Mostrar código-fonte de Lei dos gases ideais

{{Termodinâmica|equações}}
A '''lei dos gases ideais''' é a chamada [[equação de estado]] do [[gás ideal]], também chamado de ''[[gás]]'' ''perfeito''. Empiricamente, em tal lei, observam-se uma série de relações entre a [[temperatura]], a [[pressão]] e o [[volume]] do gás que dão lugar à lei dos gases ideais, enunciada pela primeira vez por [[Émile Clapeyron]], em [[1834]],<ref>{{citar web|url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4336791/f157.table|título = Mémoire sur la puissance motrice de la chaleur|data = 1834|autor = Clapeyron, E|publicado = Bibliothèque nationale de France}}</ref> o que confere, em muitos casos, o título '''[[Lei dos gases ideais|equação de Clapeyron]]''' para a equação de estado dos gases ideais.

== A equação de estado ==
O comportamento termodinâmico mais simples é observado nos gases<ref name=":3">{{citar livro|nome = Randall|sobrenome = Knight|título = Physics|ano = 2009|isbn = 978-85-7780-478-8|subtítulo = A strategic approach|edição = 2ª|volume = 2}}</ref> e, por esse motivo, facilmente verifica-se que, para [[fluido]]s homogêneos em geral, um estado de [[equilíbrio termodinâmico]] é inteiramente caracterizado por qualquer par entre as variáveis ''P'', ''V'' e ''T'' (respectivamente, [[pressão]], [[volume]] e [[temperatura]]). Esse princípio implica que a terceira das variáveis é função das outras duas, e, portanto, existe uma relação funcional do tipo  <math display="inline">f(P, V, T, n)=0</math>, que relaciona as três principais propriedades de um gás e que é chamada de ''equação de estado do fluido''.
[[Ficheiro:P 20151001 203627 1(1).jpg|left|thumb|Gráfico de ''PV'' versus ''nT'' para um gás ideal. A inclinação da reta é dada pela [[Constante universal dos gases perfeitos|constante universal dos gases ideais]].|251x251px]]
Há uma quarta grandeza na relação acima, <math display="inline">n</math>, que representa o número de [[mol]]s do gás. Embora essa grandeza não apresente dependência direta das outras três, a sua relação com elas provou ser de importância para o desenvolvimento da equação, a partir do momento em que se percebeu que o número de mols poderia influenciar nas demais propriedades gasosas envolvidas em um determinado processo. Em outras palavras, os quatro parâmetros apresentados acima são dependentes entre si e, alterando-se o valor de um deles, um ou mais também serão alterados. Isso contribui para uma ''mudança de estado'' do sistema.<ref name=":3" />

=== Proporcionalidade entre as grandezas ===
Começaram-se pesquisas a respeito do comportamento dos gases de acordo com a variação das variáveis <math display="inline">P</math>, <math display="inline">V</math>, <math display="inline">T</math> e <math display="inline">n</math>. Tabelas e gráficos elaborados em função dessas quatro grandezas mostram que existe uma proporcionalidade entre elas; mais especificamente, em um gráfico ''PV versus nT'', é verificada uma reta com um valor específico de declividade, <math display="inline">R</math>, o que fornece a seguinte razão:

<math>R= \cfrac{P \cdot V}{n \cdot T} \approx 8.3144598\ \tfrac{J}{K \cdot mol}</math><ref>{{Citar web|título = CODATA Value:    molar gas constant|url = http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?r|obra = physics.nist.gov|acessadoem = 2015-10-03}}</ref>,

em que R é a [[Constante universal dos gases perfeitos|constante universal dos gases reais ou perfeitos]] e, como a própria nomenclatura sugere, é igual para todos os gases. Essa proporcionalidade entre tais grandezas levou, finalmente, à equação:

<math>{P \cdot V} = n \cdot R \cdot T</math>,

conhecida como lei dos gases ideais. Ela descreve normalmente a relação entre pressão, volume, temperatura e o número de mols (quantidade) de um determinado gás de comportamento ideal. As unidades das grandezas no [[Sistema Internacional de Unidades|Sistema Internacional]] são:
*<math>P\!</math>  é a pressão em [[Pascal (unidade)|pascal]];
*<math>V\!</math> é o volume em [[metro cúbico]];
*<math>n\!</math> é o número de [[mol]]s da amostra gasosa;
*<math>R\!</math>  é a [[constante universal dos gases perfeitos]];
*<math>T\!</math>  é a temperatura em [[kelvin]].

=== Valores de R em diferentes unidades ===
{| {{tablabonita|text-align:center;}}
! align="center" | Valores de R
|-
|<math>8,3144598 \quad \frac{J}{K \cdot mol}</math>
|-
|<math>0,08205746 \quad \frac{L \cdot atm}{K \cdot mol}</math>
|-
|<math>8,2057459 \cdot 10^{-5} \quad \frac{m^3 \cdot atm}{K \cdot mol}</math>
|-
|<math>8,314472 \quad \frac{L \cdot kPa}{K \cdot mol}</math>
|-
|<math>62,3637 \quad \frac{L \cdot mmHg}{K \cdot mol}</math>
|-
|<math>62,3637 \quad \frac{L \cdot Torr}{K \cdot mol}</math>
|-
|<math>83,14472 \quad \frac{L \cdot mbar}{K \cdot mol}</math>
|-
|<math>1,987 \quad \frac{cal}{K \cdot mol}</math>
|-
|<math>10,7316 \quad \frac{ft^3 \cdot psi}{^oR \cdot lbmol}</math>
|}
==Histórico do desenvolvimento das equações==
[[Ficheiro:Robert boyle.jpg|thumb|[[Robert Boyle]], um dos desenvolvedores da lei para processos isotérmicos de gases ideais.|243x243px]]
Enquanto a divulgação da lei geral foi dada por Clapeyron em 1834, foi o cientista anglo-irlandês [[Robert Boyle]] quem, já em [[1662]], estudou as propriedades dos gases, analisando o efeito da pressão num processo isotérmico, em que a temperatura é constante. Um século e meio depois, os cientistas franceses [[Jacques Alexandre Cesar Charles]] e [[Joseph-Louis Gay-Lussac]] descobriram novas leis envolvendo os gases, utilizando de balões de ar quente e verificando a influência da temperatura nas demais propriedades do gás, como [[pressão]], [[volume]] e [[densidade]]. Das análises desses três pesquisadores proveram as equações para a descrição das transformações ou processos gasosos em condições específicas de pressão, volume e temperatura.<ref name=":0">{{citar livro|nome = Peter|sobrenome = Atkins|título = Chemical Principles: the quest for insight|ano = 2010|isbn = 978-85-407-0038-3}}</ref>

