Mostrar código-fonte de Invariante modular

Em [[matemática]], uma '''invariante modular''' de um [[Grupo (matemática)|grupo]] é um invariante de um [[grupo finito]] agindo em um espaço vetorial de característica positiva (geralmente dividindo a ordem do grupo). O estudo de invariantes modulares foi originado por volta de 1914 por {{harvtxt|Dickson|2004}}.
==Dickson invariante==
Quando ''G'' é o grupo linear geral finito GL<sub>''n''</sub>('''F'''<sub>''q''</sub>) sobre o campo finito '''F'''<sub>''q''</sub> da ordem de uma potência prima ''q'' atuando no anel '''F'''<sub>''q''</sub>[''X''<sub>1</sub>, ...,''X''<sub>''n''</sub>]  de modo natural, {{harvtxt|Dickson|1911}} encontra um conjunto completo de invariantes como se segue.

Escreva [''e''<sub>1</sub>, ...,''e''<sub>''n''</sub>] para o determinante da matriz cujas entradas são ''X''{{su|b=''i''|p=''q''<sup>''e''<sub>''j''</sub></sup>}}, onde ''e''<sub>1</sub>, ...,''e''<sub>''n''</sub> são inteiros não negativos. Por exemplo, o determinante Moore{{nota de rodapé|[[Eliakim Hastings Moore]] inicialmente trabalhou com [[álgebra abstrata]], provando a classificação da estrutura de corpos finitos. O seu trabalho com sistemas axiomáticos é considerado um dos pontos de partida para a [[metamatemática]] e [[teoria dos modelos]].}} [0,1,2] de ordem 3 é

:<math>\begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3\\x_1^q & x_2^q & x_3^q\\x_1^{q^2} & x_2^{q^2} & x_3^{q^2} \end{vmatrix}</math>

Em seguida, sob a ação do um elemento ''g'' de GL<sub>''n''</sub>('''F'''<sub>''q''</sub>) estes determinantes são todos multiplicados por det(''g''), por isso são todos os invariantes de SL<sub>''n''</sub>('''F'''<sub>''p''</sub>) e as razões [''e''<sub>1</sub>, ...,''e''<sub>''n''</sub>]/[0,1,...,''n''&minus;1] são invariantes de GL<sub>''n''</sub>('''F'''<sub>''q''</sub>), chamadas '''invariantes Dickson'''. Dickson provou que o anel completo de invariantes '''F'''<sub>''q''</sub>[''X''<sub>1</sub>, ...,''X''<sub>''n''</sub>]<sup>GL<sub>''n''</sub>('''F'''<sub>''q''</sub>)</sup> é uma álgebra polinomial sobre os ''n'' Dickson invariantes [0,1,...,''i''&minus;1,''i''+1,...,''n'']/[0,1,...,''n''&minus;1] for ''i''=0, 1, ..., ''n''&minus;1.
{{harvtxt|Steinberg|1987}} deu uma prova curta do teorema de Dickson.

As matrizes [''e''<sub>1</sub>, ...,''e''<sub>''n''</sub>] são divisíveis por todas as formas lineares  não-zero nas variáveis ''X''<sub>''i''</sub> com coeficientes no campo finito '''F'''<sub>''q''</sub>. Em particular, o determinante de Moore [0,1,...,''n''&minus;1] é um produto de tais formas lineares, tomado ao longo de 1+''q''+''q''<sup>2</sup>+...+''q''<sup>''n''–1</sup> representantes de ''n-1'' espaço projetivo dimensional sobre o campo. Esta fatorização é similar à fatoração de [[Matriz de Vandermonde|determinante de Vandermonde]] em fatores lineares

{{notas e referências|col=3}}
*{{Citation | last1=Dickson | first1=Leonard Eugene | author1-link=Leonard Eugene Dickson | title=A Fundamental System of Invariants of the General Modular Linear Group with a Solution of the Form Problem | jstor=1988736 | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | year=1911 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | issn=0002-9947 | volume=12 | issue=1 | pages=75–98}}
*{{Citation | last1=Dickson | first1=Leonard Eugene | author1-link=Leonard Eugene Dickson | title=On invariants and the theory of numbers | origyear=1914 | url=http://books.google.com/books?isbn=0486438287 | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | series=Dover Phoenix editions | isbn=978-0-486-43828-3 | mr=0201389 | year=2004}}
*{{Citation | last1=Rutherford | first1=Daniel Edwin | title=Modular invariants | origyear=1932 | url=http://www.archive.org/details/modularinvariant033204mbp | publisher=Ramsay Press | series=Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No. 27 | isbn=978-1-4067-3850-6 | mr=0186665 | year=2007}}
*{{Citation | last1=Sanderson | first1=Mildred | title=Formal Modular Invariants with Application to Binary Modular Covariants | jstor=1988702 | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | year=1913 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | issn=0002-9947 | volume=14 | issue=4 | pages=489–500}}
*{{Citation | last1=Steinberg | first1=Robert | title=On Dickson's theorem on invariants | url=http://repository.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/dspace/bitstream/2261/1682/1/jfs340309.pdf | mr=927606 | year=1987 | journal=Journal of the Faculty of Science. University of Tokyo. Section IA. Mathematics | issn=0040-8980 | volume=34 | issue=3 | pages=699–707 | access-date=2012-02-17 | archiveurl=https://web.archive.org/web/20120305205421/http://repository.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/dspace/bitstream/2261/1682/1/jfs340309.pdf }}

{{esboço-matemática}}
{{Portal3|Matemática}}

[[Categoria:Matemática]]
[[Categoria:Teoria dos grupos]]
[[Categoria:Teoria de invariantes]]