Mostrar código-fonte de Leis de Kepler

{{Mais notas|data=maio de 2021}}
{{Mecânica Clássica|Gravitação}}
[[Imagem:Kepler laws diagram.svg|miniatura|upright=1.5|As leis de Kepler, com duas órbitas planetárias:<br/>(1) As órbitas são elipses, com pontos focais ''&fnof;''<sub>1</sub> e ''&fnof;''<sub>2</sub> para o '''planeta 1''' e ''&fnof;''<sub>1</sub> e ''&fnof;''<sub>3</sub> '''para o planeta 2'''. O [[sol]] está no ponto focal ''&fnof;''<sub>1</sub>.<br/> (2) Os dois setores sombreados ''A''<sub>1</sub> e ''A''<sub>2</sub> possuem a mesma área superficial e o tempo para o '''planeta 1''' percorrer o segmento ''A''<sub>1</sub> é igual ao tempo para percorrer o segmento ''A''<sub>2</sub>.<br/> (3) A relação entre os períodos dos planetas 1 e 2 está na proporção ''a''<sub>1</sub><sup>3/2</sup>&nbsp;:&nbsp;''a''<sub>2</sub><sup>3/2</sup>]]
As '''leis de Kepler''' são as três leis do movimento planetário definidas por [[Johannes Kepler]] (1571 – 1630), um matemático e astrônomo alemão. Essas leis foram a principal contribuição de Kepler à [[mecânica celeste]].

Kepler estudou as observações do astrônomo [[Tycho Brahe]] e descobriu, por volta de 1605, que estas observações seguiam três leis matemáticas relativamente simples. Suas três leis do movimento planetário desafiavam a astronomia e física de [[Aristóteles]] e [[Ptolomeu]].<ref name="RONAN">{{citar livro |autor= RONAN, Colin A. |título= História ilustrada da ciência da Universidade de Cambridge |subtítulo= Da Renascença à Revolução Científica |edição= 1 |local-publicação= São Paulo |editora= Jorge Zahar |ano= 1990 |volume= III|isbn= 8-585-06168-5}}</ref> Sua afirmação de que a [[Terra]] se movia, seu uso de [[elipse]]s em vez de epiciclos e sua prova de que as velocidades dos [[planeta]]s variavam mudaram a astronomia e a [[física]].

Em 1596, Kepler publicou ''[[Mysterium Cosmographicum]]'', onde expôs argumentos favoráveis às hipóteses [[heliocentrismo|heliocêntricas]].<ref>{{Citar web |url=http://www.uff.br/cdme/kepler/kepler-html/kepler-br.html |titulo=Mysterium Cosmographicum |acessodata=2014-09-15 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20130916140819/http://www.uff.br/cdme/kepler/kepler-html/kepler-br.html |arquivodata=2013-09-16 |urlmorta=yes }}</ref> Em 1609 publicou ''Astronomia Nova… De Motibus Stellae Martis'', onde apresentou as três leis do movimento dos planetas, que hoje levam seu nome:<ref name="RONAN"/><ref>[http://chapin.williams.edu/pasachoff/classics.html Classics of Astronomy by Johannes Kepler]</ref>

* Os planetas descrevem órbitas elípticas, com o [[Sol]] em um dos focos;
* O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais em intervalos de tempo iguais (lei das áreas);
* Os quadrados dos períodos de revolução (<math>T</math>) são proporcionais aos cubos das distâncias médias (<math>a</math>) do Sol aos planetas, isto é, <math>T^2=ka^3</math>, em que <math>k</math> é uma constante de proporcionalidade.

O modelo de Kepler é [[modelo heliocêntrico|heliocêntrico]]. Seu modelo foi muito criticado pela falta de [[simetria]] decorrente de o [[Sol]] ocupar um dos focos da elipse e o outro simplesmente ser preenchido com o [[vácuo]].