Além deles, o italiano [[Amedeo Avogadro]] demonstrou a relação entre o volume de um gás e o número de [[molécula]]s da amostra, estabelecendo, pois, a realidade dos átomos.<ref name=":0" /> A equação também pode ser derivada pelas interações microscópicas entre as partículas a partir da [[teoria cinética]], tal como conseguido (aparentemente de forma independente) por [[August Krönig]] em [[1856]]<ref>{{citar periódico
 |autor = Krönig, A. |autorlink = August Krönig
 |ano= 1856
 |título= Grundzüge einer Theorie der Gase
 |periódico= [[Annalen der Physik|Annalen der Physik und Chemie]]
 | volume = 99 |páginas= 315–22
 | doi = 10.1002/andp.18561751008
 | bibcode = 1856AnP...175..315K
 |número= 10 |língua=de}} [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15184h/f327.table Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp.&nbsp;315–22).]</ref> e por [[Rudolf Clausius]] em [[1857]].<ref>{{citar periódico
 |autor = Clausius, R. |autorlink = Rudolf Clausius
 |ano= 1857
 |título= Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen
 |periódico= [[Annalen der Physik und Chemie]]
 | volume = 176 |páginas= 353–79
 | doi = 10.1002/andp.18571760302
 | bibcode = 1857AnP...176..353C
 |número= 3 |língua=de}} [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15185v/f371.table Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp.&nbsp;353–79).]</ref>

== Funcionalidade ==
Pelo fato de o gás ideal ser, na verdade, um gás hipotético, formado por partículas pontuais, sem atração ou repulsão entre elas e cujos [[Colisão|choques]] são [[Colisão elástica|perfeitamente elásticos]] (o que, teoricamente, ocorre com conservação do [[momento linear]], [[Momento angular|angular]] e da [[energia cinética]] do sistema<ref>{{citar livro|nome = David|sobrenome = Halliday|título = Fundamentals of Physics: Volume 1}}</ref>), as condições reais para que se esteja tratando de um gás ideal são conjecturais.

Entretanto, as propriedades de um gás ideal são aproximadamente verificadas por [[Gás real|gases reais]] a circunstâncias bastante específicas. Os que mais se aproximam ao comportamento físico-químico de um gás ideal são os gases monoatômicos em condições de baixa pressão e alta temperatura. Isso ocorre pois, quanto maior é o decréscimo da pressão, mais afastadas as moléculas ficam umas das outras e, consequentemente, as forças de atração e repulsão entre partículas tende a zero e elas passam a ocupar uma parte insignificante do volume total. Tal fato também explica o porquê de moléculas monoatômicas terem comportamento mais próximo do ideal, devido ao volume ocupado por elas no espaço.

Na prática, a lei dos gases ideais trata-se de uma excelente aproximação ao cenário real. Experimentos demonstram que o modelo de gás ideal é adequado para descrever o comportamento dos gases quando duas condições são satisfeitas:<ref name=":3" />
# A [[densidade]] é baixa (isto é, os átomos ocupam um volume muito menor do que o do recipiente);
# A temperatura deve estar abaixo do ponto de [[condensação]].

== Demonstração pela teoria cinética dos gases ==
[[Ficheiro:Boltzmann-Ludwig.jpg|thumb|[[Ludwig Boltzmann]], um dos estudiosos da teoria cinética dos gases.]]
De acordo com a teoria cinética molecular dos gases, desenvolvida por [[Ludwig Boltzmann]] e [[James Clerk Maxwell|James Maxwel]], os gases ideais assumem algumas simplificações a nível molecular a fim de calcular suas propriedades. Partindo desse princípio, assumimos que um gás é formado por [[átomo]]s (isolados ou unidos em [[molécula]]s) que ocupam totalmente o ''volume'' do recipiente em questão, aplicam ''pressão'' sobre suas paredes e estão confinados a uma determinada ''temperatura''. Essas três principais propriedades dos gases estão diretamente relacionadas com o movimento dos átomos, e, por esse motivo, a teoria cinética molecular é o alicerce dos fundamentos do estudo dos gases. O volume está diretamente relacionado à liberdade que os átomos têm para mover-se dentro de um recipiente; a pressão é proveniente das colisões dos átomos com as paredes do envoltório e a temperatura possui estreito vínculo com a energia cinética das moléculas.<ref name=":1">{{citar livro|nome = David|sobrenome = Halliday|título = Fundamentals of Physics: Volume 2|ano = 2011|isbn = 978-85-216-1904-8|autorlink = David Halliday |nome2 = Robert|sobrenome2 = Resnick|nome3 = Jearl|sobrenome3 = Walker|editora = John Wiley & Sons, Inc.|volume = II|edição = 5ª}}</ref>

De acordo com os pressupostos dessa teoria, são observáveis diversas características moleculares do gás:<ref name=":1" />
* Todo gás ideal é formado por pequenas partículas, ou moléculas, e o número delas é muito grande;
* Tais moléculas gasosas movem-se a altas [[velocidade]]s, em linha reta e desordenadamente;
* Um gás ideal exerce uma pressão contínua sobre as paredes do recipiente que o contém, devido aos incessantes choques das moléculas em suas paredes;
* Os choques são perfeitamente elásticos, o que se traduz em conservação de energia cinética e de momento;
* O seu tamanho é insignificante perto do volume do reservatório;
* Não ocorrem reações de atração e repulsão corpuscular entre as partículas;
* A energia cinética média de translação de uma molécula é diretamente proporcional à [[temperatura absoluta]] do gás;

A partir da análise da cinética das partículas de um gás, é possível chegar à equação dos gases ideais.[[Ficheiro:Teoria cinética dos gases.gif|thumb|Representação esquemática de uma molécula gasosa, de massa <math display="inline">m</math> e componente horizontal da velocidade <math display="inline">v_x</math>, movimentando-se no espaço tridimensional dentro de um recipiente.|220x220px|left]]
=== Dedução<ref>{{Citar web|título = Derivation of PV=nRT, The Equation of Ideal Gas|url = http://quantumfreak.com/derivation-of-pvnrt-the-equation-of-ideal-gas/|obra = quantumfreak.com|acessadoem = 2015-10-12}}</ref> ===
Como o interesse é provar a equação <math display="inline">PV=nRT</math>, em que todas as grandezas são [[Grandeza escalar|escalares]], é conveniente trabalhar com o módulo dos [[Grandeza vetorial|vetores]] velocidade, deslocamento, força e momento linear no desenvolvimento abaixo.

