Mostrar código-fonte de Ideal (teoria da ordem)

{{Sem notas|data=novembro de 2024}}
Na área [[matemática]] da [[teoria da ordem]], um '''ideal''' num [[conjunto parcialmente ordenado]] &#10216;''A'',≤&#10217; é um subconjunto ''I'' de ''A'' com propriedades específicas. Esse conceito é uma generalização do de [[Ideal (teoria dos anéis)|ideal em teoria dos anéis]] e tem considerável importância na teoria da ordem e na de [[reticulado|reticulados]], incluindo as [[Álgebra booleana|Álgebras de Boole]].

== Definições ==

Dado um conjunto parcialmente ordenado <math style="vertical-align:-20%;"> \left \langle A, \le \right \rangle </math>, um '''ideal''' é um subconjunto não vazio <math style="vertical-align:0%;">I^{\,}</math> com as seguintes propriedades:

:<math> \mathbf{1.} \mbox{ Se } x \in I \mbox{ e } y \le x \mbox{, então } y \in I </math>

:<math> \mathbf{2.} \mbox{ Se } x, y \in I \mbox{, então } \exists z \in I \mbox{ tal que } x \le z \mbox{ e }  y \le z </math>

A propriedade '''2''' especifica que <math>I</math> é um [[conjunto direcionado]]. Na definição original em reticulados, essa propriedade é substituída por:

:<math> \mathbf{2^{*}.} \mbox{ Se } x, y \in I \mbox{, então } x \vee y \in I </math>

pois '''2''' e '''2*''' são equivalentes em reticulados.

Um ideal <math style="vertical-align:0%;">I^{\,}</math> num conjunto ordenado <math style="vertical-align:-20%;"> \left \langle A, \le \right \rangle </math> é denominado ''principal'' se existe um <math style="vertical-align:-10%;"> i \in I^{\,}</math> tal que 

:<math style="vertical-align:-30%;"> I = \{ x \in A \! : i \le x \}</math>

Nesse caso, diz-se que <math style="vertical-align:0%;">I^{\,}</math> é ''gerado'' por <math style="vertical-align:0%;">i^{\,}</math>.

Um ideal  <math style="vertical-align:0%;">I^{\,}</math> é denominado ''primo'', se toda vez que <math style="vertical-align:-23%;"> x \wedge y \in I </math> temos <math style="vertical-align:-10%;"> x \in I </math> ou <math style="vertical-align:-20%;"> y \in I </math>.

== Veja também ==
*[[Filtro (teoria dos conjuntos)]]
*[[Ideal (teoria dos anéis)]]
*[[Ideal (teoria dos conjuntos)]]

{{referências}}

== Bibliografia ==

* {{citar livro
| autor = Birkhoff, Garret
| título = Lattice Theory
| editora = American Mathematical Society
| local = New York
| ano = 1948
}}

* {{citar livro
|  autor = Birkhoff, Garrett
|  coautor = MacLane, Saunders 
|  título = A survey of modern algebra
|  ano = 1965
|  editora = MacMillan
|  local = New York
|  ref = birkhoffmaclanesurveymodernalgebra1965
}}

* {{citar livro
| autor = Burris, S. 
| coautor =Sankappanavar, H.P 
| título = A course in universal algebra 
| ano = 1981 
| editora = Springer 
| local = New York
| ref = burrisSankappanavar1981universalalgebra
}}

* {{citar livro
| autor = Lawson, M.V 
| título = Inverse semigroups: the theory of partial symmetries 
| ano = 1998 
| editora = World Scientific 
| isbn = 9789810233167 
| ref = LawsonInversesemigroups
}}

* {{citar livro
| autor = Sikorski, Roman
| título = Boolean Algebras
| editora = Springer Verlag
| local = Heildelberg
| ano = 1969
| ref = Sikorski1969BooleanAlgebras
}}

* {{citar livro
 | autor = Stanley, R.P
 | título = Enumerative combinatorics
 | ano = 2002
 | editora = Cambridge University Press
 | local = Cambridge
 | isbn = 9780521663519
 | ref = Stanle2002yEnumerativecombinatorics
}}

[[Categoria:Teoria da ordem]]
[[Categoria:Ideais]]