{dt}{\log(t)}.</math>

Os termos li(''x''<sup>''ρ''</sup>) que envolvem os zeros da função zeta precisam de algum cuidado na sua definição j que li tem pontos de ramificação em 0 e 1, e são definidos (para ''x''&nbsp;>&nbsp;1) por continuação analítica na variável complexa ''ρ'' na região em que Re(''ρ'')&nbsp;>&nbsp;0, ou seja, eles devem ser considerados como {{Nowrap|[[Exponential integral|Ei]](''ρ'' ln ''x'')}}. Os outros termos também correspondem aos zeros: o termo dominante li(''x'') vem do polo em ''s''&nbsp;=&nbsp;1, considerado como um zero de multiplicidade -1, e os termos pequenos restantes vêm dos zeros triviais. Para alguns gráficos da soma dos primeiros termos da série, ver {{Harvtxt|Riesel|Göhl|1970}} ou {{Harvtxt|Zagier|1977}}.

Esta fórmula diz que os zeros da função zeta de Riemann controlam as oscilações dos primos em torno de suas posições "esperadas". Riemann sabia que os zeros não-triviais da função zeta estavam simetricamente distribuídos sobre a reta {{Nowrap|''s'' {{=}} 1/2 + ''it'',}} e ele sabia que todos os seus zeros não-triviais deviam estar no intervalo {{Nowrap|0 ≤ Re(''s'') ≤ 1.}} Ele verificou que alguns dos zeros estavam situados na linha crítica com parte real 1/2 e sugeriu que todos eles estivessem; esta é a hipótese de Riemann.{{Caixa de citação|citação=O resultado tomou a imaginação da maioria dos matemáticos porque é tão inesperado, e conecta duas áreas aparentemente não relacionadas da matemática; a saber, a [[teoria de números]], o estudo do discreto, e a [[análise complexa]], que lida com processos contínuos. {{harv|Burton|2006|p=376}}|autor=}}{{Limpar}}

== Consequências ==
Os usos práticos da hipótese de Riemann incluem muitas proposições que se sabe serem verdadeiras caso a hipótese de Riemann o seja, e algumas que se demonstra serem equivalentes à hipótese de Riemann.

=== A distribuição dos números primos ===
A [[Fórmula explícita|fórmula explícita de Riemann]] para o [[Função de contagem de números primos|número de primos menores do que um determinado número]] em termos de uma soma sobre os zeros da função zeta de Riemann diz que a magnitude das oscilações de primos em torno de sua posição esperada é controlada pelas partes reais dos zeros da função zeta. Em particular, o termo de erro no [[teorema do número primo]] está intimamente relacionado com a posição dos zeros. Por exemplo, se β é o [[Cota superior|limite superior]] das partes reais dos zeros, então {{Harv|Ingham|1932}}{{Rp|Theorem 30, p.83}}, {{Harv|Montgomery|Vaughan|2007}}{{Rp|p. 430}}

: <math>\pi(x) - \operatorname{li}(x) = O \left( x^{\beta} \log x \right) </math>.

Já se sabe que 1/2 ≤ β ≤ 1 {{Harv|Ingham|1932}}.{{Rp|p. 82}}

[[#CITEREFvon Koch1901|Von Koch (1901)]] provou que a hipótese de Riemann implica a "melhor cota possível" para o erro do teorema do número primo. Uma versão precisa do resultado de Koch, devida a {{Harvtxt|Schoenfeld|1976}}, diz que a hipótese de Riemann implica

: <math>|\pi(x) - \operatorname{li}(x)| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \log(x), \qquad \text{for all } x \ge 2657,</math>

em que π(''x'') é a [[função de contagem de números primos]], e log(''x'') é o [[logaritmo natural]] de ''x''.

{{Harvtxt|Schoenfeld|1976}} também mostrou que a hipótese de Riemann implica

: <math>|\psi(x) - x| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \log^2(x), \qquad \text{for all } x \ge 73.2, </math>

em que ψ(''x'') é a segunda função de Chebyshev.{{Harvtxt|Dudek|2014}} demonstrou que a hipótese de Riemann implica que para todo <math>x \geq 2</math> há um primo <math>p</math> satisfazendo
:<math>x - \frac{4}{\pi} \sqrt{x} \log x < p \leq x</math>.
Esta é uma versão explícita de um teorema de [[Harald Cramér|Cramér]].

=== Crescimento de funções aritméticas ===
A hipótese de Riemann tem como consequência fortes limitações sobre o crescimento de muitas outras [[Função aritmética|funções aritméticas]], além da função de contagem de primos citada anteriormente.