Considerando uma partícula gasosa viajando no espaço de um recipiente retangular de [[Aresta|lado]] <math display="inline">L</math>, e [[área]] de cada parede <math display="inline">A</math>, tem-se que o [[tempo]] entre as colisões com uma mesma parede é a [[distância]] percorrida até a nova colisão acontecer dividida pela componente horizontal da velocidade: <math>\,\!\Delta t = \cfrac{2{L}}{{v_x}}</math>. Além disso, a [[frequência]] de colisões com a parede é dada por <math>\,\!f= \,\!\cfrac{1}{\Delta t}=\,\!\cfrac{{v_x}}{2{L}}</math>.

Pela [[Leis de Newton|segunda lei de Newton]], a [[força]] é a [[derivada]] do momento linear em relação ao tempo, <math>{F}= \cfrac{d{p}}{dt}=m{a}</math>. Devido a isso, tem-se que a força média de uma molécula será dada pela equação: <math display="inline">\overline {{F}}=\cfrac{\Delta {p}}{\Delta t}</math>.

Como a variação do momento linear é:

<math display="inline">|\Delta {p}|=|{p_f} - {p_0}| = |(-m{v_x})-(m{v_x})| = 2m{v_x}</math>

, combinando-se as equações do tempo e da frequência entre colisões e da variação do momento com a equação da força média, tem-se que:

<math>\overline {{F}}=\Delta {p} \cdot\cfrac{1}{\Delta t}={\Delta {p}}\cdot f=2m{v_x}\left(\cfrac{{v_x}}{2{L}}\right)=\cfrac{m{v_x^2}}{{L}}</math>

A pressão que uma única molécula <math display="inline">i</math> exerce, <math display="inline">P_i</math>, é o módulo do vetor força média sobre unidade de área <math display="inline">A</math>,na qual há contato. Dessa maneira,<math>P_i = \cfrac{\mid {\overline F}\mid}{A}= \cfrac{\left (\mid \tfrac{m{v_x^2}}{{L}}\mid \right)}{A}=\cfrac{m \cdot \mid{{v^2_x}}\mid}{\mid{L}\mid}\cdot \cfrac{1}{A}=\cfrac{mv_x^2}{AL}</math>

Como o volume do recipiente é <math display="inline">V=AL</math>, pode-se reescrever a equação da pressão exercida por uma partícula como <math display="inline">P_i=\cfrac{m{v_x^2}_i}{V}</math>, em que <math display="inline">v_x^2= {v^2_x}_i</math>, a componente horizontal da velocidade de uma partícula <math display="inline">i</math> de gás. Expandindo para <math display="inline">N</math> moléculas, obtém-se:

<math>P_N = \frac{m}{V}({v^2_x}_1 + {v^2_x}_2 + {v^2_x}_3 + \cdot\cdot\cdot + {v^2_x}_{N-1} + {v^2_x}_N) = \sum_{i=1}^{N}\left (\frac{m}{V}\right){v^2_x}_i</math>

Para simplificar a equação, é necessário aplicar a ''[[Valor eficaz|raiz do valor quadrático médio]]'' (ou ''root mean square,'' RMS) nas componentes horizontais das <math display="inline">N</math> partículas do gás. Dessa forma, em vez de analisar a soma das <math display="inline">N</math> partículas do gás, é possível substituir o somatório pela velocidade média de todas as moléculas multiplicada pelo número de moléculas, <math display="inline">N\cdot\overline{v^2_x}</math>.  Daí, obtém-se que:

<math>\sum_{i=1}^{N}\left (\frac{m}{V}\right){v^2_x}_{i}=\frac{m}{V}\cdot N\overline{v^2_x}=\frac{Nm\overline{v^2_x}}{V}=P_N</math>

Na equação acima, aplicou-se a média da velocidade <math display="inline">{v^2_x}_i</math> de uma partícula para avaliar a velocidade média <math display="inline">(N)\cdot\overline{v^2_x}</math> de todas as <math display="inline">N</math> partículas do gás. Na prática, entretanto, é sabido que as partículas do gás não se movem apenas em componentes horizontais de velocidade. Como estão no espaço tridimensional, as partículas têm liberdade para movimentar-se em direções arbitrárias. Por isso, não é possível considerar os cálculos para uma partícula de massa <math display="inline">m</math> movendo-se apenas no [[Sistema de coordenadas cartesiano|eixo]] <math display="inline">x</math>. Dessa maneira, levando em conta as três possíveis componentes da velocidade da partícula, tem-se que: <math display="inline">\overline {v^2} = \overline {v^2_x} + \overline {v^2_y} + \overline {v^2_z}</math>. Pelo fato de haver um grande número de moléculas de gás no recipiente (um dos pressupostos da teoria cinética dos gases), pode-se assumir que há um número aproximadamente igual de moléculas movendo-se em cada uma das direções. Isso resulta em: <math>\overline {v^2_x} \approx \overline {v^2_y} \approx \overline {v^2_z}</math>. Combinando as duas últimas equações, tem-se que <math display="inline">\overline {v^2} \approx 3 \overline {v^2_x} \Rightarrow \overline {v^2_x} \approx \frac {\overline {v^2}}{3}</math>  , e, assim, a equação da pressão exercida por <math display="inline">N</math> moléculas, admitindo <math display="inline">P_N = P</math> e <math display="inline">v_x^2 = \tfrac{\overline{v^2}}{3}</math>, torna-se:

