Mostrar código-fonte de Intervalo de confiança

{{Estatística sidebar}}
{{Wikipédia audível|Intervalo de confiança.ogg|5 de abril de 2017}}
Em [[estatística]], '''intervalo de confiança''' ('''IC''') é um tipo de [[estimativa por intervalo]] de um [[Parâmetro (estatística)|parâmetro populacional]] desconhecido. Introduzido na estatística por [[Jerzy Neyman]] em 1937,<ref name=":0">{{citar periódico|ultimo=Neyman|primeiro=J.|ano=1937|titulo=Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability|jornal=Philosophical Transactions of the Royal Society|volume=236|paginas=333 – 380|doi=|url=http://www.jstor.org/stable/91337?seq=1#page_scan_tab_contents|acessadoem=}}</ref> é um intervalo observado (calculado a partir de observações) que pode variar de [[Amostra (estatística)|amostra]] para amostra e que com dada frequência (nível de confiança) inclui o parâmetro de interesse real não observável.<ref>{{citar web|url=http://leg.ufpr.br/~paulojus/CE003/ce003/node5.html|titulo=Intervalos de Confiança|data=|acessodata=21 de março de 2017|publicado=Universidade Federal do Paraná (UFPR)|ultimo=|primeiro=}}</ref><ref name=":18">{{citar web|url=http://leg.ufpr.br/~silvia/CE055/node56.html|titulo=Intervalo de Confiança|data=|acessodata=21 de março de 2017|publicado=Universidade Federal do Paraná (UFPR)|ultimo=|primeiro=}}</ref>

Como os dados observados são amostras aleatórias da população, o intervalo de confiança construído a partir dos dados também é aleatório.<ref>{{citar web|url=http://www.cs.uni.edu/~campbell/stat/inf1.html|titulo=Confidence Intervals|data=|acessodata=21 de março de 2017|publicado=University of Northern Iowa|ultimo=|primeiro=}}</ref> Entretanto, o intervalo de confiança calculado a partir de uma amostra particular não inclui necessariamente o valor real do parâmetro. Quando se tem 99% de confiança de que o valor real do parâmetro está no intervalo de confiança, significa que 99% dos intervalos de confiança observados têm o valor real do parâmetro. Tomando-se qualquer amostra particular, o parâmetro populacional desconhecido pode ou não pode estar no intervalo de confiança observado.<ref name=":19">{{citar web|url=http://statistics.georgetowncollege.edu/ch9.html|titulo=Chapter 9: Confidence Intervals|data=|acessodata=21 de março de 2017|publicado=Georgetown College|ultimo=|primeiro=}}</ref>

O nível de confiança é a frequência com a qual o intervalo observado contém o parâmetro real de interesse quando o experimento é repetido várias vezes. Em outras palavras, o nível de confiança seria a proporção de intervalos de confiança construídos em experimentos separados da mesma [[População (estatística)|população]] e com o mesmo procedimento que contém o parâmetro de interesse real.<ref name=":0" /><ref>{{citar livro|titulo=The Advanced Theory of Statistics – Vol 2: Inference and Relationship|ultimo=Kendall|primeiro=M. G.|ultimo2=Stuart|primeiro2=D. G.|editora=Griffin|ano=1973|local=Londres|paginas=seção 20.4|acessodata=}}</ref><ref name=":1">{{citar livro|titulo=Theoretical Statistics|ultimo=Cox|primeiro=D. R.|ultimo2=Hinkley|primeiro2=D. V.|editora=Chapman & Hall|ano=1974|local=Londres|paginas=49, 209|acessodata=}}</ref> Em geral, refere-se a intervalo de confiança quando as duas extremidades de estimativa intervalar são finitas. Entretanto, refere-se a limiares superiores/inferiores de confiança quando uma das extremidades é infinita. O nível de confiança de 99% significa que 99% dos intervalos de confiança construídos a partir das amostras aleatórias contêm o parâmetro real. O nível de confiança desejado é determinado pelo pesquisador, não pelos dados. Se um teste de hipótese for realizado, o nível de confiança é o complemento do nível de significância. Isto é, um intervalo de confiança de 95% reflete um nível de significância de 0,05.<ref name=":2">{{citar livro|titulo=Discovering statistics using SPSS|ultimo=Field|primeiro=Andy|editora=SAGE|ano=2013|local=Londres|paginas=|acessodata=}}</ref>

Os intervalos de confiança são tipicamente estabelecidos no nível de confiança de 95%.<ref name=":3">{{citar livro|titulo=Biostatistical Analysis|ultimo=Zar|primeiro=J. H.|editora=Prentice Hall International|ano=1984|local=New Jersey|paginas=43 – 45|acessodata=}}</ref> Entretanto, quando apresentados graficamente os intervalos de confiança podem ser mostrados em vários níveis de confiança como 90%, 95% e 99%.<ref>{{citar web|url=http://www.ms.uky.edu/~mai/sta291/Formulasheet2.pdf|titulo=Formulas for Exam 2|data=|acessodata=21 de março de 2017|publicado=University of Kentucky|ultimo=Zhou|primeiro=Mai}}</ref> Certos fatores podem afetar o tamanho do intervalo de confiança, incluindo o tamanho da amostra, o nível de confiança e a variabilidade da população. Um tamanho de amostra maior normalmente levará a uma estimativa melhor do parâmetro populacional.<ref name=":17">{{citar web|url=https://learn.bu.edu/bbcswebdav/pid-826911-dt-content-rid-2073768_1/courses/13sprgmetcj702_ol/week03/metcj702_W03S02T08d_sample.html|titulo=Sample Size and Confidence Intervals|data=|acessodata=21 de março de 2017|publicado=Boston University|ultimo=|primeiro=}}</ref> O intervalo de confiança contém os valores do parâmetro que quando testados não devem ser rejeitados com a mesma amostra. O intervalo de confiança de diferença do parâmetro entre duas populações que não contém 0 implica uma diferença [[Significância estatística|significativa]] do mesmo parâmetro entre as populações.<ref>{{citar web|url=http://sphweb.bumc.bu.edu/otlt/mph-modules/bs/bs704_confidence_intervals/bs704_confidence_intervals_print.html|titulo=Confidence Intervals|data=|acessodata=21 de março de 2017|publicado=Boston University|ultimo=Sullivan|primeiro=Lisa}}</ref>
==História==
[[Ficheiro:Jerzy_Neyman2.jpg|miniaturadaimagem|Jerzy Neyman.]]
O intervalo de confiança foi introduzido por Jerzy Neyman (1894–1981). Formado em matemática pelo Instituto de Tecnologia de Kharkov, Neyman demonstrou interesse pela estatística desde que era estudante do probabilista russo [[Sergei Natanovich Bernstein|Sergey Natanovich Bernstein]]. O interesse pela estatística levou Neyman a estudar com importantes matemáticos como [[Karl Pearson]], [[Émile Borel]], [[Henri Lebesgue]], [[Paul Pierre Lévy]] e [[Jacques Hadamard]].<ref name=":7" />

Em 1926, Neyman começou a parceria com Egon Sharpe Pearson na [[University College London]]. Neyman ingressou na ''University College'' para estudar com Karl Pearson, pai de Egon Sharpe Pearson. Neyman e Pearson desenvolveram vários conceitos sobre testes de significância de prova de hipóteses.<ref name=":7" />

Em 1934 Neyman retomou os estudos sobre a estimação intervalar, assunto ao qual tinha se dedicado desde 1930.<ref name=":7" /><ref name=":9">{{citar periódico|ultimo=|primeiro=|titulo=The Legacy of Jerzy Neyman|jornal=|doi=|url=https://www.math.ku.edu/ksacg/728/2013_Sp/supplements/neyman.pdf|acessadoem=}}</ref> Foi quando surgiu a teoria do intervalos de confiança, publicada no apêndice do artigo ''On the Two Different Aspects of the Representative Method: the Method of Stratified Sampling and the Method of Purposive Selection''.<ref>{{citar periódico|ultimo=Neyman|primeiro=Jerzy|data=1934|titulo=On the Two Different Aspects of the Representative Method: The Method of Stratified Sampling and the Method of Purposive Selection|jornal=Journal of the Royal Statistical Society|volume=97|numero=4|paginas=558 – 625|doi=|url=https://www.jstor.org/stable/2342192?seq=1#page_scan_tab_contents|acessadoem=}}</ref>

Nota-se que desde que se tornou doutor em matemática pela [[Universidade de Varsóvia]] em 1923, Neyman também cooperou com vários institutos de agricultura e supervisionou vários estudantes de doutorado. Dentre eles W. Pytkowski, que questionou como caracterizar não dogmaticamente a precisão de um coeficiente de regressão estimado, o que ajudou Neyman a elaborar a teoria do intervalo de confiança.<ref name=":9" />

Em 1970 Neyman recebeu um título honorário pelos seus estudos em [[Londres]] que citam o intervalo de confiança:<ref name=":8">{{citar web|url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Neyman.html|titulo=Biography of Jerzy Neyman|data=|acessodata=31 de janeiro de 2017|publicado=MacTutor History of Mathematics Archive|ultimo=O'Connor|primeiro=J. J.|ultimo2=Robertson|primeiro2=E. F.}}</ref>{{Cquote|Durante os anos 1934–1938, Neyman fez quatro contribuições fundamentais para a ciência da estatística. Cada uma delas teria sido suficiente para estabelecer uma reputação internacional, tanto pelos seus efeitos imediatos quanto para o ímpeto que as novas ideias e métodos tiveram no pensamento de pessoas mais jovens e mais velhas. Ele apresentou a teoria de intervalos de confiança, cuja importância em teoria estatística e análise de dados não pode ser enfatizada demais. Suas contribuições para a teoria das distribuições contagiosas ainda é de grande utilidade na interpretação de dados biológicos. Seu trabalho sobre amostragem estratificada abriu caminho para uma teoria estatística, entre outros, para Gallup Poll. O seu [trabalho] e o [trabalho de] Fisher, cada qual com um modelo diferente para os experimentos randomizados, levaram para um novo campo de experimentação muito usado na agricultura, na biologia, na medicina e nas ciências físicas.|autor=}}
Em 1938, Neyman mudou-se para os [[Estados Unidos]] e tornou-se professor no Departamento de Matemática da [[Universidade da Califórnia]]. Hoje Neyman é considerado um dos fundadores da estatística moderna, com teorias sobre probabilidades, teste de hipóteses, teste de qui-quadrado, entre outros.<ref name=":7">{{citar periódico|ultimo=Memória|primeiro=José Maria Pompeu|ano=2004|titulo=Breve História da Estatística|jornal=Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (EMBRAPA)|doi=|url=https://www.ime.usp.br/~rvicente/JMPMemoria_Historia_Estatistica.pdf|acessadoem=}}</ref>