Um exemplo envolve a [[função de Möbius]] μ. A declaração de que a equação

: <math>\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}</math>

é válida para todo ''s'' com parte real maior do que 1/2, com a soma do lado direito convergindo, é equivalente à hipótese de Riemann. A partir disso, também se pode concluir que, se a [[função de Mertens]] é definida por

: <math>M(x) = \sum_{n \le x} \mu(n)</math>

então, a alegação de que

: <math>M(x) = O\left(x^{\frac{1}{2}+\varepsilon}\right)</math>

para todo ε positivo é equivalente à hipótese de Riemann ([[John Edensor Littlewood|J. E. Littlewood]], 1912; ver, por exemplo: o parágrafo 14.25 em {{Harvtxt|Titchmarsh|1986}}). (Para o significado desses símbolos, consulte sobre a [[Grande-O|notação grande-O]].) O determinante da matriz de Redheffer de ordem ''n'' é igual a ''M''(''n''), então a hipótese de Riemann também pode ser expressa como uma condição para o crescimento desses determinantes. A hipótese de Riemann coloca uma limitação bastante apertada sobre o crescimento de ''M'', desde que {{Harvtxt|Odlyzko|te Riele|1985}} desmentiu a conjectura de Mertens, que era um pouco mais forte

: <math>|M(x)| \le \sqrt x.</math><math>|M(x)| \le \sqrt x.</math>

A hipótese de Riemann é equivalente a muitas outras conjecturas sobre a taxa de crescimento de outras funções aritméticas além de μ(''n''). Um exemplo típico é o [[Função divisor|teorema de Robin]] {{Harv|Robin|1984}}, que afirma que, se σ(''n'') é a [[função divisor]], dada por

: <math>\sigma(n) = \sum_{d\mid n} d</math>

então,

: <math>\sigma(n) < e^\gamma n \log \log n</math>

para todo ''n'' > 5040 [[Se e somente se|se, e somente se]], a hipótese de Riemann é verdadeira, em que γ é a [[Constante de Euler-Mascheroni|constante de Euler–Mascheroni]].

Outro exemplo foi encontrado por Jérôme Franel, e estendido por [[Edmund Landau|Landau]] (ver {{Harvtxt|Franel|Landau|1924}}). A hipótese de Riemann é equivalente a várias afirmações mostrando que os termos da [[sequência de Farey]] são bastante regulares. Uma tal equivalência é como segue: se ''F''<sub>''n''</sub> é a sequência de Farey de ordem ''n'', começando com 1/''n'' e até 1/1, então, a alegação de que para todo ε > 0

: <math>\sum_{i=1}^m|F_n(i) - \tfrac{i}{m}| = O(n^{\frac{1}{2}+\epsilon})</math>

é equivalente à hipótese de Riemann. Aqui

: <math>m = \sum_{i=1}^n\phi(i)</math>

é o número de termos da sequência de Farey de ordem ''n''.

Para um exemplo da [[teoria dos grupos]], se ''g''(''n'') é função de Landau dada pela ordem maximal dos elementos do grupo simétrico ''S''<sub>''n''</sub> de grau ''n'', então {{Harvtxt|Massias|Nicolas|Robin|1988}} mostraram que a hipótese de Riemann é equivalente à limitação

: <math>\log g(n) < \sqrt{\operatorname{Li}^{-1}(n)}</math>

para todo ''n'' suficientemente grande.

=== Hipótese de Lindelöf e o crescimento da função zeta ===
A hipótese de Riemann tem várias consequncias mais fracas; uma é a [[hipótese de Lindelöf]] sobre a taxa de crescimento da função zeta na linha crítica, que diz que, para qualquer ''ε'' > 0,

: <math>\zeta\left(\frac{1}{2} + it\right) = O(t^\varepsilon),</math>

quando <math>t \to \infty</math>.

A hipótese de Riemann também implica limitações bastante acentuadas para a taxa de crescimento da função zeta em outras regiões da faixa crítica. Por exemplo, ela implica que

: <math> e^\gamma\le \limsup_{t\rightarrow +\infty}\frac{|\zeta(1+it)|}{\log\log t}\le 2e^\gamma</math>
: <math> \frac{6}{\pi^2}e^\gamma\le \limsup_{t\rightarrow +\infty}\frac{1/|\zeta(1+it)|}{\log\log t}\le \frac{12}{\pi^2}e^\gamma</math>

assim, a taxa de crescimento de ζ(1+''it'') e sua inversa seria conhecida exceto por um fator de 2 {{Harv|Titchmarsh|1986}}.

=== Conjetura dos grandes intervalos entre primos ===
O teorema do número primo implica que, em média, o [[Intervalo entre primos|intervalo]] entre o primo ''p'' e o próximo primo é log&nbsp;''p''. No entanto, alguns intervalos entre primos podem ser muito maiores do que a média. [[Harald Cramér|Cramér]] provou que, assumindo a hipótese de Riemann, cada lacuna é ''O''({{Radic|''p''}}&nbsp;log&nbsp;''p''). Este é um caso em que até mesmo a melhor limitação que pode ser provada usando a hipótese de Riemann é muito mais fraca do que o que parece ser verdade: a conjectura de Cramér implica que cada intervalo é ''O''((log&nbsp;''p'')<sup>2</sup>), o que, embora maior do que o intervalo médio, é muito menor do que o limite implicado pela hipótese de Riemann. Evidências numéricas apoiam a conjectura de Cramér {{Harv|Nicely|1999}}.

=== Critérios analíticos equivalentes à hipótese de Riemann ===
Foram encontradas muitas afirmações equivalentes à hipótese de Riemann, apesar de nenhuma delas ter resultado em muito progresso no sentido de provar (ou refutar) a conjectura. Alguns exemplos típicos são apresentados a seguir. (Outras envolvem a [[função divisor]] σ(''n'').)