== Nomenclatura ==
Demorou quase dois séculos para que a formulação atual da obra de Kepler assumisse sua forma estabelecida. A obra ''Eléments de la philosophie de Newton'' de [[Voltaire]] (Elementos da filosofia de Newton), de 1738, foi a primeira publicação a usar a terminologia de "leis".<ref>{{citar web |ultimo=Wilson |primeiro=Curtis |url=https://had.aas.org/sites/had.aas.org/files/HADN31.pdf |titulo="Kepler's Laws, So-Called" |data=Maio, 1994 |acessodata=28 de novembro de 2020 |publicado=The Newsletter of the Historical Astronomy Division of the American Astronomical Society.}}</ref> ''The Biographical Encyclopedia of Astronomers'', em seu artigo sobre Kepler (p. 620), afirma que a terminologia de [[lei científica]] para essas descobertas era corrente pelo menos desde a época de [[Jérôme Lalande|Joseph de Lalande]].<ref>{{citar livro |título=Astronomie |ultimo=de Lalande |primeiro=Joseph |editora=Desaint & Saillant |ano=1764 |local=Paris |página=390}}</ref> Foi a exposição de Robert Small, em ''Um relato das descobertas astronômicas de Kepler'' (1814), que compôs o conjunto de três leis, acrescentando a terceira.<ref>{{citar livro|título=An account of the astronomical discoveries of Kepler |ultimo=Small |primeiro=Robert |editora=J Mawman |ano=1804 |local=Londres |página=298-299}}</ref> 

== Primeira lei de Kepler: lei das órbitas elípticas ==
{{quote1|O planeta em [[órbita]] em torno do Sol descreve uma [[elipse]] em que o [[Sol]] ocupa um dos focos.|quote2}}

Esta lei definiu que as órbitas não eram [[circunferência]]s, como se supunha até então, mas sim elipses.<ref name=LK>{{citar web |url=http://astro.if.ufrgs.br/Orbit/orbits.htm |título=As Três Leis de Kepler sobre o Movimento dos Planetas |último1=Oliveira Filho |primeiro1=K.S. |último2=Saraiva |primeiro2=M.F.O. |publicado=Universidade Federal do Rio Grande do Sul |acessodata=6 de maio de 2020}}</ref>

A distância de um dos focos até o objeto, mais a distância do objeto até o outro foco, é sempre igual não importando a localização do objeto ao longo da [[elipse]].

As características de uma [[elipse]], como tamanho e formato, são completamente determinadas pelo seu semi-eixo maior e sua [[Excentricidade orbital|excentricidade]]. A partir dos dados fornecidos por Brahe, Kepler fez uma importante descoberta: a órbita de [[Marte (planeta)|Marte]] é elíptica, com o [[Sol]] localizado em um dos focos (enquanto o outro foco permanece vazio). A excentricidade da órbita de Marte é aproximadamente 0,1, tornando a órbita praticamente indistinguível de um círculo quando desenhada em escala. No entanto, essa pequena diferença revelou-se crucial para a compreensão dos movimentos planetários. Kepler generalizou esse resultado em sua primeira lei, estabelecendo que todas as órbitas dos planetas são elipses.<ref name=":0">{{citar livro|título=Introduction to Astronomy|ultimo=FRAKNOI|primeiro=Andrew|ultimo2=MORRISON|primeiro2=David|ultimo3=WOLFF|primeiro3=Sidney C|editora=XanEdu Publishing Inc|ano=2016|local=Texas|páginas=71-74}}</ref>

== Segunda lei de Kepler: lei das áreas ==
[[Imagem:Kepler-second-law.svg|right|thumb|upright=1.5|Ilustração da segunda lei de Kepler]]

{{quote1|A linha que liga o [[planeta]] ao [[Sol]] varre áreas iguais em tempos iguais.|quote2}}

Ao analisar as observações de Marte feitas por Brahe, Kepler fez uma descoberta notável: o [[planeta]] acelera à medida que se aproxima do [[Sol]] e desacelera à medida que se afasta dele. Para descrever exatamente essa relação, Kepler concebeu uma representação imaginária na qual o Sol e Marte estão conectados por uma linha reta elástica. Kepler descobriu que em intervalos iguais de [[tempo]] (t), as áreas varridas no espaço por essa linha imaginária são sempre iguais.<ref name=":0" />

Esta lei determina que os planetas se movem com [[velocidade]]s diferentes, dependendo da distância a que estão do [[Sol]].<ref name="LK" />

* [[Periélio]] é o ponto mais próximo do Sol, onde o planeta orbita mais rapidamente.
* [[Afélio]] é o ponto mais afastado do Sol, onde o planeta move-se mais lentamente.

== Terceira lei de Kepler: lei dos períodos ==
{{quote1|Os quadrados dos períodos de [[translação]] dos [[planeta]]s são proporcionais aos cubos dos semi-eixos maiores de suas [[órbita]]s.|quote2}}

Ou seja, sendo <math>T</math> o período de revolução (ano do [[planeta]]) e <math>D</math> o semi-eixo maior da [[órbita]] de um planeta, tem-se:<ref name=LK />

:''<math> \frac{T^2}{D^3}=k</math>, com <math>k</math> sendo uma constante.''