== Definição informal ==
Um intervalo de confiança para um parâmetro populacional é um [[intervalo (matemática)|intervalo]] com uma proporção associada <math>p</math> gerada por uma amostra aleatória de uma população subjacente, de tal forma que se o experimento for repetido várias vezes e o intervalo de confiança for recalculado para cada experimento com mesmo procedimento, uma proporção <math>p</math> dos intervalos de confiança conteria o parâmetro estatístico em questão.<ref>{{citar web|url=https://www.ime.usp.br/~sandoval/mae5755/Estimacao_da_%20Proporcao.pdf|titulo=Estimação para a Proporção Populacional P|data=|acessodata=21 de março de 2017|publicado=Universidade de São Paulo (USP)|ultimo=|primeiro=}}</ref>

Os intervalos de confiança são usados para indicar a confiabilidade de uma estimativa. Por exemplo, o intervalo de confiança pode ser usado para descrever o quão confiáveis são os resultados de uma pesquisa (uma pesquisa com intervalo de confiança menor é mais confiável que uma pesquisa com intervalo de confiança maior). O intervalo de confiança com nível de confiança de 95% é o mais comum e significa que o resultado está dentro do intervalo de 95 dos 100 estudos hipoteticamente realizados (a leitura correta é que o resultado está dentro do intervalo de confiança em 95 das 100 amostras realizadas).<ref name=":2" />

Os intervalos de confiança são a forma predominante de estimativa por intervalo, que pode ser contrastada com estimativa pontual corresponde ao valor único dado como a estimativa de um parâmetro da população de interesse. A estimativa por intervalo especifica um intervalo dentro do qual o parâmetro deve estar. Os intervalos de confiança são comumente reportados como tabelas ou gráficos juntamente com estimativas pontuais do mesmo parâmetro para mostrar a confiabilidade das estimativas.<ref name=":20">{{citar web|url=http://www.leg.ufpr.br/~paulojus/CE210/ce210/node2.html|titulo=Estimação por Intervalos|data=|acessodata=21 de março de 2017|publicado=Universidade Federal do Paraná (UFPR)|ultimo=|primeiro=}}</ref>

Por exemplo, de acordo com uma pesquisa sobre intenção de votos, 40% dos entrevistados pretendem votar em um certo partido. É possível calcular um intervalo de confiança de 99% para a proporção de toda a população com a mesma intenção de voto, que pode ficar entre 30% e 50%. Também é possível calcular um intervalo de confiança de 90% para a proporção de toda a população com a mesma intenção de voto, que neste caso pode ficar entre 37% e 43%. Um importante fator que determina o comprimento de um intervalo de confiança é o tamanho da amostra usado no processo de estimativa. Por exemplo, o número de pessoas que participaram da pesquisa.[[Ficheiro:Confidenceinterval.png|thumb|200px|Neste diagrama, as barras representam as [[média]]s observadas e as linhas vermelhas representam os intervalos de confiança ao redor delas. A diferença entre as duas populações à esquerda é [[significância estatística|significante]].]]

Baseando-se na imagem ao lado, é um equívoco supor que duas quantidades cujos intervalos de confiança de 95% se sobreponham (barras à direita) sejam significativamente diferentes ao nível de 5%.<ref name=":5">{{citar periódico|ultimo=Goldstein|primeiro=H.|ano=1995|titulo=The Graphical Presentation of a Collection of Means|jornal=Journal of the Royal Statistical Society|volume=158|paginas=175 – 177|doi=|url=https://www.jstor.org/stable/2983411?seq=1#page_scan_tab_contents|acessadoem=}}</ref>

O intervalo de confiança em probabilidade frequencista tem papel semelhante ao [[intervalo de credibilidade]] em estatística bayesiana. O intervalo de confiança também tem relações com outros temas estatísticos como teste de significância, regiões de confiança e confiança de banda.<ref name=":23">{{citar web|url=http://freakonometrics.hypotheses.org/18117|titulo=Confidence VS. Credibility Intervals|data=26 de setembro de 2014|acessodata=21 de março de 2017|publicado=Freakonometrics|ultimo=Charpentier|primeiro=Arthur}}</ref> O tamanho do intervalo de confiança pode ser influenciado pelo tamanho da amostra, pelo nível de confiança e por variações diversas. Lembrando que uma amostra maior conduzirá a uma estimativa melhor do parâmetro analisado.<ref name=":17" />

== Interpretação ==
Pode-se afirmar que se forem construídos um grande número de intervalos de confiança nestas condições aproximadamente <math>100 \times (1-\alpha)\%</math> destes intervalos de confiança conterão o valor real de parâmetro (permanece desconhecido). Isto é esta a ideia traduzida por confiança.<ref>{{citar web|url=https://www.math.tecnico.ulisboa.pt/~apires/MaterialPE/AulaTCap7C.pdf|titulo=Estimação por Intervalos|data=2000|acessodata=30 de janeiro de 2017|publicado=Instituto Superior Técnico (IST)|ultimo=Pires|primeiro=Ana}}</ref>

Em [[inferência frequencista]], várias interpretações do intervalo de confiança podem ser dadas tomando-se o exemplo do intervalo de confiança de 90%.
* O intervalo de confiança pode ser expresso em termos de amostras ou amostras repetidas (replicação). De acordo com Cox e Hintley, "se o procedimento for repetido para várias amostras, a fração dos intervalos de confiança calculados que pode variar de amostra para amostra e inclui o parâmetro real da população tende a 90%".<ref name=":1" />
* O intervalo de confiança pode ser expresso em termos de uma única amostra. Segundo Neyman, "há probabilidade de 90% do intervalo de confiança de algum experimento futuro incluir o valor real do parâmetro da população." Nota-se que isto é uma afirmação estatística sobre o intervalo de confiança, não sobre o parâmetro da população.<ref name=":0" /> Isto considera a probabilidade associada ao intervalo de confiança a partir de um ponto de vista pré-experimental, no mesmo contexto em que os argumentos para a alocação aleatória de tratamentos para itens de estudo são feitos. O pesquisador antes de realizar o experimento real determina a forma pela qual ele pretende calcular o intervalo de confiança, e assim o intervalo de confiança que será calculado tem uma chance de 90% de cobrir o valor real desconhecido. Isto é muito similar à interpretação da replicação acima, exceto por evitar basear-se nas repetições hipotéticas de um procedimento de amostragem que não pode ser repetido em nenhum sentido significativo.<ref name=":0" />
* Para Cox e Hintley, "o intervalo de confiança representa os valores para um parâmetro da população para o qual a diferença entre o parâmetro e a estimativa observados não é estatisticamente significante no nível de confiança de 10%." Isto está relacionado a uma forma particular pela qual o intervalo de confiança pode ser construído. Por exemplo, em casos em que a construção do intervalo de confiança baseia-se na estimativa do parâmetro.<ref>{{citar livro|titulo=Theoretical Statistics|ultimo=Cox|primeiro=D. R.|ultimo2=Hinkley|primeiro2=D. V.|editora=Chapman & Hall|ano=1974|local=Londres|paginas=214, 225, 233|acessodata=}}</ref>
Em cada interpretação, aplica-se o seguinte: se o valor real de um parâmetro está fora do intervalo de confiança de 90% uma vez que ele foi calculado, então este evento ocorreu com a probabilidade de 10% (ou menos) de acontecer por acaso.<ref>{{citar periódico|ultimo=Coutinho|primeiro=Evandro Silva Freire|ultimo2=Cunha|primeiro2=Geraldo Marcelo da|data=2005|titulo=Conceitos Básicos de Epidemiologia e Estatística para a Leitura de Ensaios Clínicos Controlados|jornal=Revista Brasileira de Psiquiatria|volume=27|numero=2|doi=|url=http://www.scielo.br/pdf/rbp/v27n2/a15v27n2.pdf|acessadoem=}}</ref>

==== Erro de interpretação ====
Intervalos de confiança são frequentemente confundidos. Estudos publicados têm mostrado que mesmo cientistas profissionais frequentemente os interpretam erroneamente.<ref name=":4">{{citar periódico|ultimo=Hoekstra|primeiro=Rink|ultimo2=Morey|primeiro2=Richard D.|ultimo3=Rouder|primeiro3=Jeffrey N.|ultimo4=Wagenmakers|primeiro4=Eric–Jan|ano=2014|titulo=Robust Misinterpretation of Confidence Intervals|jornal=|doi=|url=http://www.ejwagenmakers.com/inpress/HoekstraEtAlPBR.pdf|acessadoem=}}</ref><ref name=":24">{{citar periódico|ultimo=Kalinowski|primeiro=Pawel|ano=2010|titulo=Identifying Misconceptions about Confidence Intervals|jornal=|doi=|url=http://iase-web.org/documents/papers/icots8/ICOTS8_C104_KALINOWSKI.pdf|acessadoem=}}</ref><ref name=":25">{{citar web|url=https://www.sciencenews.org/blog/context/scientists%E2%80%99-grasp-confidence-intervals-doesn%E2%80%99t-inspire-confidence|titulo=Scientists’ Grasp of Confidence Intervals doesn’t Inspire Confidence|data=3 de julho de 2014|acessodata=30 de janeiro de 2017|publicado=Science News|ultimo=Siegfried|primeiro=Tom}}</ref>
* Um intervalo de confiança de 95% não significa que para um dado intervalo calculado a partir de dados da amostra há a probabilidade de 95% do parâmetro da população estar dentro do intervalo.<ref name=":4" /> Uma vez que um experimento é realizado e um intervalo é calculado, este intervalo pode cobrir ou não cobrir o valor do parâmetro. Não é mais uma questão de probabilidade. A probabilidade de 95% está relacionada à confiabilidade do procedimento de estimativa, não a um intervalo específico calculado.<ref>{{citar web|url=http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda352.htm|titulo=Confidence Limits for the Mean|data=|acessodata=30 de janeiro de 2017|publicado=Engineering Statistics Handbook|ultimo=|primeiro=|arquivourl=https://web.archive.org/web/20080205120031/http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda352.htm|arquivodata=2008-02-05|urlmorta=yes}}</ref>
Neyman afirma em seu trabalho original:<ref name=":0" />{{Cquote|Note que na descrição acima, as afirmações sobre probabilidade referem–se aos problemas de estimativa com os quais os estatísticos estarão preocupados no futuro. De fato, tenho dito repetidamente que a frequência de resultados corretos tenderá a α. Agora considere o caso quando a amostra já está desenhada e os cálculos já estão dados [limites particulares]. Podemos afirmar que neste caso particular a probabilidade de o valor real [ficar entre esses limites] é igual a α? A resposta é obviamente negativa. O parâmetro é uma constante desconhecida e nenhuma afirmação sobre probabilidade referente ao seu valor pode ser feita (...)|autor=}}
: Deborah Mayo expande o assunto:<ref>{{citar periódico|ultimo=Mayo|primeiro=D. G.|ano=1981|titulo=In Defence of the Neyman–Pearson Theory of Confidence Intervals|jornal=Philosophy of Science|volume=48|numero=02|paginas=269 – 280|doi=|url=http://www.phil.vt.edu/dmayo/PhilStatistics/In%20Defense%20of%20the%20Neyman-Pearson%20Theory%20of%20Confidence%20Intervals.pdf|acessadoem=}}</ref>{{Cquote|Deve ser ressaltado, entretanto, que tendo visto o valor dos dado, a teoria de Neyman–Pearson nunca permite concluir que o intervalo de confiança específico formado cobre o valor real 0 com probabilidade de 100% (1 − α) ou grau de confiança de 100% (1 − α). A observação de Seidenfeld parece enraizada em um desejo (não incomum) dos intervalos de confiança de Neyman–Pearson fornecerem algo que não podem legitimamente oferecer. Isto é, uma medida do grau de probabilidade, crença ou suporte que o valor de um parâmetro desconhecido estão em um intervalo específico. Segundo Savage (1962), a probabilidade de um parâmetro estar em um intervalo específico pode referir–se como uma medida de precisão final. Enquanto a medida de precisão final pode parecer desejável e os níveis de confiança são frequentemente (erroneamente) interpretados como fornecedores de tais medidas, tal interpretação não é justificada. É certo que essa interpretação errada é encorajada pela palavra confiança.|autor=}}
:* Um intervalo de confiança de 95% não significa que 95% dos dados da amostra estejam dentro do intervalo.<ref name=":19" />
:* Um intervalo de confiança não é um intervalo de valores plausíveis para o parâmetro amostral, embora possa ser entendido como uma estimativa de valores plausíveis para o parâmetro da população.<ref>{{citar web|url=http://www.ics.uci.edu/~jutts/8/Lecture20Compact.pdf|titulo=Estimating Proportions with Confidence|data=|acessodata=22 de março de 2017|publicado=University of California – Irvine|ultimo=|primeiro=}}</ref>
:* Um intervalo de confiança específico de 95% calculado a partir de uma experiência não significa que há uma probabilidade de 95% de uma estimativa de parâmetro amostral calculada a partir da repetição de uma mesma experiência ficar dentro deste intervalo.<ref name=":6">{{citar web|url=http://www.psychologicalscience.org/observer/understanding-confidence-intervals-cis-and-effect-size-estimation#.WI-PUJMrKi4|titulo=Understanding Confidence Intervals (CIs) and Effect Size Estimation|data=2010|acessodata=30 de janeiro de 2017|publicado=APS (Association for Psychological Science)|ultimo=Kalinowski|primeiro=Pav}}</ref>