<math>P = \cfrac{Nm{\overline{v^2}}}{3V}</math>

Entretanto, para simplificar a equação, em vez de trabalhar com a velocidade, é definida a temperatura <math display="inline">T</math> do gás como uma medida do grau de agitação das moléculas. Isso é feito pelo fato de medir a temperatura ser mais fácil do que medir a velocidade das partículas. Aproveitando-se do fato de que a velocidade é relacionada à energia cinética <math display="inline">K</math>, tem-se que a energia cinética é proporcional à temperatura:

<math>K \propto T</math>

<math>K = \cfrac{mv^2}{2} \Rightarrow \cfrac{mv^2}{2} \propto T</math>

Para relacionar a equação da pressão adquirida com as relações acima, tem-se que:

<math>K = \cfrac{mv^2}{2} \Rightarrow mv^2 = 2K \Rightarrow \cfrac{mv^2}{3} = \cfrac{2K}{3}</math>

Como a temperatura é proporcional à energia cinética, é possível escrever que:

<math display="inline">\cfrac{mv^2}{3}=\cfrac{2K}{3}=kT</math>, sendo <math display="inline">k</math> uma constante com unidade <math display="inline">\tfrac{J}{K}</math> (''joule'' por ''kelvin'').

Finalmente, substituindo na equação <math display="inline">P = \cfrac{Nm{\overline{v^2}}}{3V}</math>, obtém-se:

<math>P = \cfrac{N}{V} \cdot \cfrac{2K}{3} = \cfrac{N}{V} \cdot kT = \cfrac{NkT}{V}</math>

Pelo fato de uma molécula ser muito pequena, não é conveniente trabalhar com o número de moléculas <math display="inline">N</math>. Portanto, dividimos o número de moléculas pelo [[Constante de Avogadro|número de Avogrado]], <math display="inline">N_a</math>, para obter o número de mols, <math display="inline">n</math>, do gás em questão.

<math>n = \cfrac{N}{N_a}</math>

Isso é feito apenas para aplicar a equação da pressão em um contexto macroscópico, que não dependa do elevado número <math display="inline">N</math> de moléculas. Como dividimos <math display="inline">N</math> por <math display="inline">N_a</math>, é necessário que a constante <math display="inline">k</math> seja multiplicada pelo número de Avogrado, criando uma segunda constante, que verifica-se ser a constante <math display="inline">R</math>. Assim, tem-se que:

<math>R = k \cdot N_a \Rightarrow k = \cfrac{R}{N_a}</math>. Substituindo os termos na equação principal, ter-se-á:

<math>P = \cfrac{N \cdot k \cdot T}{V} \Rightarrow P=\cfrac{\left(n \cdot N_a\right) \cdot \left(\tfrac{R}{N_a}\right) \cdot T}{V} \Rightarrow P = \cfrac{n \cdot R \cdot T}{V}</math>

De fato, se isolarmos a constante <math display="inline">R</math>, obteremos sempre a mesma razão. A essa constante foi dada o nome de [[constante universal dos gases perfeitos]]. À constante <math display="inline">k</math>, por vezes denotada por <math display="inline">k_b</math>, o quociente da constante universal dos gases pelo número de Avogrado, foi dado o nome [[constante de Boltzmann]], que foi um dos pesquisadores que participaram da determinação das equações acima. Ao isolar cada uma das constantes na equação, obtemos sempre os mesmos valores para <math display="inline">k_b</math> e<math display="inline">R</math>, sendo, na equação acima, <math display="inline">k=k_b</math>:<math>k_b = \cfrac{P \cdot V}{N \cdot T} \approx 1,38064852 \cdot 10^{-23}\ \tfrac{J}{K}</math><ref>{{Citar web|título = CODATA Value:    Boltzmann constant|url = http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?k|obra = physics.nist.gov|acessadoem = 2015-10-12}}</ref>

<math>R = \cfrac{P \cdot V}{n \cdot T} \approx 8,3144598  \ \tfrac{J}{mol \cdot K}</math>

Nas duas relações acima,
* <math display="inline">P</math> é a [[pressão]], com unidade no Sistema Internacional <math display="inline">Pa \equiv \tfrac{N}{m^2}</math>.
* <math display="inline">V</math> é o [[volume]], com unidade no Sistema Internacional <math display="inline">m^3</math>.
* <math display="inline">T</math> é a [[temperatura]], com unidade no Sistema Interacional <math display="inline">K</math>.
* <math display="inline">N</math> é o número de [[molécula]]s, adimensional.
* <math display="inline">n</math> é o número de [[mol]]s do gás, com unidade no Sistema Internacional <math display="inline">mol</math>.
* <math display="inline">k_b</math> é a [[constante de Boltzmann]], com unidade no Sistema Internacional <math display="inline">\tfrac{J}{K}</math>.
* <math display="inline">R</math> é a [[constante universal dos gases perfeitos]], com unidade no Sistema Internacional <math display="inline">\tfrac{J}{mol \cdot K}</math>.
Finalizando a dedução da lei dos gases ideais, tem-se que, na equação <math display="inline">P=\cfrac{Nk_bT}{V}=\cfrac{nRT}{V}</math>, isolando o produto <math display="inline">PV</math>, pode-se obter a seguinte equação:<math>P \cdot V = N\cdot k_b\cdot T</math>

Essa é uma versão alternativa da lei dos gases ideais que utiliza a constante de Boltzmann e o número de moléculas da amostra no lugar da constante universal dos gases e o número de mols do gás. Mas, igualmente possível, ao isolar o produto da pressão com o volume, obtém-se, finalmente, a equação da lei dos gases perfeitos:

<math>P \cdot V=n \cdot R\cdot T</math>

A constante de Boltzmann, <math display="inline">k_b</math>, pode ser considerada como a "constante dos gases por molécula", ao passo que <math display="inline">R</math> é a "constante dos gases por mol".<ref name=":3" />

