Mostrar código-fonte de Isomorfismo (teoria das categorias)

Um '''isomorfismo''' (ou '''iso'''), no contexto de [[teoria das categorias]], é uma [[morfismo (teoria das categorias)|seta]] invertível. Mais precisamente, uma seta <math>h:a\rightarrow b</math> numa [[categoria (teoria das categorias)|categoria]] <math>C</math> é um ''isomorfismo'' se e somente se existe <math>g:b\rightarrow a</math> tal que <math>g\circ h=id_a</math> e <math>h\circ g=id_b</math>. Nesse caso, <math>g</math>, a ''inversa'' de <math>f</math>, é única, e denotada por <math>f^{-1}</math>.

Toda seta iso é [[monomorfismo (teoria das categorias)|mono]] e [[epimorfismo (teoria das categorias)|epi]], embora o contrário não seja necessariamente verdade. Por exemplo, na categoria formada por dois objetos <math>a</math> e <math>b</math>, os morfismos identidade, e um único morfismo <math>f:a\rightarrow b</math>, <math>f</math> é um monomorfismo e um epimorfismo, porém não é um isomorfismo.

Em [[categoria dos conjuntos|'''conjuntos''']] podemos pensar uma seta iso como sendo uma função bijetora.

== Igualdade e isomorfismo ==
Isomorfismo é uma das noções mais importantes em uma categoria. Por isso, é comum encontrar em várias demonstrações e construções as expressões '''único, a menos de isomorfismo''' e '''único, a menos de único isomorfismo'''.

O que estas expressões querem dizer é que determinado objeto pode existir como várias versões, mas todas estas versões são isomórficas. Na noção mais forte, este isomorfismo entre dois objetos também é único.

Para efeitos práticos, o isomorfismo faz com que objetos isomórficos comportem-se da mesma forma. Tudo que pode ser feito com um deles pode ser feito com o outro - basta compor setas com o isomorfismo entre estes objetos.

=== Exemplos ===
* Na [[teoria dos corpos]], o [[fecho algébrico]] existe é único a menos de isomorfismo. Por exemplo, o corpo <math>\mathbb{R}\,</math> pode ter como fecho algébrico um determinado conjunto de matrizes 2x2 ou um conjunto de pares ordenados ''(a,b)'' no qual é definida uma operação de produto, mas estas duas representações de <math>\mathbb{C}\,</math> são isomórficas. O isomorfismo, porém, não é único.
* Na construção de um corpo ordenado arquimediano completo, pode-se usar os [[cortes de Dedekind]] ou classes de equivalência de [[sequências de Cauchy]]. Estas duas representações de <math>\mathbb{R}\,</math> na categoria dos corpos são isomórficas, e o isomorfismo é único - diz-se portanto que o corpo ordenado arquimediano completo nesta categoria é único a menos de um único isomorfismo.

== Bibliografia ==
* ASPERTI, Longo. ''Categories, Types, and Structures''. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London.
* BARR, Michael; WELLS, Charles. ''Category Theory for Computing Science'', Prentice Hall, London, UK, 1990.
* MAC LANE, Saunders. ''Categories for the Working Mathematician''. 2 ed. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer, 1998. ISBN 0-387-98403-8.

==Ver também==
* [[Matemática]]
* [[Ciência da computação]]
* [[Isomorfismo (teoria dos grupos)]] - caso particular para a [[categoria dos grupos]]

==Ligações externas==
* [ftp://ftp.di.ens.fr/pub/users/longo/CategTypesStructures/book.pdf Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo]
* [https://web.archive.org/web/20071006145952/http://minerva.ufpel.tche.br/~campani/cat.pdf Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani]

{{teoria das categorias}}
{{esboço-matemática}}

[[Categoria:Teoria das categorias]]