== Definição formal ==
Seja <math>X</math> uma amostra aleatória de uma distribuição de probabilidade com parâmetro estatístico <math>\theta </math>, que é a quantidade a ser estimada. Seja <math>\phi </math> as quantidades (parâmetros) que não são de interesse imediato. Um intervalo de confiança para o parâmetro <math>\theta </math>, com nível de confiança ou coeficiente de confiança <math>\gamma
 </math>, é um intervalo com pontos aleatórios <math>(u(X), v(X)) </math>, determinado pelo par de variáveis aleatórias <math>u(X) </math> e <math>v(X) </math> com a propriedade <math>{\Pr}_{\theta,\phi}(u(X)<\theta<v(X))=\gamma</math> para todo <math>(\theta,\phi).</math><ref name=":20" />

As quantidades <math>\phi </math> que não são de interesse imediato são chamadas parâmetros de incômodo (a teoria estatística ainda precisa encontrar alguma forma de lidar com eles).<ref name=":26">{{citar web|url=http://www.hep.caltech.edu/~fcp/statistics/intervals/nuisanceParams/nuisance050322.pdf|titulo=Confidence Intervals and Nuisance Parameters|data=|acessodata=22 de março de 2017|publicado=California Institute of Technology|ultimo=|primeiro=}}</ref> O número <math>\gamma
 </math>, com valores típicos próximos, mas não maiores que 1, são às vezes dados na forma <math>1 - \alpha </math> ou como a porcentagem <math>100\%(1 - \alpha) </math>, em que <math>\alpha </math> é um pequeno número não negativo próximo de 0.<ref name=":20" />

<math>{\Pr}_{\theta,\phi}</math> indica a distribuição de probabilidade de <math>X</math> caracterizado por <math>(\theta, \phi)
 </math>. Uma parte importante desta especificação é que o intervalo aleatório <math>(u(X), v(X)) </math> cobre o valor desconhecido <math>\theta </math> com grande probabilidade independente do valor real de <math>\theta </math>.<ref name=":18" /> Nota-se que <math>{\Pr}_{\theta,\phi}</math>não precisa referir-se a uma dada família de distribuições explicitamente parametrizada, embora a propriedade geralmente refira-se a ela. Assim como a amostra aleatória <math>X</math> teoricamente corresponde a outras possíveis realizações a partir da mesma população ou a partir da mesma versão da realidade, os parâmetros <math>(\theta, \phi)
 </math> indicam que é necessário considerar outras versões da realidade nas quais a distribuição de <math>X</math> pode ter diferentes características.<ref name=":20" />

Em situações específicas, quando <math>x</math> é o resultado da amostra <math>X</math>, o intervalo <math>(u(X), v(X)) </math> também refere-se como o intervalo de confiança para <math>\theta </math>. Nota-se que não é mais possível afirmar que o intervalo observado <math>(u(X), v(X)) </math> tem probabilidade <math>\gamma
 </math> de conter o parâmetro <math>\theta </math>. Este intervalo observado é apenas uma realização dos todos os intervalos possíveis, para os quais se sustenta a probabilidade.<ref name=":20" />

=== Intervalos de confiança aproximados ===
Em muitas aplicações, os intervalos de confiança que possuem exatamente o nível de confiança requerido são difíceis de construir. Porém na prática intervalos úteis ainda podem ser encontrados. A regra para construir o intervalo pode ser aceita fornecendo um intervalo de confiança no nível <math>\gamma
 </math> se <math> {\Pr}_{\theta,\varphi}(u(X)<\theta<v(X))\approx\gamma</math> para todo <math> (\theta,\varphi)\,</math>para um nível aceitável de aproximação. De outro modo, alguns autores simplesmente requerem que  <math>{\Pr}_{\theta,\varphi}(u(X)<\theta<v(X))\ge\gamma</math> para todo <math>(\theta,\varphi)</math> que é útil se as probabilidades forem apenas parcialmente identificadas ou imprecisas.<ref>{{citar livro|ultimo=Roussas|primeiro=George G.|editora=Academic Press|ano=1997|local=|acessodata=|titulo=A Course in Mathematical Statistics|pagina=397|paginas=}}</ref>

== Propriedades desejáveis ==
Quando aplicados procedimentos estatísticos "padrão", geralmente haverá formas padronizadas para construir intervalos de confiança. Os intervalos de confiança serão construídos de modo a satisfazer certas propriedades desejáveis, que se manterão dada que as suposições sobre o procedimentos são verdadeiras. Estas propriedades desejáveis podem ser descritas como validade, otimização e invariância.<ref>{{citar livro|título=Modern Statistical Methods for Astronomy – With R Applications|ultimo=Feigelson|primeiro=Eric D.|ultimo2=Babu|primeiro2=G. Jogesh|editora=Cambridge University Press|ano=2012|local=|páginas=45|total-páginas=475|acessodata=}}</ref> A validade é a propriedade mais importante, seguida pela otimização. A invariância pode ser considerada a propriedade do método de derivação em vez da regra do construção do intervalo de confiança. Quando aplicados procedimentos estatísticos "não padrão", as mesmas propriedades desejáveis seriam procuradas.<ref name=":21">{{citar web|url=http://excelmasterseries.com/Excel_Statistical_Master/Excel-Confidence-Intervals-Desirable-Properties.php|titulo=Confidence Interval – Desirable Properties for Data Sets|data=|acessodata=22 de março de 2017|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref>
* Validade: Significa que a probabilidade de cobertura nominal (nível de confiança) do intervalo de confiança deve manter-se exatamente ou com uma boa aproximação.<ref name=":21" />
* Otimização: Significa que a regra para construir o intervalo de confiança dever fazer o máximo de uso possível da informação do conjunto de dados. Lembra-se de que é possível descartar metade do conjunto de dados e ainda ser possível fazer um intervalo de confiança válido. Uma forma de avaliar a otimização é por meio do comprimento do intervalo, para que então a regra para a construção do intervalo de confiança seja melhor julgada se ela leva para intervalos cujos comprimento são tipicamente menores.<ref name=":21" />
* Invariância: Em muitas aplicações, a quantidade a ser estimada pode não ser bem definida como tal. Por exemplo, uma pesquisa pode resultar em uma estimativa da renda média da população e pode igualmente fornecer a estimativa do logaritmo da renda média dado que é uma escala comum para representar resultados gráficos. Seria desejável que o método usado para construir o intervalo de confiança para a renda média destes resultados equivalentes quando aplicados à construção do intervalo de confiança para o logaritmo da renda média. Especificamente os valores nas extremidades dos últimos intervalos seriam os logaritmos dos valores nas extremidades do intervalo anterior.<ref name=":21" />

== Métodos de derivação ==
Para outros tipos de aplicações menos comuns, existem várias rotas que poderiam ser tomadas para derivar uma regra para a construção do intervalo de confiança. Normalmente uma regra para a construção de intervalos de confiança está intimamente ligada a uma forma particular de encontrar uma estimativa pontual da quantidade a ser considerada.<ref>{{citar web|url=https://www.ime.usp.br/~chang/home/mae116/aulas/Aula%208%20-%20estimacao%20da%20proporcao.pdf|titulo=Estimação da Proporção Populacional p|data=|acessodata=3 de abril de 2017|publicado=Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME / USP)|ultimo=|primeiro=}}</ref>

=== Estatísticas descritivas ===
O uso de estatísticas descritivas está intimamente relacionado com o método dos momentos de construção dos estimadores. Um exemplo simples surge quando a quantidade a ser avaliada é a média, em cujo caso uma estimativa natural é a média amostral. Os argumentos habituais indicam que a variância amostral pode ser utilizada para estimar a variação da média amostral. Um intervalo de confiança sem muitos detalhes para a média verdadeira pode ser construído a partir da média amostral com uma largura, que é um múltiplo da raiz quadrada da variância amostral.<ref>{{citar web|url=http://www.physics.csbsju.edu/stats/descriptive2.html|titulo=Descriptive Statistics|data=|acessodata=22 de março de 2017|publicado=College of Saint Benedict and Saint John's University|ultimo=|primeiro=}}</ref>

=== Teoria da probabilidade ===
Quando as estimativas são construídas usando o [[princípio da máxima verosimilhança]], a teoria para este experimento fornece duas formas de construir o intervalo de confiança. Uma forma é usar o Teorema de Wilks para encontrar todos os possíveis valores de <math>\theta </math> que completam a seguinte restrição <math>\ln( L(\theta))\ge \ln( L(\hat{\theta}))-\frac 1 2 \chi^2_{1,1-\alpha } </math>.<ref>{{citar livro|titulo=Statistical Theory: A Concise Introduction|ultimo=Abramovich|primeiro=Felix|ultimo2=Ritov|primeiro2=Ya'acov|editora=CRC Press|ano=2013|local=|paginas=121 – 122|acessodata=}}</ref> Portanto, a [[matriz de covariância]] que maximiza a verosimilhança é dada por <math>
\sum = \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} (X_r - \mu_0)(X_r - \mu_0)^\prime.
</math><ref>{{citar web|url=http://www.im.ufrj.br/estatistica/web/wp-content/uploads/2016/04/2014_paulo_vitor.pdf|titulo=Uma Revisão da Análise de Variância Multivariada com Aplicações em Biologia|acessodata=16/03/2017|publicado=Universidade Federal do Rio de Janeiro|ultimo=Pereira|primeiro=Paulo Vitor da Costa|ano=2014|pagina=31}}</ref>