==A equação de estado para gases reais==
Um [[gás real]] é a denominação dada a qualquer gás existente na natureza, com a exceção de gases presentes em condições específicas de pressão baixa e temperaturas elevadas, nas quais o gás apresenta comportamentos ideais. Para os gases reais, a equação <math display="inline">PV=nRT</math> não é válida. Esses gases não podem ser modelados ou explicados pelas relações encontradas na equação para os gases ideais, pelo fato de seu desenvolvimento ter sido feito levando em consideração os pressupostos da teoria cinética dos gases aplicadas aos gases perfeitos.
[[Ficheiro:Johannes Diderik van der Waals.jpg|thumb|219x219px|[[Johannes Diderik van der Waals]], o desenvolvedor da equação de estado dos gases reais.]]
O físico neerlandês [[Johannes Diderik van der Waals]], tomando em conta as forças intermoleculares e volumes intermoleculares finitos, aspectos desprezados no cálculo das propriedades dos gases ideais, obteve a seguinte equação para gases reais, também chamada de [[equação de Van der Waals]]:

:<math>\left(P+\frac{a\cdot n^2} { V^2}\right) \cdot (V-nb) = n \cdot R \cdot T \,\!</math>

, onde:
*<math>P\!</math>  é a pressão do gás ideal;
*<math>V\!</math> é o volume do gás ideal;
*<math>n\!</math> é o número de mols de gás;
*<math>R\!</math>  é a [[constante universal dos gases perfeitos]];
*<math>T\!</math>  é a temperatura do gás;
*<math>a\!</math> e <math>b\!</math>  são constantes determinadas pela natureza do gás com o fim de que haja a maior congruência possível entre a equação dos gases reais e o comportamento observado experimentalmente.
=== Aplicação a processos isotérmicos ===
Uma das mais evidentes aplicações da equação é o cálculo do [[Trabalho (física)|trabalho]] <math display="inline">W</math> realizado pelo gás real ao se expandir ou comprimir de um volume inicial <math display="inline">V_i</math> a um volume final <math display="inline">V_f</math>. Um dos preceitos da [[termodinâmica]] diz que:

<math>W = \int\limits_{V_i}^{V_f}P(V)dV</math>

Num processo isotérmico, a temperatura é constante. Logo, pode-se reescrever a equação de Van der Waals para o processo isotérmico como:<math>\left(P+\frac{k_1} { V^2}\right) \cdot (V-k_2) = k_3</math>

, em que <math display="inline">k_1=an^2</math>, <math display="inline">k_2=nb</math> e <math display="inline">k_3=nRT</math> são constantes. Isolando <math display="inline">P</math> nessa equação, tem-se:<math>PV - Pk_2 + \frac{k_1}{V} - \frac{k_1k_2}{V^2}=k_3  \Rightarrow P = \frac{k_3}{V-k_2}+\frac{k_1k_2}{V^2(V-k_2)}-\frac{k_1}{V(V-k_2)} = P(V)</math>

Assim, tem-se que:<math>W = \int\limits_{V_i}^{V_f} \left [\frac{k_3}{V-k_2}+\frac{k_1k_2}{V^2(V-k_2)}-\frac{k_1}{V(V-k_2)} \right]dV =
k_3 \int\limits_{V_i}^{V_f}\frac{dV}{V-k_2}\ + \ k_1k_2\int\limits_{V_i}^{V_f}\frac{dV}{V^3-V^2k_2}\ - \ k_1\int\limits_{V_i}^{V_f}\frac{dV}{V^2-Vk_2}
=
k_3(I_1)+k_1k_2(I_2)-k_1(I_3)</math>

Nesse caso, tem-se três [[Integral|integrais]] definidas que podem ser calculadas por [[Integração por substituição|substituição]] e por [[frações parciais]].<ref>{{citar livro|nome = Howard|sobrenome = Anton|título = Calculus|ano = 2005|isbn = 978-0471472445|nome2 = Irl|sobrenome2 = Bivens|nome3 = Stephen|sobrenome3 = Davis|subtítulo = Early Transcendentals Combined|edição = 8ª|editora = Wiley|volume = 2}}</ref>

<math>I_1=\int\limits_{V_i}^{V_f}\frac{dV}{V-k_2} =\ln{\left(\frac{V_f-k_2}{V_i-k_2}\right)}</math>

<math>I_2=\int\limits_{V_i}^{V_f}\frac{dV}{V^3-V^2k_2}= -\frac{1}{k_2^2}\ln{\left(\frac{V_f}{V_i} \right)} + \frac{1}{k_2}\left(\frac{1}{V_f}-\frac{1}{V_i}\right) + \frac{1}{k^2_2}\ln{\left(\frac{V_f-k_2}{V_i-k_2}\right)}</math>

<math>I_3=\int\limits_{V_i}^{V_f}\frac{dV}{V^2-Vk_2}
=-\frac{1}{k_2}\ln{\left(\frac{V_f}{V_i}\right)}+\frac{1}{k_2}\ln{\left(\frac{V_f-k_2}{V_i-k_2}\right)}</math>

A partir disso, pode-se concluir que:

<math>\begin{align}
W
&{}= k_3\left[\ln{\left(\frac{V_f-k_2}{V_i-k_2}\right)} \right]+k_1k_2\left[-\frac{1}{k_2^2}\ln{\left(\frac{V_f}{V_i} \right)} + \frac{1}{k_2}\left(\frac{1}{V_f}-\frac{1}{V_i}\right) + \frac{1}{k^2_2}\ln{\left(\frac{V_f-k_2}{V_i-k_2}\right)} \right]-k_1\left[-\frac{1}{k_2}\ln{\left(\frac{V_f}{V_i}\right)}+\frac{1}{k_2}\ln{\left(\frac{V_f-k_2}{V_i-k_2}\right)}\right] \\

&{}=k_3\ln{\left(\frac{V_f-k_2}{V_i-k_2}\right)}+k_1\left(\frac{1}{V_f}-\frac{1}{V_i}\right) \\

\end{align}</math>

Esse desenvolvimento informa que a partir da equação de Van der Waals pode-se calcular o trabalho realizado pelo gás real numa expansão ou compressão isotérmica. Como <math display="inline">k_1</math>, <math display="inline">k_2</math> e <math display="inline">k_3</math> são constantes que dependem apenas de <math display="inline">n</math>, <math display="inline">R</math> e <math display="inline">T</math>, que são conhecidos, além de <math display="inline">a</math> e <math display="inline">b</math>, que são valores tabelados para cada gás na natureza, o valor do trabalho realizado isotermicamente por um ''gás real'' dependerá apenas dos valores já conhecidos e dos valores do volume inicial e final.