O critério de Riesz foi apresentado por {{Harvtxt|Riesz|1916}}, garantindo que

: <math>-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-x)^k}{(k-1)! \zeta(2k)}= O\left(x^{\frac{1}{4}+\epsilon}\right)</math>

vale para qualquer ε > 0 se, e somente se, a hipótese de Riemann for válida.

{{Harvtxt|Nyman|1950}}, provou que a hipótese de Riemann é verdadeira se, e somente se, o espaço de funções de forma

: <math>f(x) = \sum_{\nu=1}^nc_\nu\rho \left(\frac{\theta_\nu}{x} \right)</math>

em que ρ(''z'') é a parte fracionária de ''z'', {{Nowrap|0 ≤ θ<sub>ν</sub> ≤ 1}}, e

: <math>\sum_{\nu=1}^nc_\nu\theta_\nu=0</math>,

é denso no [[Espaço Lp|espaço de Hilbert ''L''<sup>2</sup>(0,1)]] de funções quadrado-integráveis no [[intervalo unitário]]. {{Harvtxt|Beurling|1955}} estendeu esse fato, mostrando que a função zeta não tem zeros com parte real maior do que 1/''p'' se, e somente se, este espaço de funções é denso em ''L<sup>p</sup>''(0,1)

{{Harvtxt|Salem|1953}} mostrou que a hipótese de Riemann é verdadeira se, e somente se, a equação integral

: <math>\int_{0}^\infty\frac{z^{-\sigma-1}\phi(z)}{{e^{x/z}}+1}\,dz=0 </math>

não tem soluções limitadas não-triviais <math>\phi</math> para <math>1/2<\sigma <1</math>.

O critério de Weil é a afirmação de que a positividade de uma determinada função é equivalente à hipótese de Riemann. Um critério relacionado é o critério de Li, uma afirmação de que a positividade de uma determinada sequência de números é equivalente à hipótese de Riemann.

{{Harvtxt|Speiser|1934}}, provou que a hipótese de Riemann é equivalente à afirmação de que <math>\zeta'(s)</math>, a derivada de <math>\zeta(s)</math>, não tem zeros na faixa

: <math>0 < \Re(s) < \frac12.</math>

A afirmação de que <math>\zeta(s)</math> tem apenas zeros simples na linha crítica é equivalente a sua derivada não ter zeros na linha crítica.

A [[sequência de Farey]] fornece duas equivalências, devido a Jerônimo Franel e [[Edmund Landau]], em 1924.

=== Consequências da hipótese de Riemann generalizada ===
Vários aplicações utilizam a [[Hipótese generalizada de Riemann|hipótese de Riemann generalizada]] para [[Função L de Dirichlet|séries L de Dirichlet]] ou [[Função zeta de Dedekind|funções zeta de corpos numérico]] em vez de apenas a hipótese de Riemann. Muitas propriedades básicas da função zeta de Riemann podem ser generalizadas facilmente para todas as séries K de Dirichlet, o que torna plausível que um método que comprove a hipótese de Riemann para a função zeta de Riemann também funcione para a hipótese de Riemann generalizada para funções L de Dirichlet. Vários resultados demonstrados primeiramente utilizando a hipótese generalizada de Riemann foram, mais tarde, demonstrados incondicionalmente sem usá-la, embora estas demonstrações geralmente tenham sido muito mais difíceis. Muitas das consequências na lista a seguir foram tiradas de {{Harvtxt|Conrad|2010}}.

* Em 1913, Grönwall mostrou que a hipótese de Riemann generalizada implica que a lista de corpos quadráticos imaginários com o número de classe 1 de Gauss está concluída, embora Baker, Stark e Heegner, mais tarde, tenham dado provas incondicionais deste fato sem o uso da hipótese de Riemann generalizada.
* Em 1917, Hardy e Littlewood, mostrou que a Riemann generalizada hipótese implica uma conjectura de Chebyshev que

:: <math>\lim_{x\to 1^-}\sum_{p>2}(-1)^{(p+1)/2}x^p=+\infty,</math>
: que diz que, em algum sentido, primos do tipo 3 mod 4 são mais comuns do que primos do tipo 1 mod 4.