=== Estimação de equações ===
A abordagem de estimativa aqui pode ser considerada tanto uma generalização de método de momentos como uma generalização da abordagem de máxima verosimilhança. Há generalizações correspondentes dos resultados da teoria de probabilidade máxima que permitem que os intervalos de confiança a ser construído com base em estimativas derivadas de equações de estimação.<ref>{{citar web|url=http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/19081/000735185.pdf?seque|titulo=Equações de estimação generalizadas (GEE): Aplicação em estudo sobre mortalidade neonatal em gemeres de Porto Alegre, RS (1995 - 2007)|acessodata=16/03/2017|publicado=Universidade Federal do Rio Grande do Sul|ultimo=Agranonik|primeiro=Marilyn|ano=2009}}</ref>

=== Teste de significância ===
Se os testes de significância estão disponíveis para os valores gerais de um parâmetro, então os intervalos de confiança podem ser construídos por meio da inclusão na região de confiança a <math>100p\%</math> todos os pontos para os quais o teste de significância da hipótese nula com dado valor verdadeiro não é rejeitado com nível de significância de <math>(1 - p) </math>.<ref>{{citar livro|título=Confidence Intervals|ultimo=Smithson|primeiro=Michael|editora=Sage Publications|ano=2003|local=|páginas=12|total-páginas=95|acessodata=}}</ref>

===  ''Bootstrapping'' (reamostragem) ===
[[Imagem:Bootstrap.gif|300px|thumb|Bootstrap]]
''Bootstrap'' é uma amostra <math>\mu</math> de dados com reposição a partir de uma amostra <math> \sigma </math> de uma população <math> \alpha </math>. Ou seja, considere uma população qualquer de dados como folhas de árvores, neurônios humanos, cardumes de peixes da espécie lambari e etc. Então, a partir de uma população de interesse, para serem realizadas análises estatísticas obtém-se uma amostra <math> \sigma = \{a_1, a_2, a_3, a_4, ..., a_n\} </math>, onde <math> \sigma </math> é a amostra e cada <math> a_i </math> são os elementos da amostra.<ref>{{citar web|url=http://pgsskroton.com.br/seer/index.php/rcext/article/viewFile/2333/2231|titulo=INFERÊNCIA EM AMOSTRAS PEQUENAS: MÉTODOS BOOTSTRAP|data=24/02/2014|acessodata=15/03/2017|publicado=Anhanguera Educacional Ltda|ultimo=Filho|primeiro=Augusto Sousa da Silva|pagina=116}}</ref><ref name=":16">{{citar web|url=https://www.ime.usp.br/~chang/home/mae5704/aula-bootstrap.pdf|titulo=BOOTSTRAP|data=|acessodata=15/03/2017|publicado=Instituto de Matemática e Estatística - USP|ultimo=Chiann|primeiro=Chang|pagina=2}}</ref>

A partir da amostra <math> \sigma </math> se obtém uma nova amostra de tamanho <math> n </math> que se chama reamostragem (amostra ''Bootstrap''). A amostra ''Bootstrap'' de <math> \sigma </math> é <math> \mu = \{a_1^*, a_2^*, a_3^*, a_4^*, ..., a_n^*\} </math>, onde cada <math> a_i^* </math> são escolhas aleatórias da amostra <math> \sigma </math>. Como os elementos de <math> \mu </math> são escolhidos de forma aleatória de <math> \sigma </math>, encontram-se outros desvios padrões da mesma amostra permitindo uma confiabilidade maior na análise o que faz reduzir desvios (erros) na análise. Além disso, a amostra de ''Bootstrap'' quantifica a incerteza do cálculo dos erros padrões e intervalo de confiança.<ref name=":16" />

A amostra ''Bootstrap'' também é usada para situações em que as suposições de distribuição dos métodos são incertos ou violados. O método de reamostragem permite a construção de intervalos de confiança ou intervalos de predição. A distribuição dos dados observados e as correlações internas são utilizados como o substituto para as correlações entre a população mais ampla. Portanto, a amostra ''Bootstrap'' não precisa ser grande ou com característica normais, gera menos suposições e útil para os casos em que não há distribuição de amostra finita.<ref>{{citar web|url=http://pgsskroton.com.br/seer/index.php/rcext/article/viewFile/2333/2231|titulo=INFERÊNCIA EM AMOSTRAS PEQUENAS: MÉTODOS BOOTSTRAP|data=24/02/2014|acessodata=15/03/2017|publicado=Anhanguera Educacional Ltda|ultimo=Filho|primeiro=Augusto Sousa da Silva|pagina=3}}</ref>

== Exemplo teórico ==
=== Intervalo de confiança para a média de uma população ===
Seja uma população de média <math>\mu</math> e desvio padrão <math>\sigma</math> , da qual se toma amostras de <math>n</math> elementos. Cada uma das amostras tem média <math>\bar{x}</math>, sendo que a média de todas as amostras significativas coincide com a média da população <math>\mu_{\bar{x}} = \mu</math>.<ref name=":27">{{citar livro|título=Estatística Básica|ultimo=Bussab|primeiro=Wilton de O.|ultimo2=Morettin|primeiro2=Pedro A.|editora=Saraiva|ano=2010|local=|página=311 – 312|total-páginas=540|acessodata=}}</ref><ref name=":28">{{citar livro|título=Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências|ultimo=Devore|primeiro=Jay L.|editora=Cengage Learning|ano=2005|local=|página=245 – 248|total-páginas=692|acessodata=}}</ref><ref name=":29">{{citar livro|título=Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists|ultimo=Ross|primeiro=Sheldon|editora=Elsevier|ano=2004|local=|página=240 – 244|páginas=|total-páginas=624|acessodata=}}</ref> Se o tamanho da amostra for suficientemente grande, a distribuição amostral segue praticamente uma [[distribuição normal]] (distribuição de Gauss) com média <math>\mu</math> e desvio padrão <math>\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>. Isto é representado como <math>\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}})</math>. Padronizando, tem-se <math>\frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=Z \sim N(0, 1)</math>.<ref>{{citar periódico|ultimo=Guerriero|primeiro=Vincenzo|titulo=Power Law Distribution: Method of Multi–Scale Inferential Statistics|jornal=Journal of Modern Mathematics Frontier|doi=|url=http://www.seipub.org/sjmmf/Download.aspx?ID=5093|acessadoem=}}</ref>

Com <math>Z \sim N(0,1)</math>, pode-se calcular um intervalo de confiança dentro do qual pode conter uma determinada porcentagem de observações. É possível encontrar <math>Z_1</math>e <math>Z_2</math>, tal que <math>P(Z_1 \le Z \le Z_2) = 1 - \alpha</math>, em que <math>(1 - \alpha)\times 100</math> é o porcentual desejado. Com <math>\mu</math>, <math>P(\mu_1 \le \mu \le \mu_2) = 1 - \alpha</math>. Nesta distribuição normal, pode-se calcular o intervalo de confiança em que a população significativa apenas pode ser encontrada se uma amostra conhecida com média <math>\bar{x}</math> tiver uma certa confiança. Normalmente, os valores entre 95% e 99% são comuns. Estes valores serão chamados de <math>1 - \alpha</math>. Isto exige o cálculo de <math>Z_\frac{\alpha}{2}</math> ou do valor crítico junto com sua distribuição oposta <math>X_\frac{-\alpha}{2}</math>. <ref name=":27" /><ref name=":28" /><ref name=":29" />

Estes pontos definem a probabilidade do intervalo de tempo como mostra a figura a seguir.

[[Imagem:ConfIntervNormalP.png|centre]]

Este ponto é o número tal que <math>\mathbb{P}(\bar{x} \ge X_\frac{\alpha}{2}) = \mathbb{P}(z \ge z_\frac{\alpha}{2}) = \frac{\alpha}{2}</math>. Para a versão padronizada, assegura-se <math>z_\frac{-\alpha}{2} = -z_\frac{\alpha}{2}</math>. Assim, <math>\mathbb{P}\Bigl(-z_\frac{\alpha}{2} \le \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \le z_\frac{\alpha}{2}\Bigr) = 1 - \alpha</math>. Fazendo possíveis operações de compensação, <math>\mathbb{P}\left(\bar{x} - z_\frac{\alpha}{2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} + z_\frac{\alpha}{2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha</math>, no qual o intervalo de confiança obtido é<math>\left[\bar{x} - z_\frac{\alpha}{2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_\frac{\alpha}{2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]</math>. Nota-se que o intervalo de confiança é dado pela média amostral <math>\bar{x} \pm Z_\frac{\alpha}{2}</math> . O erro padrão é <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>. Se <math>\sigma</math> não for conhecido e <math>n</math> for muito grande, então pode ser usado o intervalo <math>\left[\bar{x} - z_\frac{\alpha}{2}\frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_\frac{\alpha}{2}\frac{s}{\sqrt{n}}\right]</math>, em que <math>s</math> é o desvio padrão amostral. Mas quando <math>n</math> não for muito grande, prossegue-se com outro método.<ref name=":27" /><ref name=":28" /><ref name=":29" />

Seja <math>\bar{X}=\frac{(X_1+\cdots+X_n)}{n}</math>, <math>S^2=\frac 1 {n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X}\,)^2</math>, em que <math>\bar{X}</math> é a média amostral e <math>S^2</math> é a variância amostral. Então, sabe-se que <math>T=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}</math> tem [[distribuição t de Student]] com <math>n - 1</math> graus de liberdade (como a distribuição <math>T</math> não depende dos valores dos parâmetros não observáveis <math>\mu</math> e <math>\sigma^2</math>, <math>T</math> é uma quantidade essencial).<ref>{{citar livro|titulo=Essential Statistics|ultimo=Rees|primeiro=D. G.|editora=Chapman and Hall / CRC|ano=2001|local=|paginas=seção 9.5|acessodata=}}</ref>