Esta lei indica que existe uma relação entre a distância do planeta e o período de translação (tempo que ele demora para completar uma revolução em torno do Sol). Portanto, quanto mais distante estiver do Sol mais tempo levará para completar sua volta em torno desta estrela.

A terceira lei de Kepler se aplica a todos os objetos que orbitam o Sol, incluindo a [[Terra]], e fornece um meio para calcular suas distâncias relativas do Sol a partir do tempo que levam para orbitar.<ref name=":0" /> 

== Descobertas posteriores ==
A explicação física do comportamento dos planetas veio somente um século depois, quando [[Isaac Newton]] foi capaz de deduzir as leis de Kepler a partir das hoje conhecidas como [[leis de Newton]] e de sua  [[lei da gravitação universal]], usando sua invenção do [[cálculo]]. É possível notar, de suas leis, que outros modelos de gravitação dariam resultados empíricos falsos.<ref name="RONAN"/>

Em 1687, Newton publicou os ''Principia'', onde explica as forças que agem sobre os planetas devido à presença do Sol:<ref>{{citar web |url=http://astro.if.ufrgs.br/newton/ |título=Isaac Newton |último1=Oliveira Filho |primeiro1=K.S. |último2=Saraiva |primeiro2=M.F.O. |publicado=Universidade Federal do Rio Grande do Sul |acessodata=6 de maio de 2020}}</ref>

{{quote1|Da primeira lei de Kepler que a força que age constantemente sobre o planeta tem sua linha de ação passando pelo Sol, para o qual é dirigida. Portanto o Sol tudo atrai. Da segunda que essa força é também inversamente proporcional ao quadrado da distância entre o Sol e o planeta. Ou seja, que quanto mais perto o planeta está maior é a força de atração do Sol. E da terceira que devido ao Sol, a força que age constantemente sobre o planeta, além de ser central, estar dirigida para o Sol e ser inversamente proporcional ao quadrado da distância, é diretamente proporcional à massa do planeta. O coeficiente de proporcionalidade não depende do planeta.|quote2}}

=== Dedução das leis de Kepler ===
Com a [[Lei da gravitação universal|Teoria da Gravitação Universal]] de [[Isaac Newton]], foi possível postular um único princípio:<ref name = LKG>{{citar web |url=http://www.if.ufrgs.br/fis02001/aulas/aula_newtonkepler.htm |título=Leis de Kepler generalizadas |último1=Saraiva |primeiro1=M.F.O. |publicado=Universidade Federal do Rio Grande do Sul |acessodata=6 de maio de 2020}}</ref>

que, aliado às Três [[Leis de Newton]], foi capaz de explicar completamente as observações astronômicas conhecidas até a época e ainda depois, até a descoberta de que a velocidade da luz no vácuo é constante para todos os referenciais. Essa descoberta levou à criação da teoria da [[relatividade restrita]] e, consequentemente, da [[teoria da relatividade geral]], que, para certos fenômenos que até então não haviam sido observados, invalida a teoria de Newton da gravitação.

No entanto, as leis de Newton e a sua teoria da gravidade são mais do que o suficientes para explicar as leis de Kepler. De fato, as três leis são deriváveis da simples equação postulada acima, de modo que ainda aparecem mais completas do que da forma descrita por Kepler.

Para derivá-las, é preciso introduzir alguns conceitos.

:<math> \dot x</math> representa a [[derivada]] temporal de x, enquanto <math> \ddot x</math> é a derivada temporal segunda de <math>x</math>.

<math> \hat{r}</math> é o [[Vetor (espacial)|vetor]] unitário que indica a direção do planeta em relação à sua estrela.
A derivada temporal desse vetor, que representaremos como <math> \dot {\hat{r}}</math> é igual a <math> \dot {\theta}. \hat{\theta}</math>, onde <math> \dot {\theta}</math> é a [[velocidade angular]] do [[planeta]] em relação à [[estrela]], e <math> \hat{\theta}</math> é um vetor unitário perpendicular a <math> \hat{r}</math>. Existem duas direções possíveis de um vetor unitário perpendicular a outro, mas a direção deste é escolhida de modo que <math> \hat{r}</math> tivesse que virar no sentido anti-horário para apontar na mesma direção dele.
A derivada de <math> \hat{\theta}</math>, por sua vez, é <math> - \dot {\theta}. \hat{r}</math>.