* Em 1923, Hardy e Littlewood mostraram que a hipótese de Riemann generalizada implica uma forma fraca da [[Conjetura de Goldbach|conjectura de Goldbach]] para os números ímpares: que todo número ímpar suficientemente grande é a soma de três primos. Porém, em 1937, Vinogradov apresentou uma demonstração incondicional. Em 1997, Deshouillers, Effinger, [[Herman te Riele|te Riele]], e Zinoviev, mostraram que a hipótese de Riemann generalizada implica que todo número ímpar maior do que 5 é a soma de três números primos. Em 2013, [[Harald Helfgott]] provou a conjectura de Goldbach ternária sem depender da GRH, sujeito a alguns cálculos extensos concluídos com a ajuda de David J. Platt.
* Em 1934, Chowla mostrou que a hipótese de Riemann generalizada implica que o primeiro primo na progressão aritmética ''a'' mod ''m'' é, no máximo, ''Km''<sup>2</sup>log(''m'')<sup>2</sup> , para alguma constante fixa ''K''.
* Em 1967, Hooley mostrou que a hipótese de Riemann generalizada implica a [[conjectura de Artin sobre raízes primitivas]].
* Em 1973, Weinberger mostrou que a hipótese de Riemann generalizada implica que a lista de números idôneos de Euler está completa.
* {{Harvtxt|Weinberger|1973}} mostrou que a hipótese de Riemann generalizada para as funções zeta de todos os corpos numéricos algébricos implica que qualquer corpo numérico com número de classe 1 é [[Domínio euclidiano|Euclidiano]] ou um corpo numérico quadrático imaginário de discriminante -19, -43, -67 ou -163.
* Em 1976, G. Miller mostrou que a hipótese de Riemann generalizada implica que se pode [[Teste de primalidade|testar se um número é primo]] em tempo polinomial através do [[Teste de primalidade de Miller-Rabin|teste de Miller]]. Em 2002, Manindra Agrawal, Neeraj Kayal e Nitin Saxena provaram este resultado incondicionalmente usando o [[teste de primalidade AKS]].
* {{Harvtxt|Odlyzko|1990}} discutiu como a hipótese de Riemann generalizada pode ser usada para dar estimativas melhores para os discriminants e números de classe de corpos numéricos.
* {{Harvtxt|Ono|Soundararajan|1997}} mostrou que a hipótese de Riemann generalizada implica que a [[Forma quadrática ternária de Ramanujan|forma quadrática integral de Ramanujan]] {{Nowrap|''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + 10''z''<sup>2</sup>}} representa todos os números inteiros que ela representa localmente, com exatamente 18 exceções.

=== Terceiro excluído ===
Algumas consequências da hipótese de Riemann também são consequências de sua negação e, portanto, são teoremas. Em sua discussão sobre o teorema de [[Hipótese de Riemann|Hecke, Deuring, Mordell, Heilbronn]], {{Harv|Ireland|Rosen|1990|p=359}} dizem{{Quote|O método de prova aqui é realmente incrível. Se a hipótese de Riemann generalizada é verdadeira, então o teorema é verdadeiro. Se a hipótese de Riemann generalizada é falsa, então o teorema é verdadeiro. Assim, o teorema é verdadeiro!! &nbsp; &nbsp; (pontuação no original)}}É preciso ter cuidado para compreender o que significa dizer que a hipótese de Riemann generalizada é falsa: deve-se especificar exatamente que classe de [[Série de Dirichlet|séries de Dirichlet]] tem um [[Contraexemplo|contra-exemplo]].

==== Teorema de Littlewood ====
Este teorema diz respeito ao sinal do erro no [[teorema do número primo]]. Foi calculado que π(''x'') < li(''x'') para todo ''x'' ≤ 10<sup>25</sup> (consulte esta [[Teorema do número primo#Tabela de π(x), x / ln x e Li(x)|tabela]]), e não se conhece nenhum valor de ''x'' para o qual π(''x'') > li(''x'').

Em 1914 Littlewood provou que há valores arbitrariamente grandes de ''x'' para os quais

:<math>\pi(x)>\operatorname{li}(x) +\frac13\frac{\sqrt x}{\log x}\log\log\log x,</math>

e também que há valores arbitrariamente grandes de ''x'' para os quais

: <math>\pi(x)<\operatorname{li}(x) -\frac13\frac{\sqrt x}{\log x}\log\log\log x.</math>

Assim, a diferença π(''x'') − li(''x'') muda de sinal infinitas vezes. O [[número de Skewes]] é uma estimativa do valor de ''x'' correspondente à primeira mudança de sinal.

A prova de Littlewood é dividida em dois casos: um em que a hipótese de Riemann é assumida como falsa (cerca de metade de uma página de {{Harvnb|Ingham|1932|loc=Chapt. V}}), e o outro em que ela é assumida como verdadeira (cerca de uma dúzia de páginas). Stanisław Knapowski deu continuidade a ela ao publicar um artigo sobre o número de vezes que <math> \Delta(n) </math> muda de sinal no intervalo <math> \Delta(n) </math>.<ref name="Knapowski1962">{{Citar periódico|last1=Knapowski|first1=Stanisław|ano=1962|titulo=On sign-changes of the difference π(x)-li(x)|jornal=Acta Arithmetica|volume=7|páginas=107–119|doi=10.4064/aa-7-2-107-119|issn=0065-1036}}</ref>

==== Conjectura do número de classe de Gauss ====
Esta é a [[Problema do número de classe de Gauss|conjectura]] (considerada pela primeira vez no artigo 303 do ''[[Disquisitiones Arithmeticae]],'' de Gauss) de que há apenas um número finito de corpos quadráticos imaginários com um número de classe dado. Uma maneira de provar isso seria demonstrar que quando o discriminante ''D'' → −∞ o número de classe ''h''(''D'') → ∞.