Nota-se que:
* <math display="inline">V_f>V_i \Rightarrow W>0</math>. Nesse caso, há uma expansão isotérmica e o trabalho é positivo;
* <math display="inline">V_f<V_i \Rightarrow W<0</math>. Nesse caso, há uma compressão isotérmica e o trabalho é negativo.
* <math display="inline">V_f=V_i \Rightarrow W=0</math>. Nesse caso, não há expansão ou compressão efetiva do gás, e o trabalho é nulo. Essa constatação é óbvia, visto que, da definição mais primitiva de trabalho, <math display="inline">W = \int\limits_{V_i}^{V_f}P(V)dV</math>, e, caso os limites de integração sejam iguais, a integral é nula.
Para um gás ideal, certamente, o cálculo é mais simples. Num processo isotérmico, ter-se-á a seguinte importante relação:<ref name=":1" />

<math>W=\int\limits_{V_i}^{V_f}P(V)dV=\int\limits_{V_i}^{V_f}\frac{nRT}{V}dV=nRT\int\limits_{V_i}^{V_f}\frac{dV}{V}=nRT\ln{\left(\frac{V_f}{V_i}\right)}</math>

==Equação geral dos gases ideais==
Se a constante <math display="inline">R</math> é isolada na equação dos gases ideais, tem-se uma relação de proporcionalidade entre as grandezas de estado da massa gasosa, que é sempre a mesma. Com isso, pode-se analisar o comportamento do gás em processos e transformações gasosas, considerando que, para cada etapa de uma transformação gasosa, a constante <math display="inline">R</math> é a mesma e, assim, torna-se possível analisar as demais propriedades do gás.

Isolando a constante universal, tem-se:

<math>R = \frac{P\cdot V}{n \cdot T}</math>

O resultado numérico dessa equação é sempre o mesmo (aproximadamente 8,314, o valor da constante universal dos gases ideais) e, devido a isso, a qualquer situação de um processo gasoso as grandezas <math display="inline">P</math>, <math display="inline">V</math>, <math display="inline">T</math> e <math display="inline">n</math> serão proporcionais entre si. Isso implica que em uma determinada etapa de um processo gasoso, ter-se-á a seguinte relação:

<math>\frac{P_1 \cdot V_1}{n_1 \cdot T_1}=\frac{P_2 \cdot V_2}{n_2 \cdot T_2}</math>

A equação acima é também chamada de ''lei dos gases ideais combinada'', e é uma consequência direta da lei dos gases ideais, e não uma nova lei.<ref name=":0" /> Com isso, é possível verificar qualquer valor de uma dessas quatro grandezas a partir do conhecimento das demais.

==Processos gasosos particulares==
Ao aplicar a equação geral dos gases ideais, nem sempre tem-se conhecimento ou informações a respeito de todas as grandezas físicas do gás. Entretanto, ao estudar casos em que algumas das grandezas são constantes, foram observados quatro situações particulares em que são verificáveis relações de proporção entre duas das grandezas do gás. São processos realizados de forma que um par das quatro variáveis (<math display="inline">P</math>, <math display="inline">V</math>, <math display="inline">T</math> e <math display="inline">n</math>) é mantido constante, de forma que duas fiquem dependentes entre si, numa proporção sempre verificável para determinado gás.

Foram expostos quatro particularidades do gás específicas, que seguem abaixo.<ref name=":3" />

===Processo isotérmico — Lei de Boyle-Mariotte===
{{Artigo principal|Lei de Boyle-Mariotte}}
[[Ficheiro:Legge di Boyle dati originali.jpg|left|thumb|Exemplo de um gráfico <math display="inline">P(V)</math>, em que a curva é hiperbólica.]]
Em 1662, o físico inglês [[Robert Boyle]] publicou a lei que, posteriormente, receberia seu nome.<ref>J Appl Physiol 98: 31-39, 2005. Free download at [http://jap.physiology.org/cgi/content/full/98/1/31 Jap.physiology.org]</ref> Ele realizou um experimento em tubos manométricos em U ou em J, analisando colunas de mercúrio em contato com o ar, e verificou que, em um [[Transformação isotérmica|processo isotérmico]], a grandeza <math display="inline">T</math> é constante (<math display="inline">T_i=T_f</math>).<ref name=":0" /><ref name=":2">{{citar livro|nome = Herch|sobrenome = Moysés Nussenzveig|título = Curso de Física Básica: Volume 2}}</ref> Além disso, foi considerado que o gás não varia sua quantidade de matéria, <math display="inline">n</math>. Isso significa que, se um gás vai de um estado inicial para um estado final, o processo não irá modificar a quantidade de matéria existente ou sua temperatura. Anos depois, em 1676, o cientista francês [[Edme Mariotte]] realizou o mesmo experimento de Boyle, publicando seus resultados na França.

Dessa forma, a partir da equação geral dos gases ideais, ter-se-á apenas a pressão e o volume do gás operando, o que implica na [[lei de Boyle-Mariotte]], também conhecida por, simplesmente, lei de Boyle:<blockquote>''A temperatura constante, o volume de uma dada quantidade de gás varia inversamente com a pressão.''<ref name=":2" /></blockquote>Em outras palavras, nesse processo, o volume do gás é inversamente proporcional à sua pressão, e a relação entre <math display="inline">P</math> e <math display="inline">V</math> é constante em todas as etapas do processo. Dessa maneira, tem-se a relação:

<math display="inline">P\cdot V = cte</math>

Isso implica que, ao isolar <math>P</math> ou <math>V</math>, obtém-se uma função do tipo <math display="inline">f(x)=\cfrac{(cte)}{x}</math>, que fornece um gráfico ''PV'' com uma [[hipérbole]], nos quais as [[Assintota|assíntotas]] são os [[Sistema de coordenadas cartesiano|eixos coordenados]] <math>P</math> e <math>V</math>. A curva corresponde a uma [[isoterma]]. Quanto mais externa à origem a curva for, maior será a temperatura do processo em questão.