O vetor <math> \vec r</math> é o vetor-posição do planeta em relação à sua estrela, e é definido como <math> \vec r = r \hat{r}</math>, onde <math> r</math> é o módulo da distância entre o planeta e a estrela. Assim, <math> \dot {\vec r} = \dot r \hat{r} + r \dot {\hat{r}}</math>.
Seguindo daí,

:<math> \ddot {\vec r} = \ddot r \hat{r} + \dot r \dot {\hat r} + \dot r \dot {\theta} \hat{\theta} + r \ddot {\theta} \hat{\theta} + r \dot {\theta} \dot {\hat{\theta}}</math>

:<math> \ddot {\vec r} = \ddot r \hat{r} + \dot r \dot {\theta} \hat{\theta} + \dot r \dot {\theta} \hat{\theta} + r \ddot {\theta} \hat{\theta} - r \dot {\theta}\dot {\theta} \hat{r}</math>.

Organizando, temos, <math> \ddot {\vec r} = (\ddot r - r \dot \theta ^2) \hat r + (r\ddot \theta + 2 \dot r \dot \theta) \hat {\theta}</math>

Isso será usado na derivação das leis, que vem a seguir:

==== Primeira lei de Kepler ====
Em primeiro lugar, consideramos o [[planeta]] como sendo uma [[partícula]] (o que se justifica com boa aproximação para o fim das leis de kepler, já que o tamanho dos planetas do [[sistema solar]] são desprezíveis em comparação com a sua distância ao sol). Então, usamos a teoria da gravitação universal:<ref name = LKG />

:<math> \vec F = -G \frac{Mm}{r^2} \hat{r}</math>

Supondo que a massa do [[planeta]] é constante, (o que está de acordo com os sistemas observados por kepler), usamos a [[Leis de Newton|Segunda Lei de Newton]].

:<math> m \ddot {\vec r} = -G \frac{Mm}{r^2} \hat{r}</math>

:<math> \ddot {\vec r} = -G \frac{M}{r^2} \hat{r}</math>

:<math> (\ddot r - r \dot \theta ^2) \hat r + (r\ddot \theta + 2 \dot r \dot \theta) \hat {\theta} = G \frac{M}{r^2} \hat{r}</math>

Assim,

:<math> \ddot r - r \dot \theta ^2 = -G \frac{M}{r^2}</math>

e

:<math> r \ddot \theta + 2 \dot r \dot \theta = 0</math>

Da última, podemos derivar a conservação do [[momento angular]], multiplicando os dois membros por <math> mr</math>:

:<math> m r^2 \ddot \theta + 2mr \dot r \dot \theta = 0</math>

:<math> \frac {d}{dt} [ m r^2 \dot{\theta} ] = 0</math>

:<math> m r^2 \dot{\theta} = l</math>

onde <math> l</math> é uma constante, que sabemos ser a magnitude do momento angular.

Podemos transformar derivadas temporais em derivadas em relação a <math> \theta</math>, a partir da seguinte relação:

:<math> \frac {d \theta}{dt} = \frac {l}{mr^2}</math>

Se tivermos a derivada de qualquer função <math>X(t)</math> em relação ao tempo, podemos usar a regra da cadeia:

:<math>\frac {dX}{dt} = \frac {dX}{d\theta}\frac {d\theta}{dt}</math>

:<math> \frac {dX}{dt} = \frac {l}{mr^2} \frac {dX}{d\theta}</math>

O que é de grande utilidade na [[equação diferencial]].

Para a primeira equação temos:

:<math> \ddot r - r \dot \theta ^2 = -G \frac{M}{r^2}</math>

:<math> \frac {l}{mr^2} \frac {d}{d\theta } \left[\frac {l}{mr^2} \frac {dr}{d\theta }\right] - r \dot \theta ^2 = -G \frac{M}{r^2}</math>

:<math> \frac {l}{mr^2} .\left(- 2\frac {l}{mr^3} \left(\frac {dr}{d\theta }\right)^2 + \frac {l}{mr^2} \frac {d^2r}{d\theta ^2}\right) - r \dot \theta ^2 = -G \frac{M}{r^2}</math>

:<math> - 2\frac {l^2}{m^2r^5} \left(\frac {dr}{d\theta}\right)^2 + \frac {l^2}{m^2r^4} \frac {d^2r}{d\theta^2}- r \dot \theta ^2 = -G \frac{M}{r^2}</math>

É preciso aqui extrair do momento angular uma relação útil:

:<math> l = mr^2 \dot {\theta}</math>

:<math> \dot {\theta} = \frac {l}{mr^2}</math>

Substituindo na equação principal,

:<math> - 2\frac {l^2}{m^2r^5} \left(\frac {dr}{d\theta}\right)^2 + \frac {l^2}{m^2r^4} \frac {d^2r}{d\theta^2}- \frac {l^2}{m^2r^3} = -G \frac{M}{r^2}</math>

Aqui, convém usar uma transformação de variável:

:<math> u = r^{-1}</math>

:<math> \frac {du}{d\theta} = - r^{-2} \frac {dr}{d\theta}</math>

:<math> \frac {d^2u}{d\theta^2} = 2r^{-3} \left(\frac {dr}{d\theta}\right)^2 -r^{-2} \frac {d^2r}{d\theta^2}</math>

Utilizando-a na equação diferencial, a simplificamos significativamente.

:<math> - \frac {l^2}{m^2r^2} \frac{d^2u}{d\theta ^2} - \frac {l^2}{m^2r^3} = - G \frac{M}{r^2}</math>

:<math> - \frac {l^2}{m^2} \frac{d^2u}{d\theta ^2} - \frac {l^2}{m^2r} = - GM</math>

:<math> \frac{d^2u}{d\theta ^2} + u = \frac{GMm^2}{l^2}</math>

A [[Função (matemática)|função]] que satisfaz à essa [[equação diferencial]] é:

:<math> u = \frac{GMm^2}{l^2} + \epsilon \cos ( \theta + {\theta}_{0})</math>

Ou seja,

:<math> r = \frac{l^2}{GMm^2} \frac {1}{1 + \epsilon \cos ( \theta + {\theta}_{0})}</math>

:<math> \epsilon</math> é uma constante arbitrária de integração, e pode ser obtido se for dada a posição do [[planeta]] em qualquer instante. Com <math> \epsilon</math> menor do que <math>1</math>, temos a equação de uma [[elipse]] escrita em [[coordenadas polares]]. Se <math> \epsilon</math> for <math>0</math>, a [[equação]] é a de um círculo.

Assim, derivamos a Primeira Lei de Kepler.

==== Segunda lei de Kepler ====
A segunda Lei de Kepler é bem mais simples de se derivar.<ref name = LKG />

A área descrita pelo raio-vetor que liga o planeta à sua estrela durante um certo tempo é dada por

:<math>\sum_{i}^{N} a_i</math>

Onde <math>a_i</math> são as áreas percorridas em frações desse tempo. Podemos fazer essas frações de tempo arbitrariamente pequenas, e consequentemente teremos um <math>N</math> cada vez maior. Nada se altera se fizermos o limite em que as frações de tempo tendem a <math>0</math>, ou seja:

:<math>A = \lim_{N \to \infty} \sum_{i}^{N} a_i</math>.

Quando tomamos áreas <math>a_i</math> menores, elas se aproximam arbitrariamente da área de um triângulo com base <math>\Delta r_i</math> e altura <math>r_i</math>, onde <math>r_i</math> é a magnitude do raio vetor <math>\vec r_i</math> que liga o planeta à sua estrela em algum instante dentro de um intervalo de tempo <math>[t,t+\Delta t]</math>, e <math>\Delta r_i = |\vec r_i - \vec r_{i-1}| </math>, com <math>\vec r_{i-1}</math> sendo o análogo de <math>r_i</math> em algum instante dentro do intervalo <math>[t-\Delta t,t]</math>. Ou seja, <math>\Delta r_i</math> é simplesmente a distância percorrida pelo planeta em um certo tempo.

Ou seja, as áreas <math>a_i</math> se aproximam arbitrariamente de:

:<math>\frac {r_i . \Delta r_i}{2} </math>

:<math>\Delta r_i</math> também pode se expressado como <math>v_i \Delta t</math>, onde <math>v_i</math> é a velocidade do planeta, em algum instante do mesmo intervalo de tempo de <math>r_i</math>.