Por exemplo, a construção do intervalo de confiança de 95% para <math>\mu</math>. Seja <math>c</math> o 97,5 percentil da distribuição <math>\Pr(-c\le T \le c)=0,95</math> ou <math>\Pr(T \le c)=0,975</math>. Há 2,5% de chance de <math>T</math> ser menor que <math>-c</math> e 2,5% de chance de <math>T</math> ser maior que <math>+c</math> . Então, a probabilidade de <math>T</math> estar entre <math>-c</math> e <math>+c</math> é 95%. Consequentemente, <math>\Pr\left(\bar{X} - \frac{cS}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + \frac{cS}{\sqrt{n}} \right)=0,95</math>, com intervalo de confiança teórico (estocástico) de 95% para <math>\mu</math>. Depois de observar a amostra, encontra-se valores <math>\bar{x}</math> para <math>\bar{X}</math> e <math>s</math> para <math>S</math>, a partir dos quais calcula-se o intervalo de confiança <math> \left[ \bar{x} - \frac{cs}{\sqrt{n}}, \bar{x} + \frac{cs}{\sqrt{n}} \right], \,</math>com números fixos como extremidades, sobre os quais não pode-se afirmar que há certa probabilidade de conter o parâmetro <math>\mu</math> e que <math>\mu</math> está ou não está neste intervalo.<ref name=":27" /><ref name=":28" /><ref name=":29" />

=== Intervalo de confiança para uma proporção ===
O intervalo de confiança para a estimativa de uma proporção <math>p_n</math> de uma amostra de tamanho <math>n</math> para um nível de confiança <math>(1-\alpha)\times100</math> quando há reposição de uma população infinita é<math>\left[ p_n - z_\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{p_n(1-p_n)}{n}}, \; p_n + z_\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{p_n(1-p_n)}{n}}\ \right]</math>. A demonstração destas fórmulas envolvem o teorema central do limite e a abordagem de um binômio normal. Quando não há reposição, tem-se<math>\left[ p_n - \sqrt \frac{n_p - n}{n}\cdot \sqrt \frac{n_p - n}{n_p - 1} \right. </math>, <math>\left. p_n + \sqrt \frac{n_p - n}{n}\cdot \sqrt \frac{n_p - n}{n_p - 1}\ \right] </math>.<ref name=":12">{{citar livro|ultimo=Spiegel|primeiro=Murray R.|editora=Pearson|ano=2006|local=São Paulo|acessodata=22/02/2017|titulo=Estatística|paginas=238}}</ref>

== Exemplos práticos  ==

=== Consumo médio de bebida em uma festa ===
Seja um buffet que tenha realizado 500 festas, desde festas pequenas com 10 convidados até festas grandes com {{Fmtn|1000}} convidados. Medindo o consumo médio de bebida por pessoa em todas as festas, percebe-se que cada pessoa bebe em média 200 mL com desvio padrão de 50 mL. Deseja-se fazer uma festa com o mínimo possível de bebida para desperdiçar menos e lucrar mais. O que fazer? Compra-se 200 mL de bebida para cada pessoa? Para não correr o risco de faltar bebida e desagradar o cliente, resolve-se comprar uma quantidade pouco superior à média: média mais duas vezes desvio padrão, que é 300 mL de bebida por pessoa. Supondo que o próximo evento seja para 20 convidados. Como a quantidade considerada é de 300 mL de bebida por pessoa, decide-se comprar 6 litros de bebidas. Mas será que a quantidade é suficiente? Quais as chances da média de consumo de bebida por pessoa superar 300 mL?<ref name=":13" />

Para calcular a probabilidade, é preciso saber a média de consumo de bebida por pessoa e o desvio padrão no evento para 20 convidados para criar o gráfico da distribuição normal. Como não tem-se os valores porque a festa ainda não aconteceu, a solução é simular uma curva normal a partir dos dados históricos. Como a média histórica do consumo de bebida por pessoa e a média do evento serão muito próximos, o valor será o mesmo (200 mL). Embora o desvio padrão não possa ser o mesmo, sabe-se que o desvio padrão amostral é igual ao desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra. Então, o desvio padrão da curva normal calculado a partir dos dados históricos será igual a <math>\frac{50}{\sqrt{20}}=11,18034\text{ mL }</math>.<ref name=":13">{{citar livro|titulo=Estatística|ultimo=Spiegel|primeiro=Murray R.|editora=Pearson|ano=2006|local=São Paulo|paginas=234 - 248|acessodata=22/02/2017}}</ref>

Com os valores da média amostral (200 mL) e do desvio padrão (11,18034 mL), tem-se a curva normal simulada para a próxima festa. Para saber a probabilidade do consumo de bebida por pessoa ser superior a 300 mL, basta subtrair a média amostral (200 mL) do consumo de bebida por pessoa (300 mL) e dividir pelo desvio padrão simulado (11,18034 mL), obtendo-se <math>z=0,8</math>. Consultando-se qualquer tabela de distribuição normal acumulada em livros ou na Internet, encontra-se que para <math>z=0,8</math>  a probabilidade é 0,7881. Como quer-se calcular a probabilidade da média do consumo de bebida por pessoa ser superior a 300 mL, é preciso subtrair 0,7881 de 1. Portanto, a probabilidade do consumo de bebida por pessoa ser superior a 300 mL em um evento para 20 convidados é de 0,2119 ou de 21,19%.<ref name=":13" />

=== Máquina de sorvete ===
[[Ficheiro:Margarinefilling.png|right]]
Uma máquina é ajustada para despejar 250 gramas de sorvete. Como a máquina não pode encher cada copo com exatamente 250 gramas, o conteúdo adicionado apresenta variação e é considerado uma variável aleatória <math>X</math>. Supõe-se que a variação é ajustada para uma distribuição normal em torno da porcentagem média desejada de 250 gramas com desvio padrão de 2,5 gramas. Para determinar se a máquina está devidamente calibrada, uma amostra aleatória <math>n=</math> 25 copos é pesada. Os pesos resultantes são <math>X_1,\dots,X_{25}</math>, uma amostra aleatória de <math>X</math>.Para média <math>\mu</math>, basta fornecer uma estimativa. A estimativa apropriada é a média amostral <math>\hat \mu=\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i</math>. Os pesos reais da amostra <math>x_1,\dots,x_{25}</math> têm média <math>\bar x=\frac {1}{25} \sum_{i=1}^{25} x_i = 250,2\text{ gramas }</math>.<ref>{{citar livro|titulo=Estatística Básica|ultimo=Bussab|primeiro=Pedro A.|ultimo2=Morettin|primeiro2=Pedro A.|editora=Saraiva|ano=2012|local=São Paulo|paginas=310 - 317|acessodata=22/02/2017}}</ref>

Considerando-se outra amostra de 25 copos, pode-se esperar encontrar valores médios como 250,4 gramas ou 251,1 gramas. Entretanto, o valor da média amostral de 280 gramas seria raro se o conteúdo médio dos copos fosse de fato próximo de 250 gramas. Há um intervalo em torno do valor observado de 250 gramas da média amostral dentro de cada copo. Se toda média da população realmente tomar o valor neste intervalo, o dado observado não será considerado particularmente incomum. Este intervalo é chamado intervalo de confiança para o parâmetro <math>\mu</math>. Para calcular este intervalo de confiança, é preciso calcular as extremidades do intervalo a partir da amostra. São funções estatísticas da amostra <math>X_1,\dots,X_{25}</math> e, portanto, são variáveis aleatórias. No exemplo, pode-se determinar as extremidades considerando que a média amostral <math>X</math> da amostra normalmente distribuída também é normalmente distribuída com a mesma expectativa <math>\mu</math> e com desvio padrão de <math>\frac {\sigma}{\sqrt{n}}=\frac {2,5}{\sqrt{25}}=0,5\text{ gramas }.</math><ref name=":13" />

Para padronização, a [[variável aleatória]] é obtida por <math>Z = \frac {\bar X-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} =\frac {\bar X-\mu}{0,5}</math>.<ref>{{citar livro|titulo=Estatística|ultimo=Spiegel|primeiro=Murray R.|editora=Pearson|ano=2006|local=São Paulo|paginas=256|acessodata=22/02/2017}}</ref>

Tomando-se <math> 1-\alpha = 0,95</math>, tem-se <math>\!P(-z\le Z\le z) = 1-\alpha = 0,95</math>. O número <math>Z</math> a partir da seguinte função de distribuição cumulativa ou a função de distribuição cumulativa é

<math>\begin{align}
\phi(z) = P(Z \le z) = 1 - \frac{\alpha}2 = 0,975,\\
z = \phi^{-1}(\phi(z)) = \phi^{-1}(0,975) = 1,96
\end{align}</math>.<ref name=":14" />

Então, obtém-se

<math>\begin{align}
0,95 = 1-\alpha=P(-z \le Z \le z)=P \left(-1,96 \le \frac {\bar X-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \le 1,96 \right) \\
= P \left( \bar X - 1,96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar X + 1,96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)
\end{align}</math>.<ref name=":14">{{citar livro|titulo=Estatística|ultimo=Spiegel|primeiro=Murray R.|editora=Pearson|ano=2006|local=São Paulo|paginas=195|acessodata=22 de fevereiro de 2017}}</ref>

Em outras palavras, a extremidade inferior do intervalo de confiança é 95% é <math>\bar X - 1,96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> e a extremidade superior do intervalo de confiança é 95% é <math>\bar X + 1,96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>.

Com os valores do exemplo, o intervalo de confiança é

<math>\begin{align}
0,95 = P\left(\bar X - 1.96 \times 0.5 \le \mu \le \bar X + 1,96 \times 0,5\right) \\
= P \left( \bar X - 0,98 \le \mu \le \bar X + 0,98 \right)
\end{align}</math>.<ref name=":14" />

=== Observações ===
Um intervalo de confiança aproximado para a média da população pode ser construído para variáveis aleatórias que não são normalmente distribuídas na população, permanecendo no teorema central do limite se os tamanhos e as contagens das amostras forem suficientemente grandes. As fórmulas são idênticas ao caso acima (em que a média amostral é na verdade normalmente distribuída em relação à média da população). A aproximação será muito boa com apenas algumas dúzias de observações da amostra se a distribuição de probabilidade da variável aleatória não for muito diferente da distribuição normal (por exemplo, a função cumulativa de distribuição não tem nenhuma descontinuidade e sua distorção é moderada).<ref>{{citar web|url=https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/1679303/mod_resource/content/1/Bioestat%C3%ADstica%20B%C3%A1sica-aula%201-2016.pdf|titulo=Bioestatística Básica|data=|acessodata=3 de abril de 2017|publicado=Faculdade de Medicina de Ribeirão Preto da Universidade de São Paulo|ultimo=Rodrigues|primeiro=Alfredo J.}}</ref><ref>{{citar livro|título=Estatística – Uma Abordagem para Hidrólogos|ultimo=Souza|primeiro=Christopher Freire|editora=|ano=|local=|página=26 – 27|páginas=|total-páginas=41|acessodata=}}</ref>