A seguinte sequência de teoremas envolvendo a hipótese de Riemann é descrito na {{Harvnb|Ireland|Rosen|1990|pp=358–361}}:<blockquote>'''Teorema (Hecke; 1918). ''' Seja ''D'' < 0 o discriminante de um corpo quadrático imaginário ''K''. Suponha que seja verdadeira a hipótese de Riemann generalizada para ''L''-funções de todos os caracteres de de Dirichlet quadráticos imaginários. Então, existe uma constante absoluta ''C,'' tal que

: <math>h(D) > C\frac{\sqrt{|D|}}{\log |D|}.</math>
</blockquote><blockquote>'''Teorema (Deuring; 1933). ''' Se a hipótese de Riemann é falsa, então ''h''(''D'') > 1, para |''D''| suficientemente grande.</blockquote>{{Quote|'''Teorema (Mordell; 1934). ''' Se a hipótese de Riemann é falsa, então ''h''(''D'') → ∞ quando ''D'' → −∞.}}{{Quote|'''Teorema (Heilbronn; 1934). ''' Se a hipótese de Riemann generalizada é falsa para a ''L''-função de algum caractere de Dirichlet quadrático imaginário, então ''h''(''D'') → ∞ quando ''D'' → −∞.}}(Na obra de Hecke e Heilbronn, as únicas ''L''-funções que ocorrem são aquelas ligadas aos caracteres quadráticos imaginários, e as suposições a respeito da validade ou falsidade da hipótese de Riemann generalizada referem-se apenas a tais ''L''-funções; uma falha da hipótese de Riemann generalizada para uma ''L''-função de um caractere de Dirichlet cúbico significaria, a rigor, que a hipótese de Riemann generalizada é falsa, mas este não era o tipo de falha que Heilbronn tinha em mente, assim, sua suposição era mais restrita do que simplesmente dizer que a ''hipótese de Riemann generalizada'' ''é falsa''.)

Em 1935, [[Carl Ludwig Siegel|Carl Siegel]], mais tarde, obteve um resultado mais forte sem fazer qualquer uso da hipótese de Riemann ou de sua generalização.

==== O crescimento da função totiente de Euler ====
Em 1983, J. L. Nicolas provou {{Harv|Ribenboim|1996|p=320}} que

: <math>\varphi(n) < e^{-\gamma}\frac  {n} {\log \log n} </math>

para uma infinidade de valores de ''n'', em que φ(''n'') é a [[função totiente de Euler]] e γ é a [[constante de Euler-Mascheroni]].

Ribenboim observa que:{{Quote|O método de prova é interessante, por mostrar que a desigualdade é válida primeiro sob a suposição de que a hipótese de Riemann é verdadeira, e então sob a suposição contrária.
}}

== Generalizações e análogos ==

=== Séries L de Dirichlet e outros corpos numéricos ===
A hipótese de Riemann pode ser generalizada substituindo a função zeta de Riemann pelas [[Função L|L-funções]], que são formalmente similares, mas muito mais gerais. Neste contexto mais amplo, espera-se que os zeros não-triviais das ''L''-funções globais tenham parte real 1/2. São estas conjecturas, ao invés da hipótese de Riemann clássica que considera apenas a função zeta de Riemann especificamente, que são responsáveis pela verdadeira importância da hipótese de Riemann em matemática.

A [[Hipótese generalizada de Riemann|hipótese de Riemann]] [[Hipótese generalizada de Riemann|generalizada]] estende a hipótese de Riemann para todas as [[Função L de Dirichlet|funções L de Dirichlet]]. Em particular, ela implica a conjectura de que os [[Zero de Siegel|zeros de Siegel]] (zeros de ''L''-funções entre 1/2 e 1) não existem.

A [[Hipótese generalizada de Riemann|hipótese de Riemann estendida]] estende a hipótese de Riemann para todas as [[Função zeta de Dedekind|funções zeta de Dedekind]] de [[Corpo numérico algébrico|corpos numéricos algébricos]]. A hipótese de Riemann estendida para extensões abelianas dos racionais é equivalente à hipótese de Riemann generalizada. A hipótese de Riemann também pode ser estendida para as ''L''-funções de [[caráter de Hecke]] de corpos numéricos.

A grande hipótese de Riemann é uma extensão a todas as funções zeta automórficas, tais como as [[Transformada de Mellin|transformadas de Mellin]] de [[autoformas de Hecke]].

=== Corpos de funções e funções zeta de variedades definidas sobre corpos finitos ===
{{Harvtxt|Artin|1924}} introduziu funções zeta globais de [[Corpo de funções de uma variedade algébrica|corpos de funções]] (quadráticos) e conjecturou um análogo da hipótese de Riemann para elas, que foi demonstrado por Hasse no caso de genus 1 e por {{Harvtxt|Weil|1948}} no caso geral. Por exemplo, o fato de que a [[Quadrática de Gauss soma|soma de Gauss]], do caráter quadrático de um [[corpo finito]] de tamanho ''q'' (com ''q'' ímpar), tem valor absoluto <math>\sqrt{q}</math> é na verdade uma instância da hipótese de Riemann no contexto dos corpos de funções. Isso levou {{Harvtxt|Weil|1949}} a conjecturar algo similar para todas as [[Variedade algébrica|variedades algébricas]]; as [[Weil conjecturas|conjecturas de Weil]] resultantes foram provadas por {{Harvtxt|Pierre Deligne|1974, 1980}}.

