Mostrar código-fonte de Interpretação geométrica para o método dos mínimos quadráticos

Na [[matemática]], sobretudo na [[análise numérica]] e [[álgebra linear]], O [[método dos mínimos quadrados]] é um estratégia para lidar com sistemas lineares impossíveis ''Ax=b''. O método adota a solução ''x'' que minimiza a soma do quadrado dos erros, chamado resíduo, isto é a [[norma vetorial|norma]] L<sup>2</sup> de ''Ax-b''.
 
O objetivo deste artigo é apresentar uma interpretação geométrica do método. 

Falando em modo algébrico, estamos procurando um '''x''' que se aproxime ao máximo de '''y''', em <math>\ Ax=y</math>.<br> 

Dada '''A''', uma matriz com os coeficientes de equações lineares, com tamanho <math>\ m*n</math>, uma observação importante que podemos fazer é que independente do vetor '''x''' em questão, <math>\ Ax</math> pertence ao espaço de colunas de '''A''', de tamanho <math>\ R^n</math>. 
Pelo método dos mínimos quadráticos devemos procurar '''x''' que torna <math>\ Ax</math> o ponto mais próximo de '''y''' no espaço das colunas de <math>\ A</math>. É claro que, se '''y''' está no espaço das Colunas da matriz <math>\ A</math>, então '''y''' é da forma <math>\ Ax</math> para algum '''x''' e esse '''x''' é a solução dos mínimos quadráticos.


[[File:Interpretação Geométrica dos Vetores.jpg|thumb|Interpretação Visual]]

Avaliando a imagem acima podemos ver que '''Ŷ'''<math>=proj_{ColunasA}*y</math>.
<br />
Como '''y''' está no espaço de colunas de <math>\ A</math>, a equação <math>\ Ax=y</math> é possível se existe um '''X''' em <math>\ R^m</math> tal que <math>\ AX=y</math>.
<br />
Como '''Ŷ''' é o ponto mais próximo de '''y''', no espaço das colunas de <math>\ A</math>, um vetor '''X''' é uma solução de mínimos quadráticos para <math>\ Ax=y</math> se e somente se '''X''' for solução de <math>\ A*X=</math>'''Ŷ'''.

Dito isto, sempre haverá uma solução para o sistema, pois da álgebra, sabemos que se há um subespaço '''w''' do <math>\ R^n</math>, então cada '''y''' em <math>\ R^n</math> pode ser escrito de maneira única na forma <math>\ y=</math>'''ŷ'''<math>+z</math>, onde '''ŷ''' é a projeção de '''y''' sobre '''W''' e denotado por <math>\ proj_w*y</math>. <br />

A projeção de um vetor tem a propriedade de que se a subtração <math>\ y-</math>'''Ŷ''' for ortogonal ao espaço Colunas de '''A''', logo '''y-Ax''' é ortogonal a cada coluna de '''A'''. 
Como cada <math>\ a_j^t</math> é uma linha de <math>\ A^t</math>, ortogonais entre si temos que:
<math>\ A^t*A*x=A^t*y</math>.

Desta forma, o conjunto de soluções de mínimos quadráticos de <math>\ Ax=y</math> é igual ao conjunto de soluções da equação <math>\ A^t*A*x=A^t*y.</math>


== Referências ==
*Análise Numérica, Richard L. Burden e J. Douglas Faires
*Klein, Ivandro; Matsuoka, Marcelo Tomio; de Souza, Sergio Florêncio; Veronez, Mauricio Roberto. Ajustamento de Observações: Uma Interpretação Geométrica para o Método dos Mínimos Quadrados. Boletim de Ciências Geodésicas (Online), v. 17, n. 2, p. 272-294, 2011. http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1982-21702011000200007&nrm=iso&tlng=pt
*

[[Categoria:Análise numérica]]