Aplicando isso na equação geral dos gases ideais, tem-se que:<blockquote><math>P_1 \cdot V_1 = P_2 \cdot V_2</math></blockquote>, em que <math display="inline">T</math> e <math display="inline">n</math> são constantes.

Tem-se que, para um processo isotérmico, o trabalho realizado por um gás sempre será <math>W=nRT \ln\left(\tfrac{V_2}{V_1}\right)</math>,<ref name=":1" /> que corresponde à área abaixo do gráfico hiperbólico de um volume inicial a um volume final.

===Processo isobárico — Lei de Charles===
{{Artigo principal|Lei de Charles}}Em 1787, o físico francês [[Jacques Alexandre Cesar Charles]], analisando o [[Coeficiente de dilatação térmica|coeficiente de dilatação volumétrico]] dos gases (<math display="inline">\beta</math>), verificou que, em um [[Transformação isobárica|processo isobárico]], a grandeza <math display="inline">P</math> é constante (<math display="inline">P_i=P_f</math>). Além disso, para a lei de Charles, o gás não muda sua quantidade de mols, <math display="inline">n</math>. Nesse processo, o gás que vai de um estado inicial para um estado final não tem modificado seu número de mols ou sua pressão absoluta, e as únicas grandezas que mudam são o volume e a temperatura. A relação foi observada por Jacques Charles em 1787 e verificada experimentalmente com maior precisão em 1802, por Gay-Lussac.
[[Ficheiro:Jacques Charles - Julien Léopold Boilly.jpg|thumb|[[Jacques Alexandre Cesar Charles|Jacques Charles]], o desenvolvedor da lei que rege o comportamento do gás numa transformação isobárica.]]
A partir da equação geral dos gases ideais, apenas o volume e a temperatura do gás estarão presentes, numa relação diretamente proporcional, como diz a lei de Charles:<blockquote>''A pressão constante, o volume de um gás é diretamente proporcional à temperatura absoluta.''<ref name=":2" /></blockquote>Ou seja, nesse caso, ter-se-á a relação:

<math display="inline">\cfrac{V}{T}=cte</math>

Isolando <math display="inline">T</math> ou <math display="inline">V</math> na equação acima, obtém-se uma função do tipo <math display="inline">f(x)=(cte) \cdot x</math>, que fornece uma reta, o que fisicamente faz sentido, pelo fato de as grandezas serem diretamente proporcionais entre si.

Aplicando essa relação na equação geral, tem-se:<blockquote><math>\cfrac{V_1}{T_1}=\cfrac{V_2}{T_2}</math></blockquote>, em que <math display="inline">P</math> e <math display="inline">n</math> são constantes.

Um processo isobárico é representado, em um diagrama ''PV'', por uma linha horizontal entre um volume <math display="inline">V_1</math> e um volume <math display="inline">V_2</math>. Isso implica que o trabalho realizado pelo gás num processo isobárico será simplesmente <math>W = P\Delta V</math>. Se o gás é expandido, sua temperatura aumenta e, se é comprimido, sua temperatura diminui, na mesma proporção.

===Processo isocórico — Lei de Gay-Lussac===
{{Artigo principal|Lei de Gay-Lussac}}

Em 1802, [[Louis Joseph Gay-Lussac]] publica os resultados de suas experiências, baseadas nas que Jacques Charles fez em 1787. Considera-se, assim, o processo isobárico para a lei de Charles, e o isocórico para a lei de Gay-Lussac. Num [[Transformação isocórica|processo isocórico]], também chamado de isovolumétrico, a grandeza <math>V</math> é constante (<math display="inline">V_i=V_f</math>), e, além disso, é considerado que <math display="inline">n</math> é constante. O gás que vai de um estado inicial para um estado final mantém seu volume e sua quantidade de matéria, alterando apenas sua pressão e temperatura.

De acordo com a lei de Gay-Lussac:{{Quote|''A volume constante, a pressão de um gás é diretamente proporcional à temperatura absoluta.''}}
[[Ficheiro:Joseph louis gay-lussac.jpg|left|thumb|[[Louis Joseph Gay-Lussac|Joseph Gay-Lussac]], desenvolvedor da relação das propriedades do gás em um processo a volume constante.]]
No processo isocórico, é observável a seguinte relação:

<math display="inline">\cfrac{P}{T}=cte</math>

Assim como na lei de Charles, ao isolar uma das variáveis da relação acima, obtém-se uma função do tipo <math display="inline">f(x) = (cte) \cdot x</math>, que fornece uma reta.

Finalmente, ao aplicar a relação de constância entre o quociente da pressão e do volume de um gás na equação geral dos gases, verifica-se o seguinte:<blockquote><math>\cfrac{P_1}{T_1}=\cfrac{P_2}{T_2}</math></blockquote>, em que <math display="inline">n</math> e <math display="inline">V</math> são constantes.

Num processo isocórico, o gás não realiza trabalho, pois <math display="inline">W = \int\limits_{V_i}^{V_f}P(V)dV</math>. Não existindo variação de volume, tem-se <math display="inline">V_i=V_f</math>, que anula a integral. O processo isocórico é representado, em um diagrama P''V'', por uma linha vertical que vai de <math display="inline">P_1</math> a <math display="inline">P_2</math>. Se o gás é aquecido, sua temperatura final é maior, então <math display="inline">P_2>P_1</math>. O inverso acontece se ele é resfriado.