=== Funções zeta aritméticas de esquemas aritméticos e seus fatores L ===
As funções zeta aritméticas generalizam as funções zeta de Riemann e Dedekind, bem como as funções zeta de variedades em campos finitos para todo esquema aritmético ou um esquema de tipo finito sobre números inteiros. A função zeta aritmética de um esquema aritmético equidimensional conectado regular com dimensão de Kronecker ''n'' pode ser fatorada como um produto de fatores L definidos adequadamente e um fator auxiliar ({{Harvard citations|txt|first=Jean-Pierre|last=Serre|authorlink=Jean-Pierre Serre|year1=1969–1970}}). Assumindo uma equação funcional e continuação meromorfa, a hipótese de Riemann generalizada para o fator L afirma que seus zeros dentro da faixa crítica <math>\Re(s)\in (0,n)</math> estão na reta central. Da mesma forma, a hipótese de Riemann generalizada para a função zeta aritmética de um esquema aritmético equidimensional conectado regular afirma que seus zeros dentro da faixa crítica estão nas retas verticais <math>\Re(s)=1/2,3/2,\dots,n-1/2</math> e seus pólos dentro da faixa crítica estão nas retas verticais <math>\Re(s)=1, 2, \dots,n-1</math> . Isso é conhecido para esquemas em característica positiva e segue de {{Harvard citations|txt|first=Pierre|last=Deligne|authorlink=Pierre Deligne|year1=1974}}, mas permanece totalmente desconhecido em característica zero.