Quando <math>N</math> tende a infinito, <math>\Delta t</math> tende a <math>0</math>. Assim,

:<math>\lim_{N \to \infty} \sum_{i}^{N} a_i = \lim_{N \to \infty} \sum_{i}^{N} \frac {r_i . v_i \Delta t}{2} </math>

O que constitui uma integral:

:<math> A = \int_{0}^{t} \frac {rv}{2} dt</math>

ou, como <math>v = r \dot {\theta}</math>,

:<math>A = \int_{0}^{t} \frac{r^2 \dot {\theta}}{2} dt</math>

:<math>r^2 \dot {\theta}</math> é o momento angular sobre a massa, o que nesse caso permanece sempre constante. Assim, a integral dá:

:<math>A = \frac {l}{2m} t</math>

Como o momento angular é sempre o mesmo, são percorridas áreas iguais em tempos iguais. Temos a segunda Lei de Kepler

==== Terceira lei de Kepler ====
A terceira Lei de Kepler é mais sutil. Ela é escrita em função do [[raio (geometria)|raio]] médio, então devemos achar esse raio. Na equação do raio:<ref name = LKG />

:<math>r = \frac{l^2}{GMm^2} \frac {1}{1 + \epsilon \cos ( \theta + {\theta}_{0})}</math>

A única variável é o <math> \cos ( \theta + \theta_0)</math>, de modo que o raio médio corresponde ao valor médio dessa variável. Esse valor corresponde a <math>\langle \cos(\theta+\theta_0)\rangle= \frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_{0} \cos(\theta + {\theta}_{0})d\theta=\frac{1}{2\pi}(\sin(2\pi+\theta)-\sin(\theta)) = 0</math> . Assim, o raio médio correspondente é:

:<math>{r}_{med} = \frac{l^2}{GMm^2}</math>

Podemos pensar também na velocidade angular média, correspondente ao raio médio. Ambos estão ligados através do momento angular (<math> l = m \dot{\theta}_{med} {r}_{med}^2</math>). Então

:<math> l = m {\dot{\theta}_{med}} \frac{l^4}{G^2M^2m^4}</math>

:<math> {\dot{\theta}_{med}} = \frac { G^2M^2m^3}{l^3}</math>

Uma definição importante é a do período, em função da velocidade angular média:

:<math> P = \frac {2\pi}{{\dot{\theta}}_{med}}</math>

A presença da velocidade angular média nessa equação é justificada pelo fato de que deve haver algum valor da velocidade angular, em algum instante, que satisfaça a essa equação. Esse valor é justamente o da velocidade angular média.

É possível demonstrar que o período de um planeta com órbita circular de raio <math>{r}_{med}</math> e velocidade angular <math>{\dot{\theta}_{med}}</math> é igual ao período de qualquer planeta com órbita elíptica de raio médio <math>{r}_{med}</math> e velocidade angular média <math>{\dot{\theta}_{med}}</math>. Isso é feito através da Segunda Lei de Kepler. A área total de um círculo é <math> \pi {r}_{med}^2</math>, e a área total de uma elipse é, pela Segunda Lei, <math> \frac {l}{2m} P</math>. Através da definição de <math> P</math> acima, vemos:

:<math> A = \frac {l}{2m} P</math>

:<math> A = \frac {l\pi}{{m\dot{\theta}}_{med}}</math>

:<math> A = \frac {l^4\pi}{ G^2M^2m^4}</math>

Lembrando a equação correspondente ao raio médio (<math> {r}_{med} = \frac{l^2}{GMm^2}</math>), temos:

:<math> A = {r}_{med}^2 \pi</math>

Que corresponde à área do círculo. Como, pela Segunda Lei, áreas iguais são percorridas em tempos iguais, então o período do planeta de órbita elíptica pode ser tomado a partir do período de uma órbita circular correspondente.

:<math> P = \frac {2\pi}{{\dot{\theta}_{med}}}</math>

:<math> P = \frac {2\pi l^3}{ G^2M^2m^3}</math>

:<math> P = \frac {2\pi {r}_{med}^{\frac {3}{2}}}{\sqrt{GM}}</math>

:<math> P^2 = \frac {4\pi^2 {r}_{med}^3}{GM}</math>

:<math> \frac {P^2}{{r}_{med}^3} = \frac {4\pi^2}{GM}</math>

O que constitui a terceira lei de Kepler.

==Ver também==
*[[Galileu Galilei]]
*[[Isaac Newton]]
*[[Lei da gravitação universal]]
*[[Leis de Newton]]
*[[Momento angular]]
*[[Tycho Brahe]]

{{Referências}}

==Ligações externas==
*[http://www.uranometrianova.pro.br/astronomia/AA002/4leikepler.htm Matéria sobre quarta Lei de Kepler (que não é válida)]

{{Johannes Kepler}}
{{Controle de autoridade}}
{{Portal3|Astronomia|História da ciência|Física}}

{{DEFAULTSORT:Leis de Kepler}}
[[Categoria:Johannes Kepler]]
[[Categoria:Astronomia]]
[[Categoria:Leis da física|Kepler]]
[[Categoria:História da ciência]]