Mostrar código-fonte de Lema de Kalman–Yakubovich–Popov

O '''lema de Kalman–Yakubovich–Popov''' é um resultado da análise de sistemas e da [[teoria de controle]] que afirma: Dado um número <math>\gamma > 0</math>, dois n-vetores B, C e uma n x n [[matriz de Hurwitz]] A, se o par <math>(A,B)</math> é completamente [[Controlabilidade|controlável]], então uma matriz simétrica P e um vetor Q satisfazendo
:<math>A^T P + P A = -Q Q^T</math>

:<math> P B-C = \sqrt{\gamma}Q</math>
existe se e somente se
:<math>
\gamma+2 Re[C^T (j\omega I-A)^{-1}B]\ge 0
</math>
Além disso, o conjunto <math>\{x: x^T P x = 0\}</math> é o subespaço não observável para o par <math>(C,A)</math>.

O [[Lema (matemática)|lema]] pode ser visto como uma generalização da equação de Lyapunov na teoria da estabilidade. Estabelece uma relação entre uma desigualdade matricial linear envolvendo as construções do espaço de estados A, B, C e uma condição no [[domínio da frequência]].

O lema de Kalman–Popov–Yakubovich foi formulado e provado pela primeira vez em 1962 por [[Vladimir Yakubovich|Vladimir Andreevich Yakubovich]],<ref>{{Cite journal|last=Yakubovich|first=Vladimir Andreevich|date=1962|title=The Solution of Certain Matrix Inequalities in Automatic Control Theory|journal=Dokl. Akad. Nauk SSSR |volume=143 |issue=6|pages=1304–1307}}</ref> onde foi afirmado para a desigualdade estrita de frequência. O caso da desigualdade de frequência não estrita foi publicado em 1963 por [[Rudolf Kalman|Rudolf E. Kálmán]].<ref name="Kalman1963">{{cite journal|author=Kalman, Rudolf E.|year=1963|title=Lyapunov functions for the problem of Lur'e in automatic control|url=http://www.pnas.org/content/49/2/201.full.pdf|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=49|issue=2|pages=201–205|doi=10.1073/pnas.49.2.201|pmc=299777|pmid=16591048|bibcode=1963PNAS...49..201K|doi-access=free}}</ref> Nesse artigo também foi estabelecida a relação com a solubilidade das equações de Lur’e. Ambos os artigos consideraram sistemas de entrada escalar. A restrição na dimensionalidade do controle foi removida em 1964 por Gantmakher e Yakubovich<ref>{{Cite book|title=Absolute Stability of the Nonlinear Controllable Systems, Proc. II All-Union Conf. Theoretical Applied Mechanics|last=Gantmakher, F.R. e Yakubovich, V.A.|publisher=Nauka|year=1964|location=Moscou}}</ref>  e independentemente por [[Vasile Mihai Popov]].<ref>{{Cite journal|last=Popov|first=Vasile M.|date=1964|title=Hyperstability and Optimality of Automatic Systems with Several Control Functions|journal=Rev. Roumaine Sci. Tech.|volume=9 |issue=4|pages=629–890}}</ref>  Extensas revisões do tópico podem ser encontradas em<ref>{{Cite journal|last=Gusev S. V. and Likhtarnikov A. L.|date=2006|title=Kalman-Popov-Yakubovich lemma and the S-procedure: A historical essay|journal=Automation and Remote Control|volume=67 |issue=11|pages=1768–1810|doi=10.1134/s000511790611004x|s2cid=120970123}}</ref> e no Capítulo 3 de.<ref>{{Cite book|title=Dissipative Systems Analysis and Control|last=Brogliato, B. e Lozano, R. and Maschke, B. and Egeland, O.|publisher=Springer Nature|year=2020|location=Switzerland AG|edition=3rd}}</ref>

== Lema multivariável de Kalman–Yakubovich–Popov ==
Dado <math>A \in \R^{n \times n}, B \in \R^{n \times m}, M = M^T \in \R^{(n+m) \times (n+m)}</math> com <math>\det(j\omega I - A) \ne 0</math> para todo <math>\omega \in \R</math> e <math>(A, B)</math> controlável, os seguintes são equivalentes:
<ol type="i">
<li> para todo <math>\omega \in \R \cup \{\infty\} </math> 
:<math> \left[\begin{matrix} (j\omega I - A)^{-1}B \\ I \end{matrix}\right]^*   M   \left[\begin{matrix} (j\omega I - A)^{-1}B \\ I \end{matrix}\right] \le 0 </math></li>
<li> existe uma matriz <math>P \in \R^{n \times n}</math> de tal modo que <math>P = P^T</math> e 
:<math>M + \left[\begin{matrix} A^T P + PA & PB \\ B^T P & 0 \end{matrix}\right] \le 0. </math>
</li>
</ol>
A equivalência correspondente para desigualdades estritas é válida mesmo que <math>(A, B)</math> não seja controlável.<ref name="Rantzer1996">{{cite journal |title=On the Kalman–Yakubovich–Popov lemma |journal=Systems & Control Letters |author=Anders Rantzer |year=1996 |pages=7–10 |doi=10.1016/0167-6911(95)00063-1 |volume=28 |number=1}}</ref>
{{Referências}}
[[Categoria:Lemas (matemática)]]