Um tipo de média amostral é a média de uma variável ''dummy'', que toma o valor "1" como verdadeiro e o valor "0" como falso. A média desta variável é igual a proporção em tem a variável igual a 1 (na população e em qualquer amostra). Esta é uma propriedade útil das variáveis ''dummy'', especialmente para os testes de hipóteses. Para aplicar o teorema central do limite, é preciso usar uma amostra suficientemente grande. Uma regra de ouro é que deve-se ver pelo menos 5 casos, nos quais o indicador é 1, e pelo menos 5 casos, nos quais o indicador é 0. Intervalos de confiança construídos usando a fórmula acima podem incluir números negativos ou números maiores que 1, mas as proporções obviamente não podem ser negativas ou exceder 1. Proporções das amostras também podem tomar apenas números infinitos de valores, então o teorema central do limite e a distribuição normal não são as melhores ferramentas para construir um intervalo de confiança.<ref>{{citar livro|url=http://sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot_6651cap__7-11_-_estatystica_e_intbod__econometbia_-_alex__sabtobi_pdf.pdf|título=Estatística e Introdução à Econometria|ultimo=Sartoris|primeiro=Alexandre|editora=Saraiva|página=216|capitulo=Capítulo 7 - Intervalo de Confiança e Testes de Hipóteses}}</ref>

=== Interpretação ===
[[Ficheiro:NYW-confidence-interval.svg|miniaturadaimagem|300x300px|Os segmentos lineares em azul representam 50 realizações de um intervalo de confiança para a média populacional <math>\mu</math>, representada pela linha horizontal em vermelho. Nota-se que alguns intervalos de confiança não contém a média populacional como esperado.]]Com probabilidade 0,95, encontra-se um intervalo de confiança no qual o valor do parâmetro <math>\mu</math> estará entre as extremidades estocásticas <math>\bar X - 0,98</math> e <math>\bar X + 0,98</math>. Isto não significa que há probabilidade de 95% do valor do parâmetro <math>\mu</math> estar no intervalo obtido usando o valor computado da média amostral <math> (\bar{x}-0,98,\, \bar{x}+0,98) </math>. De modo contrário, toda vez que as medidas repetem-se, haverá outro valor para a média <math>\bar X </math> da amostra. Em 95% dos casos, <math>\mu</math> estará entre as extremidades calculadas a partir da média. O intervalo de confiança real é calculado, inserindo as massas medidas na fórmula. O intervalo de confiança de 95% torna-se <math>(\bar x - 0,98;\bar x + 0,98) = (250,2 - 0,98; 250,2 + 0,98) = (249,22; 251,18)</math>. Em outras palavras, o intervalo de confiança de 95% está entre a extremidade inferior de 249,22 gramas e a extremidade superior de 251,18 gramas. Como o valor desejado 250 de <math>\mu</math> está dentro do intervalo de confiança resultantes, não há razão para acreditar que a máquina está calibrada de maneira errada.<ref name=":15">{{citar livro|ultimo=Magalhães|primeiro=Marcos Nascimento|ultimo2=Lima|primeiro2=Antonio Carlos Pedroso de|editora=EdUSP|ano=2007|local=São Paulo|páginas=|acessodata=22/02/2017|titulo=Noções de Probabilidade e Estatística|paginas=230}}</ref>

O intervalo calculado tem extremidades fixas, em que <math>\mu</math> pode ou não pode estar entre elas. Portanto, este evento tem probabilidade 0 ou 1. Não é possível afirmar que com probabilidade <math>(1-\alpha)</math> o parâmetro <math>\mu</math> está no intervalo de confiança. Pela repetição, em <math>100(1-\alpha)\%</math> dos casos <math>\mu</math> está no intervalo calculado. Em <math>100\alpha\%</math> dos casos, isto não acontece. Porém, não é possível saber em quais casos isto acontece. É por isso que em vez de usar o termo probabilidade é possível afirmar que com nível de confiança <math>100(1-\alpha)\%</math> <math>\mu</math> está no intervalo de confiança. A imagem mostra 50 realizações de intervalos de confiança para a média <math>\mu</math> de uma dada população. Se uma realização for aleatoriamente escolhida, a probabilidade é de 95% de escolher um intervalo que contenha o parâmetro. Entretanto, pode-se dar azar e escolher o intervalo errado. Nunca se sabe.<ref name=":15" />

== Margem de erro ==
A margem de erro para uma estatística particular geralmente é definida como o raio ou a metade da largura do intervalo de confiança para a mesma estatística.<ref>{{citar livro|último =Lohr|primeiro =Sharon L.|título=Sampling: Design and Analysis|ano=1999|publicado=Duxbury Press|local=Pacific Grove, California|isbn=0-534-35361-4|páginas=49|citação=The margin of error of an estimate is the half-width of the confidence interval ...}}</ref><ref>{{citar web|último=Stokes|primeiro=Lynne|autor2=Tom Belin|url=http://www.amstat.org/sections/srms/pamphlet.pdf|título=What is a Margin of Error?|formato=PDF|obra=What is a Survey?|páginas=64|publicado=Survey Research Methods Section, American Statistical Association|acessodata=2006-05-31|ano=2004|arquivodata=2013-03-12|arquivourl=https://web.archive.org/web/20130312125540/http://www.amstat.org/sections/srms/pamphlet.pdf}}</ref> Portanto, para determinar o erro de um intervalo de confiança ao estimar a média <math> \mu </math> de uma população qualquer e a partir da média <math> \bar X </math> da população <math> n </math>. Tem-se<ref name=":10">{{citar livro|titulo=Estatística Básica|ultimo=Bussab|primeiro=Wilton de O.|ultimo2=Morettin|primeiro2=Pedro A.|editora=Saraiva|ano=2012|local=São Paulo|paginas=311|acessodata=16/01/2017}}</ref>

<math> e = ( \bar X - \mu ) \sim N(0, \sigma^2_\bar X)</math>, em que  <math> \sigma^2_\bar X = Var(\bar X) =  \frac{ \sigma^2}{n} </math>.<ref name=":10" />

Pode-se utilizar a média amostral como [[estimador]] para gerar o erro quadrático médio (EQM), definido como <math>
e = T - \theta
</math> .<ref name=":11">{{citar livro|titulo=Estatística Básica|ultimo=Bussab|primeiro=Wilton de O.|ultimo2=Morettin|primeiro2=Pedro A.|editora=Saraiva|ano=2012|local=São Paulo|paginas=302|acessodata=16/02/2017}}</ref> Isto é, ao considerar o parâmetro <math> \theta </math> da distribuição da variável aleatória <math> X </math> pelo estimador <math> T = g(X_1, ...,X_n) </math>, quando a amostra é <math>(X_1, ...,X_n) </math>, tem-se o EQM do estimador <math> T </math><math> EQM(T ; \theta) = E(e^2) = E( T - \theta )^2 \equiv  EQM( T ; \theta ) = Var(T) + V^2   </math>.<ref name=":11" />

== Relação com outros tópicos estatísticos ==

=== Teste de hipótese estatístico ===
Intervalos de confiança são intimamente ligados ao teste de significância estatístico. Por exemplo, se para algum parâmetro estimado <math>\theta</math> quer testar da hipótese nula <math>\theta = 0</math> contra a alternativa <math>\theta \neq 0</math>, então este teste pode ser realizado determinando se o intervalo de confiança para <math>\theta</math> contém 0.<ref>{{citar livro|título=Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências|ultimo=Devore|primeiro=Jay L.|editora=Cengage Learning|ano=2005|local=|páginas=275 – 277|total-páginas=672|acessodata=}}</ref> Em termos mais gerais, dada a disponibilidade de um procedimento de teste de hipótese que pode testar a hipótese nula <math>\theta = \theta_0</math> contra a alternativa <math>\theta \neq 0</math> para qualquer valor de <math>\theta_0</math>, então o intervalo de confiança com nível de confiança <math>\gamma = 1 - \alpha</math> pode ser definido como contendo qualquer número <math>\theta_0</math> para o qual a hipótese numa correspondente não é rejeitada no nível de significância <math>\alpha</math>.<ref>{{citar livro|titulo=Theoretical Statistics|ultimo=Cox|primeiro=D. R.|ultimo2=Hinkley|primeiro2=D. V.|editora=Chapman & Hall|ano=1974|local=Londres|paginas=seção 7.2|acessodata=}}</ref>

Se a estimativa dos dois parâmetros (parâmetros, os valores médios de uma variável em dois grupos independentes) tem intervalos de confiança, então a diferença entre os dois valores é mais significante que a indicada pelos valores individuais de <math>\alpha</math>.<ref name=":6" /> Então, este teste é muito conservador e pode levar a um resultado que é mais significante que os valores individuais de <math>\alpha</math> poderiam indicar. Se dois intervalos de confiança se sobrepõem, as duas médias ainda podem ser significantemente diferentes.<ref name=":5" /><ref>{{citar periódico|ultimo=Knezevic|primeiro=Andrea|ano=2008|titulo=Overlapping Confidence Intervals and Statistical Significance|jornal=StatNews – Cornell Statistical Consulting Unit|numero=73|doi=|url=https://www.cscu.cornell.edu/news/statnews/stnews73.pdf|acessadoem=}}</ref><ref>{{citar web|url=http://www.cmaj.ca/content/166/1/65.long|titulo=If We're So Different, Why Do We Keep Overlapping?|data=8 de janeiro de 2002|acessodata=30 de janeiro de 2016|publicado=CMAJ|ultimo=Wolfe|primeiro=Rory|ultimo2=Hanley|primeiro2=James}}</ref> Por conseguinte, consistente com o teste qui-quadrado de Manter Haenszel, é uma correção proposta pela qual reduz-se os limites de erro para duas médias multiplicando-as para raiz quadrada de 0,5 (0,707107) antes de fazer a comparação.<ref>{{citar periódico|ultimo=Smith|primeiro=Daniel|data=2005|titulo=Overlapping Confidence Intervals are not a Statistical Test|jornal=26th Annual Institute on Research and Statistics|doi=|url=|acessadoem=}}</ref>

Enquanto as formulações das noções de intervalos de confiança e de testes de hipótese estatísticos são distintos, eles são em algum sentido relacionados e em alguma medida complementares. Enquanto nem todos os intervalos de confiança são construídos desta maneira, uma abordagem genérica proposta para construir intervalos de confiança é definir um intervalo de confiança de <math>100(1-\alpha)\%</math> para consistir todos estes <math>\theta_0</math> para quais o teste de hipótese <math>\theta=\theta_0</math> não é rejeitado no nível de significância de <math>100\alpha\%</math>.<ref>{{citar livro|título=Estatística Básica|ultimo=Bussab|primeiro=Wilton de O.|ultimo2=Morettin|primeiro2=Pedro A.|editora=Saraiva|ano=2010|local=|páginas=337 – 339|total-páginas=540|acessodata=}}</ref> Tal abordagem nem sempre pode estar disponível uma vez que pressupõe a disponibilidade prática de um teste de significância apropriado. Naturalmente, quaisquer suposições necessárias para o teste de significância seriam transferidas para os intervalos de confiança.<ref name=":22">{{citar livro|título=Strategic Communication|ultimo=Leshan|primeiro=Davis|editora=|ano=|local=|páginas=|acessodata=}}</ref>