===Processo isobárico e isotérmico — Lei de Avogadro===
[[Amedeo Avogadro]], em 1811, complementou as de Boyle-Mariotte, Charles e Gay-Lussac. Ela assegura que, num processo a pressão e temperatura constante (isobárico e isotérmico), o volume de qualquer gás é proporcional ao número de mols presente, de tal modo que:

:<math>\cfrac{V_1}{n_1}= \cfrac{V_2}{n_2}</math>

, em que <math display="inline">P</math> e <math display="inline">T</math> são constantes. Esta equação é válida incluindo para gases ideais distintos. A lei, também chamada de ''princípio de Avogadro'', diz que:<blockquote>''Nas mesmas condições de temperatura e pressão, um determinado número de moléculas de gás ocupa o mesmo volume, independentemente de sua identidade química.''<ref name=":0" /></blockquote>Uma forma alternativa de enunciar esta lei é:{{Quote|''O volume que ocupa um mol de qualquer gás ideal a uma temperatura e pressão dadas é sempre a mesma.''}}Essa relação traz uma importante informação a respeito do volume de um gás ideal, pois, a partir disso, um mol de qualquer gás ideal a uma temperatura de ''0 °C'' (aproximadamente ''273,15 K'') e uma pressão de ''1 013,25 hPa'' ocupa um volume de aproximadamente ''22,413&nbsp;litros''.<ref>{{citar web|url = http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?mvolstd&#124;search_for=molar+volume|título = CODATA Value: molar volume of ideal gas|data = |acessadoem = 12/10/2015}}</ref> Essas restrições de pressão, volume, temperatura e número de mols formam as [[Condições normais de temperatura e pressão|CNTP]] (condições normais de temperatura e pressão).<ref name=":0" />

==Exemplos de aplicações reais==
[[Imagem:Aerosol.png|thumb|right|250px|''Spray'' acionado]]

A Lei dos gases possui muitas aplicações no mundo prático, principalmente no meio industrial. Seus fundamentos bastante simples são utilizados na produção de diversos produtos do dia a dia como o [[spray]] aerossol, por exemplo. Uma demonstração da Lei pode ser feita ao descrevermos o funcionamento<ref>{{Citar web|url=http://mundoestranho.abril.com.br/materia/como-funciona-um-spray|titulo=Como funciona um spray? - Mundo Estranho|acessodata=2016-05-17|obra=Mundo Estranho}}</ref> deste modelo de dispositivo:

O corpo do spray é composto basicamente por um reservatório de metal e por uma válvula que se conecta ao fluido (geralmente o produto e um gás [[propelente]]) através de um tubo. Quando acionamos a válvula o líquido que estava pressurizado dentro da embalagem acaba entrando em contato com as condições do ambiente uma vez que a pressão atmosférica é diferente da encontrada no meio. A pressão interna do gás, inicialmente alta, sofre uma diminuição. Isso gera um processo de expansão do volume e o conteúdo do frasco é pulverizado através do tubo conector. Além disso, pode-se perceber a baixa temperatura da lata uma vez que o propelente muda do estado líquido para o gasoso ao ser expelido.

Um exemplo<ref>{{citar livro|nome = David|sobrenome = Halliday|título = Fundamentos da Física: Volume 2|ano = 2007}}</ref> menos usual do comportamento de gases é o que aconteceu com um vagão-tanque durante seu processo de higienização. Equipes de faxina usaram vapor quente, um gás composto por moléculas d’[[água]], para limpar o interior desse vagão. Ao final do expediente a equipe fechou as válvulas do vagão ainda com vapor no seu interior. Neste momento as pressões atmosférica e interna eram iguais, mas durante a noite o vagão esfriou. Com este resfriamento o vapor acabou tendo sua temperatura e seu número N de moléculas diminuídas. Agora observe a seguinte equação:

<math>PV=Nk_bT</math>.

O lado direito da igualdade foi diminuído e como o volume se manteve constante, a pressão interna (lado esquerdo da equação) também sofreu uma redução. Num dado momento ela ficou tão pequena que a pressão atmosférica foi suficiente para esmagar as paredes de aço do tanque.

== Demonstração pelas leis de processos particulares<ref>{{citar livro|nome = Paul|sobrenome = Tipler|título = Physics|ano = 2007|isbn = 1429201320|nome2 = Gene|sobrenome2 = Mosca|subtítulo = for scientists and engineers|volume = 2|edição = 6ª}}</ref> ==
Pela lei de Boyle, tem-se que o produto da pressão de um gás pelo seu volume é constante:

<math>PV=cte</math>

Combinando a lei de Charles, que diz que <math display="inline">\tfrac{V}{T}=cte</math>, e a lei de Gay-Lussac, em que <math display="inline">\tfrac{P}{V}=cte</math>, obtém-se:

<math display="inline">PV=CT</math>, onde <math display="inline">C</math> é uma constante de valor positivo. Hipoteticamente, ao considerar dois recipientes de mesmo volume preenchidos por um mesmo gás a uma mesma temperatura, teremos pressão, volume, temperatura e quantidade de moléculas nos dois recipientes iguais. Porém, considerando os dois recipientes como um único sistema, ter-se-á dobrado o volume e dobrado a quantidade de gás, mas a pressão e a temperatura permanecerão as mesmas. Dessa maneira, a quantidade <math display="inline">\tfrac{PV}{T}=C</math>, duplicada, faz dobrar a quantidade de gás. Portanto, é possível escrever <math display="inline">C</math> como:

<math>C=Nk</math>

, em que <math display="inline">N</math> é o número de moléculas do gás e <math display="inline">k</math> é chamada de constante de Boltzmann. Tomando como notação <math display="inline">k=k_b</math>, tem-se que:

<math>PV=Nk_bT</math>.

Daí, segue-se o mesmo raciocínio apresentado anteriormente, na dedução pela teoria cinética dos gases, em que <math display="inline">N=n\cdot N_a</math> e <math>k_b=\tfrac{R}{N_a}</math> para chegar à equação:

<math>PV=nRT</math>{{correlatos|wikilivros=Introdução à Química/Equação dos gases ideais}}

==Ver também==
* [[Lei geral dos gases]]
* [[Gás ideal]]
* [[Gás real]]
* [[Equação de Van der Waals]]
* [[Constante universal dos gases perfeitos]]
* [[Constante de Boltzmann]]
* [[Equação de estado]]
* [[Condições normais de temperatura e pressão]]
* [[Função de partição (mecânica estatística)]]
* [[Energia interna]]
* [[Energia cinética]]
* [[Entropia]]

{{Referências}}

==Ligações externas==
*{{Link||2=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?r|search_for=gas+constant|3=Valores da constante dos gases}} - [[NIST]]

{{DEFAULTSORT:Lei Dos Gases Ideais}}
[[Categoria:Leis dos gases]]
[[Categoria:Década de 1830 na ciência]]
[[Categoria:1834]]