{{referências}}

== Referências ==
* {{Citation |último1 =Artin |primeiro1 =Emil |autorlink1 =Emil Artin |título=Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil | doi=10.1007/BF01181075 |ano=1924 |periódico=[[Mathematische Zeitschrift]] |páginas=207–246 | volume=19 |número=1}}
* {{citation|último =Backlund|primeiro = R. J.|título= Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann|periódico=C. R. Acad. Sci. Paris |volume=158|páginas= 1979–1981 |ano=1914|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3111d/f1983.image}}
* {{Citation |autorlink1 =Arne Beurling |último1 =Beurling |primeiro1 =Arne |título=A closure problem related to the Riemann zeta-function | mr=0070655 |ano=1955 |periódico=[[Proceedings of the National Academy of Sciences|Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]] | volume=41 |páginas=312–314 | doi=10.1073/pnas.41.5.312 | pmid=16589670 |número=5| pmc=528084 | bibcode=1955PNAS...41..312B }}
* {{Citation |último1 =Bohr |primeiro1 =H. |autorlink1 =Harald Bohr |último2 =Landau |primeiro2 =E. |autorlink2 =Edmund Landau |título=Ein Satz über Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die ζ-Funktion und die ''L''-Funktionen | doi=10.1007/BF03014823 |periódico=[[Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo]] | volume=37 |número= 1 |ano=1914 |páginas=269–272}}
* {{citation|último =Bombieri|ano=2000|primeiro = Enrico|autorlink =Enrico Bombieri|url=http://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf |título=The Riemann Hypothesis – official problem description|publicado=[[Clay Mathematics Institute]]|acessodata=2008-10-25}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{citation|isbn=978-0-387-72125-5|título=The Riemann Hypothesis: A Resource for the {{sic|Af|ficionado|hide=y}} and Virtuoso Alike |series=CMS Books in Mathematics|publicado=Springer|local=New York|ano=2008
|editor-nome1 =Peter|editor-sobrenome1 = Borwein|editor1-link=Peter Borwein|editor-nome2 =Stephen |editor-sobrenome2 =Choi |editor-nome3 =Brendan|editor-sobrenome3 = Rooney |editor-nome4 = Andrea|editor-sobrenome4 = Weirathmueller|doi=10.1007/978-0-387-72126-2}}
* {{Citation |último1 =Borwein |primeiro1 =Peter |autorlink1 =Peter Borwein|último2 =Ferguson |primeiro2 =Ron |último3 =Mossinghoff |primeiro3 =Michael J. |título=Sign changes in sums of the Liouville function | doi=10.1090/S0025-5718-08-02036-X | mr=2398787 |ano=2008 |periódico=[[Mathematics of Computation]] | volume=77 |número=263 |páginas=1681–1694| bibcode=2008MaCom..77.1681B}}
* {{Citation |autorlink =Louis de Branges |último1 =de Branges |primeiro1 =Louis |título=The convergence of Euler products | doi=10.1016/0022-1236(92)90103-P | mr=1165869 |ano=1992 |periódico=Journal of Functional Analysis | volume=107 |número=1 |páginas=122–210 }}
* {{citation|primeiro =Kevin|último =Broughan
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* {{Citation |autorlink =Pierre Cartier (mathematician) |último1 =Cartier |primeiro1 =P. |título=Seminar on Number Theory, Paris 1980–81 (Paris, 1980/1981) |publicado=Birkhäuser Boston |local=Boston, MA | series=Progr. Math. | mr=693308 |ano=1982 | volume=22 |capítulo=Comment l'hypothèse de Riemann ne fut pas prouvée |páginas=35–48}}
* {{Citation |último1 =Connes |primeiro1 =Alain |autorlink1 =Alain Connes |título=Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function | doi=10.1007/s000290050042 | arxiv=math/9811068 |mr=1694895 |ano=1999 |periódico=Selecta Mathematica. New Series | volume=5 |número=1 |páginas=29–106}}
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* {{Citation |último1 =Deligne |primeiro1 =Pierre |autorlink1 =Pierre Deligne |título=La conjecture de Weil : II | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1980__52__137_0 |ano=1980 |periódico=Publications Mathématiques de l'IHÉS | volume=52 |páginas=137–252 | doi=10.1007/BF02684780}}
* {{Citation |último1 =Deninger |primeiro1 =Christopher|autorlink =Christopher Deninger |título=Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998) |capítulourl=http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/documenta/xvol-icm/00/Deninger.MAN.html | mr=1648030 |ano=1998 | series=Documenta Mathematica |capítulo=Some analogies between number theory and dynamical systems on foliated spaces |páginas=163–186}}
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* {{Citation |último1 =Dyson |primeiro1 =Freeman |autorlink1 =Freeman Dyson|título=Birds and frogs | url=http://www.ams.org/notices/200902/rtx090200212p.pdf | mr=2483565 |ano=2009 |periódico=[[Notices of the American Mathematical Society]] | volume=56 |número=2 |páginas=212–223}}
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* {{Citation |último1 =Ingham |primeiro1 =A.E. |autorlink =Albert Ingham|título=The Distribution of Prime Numbers |publicado=Cambridge University Press | series = Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics | volume=30 |ano=1932}}. Reprinted 1990, {{ISBN|978-0-521-39789-6}}, {{MathSciNet|1074573}}
* {{citation
  |último1 = Ireland  |primeiro1 = Kenneth
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* {{citation|último =Ivić|primeiro =Aleksandar|capítulo=On some reasons for doubting the Riemann hypothesis|isbn=978-0-387-72125-5|páginas=131–160|editor-sobrenome1 = Borwein|título=The Riemann Hypothesis: A Resource for the {{sic|Af|ficionado|hide=y}} and Virtuoso Alike |series=CMS Books in Mathematics|publicado=Springer|local=New York|ano=2008
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*{{citation|primeiro =A. A.|último =Karatsuba|autorlink =Anatolii Alexeevitch Karatsuba|título=Zeros of the function ζ(s) on short intervals of the critical line|páginas=569–584|periódico= Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat.| volume=48|número=3|ano=1984a|mr=0747251|língua=ru}}
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*{{citation|primeiro =A. A.|último =Karatsuba|autorlink =Anatolii Alexeevitch Karatsuba|título= Zeros of the Riemann zeta-function on the critical line|páginas=167–178|periódico= Trudy Mat. Inst. Steklov.|número=167|ano=1985|mr=0804073|língua=ru}}
*{{citation|primeiro =A. A.|último =Karatsuba|autorlink =Anatolii Alexeevitch Karatsuba|título= On the number of zeros of the Riemann zeta-function lying in almost all short intervals of the critical line |páginas=372–397|periódico= Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat.| volume=56|número=2|ano=1992|língua=ru|mr=1180378| doi=10.1070/IM1993v040n02ABEH002168|bibcode=1993IzMat..40..353K}}
* {{Citation |último1 =Karatsuba |primeiro1 =A. A. |autorlink1 =Anatolii Alexeevitch Karatsuba|último2 =Voronin |primeiro2 =S. M. |título=The Riemann zeta-function |publicado=Walter de Gruyter & Co. |local=Berlin | series=de Gruyter Expositions in Mathematics | isbn=978-3-11-013170-3 | mr=1183467 |ano=1992 | volume=5 | doi=10.1515/9783110886146}}
* {{Citation |último1 =Keating |primeiro1 =Jonathan P. |último2 =Snaith |primeiro2 =N. C.|autorlink2 =Nina Snaith |título=Random matrix theory and ''ζ''(1/2&nbsp;+&nbsp;''it'') | doi=10.1007/s002200000261 | mr=1794265 |ano=2000 |periódico=Communications in Mathematical Physics | volume=214 |número=1 |páginas=57–89| bibcode=2000CMaPh.214...57K }}
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===Exposições populares===
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* {{Citation |último1 =Sabbagh |primeiro1 =Karl |autorlink1 =Karl Sabbagh |título=Dr. Riemann's zeros |publicado=Atlantic Books, London | isbn=978-1-843-54101-1 |ano=2003b | url=https://books.google.com/?id=JesSAQAAMAAJ}}
* {{Citation |último1 =du Sautoy |primeiro1 =Marcus |autorlink =Marcus du Sautoy |título=The music of the primes |publicado=HarperCollins Publishers | isbn=978-0-06-621070-4 | mr=2060134 |ano=2003 | url=https://archive.org/details/musicofprimessea00dusa }}
* {{Citation |último1 =Rockmore |primeiro1 =Dan |título=Stalking the Riemann hypothesis |publicado=Pantheon Books | isbn=978-0-375-42136-5 | mr=2269393 |ano=2005 | url=https://archive.org/details/stalkingriemannh00danr }}
* {{Citation |último1 =Derbyshire |primeiro1 =John |autorlink1 =John Derbyshire |título=Prime Obsession |publicado=Joseph Henry Press, Washington, DC | isbn=978-0-309-08549-6 | mr=1968857 |ano=2003|títulolink=Prime Obsession }}
* {{Citation |último1 =Watkins |primeiro1 =Matthew |autorlink1 =|título=Mystery of the Prime Numbers |publicado=Liberalis Books | isbn=978-1782797814 | mr=0000000 |ano=2015|títulolink=Mystery of the Prime Numbers }}
* [[Edward Frenkel|Frenkel, Edward]] (2014), [https://www.google.com/search?sxsrf=ACYBGNTYki6txmHlRlwZbknChP9TyCDuFA%3A1568142650416&source=hp&ei=OvV3Xe6hF8aE-gTn6qu4BA&q=numberphile+riemann+hypothesis&oq=numberphile+riemann&gs_l=psy-ab.1.0.0j0i22i30l2.2619.9717..11617...1.0..0.573.3549.0j16j3j5-1......0....1..gws-wiz.......0i131j35i39j0i10j0i22i10i30.tM-qtiL3ED8 The Riemann Hypothesis] [[Numberphile]], Mar 11, 2014 (video)