Pode ser conveniente fazer a conveniência geral que os valores dos parâmetros dentro do intervalo de confiança são equivalentes para aqueles valores que não seriam rejeitados pelo teste de hipótese, mas isto não seria indicado. Em muitas circunstâncias, os intervalos de confiança citados são apenas aproximadamente válidos, talvez derivados de mais ou menos o dobro do erro padrão e as implicações disto para o teste de hipótese supostamente corresponde geralmente não são conhecidas.<ref name=":22" /> Nota-se que o intervalo de confiança para um parâmetro não é o mesmo que a região de aceitação de um teste para este parâmetro, como às vezes se pensa. O intervalo de confiança é parte do espaço do parâmetro, independente se a região de aceitação é parte do espaço da amostra. Pela mesma razão o nível de confiança não é o mesmo que a probabilidade complementar do nível de significância.<ref>{{citar web|url=http://www.ufjf.br/clecio_ferreira/files/2012/04/Cap5-Testes-de-hipoteses-Parte-13.pdf|titulo=Cap. 5. Testes de Hipóteses|data=|acessodata=3 de abril de 2017|publicado=Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF)|ultimo=Ferreira|primeiro=Clecio}}</ref>

=== Região de confiança ===
As regiões de confiança generalizam o conceito de intervalo de confiança para lidar com múltiplas quantidades. Tais regiões podem indicar não apenas a extensão dos prováveis erros de amostragem, mas também podem revelar se (por exemplo) é o caso de se a estimativa para uma quantidade não for confiável, então outra também não deve ser confiável.<ref>{{citar livro|título=Epidemiologia Moderna|ultimo=Rothman|primeiro=Kenneth J.|ultimo2=Greenland|primeiro2=Sander|ultimo3=Lash|primeiro3=Timothy L.|editora=Artmed|ano=2008|local=|página=382 – 383|páginas=|total-páginas=886|acessodata=}}</ref>

=== Faixa de confiança ===
Uma faixa de confiança é usada em análise estatística para representar a incerteza em uma estimativa de uma curva ou uma função baseada em dados limitados ou ruidosos. Similarmente, uma banda de previsão é usada para representar a incerteza sobre o valor de um novo ponto de dado na curva, mas sujeito ao ruído. As faixas de previsão e de confiança são frequentemente usadas como parte da representação gráfica dos resultados da análise de regressão. As faixas de confiança são intimamente relacionadas ao intervalo de confiança, que representam a incerteza em uma estimativa de um único valor numérico.<ref>{{citar livro|título=Epistemiologia Moderna|ultimo=Rothman|primeiro=Kenneth J.|ultimo2=Greenland|primeiro2=Sander|ultimo3=Lash|primeiro3=Timothy T.|editora=Artmed|ano=2008|local=|página=365 – 366|total-páginas=886|acessodata=}}</ref> À medida que os intervalos de confiança, pela construção, apenas referem-se a um único ponto, eles são mais estreitos (neste ponto) que a faixa de confiança que deve manter-se simultaneamente em muitos pontos.<ref>{{citar livro|titulo=Nonparametric and Semiparametric Models|ultimo=Härdle|primeiro=W.|ultimo2=Müller|primeiro2=M.|ultimo3=Sperlich|primeiro3=S.|ultimo4=Werwatz|primeiro4=A.|editora=Springer|ano=2004|local=|paginas=65|acessodata=}}</ref>

==Outros métodos de estimativa por intervalo==
Os intervalos de confiança são um método de estimativa por intervalo e o método mais usado na estatística frequencista. Um conceito análogo na estatística bayesiana é o intervalo de credibilidade, enquanto um método frequencista alternativo é o intervalo de previsão, que em vez de estimar parâmetro, estima o resultado de amostras futuras (para outras abordagens para expressar a incerteza usando intervalos, ver [[estimativa por intervalo]]).<ref name=":23" />

=== Comparação com intervalos de previsão ===
Um intervalo de previsão de uma variável aleatória é definido de maneira parecida ao intervalo de confiança para o parâmetro estatístico. Considerando uma variável aleatória <math>Y</math>, que pode ou não pode ser estatisticamente dependente da amostra aleatória <math>X</math>. Então, <math>(u(X), v(X))</math> fornece um intervalo de previsão para o valor a ser observado <math>y</math> de <math>Y</math> se <math>{\Pr}_{\theta,\varphi}(u(X) < Y < v(X)) = \gamma</math> para todo <math>(\theta,\varphi).</math> <math>{\Pr}_{\theta,\varphi}</math> indica a distribuição de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias <math>(X, Y)</math>, nas quais estas distribuições dependem dos parâmetros estatísticos <math>(\theta,\varphi)</math>.<ref>{{citar web|url=http://ecs.syr.edu/faculty/glauser/mae315/notesNrefs/probstats/probstatspg.html|titulo=Probability and Statistics|data=|acessodata=23 de março de 2017|publicado=Syracuse University|ultimo=|primeiro=}}</ref><ref>{{citar livro|título=Econometria com Aplicações em R e C|ultimo=Castañeda|primeiro=Daniel Francisco Neyra|editora=|ano=|local=|páginas=45|total-páginas=261|acessodata=}}</ref>

=== Comparação com intervalos de tolerância ===
{{AP|Intervalo de tolerância}}O intervalo de tolerância é um intervalo estatístico tal que os dados da amostra caem neste intervalo com uma certa proporção específica. O intervalo de tolerância delimita um intervalo superior e inferior de uma [[Distribuição de probabilidade|distribuição]]. Isto é, a área na qual abrange as características almejadas da distribuição. Mais especificamente, <math>(p, 1 - \alpha)</math> intervalo de tolerância fornece limites dentro de qual uma certa proporção <math>p</math> da população cai com um dado nível de confiança <math>(1 - \alpha)</math>.<ref>D. S. Young (2010), Book Reviews: "Statistical Tolerance Regions: Theory, Applications, and Computation", TECHNOMETRICS, FEBRUARY 2010, VOL. 52, NO. 1, pp.143-144.</ref> Um <math>(p, 1 - \alpha)</math> intervalo de tolerância baseado em uma amostra é construído, de modo a incluir pelo menos a proporção <math>p</math> da população amostral com confiança <math>(1 - \alpha)</math>. Tal intervalo de tolerância geralmente é referido como intervalo de tolerância com conteúdo <math>p</math> e cobertura <math>(1 - \alpha)</math>.<ref name="Krishnamoorthy20112">Krishnamoorthy, K. and Lian, Xiaodong(2011) 'Closed-form approximate tolerance intervals for some general linear models and comparison studies', Journal of Statistical Computation and Simulation,, First published on: 13 June 2011 {{DOI|10.1080/00949655.2010.545061}}</ref> Um intervalo de tolerância pode ser visto como a versão estatística do intervalo de probabilidade. Intervalos de tolerância unilaterais normais tem uma solução exata em termos de média amostral e variância amostral  baseada na distribuição-t não central. Intervalos de tolerância bilaterais normais podem ser obtidos com base na distribuição <math>\chi^2</math> não central.<ref name="Young2">{{citar periódico|autor=Derek S. Young|titulo=tolerance: An R Package for Estimating Tolerance Intervals|periódico=Journal of Statistical Software|data=5 de agosto de 2010|volume=36|numero=5|páginas=1-39|issn=1548-7660|url=http://www.jstatsoft.org/v36/i05|acessodata=19 de fevereiro de 2013}}</ref>
=== Comparação com intervalo bayesiano ===
Uma estimativa do intervalo bayseano é chamada de "intervalo de credibilidade". Usando muitas das mesmas notações acima, a definição de intervalo de credibilidade para o valor real desconhecido de <math>\theta</math> para um dado <math>\gamma </math> é <math>\Pr(u(x)<\Theta<v(x) \mid X = x)=\gamma. \, </math> <math>\Theta</math> é usado para enfatizar que o valor desconhecido de <math>\theta</math> é tratado como uma variável aleatória.<ref>{{citar livro|ultimo=Bernardo|primeiro=José M.|ultimo2=Smith|primeiro2=Adrian F. M.|editora=Wiley|ano=2000|local=Nova Iorque|acessodata=|titulo=Bayesian Theory|paginas=259}}</ref> As definições dos dois tipos de intervalo podem ser comparadas como a seguir.
* A definição do intervalo de confiança envolve probabilidades calculadas a partir da distribuição de <math>X</math> para um dado <math>(\theta,\varphi)</math> (ou condicional a estes valores) e a condição precisa manter-se todos os valores de <math>(\theta,\varphi)</math>.<ref name=":20" /><ref name=":23" />
* A definição de intervalo de credibilidade envolve probabilidades calculadas a partir da distribuição de <math>\Theta</math> condicional aos valores observados de <math>X = x</math> e marginalizada (na média) sobre os valores de <math>\phi</math>, em que esta última quantidade é a variável aleatória correspondente à incerteza sobre os parâmetros de incômodo em <math>\varphi</math>.<ref name=":23" /><ref name=":26" />
Nota-se que o tratamento dos parâmetros de incômodo acima é geralmente omitido das discussões, comparando a confiança e a credibilidade, mas é marcadamente diferente entre os dois casos. Em alguns casos padrões simples, os intervalos produzidos como os intervalos de confiança e os intervalos de credibilidade a partir do mesmo conjunto de dados podem ser idênticos.<ref>{{citar web|url=http://www.john-uebersax.com/stat312/17%20Credible%20Intervals%20and%20Confidence%20Intervals.pdf|titulo=Credible Intervals and Confidence Intervals|data=|acessodata=23 de março de 2017|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref> Eles são muito diferente se a [[probabilidade a priori]] informativa for incluída na análise bayseana e podem ser muito diferentes para algumas partes do espaço de possíveis dados mesmo se a análise bayseana a prior for relativamente pouco informativa.<ref name=":23" />

Há uma discordância sobre quais dos métodos produz os resultados mais úteis. Raramente a matemática da computação está em questão — intervalos de confiança baseados em distribuições amostrais ou intervalos de credibilidade baseados no [[teorema de Bayes]] —, mas a aplicação destes métodos, a utilidade e a interpretação das estatísticas produzidas são debatidos.<ref>{{citar web|url=http://jakevdp.github.io/blog/2014/06/12/frequentism-and-bayesianism-3-confidence-credibility/|titulo=Frequentism and Bayesianism III: Confidence, Credibility, and why Frequentism and Science do not Mix|data=junho de 2014|acessodata=23 de março de 2017|publicado=Pythonic Perambulations|ultimo=VanderPlas|primeiro=Jake}}</ref>

== Contra-exemplos ==
Uma vez que a teoria do intervalo de confiança foi proposta, um número de contra-exemplos foi desenvolvido para mostrar como a interpretação dos intervalos de confiança pode ser problemática, pelo menos se forem interpretados de maneira ingênua.<ref name=":4" /><ref name=":24" /><ref name=":25" />

=== Procedimento de confiança para localização uniforme ===
B. L. Welch apresenta um exemplo que claramente mostra a diferença entre a teoria dos intervalos de confiança e outras teorias de estimativas por intervalo (incluindo os intervalos fiduciais de Fisher e os intervalos objetivos de Bayes).<ref name=":30">{{citar periódico|ultimo=Welch|primeiro=B. L.|ano=1939|titulo=On Confidence Limits and Sufficiency, with Particular Reference to Parameters of Location|jornal=The Annals of Mathematical Statistics|volume=10|numero=01|paginas=58 – 69|doi=|url=https://www.jstor.org/stable/2235987?seq=1#page_scan_tab_contents|acessadoem=}}</ref> G. K. Robinson chama este exemplo de "possivelmente o melhor contra-exemplo conhecido para a versão de Neyman da teoria do intervalo de confiança".<ref>{{citar periódico|ultimo=Robinson|primeiro=G. K.|ano=1975|titulo=Some Counterexamples to the Theory of Confidence Intervals|jornal=Biometrika|volume=62|numero=01|paginas=155 – 161|doi=|url=https://www.jstor.org/stable/2334498?seq=1#page_scan_tab_contents|acessadoem=}}</ref> Para B. L. Welch, isto mostra a superioridade da teoria do intervalo de confiança. Para críticos, isto mostra a deficiência da teoria do intervalo de confiança. Neste artigo, apresenta-se uma versão simplificada do contra-exemplo.

Supondo que <math>X_1,X_2</math> sejam observações independentes da distribuição uniforme <math>(\theta - \frac{1}{2}, \theta + \frac{1}{2}) </math>, então o procedimento de confiança ótimo de 50% é

<math>\bar{X} \pm \begin{cases}
\dfrac{|X_1-X_2|}{2} & \text{ se } |X_1-X_2| < \frac{1}{2} \\
\dfrac{1-|X_1-X_2|}{2} &\text{ se } |X_1-X_2| \geq \frac{1}{2}
\end{cases}
</math> .<ref>{{citar periódico|ultimo=Pratt|primeiro=J. W.|titulo=Book Review: Testing Statistical Hypotheses by E. L. Lehmann|jornal=Journal of the American Statistical Association|volume=56|numero=293|paginas=163 – 167|doi=|url=https://www.jstor.org/stable/2282344?seq=1#page_scan_tab_contents|acessadoem=}}</ref>

O argumento fiducial de Fisher ou o objetivo de Bayes podem ser usados para derivar a estimativa do intervalo <math>
\bar{X} \pm \frac{1-|X_1-X_2|}{4},
</math> que também é um procedimento de confiança de 50%.<ref name=":30" />

B. L. Welch mostrou que o primeiro procedimento de confiança domina o segundo procedimento de confiança, de acordo com teoria do intervalo de confiança. Para cada <math>\theta_1\neq\theta</math>, a probabilidade de o primeiro procedimento conter <math>\theta_1</math> é menor ou igual a probabilidade de o segundo procedimento conter <math>\theta_1</math>. A largura média dos intervalos do primeiro procedimento é menor que a largura média dos intervalos do segundo procedimento. Portanto, o primeiro procedimento é preferível sob a teoria clássica do intervalo de confiança. Entretanto, quando <math> |X_1-X_2| \geq \frac{1}{2}</math>, os intervalos do primeiro procedimento com certeza contém o valor real <math>\theta</math>. Consequentemente, o coeficiente de confiança nominal de 50% não está relacionado à incerteza que deve-se ter de que um intervalo específico contenha o valor real.  Além disso, quando o primeiro procedimento gera um intervalo muito pequeno, isto indica que <math>X_1,X_2</math> estão muito próximo e que, portanto, eles apenas oferecem a informação em um único ponto do dado. Ainda, o primeiro intervalo exclui quase todos os valores razoáveis do parâmetro devido à sua largura pequena. O segundo procedimento não tem esta propriedade.<ref name=":30" />

As duas propriedades contra-intuitivas do primeiro procedimento — 100% de cobertura quando <math>X_1,X_2</math> estão afastados e quase 0% de cobertura quando <math>X_1,X_2</math> estão próximos — equilibram-se para 50% de cobertura em média. Entretanto, apesar do primeiro procedimento ser ótimo, seus intervalos não oferecem uma avaliação da precisão da estimativa nem uma avaliação da incerteza que deve-se ter do intervalo conter o valor real.

Estes contra-exemplos são usados para argumentar contra interpretações ingênuas dos intervalos de confiança. Se um procedimento de confiança é realizado para ter propriedades além da cobertura nominal (como relacionada à precisão ou à relação com a inferência bayseana), estas propriedades precisam ser provadas (elas não seguem a partir do fato do procedimento ser um procedimento de confiança).<ref name=":4" /><ref name=":24" /><ref name=":25" />

=== Procedimento de confiança para <math>\omega^2</math> ===
J. H. Steiger sugere um número de procedimentos de confiança de medidas de tamanhos de efeitos comuns em [[análise de variância]].<ref name=":31">{{citar periódico|ultimo=Steiger|primeiro=J. H.|ano=2004|titulo=Beyond the F Test: Effect Size Confidence Intervals and Tests of Close Fit in the Analysis of Variance and Contrast Analysis|jornal=Psychological Methods|volume=9|numero=2|paginas=164 – 182|doi=|url=http://psycnet.apa.org/journals/met/9/2/164/|acessadoem=}}</ref> Morey et al. apontam que vários destes procedimentos de confiança, incluindo um para <math>\omega^2</math>, têm a propriedade de à medida que a estatística <math>F</math> torna-se cada vez menor — indicando inadaptação com todos os possíveis valores de <math>\omega^2</math> — o intervalo de confiança encolhe e pode até conter apenas o valor único <math>\omega^2=0</math>. Isto é, o intervalo de confiança é infinitamente apertado. Isto ocorre quando <math>p\geq1- \frac{\alpha}{2}</math> para um intervalo de confiança de <math>100(1-\alpha)\%</math>.<ref>{{citar periódico|ultimo=Morey|primeiro=R. D.|ultimo2=Hoekstra|primeiro2=R.|ultimo3=Rouder|primeiro3=J. N.|ultimo4=Lee|primeiro4=M. D.|ultimo5=Wagenmakers|primeiro5=E.|ano=2016|titulo=The Fallacy of Placing Confidence in Confidence Intervals|jornal=Psychonomic Bulletin & Review|volume=23|numero=01|paginas=103 – 123|doi=|url=http://link.springer.com/article/10.3758%2Fs13423-015-0947-8|acessadoem=}}</ref>

Este comportamento é consistente com a relação entre o procedimento de confiança e o teste de significância — à medida que <math>F</math> torna-se tão pequeno que as médias do grupo estão muito mais próximas que o esperado pela chance, o teste de significância pode indicar rejeição para a maioria ou para todos os valores de <math>\omega^2</math>. Portanto, o intervalo será muito apertado ou até vazio (ou, pela convenção sugerida por Steiger, conter apenas "0").<ref name=":31" /> Entretanto, isto não indica que a estimativa de <math>\omega^2</math> é muito precisa. Isto indica o oposto, que a confiabilidade dos próprios resultados pode estar em dúvida. Isto é o contrário da interpretação comum dos intervalos de confiança que revelam a precisão da estimativa.<ref name=":4" /><ref name=":24" /><ref name=":25" />

== Questões filosóficas ==
O princípio por trás dos intervalos de confiança foi formulado para dar uma resposta a uma pergunta levantada em [[inferência estatística]] sobre como lidar com a incerteza inerente dos resultados derivados de dados que são eles mesmos um subconjunto selecionado aleatoriamente de uma população. Há outras respostas fornecidas pela inferência bayseana na forma de intervalos de credibilidade.<ref name=":23" />

Os intervalos de confiança correspondem a uma regra escolhida para determinar os limites de confiança, em casos em que esta regra é essencialmente determinada antes de qualquer dado ser obtido ou antes de qualquer experimento ser realizado. Esta regra é definida de tal modo que sobre todos os conjuntos de dados possíveis há uma alta probabilidade (este alta é especialmente quantificada) de o intervalo determinado pela regra incluir o valor real da quantidade em questão. Esta é uma maneira bastante direta e razoável de especificar uma regra para determinar intervalos de incerteza. A abordagem bayseana parece oferecer intervalos que podem, sujeito a aceitação da uma interpretação de probabilidade com probabilidade bayseana, ser interpretados como significando que o intervalo específico calculado a partir de um dado conjunto de dado tem uma probabilidade particular de incluir o valor real, condicional aos dados e as outras informações disponíveis.  Isto não é permitido pela abordagem do intervalo de confiança, uma vez que nesta formulação os limites do intervalo e os valores reais são valores fixados e não há aleatoriedade envolvida.<ref name=":2" />

Por exemplo, no caso da pesquisa de intenção de voto na introdução do artigo, para estar 95% confiante que o número real de eleitores que pretendem votar no partido em questão está entre 36% e 44%, não deve ser interpretado de acordo com o senso comum que há probabilidade de 95% que o número real de eleitores que pretendem votar no partido em questão esteja entre 36% e 44%. O real significado de níveis de confiança e intervalos de confiança é muito mais sutil. No caso acima, a interpretação correta seria a seguinte: se a pesquisa for repetida um grande número de vezes (poderia ser produzido um intervalo de confiança de 95% para o intervalo de confiança da pesquisa), cada vez gerando um  intervalo de confiança de 95% a partir da amostra da pesquisa, então 95% dos intervalos gerados poderiam conter a porcentagem real de eleitores que pretendem votar no em um determinado partido. Cada vez que a pesquisa é repetida, um intervalo de confiança diferente é produzido. Portanto, não é possível fazer afirmações absolutas sobre probabilidades para qualquer intervalo.<ref name=":2" />

Perguntas referentes a como um intervalo expressando incerteza em uma estimativa pode ser formulado e a como tais intervalos podem ser interpretados não são problemas estritamente matemáticos, mas são problemas filosóficos.<ref>{{citar livro|titulo=Philosophical Problems of Statistical Inference: Learning from R.A. Fisher|ultimo=Seidenfeld|primeiro=T.|editora=Springer–Verlag|ano=1979|local=|paginas=|acessodata=}}</ref> A matemática pode assumir o controle uma vez que os princípios básicos de uma abordagem de inferência foram estabelecidos, mas tem apenas um papel limitado em afirmar por que deve-se preferir uma ou outra abordagem. Por exemplo, um nível de confiança de 95% geralmente é usado nas ciências biológicas, mas é uma questão de convenção ou escolha. Nas ciências físicas, um nível muito mais elevado pode ser usado.<ref>{{citar web|url=http://www.graphpad.com/www/data-analysis-resource-center/blog/statistical-significance-defined-using-the-five-sigma-standard/|titulo=Statistical Significance Defined Using the Five Sigma Standard|data=|acessodata=30 de janeiro de 2017|publicado=Data Analysis Blog|ultimo=|primeiro=}}</ref>

{{referências|col=2}}

==Ver também==
* [[Regressão (estatística)|Regressão]]
* [[Desvio padrão|Desvio Padrão]]

{{Portal3|Probabilidade e Estatística}}

[[Categoria:Probabilidade]]
[[Categoria:Estatística]]
[[Categoria:Econometria]]
[[Categoria:Psefologia]]
{{artigo destacado}}