==Ligações externas==
* [[American institute of mathematics]], [http://www.aimath.org/WWN/rh/ Riemann hypothesis]
* Zeroes [https://www.lmfdb.org/zeros/zeta/ database], 103 800 788 359 zeroes
* [https://www.youtube.com/watch?v=VTveQ1ndH1c ''The Key to the Riemann Hypothesis'' - Numberphile], a [[YouTube]] video about the Riemann hypothesis by [[Numberphile]]
* {{citation|primeiro =Tom|último =Apostol|autorlink =Tom M. Apostol|url=http://www.math.wisc.edu/~robbin/funnysongs.html#Zeta|título=Where are the zeros of zeta of s?}} Poem about the Riemann hypothesis, [http://www.olimu.com/RIEMANN/Song.htm sung] by [[John Derbyshire]].
* {{citation|título=The Riemann Hypothesis|primeiro =Peter|último =Borwein|autorlink =Peter Borwein|url=http://oldweb.cecm.sfu.ca/~pborwein/COURSE/MATH08/LECTURE.pdf|urlmorta= sim|arquivourl=https://web.archive.org/web/20090327181245/http://oldweb.cecm.sfu.ca/~pborwein/COURSE/MATH08/LECTURE.pdf|arquivodata=2009-03-27}} (Slides for a lecture)
* {{Citation |último1 =Conrad |primeiro1 =K. |título=Consequences of the Riemann hypothesis | url=https://mathoverflow.net/q/17232 |ano=2010}}
* {{citation|url=http://aimath.org/pl/rhequivalences|primeiro =J. Brian|último =Conrey|primeiro2 =David W|último2 =Farmer|título=Equivalences to the Riemann hypothesis|urlmorta= sim|arquivourl=https://web.archive.org/web/20100316235054/http://aimath.org/pl/rhequivalences|arquivodata=2010-03-16}}
* {{citation|primeiro = Xavier|último = Gourdon |primeiro2 = Pascal |último2 =Sebah |url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeroscompute.html |título=Computation of zeros of the Zeta function|ano=2004}} (Reviews the GUE hypothesis, provides an extensive bibliography as well).
* {{citation|último =Odlyzko|primeiro =Andrew|autorlink =Andrew Odlyzko|url=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/|título=Home page}} including [http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/zeta.html papers on the zeros of the zeta function] and [http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/index.html tables of the zeros of the zeta function]
* {{citation|último =Odlyzko|primeiro =Andrew|autorlink =Andrew Odlyzko|título=Zeros of the Riemann zeta function: Conjectures and computations|ano=2002|url=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/talks/riemann-conjectures.pdf}} Slides of a talk
* {{citation|autorlink =Ed Pegg, Jr.|primeiro = Ed |último =Pegg|url=http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_10_18_04.html |título=Ten Trillion Zeta Zeros|ano=2004|publicado=Math Games website}}. A discussion of Xavier Gourdon's calculation of the first ten trillion non-trivial zeros
* {{citation|primeiro =Glen|último = Pugh|url=http://web.viu.ca/pughg/RiemannZeta/RiemannZetaLong.html |título=Java applet for plotting Z(t)}}
* {{citation |primeiro =Michael |último =Rubinstein |url=http://pmmac03.math.uwaterloo.ca/~mrubinst/l_function_public/L.html |título=algorithm for generating the zeros |urlmorta= sim|arquivourl=https://web.archive.org/web/20070427221654/http://pmmac03.math.uwaterloo.ca/~mrubinst/l_function_public/L.html |arquivodata=2007-04-27 }}.
* {{citation|primeiro =Marcus|último =du Sautoy|autorlink =Marcus du Sautoy|url=http://www.seedmagazine.com/news/2006/03/prime_numbers_get_hitched.php|título=Prime Numbers Get Hitched|publicado=Seed Magazine|ano=2006|acessodata=2006-03-27|arquivourl=https://web.archive.org/web/20170922145127/http://seedmagazine.com/content/article/prime_numbers_get_hitched/|arquivodata=2017-09-22|urlmorta= sim}}
* {{citation|último =Stein|primeiro =William A.|autorlink =William A. Stein|url=http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/index.html|título=What is Riemann's hypothesis|urlmorta= sim|arquivourl=https://web.archive.org/web/20090104104251/http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/index.html|arquivodata=2009-01-04}}
* {{citation|último =de Vries|primeiro =Andreas|url=http://math-it.org/Mathematik/Riemann/RiemannApplet.html|título=The Graph of the Riemann Zeta function ζ(s)|ano=2004}}, a simple animated Java applet.
* {{citation |primeiro =Matthew R. |último =Watkins|url=http://secamlocal.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/RHproofs.htm |título=Proposed proofs of the Riemann Hypothesis |data=2007-07-18}}
* ''[https://web.archive.org/web/20131005173705/http://www.zetagrid.net/ Zetagrid]'' (2002) A distributed computing project that attempted to disprove Riemann's hypothesis; closed in November 2005

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