Mostrar código-fonte de Leonhard Euler

{{Mais notas|data=dezembro de 2020}}
{{Info/Biografia/Wikidata
|nome            =Leonhard Euler
|imagem          =Leonhard Euler 2.jpg
|legenda         ={{nowrap|''Leonhard Euler'', quadro a óleo por [[Johann Georg Brucker]]}}
|nascimento_data ={{dni|15|4|1707|si}}
|nascimento_local=[[Basileia]], [[Suíça]]
|morte_data      ={{nowrap|{{morte|18|9|1783|15|4|1707}}}}
|morte_local     =[[São Petersburgo]], [[Rússia]]
|nacionalidade   =[[Suíços|suíço]]
|campo           =[[matemática]]
|alma_mater      =[[Universidade de Basileia]]
|tese            =1726: ''Dissertatio physica de sono''
|orientador      =[[Johann Bernoulli]]<ref>{{MathGenealogy|id=38586}}</ref>
|orientado       ={{nowrap|[[Johann Euler]]}}, {{nowrap|[[Nicolaus Fuss]]}}, {{nowrap|[[Johann Friedrich Hennert]]}}, {{nowrap|[[Semen Kotelnikov]]}}, {{nowrap|[[Joseph Lagrange]]}}, {{nowrap|[[Stepan Rumovsky]]}}
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|religiao        =[[cristianismo]]
|notas           =pai do também matemático [[Johann Euler]].<br/>Está listado em uma genealogia acadêmica como o equivalente a orientador de doutorado de Joseph Louis Lagrange.<ref>{{MathGenealogy|id=17864}}</ref>
}}
'''Leonhard Paul Euler''' ({{IPA-pt|'ɔjler}}; {{IPA-de|ˈɔʏlɐ|-|De-Leonard_Euler.ogg}}, {{IPA-all|ˈɔɪlr̩|local|LeonhardEulerByDrsDotChRadio.ogg}}; [[Basileia]], {{dtlink|15|4|1707}} {{spaced ndash}} [[São Petersburgo]], {{dtlink|18|9|1783}}) foi um [[matemático]] e [[físico]] [[Suíços|suíço]] de [[língua alemã]] que passou a maior parte de sua vida na [[Rússia]] e na [[Alemanha]].<ref name="RussellCohn2012">Jesse Russell; Ronald Cohn. ''[http://books.google.com/books?id=_dT1MgEACAAJ Leonhard Euler]''. Book on Demand; 2012 [cited 2013]. {{ISBN|978-5-510-52879-4}}.</ref> Fez importantes descobertas em várias áreas da matemática como o [[cálculo]] e a [[teoria dos grafos]]. Também introduziu muitas das terminologias da matemática moderna e da [[notação matemática]], particularmente na [[análise matemática]], assim como no conceito de [[função matemática]].<ref name="function">{{harvnb|Dunham|1999|p=17}}</ref> Também é reconhecido por seus trabalhos na [[mecânica]], [[dinâmica de fluidos]], [[óptica]], [[astronomia]] e [[Teoria musical|teoria da música]].<ref name=eulerarch>{{citar web|url=http://eulerarchive.maa.org/pages/E033.html |autor =Saint Petersburg |título=Tentamen novae theoriae musicae ex certissimis harmoniae principiis dilucide expositae |publicado= |data=1739  |acessodata= |arquivourl= |arquivodata= |urlmorta=no}}</ref>

Euler é considerado um dos mais proeminentes matemáticos do [[século XVIII]] e também é considerado como um dos grandes matemáticos de todos os tempos, assim como [[Isaac Newton]], [[Arquimedes]] e [[Carl Friedrich Gauss]].<ref>The Countless Achievements of a Math Master; By David Brown; Washington Post Staff Writer; Monday, April 9, 2007 [http://www.washingtonpost.com/wp-dyn/content/article/2007/04/08/AR2007040800745.html washingtonpost.com]</ref> Foi um dos mais prolíficos matemáticos, calcula-se que toda a sua obra reunida teria entre 60 e 80 volumes de quartos.<ref name="volumes">{{citar periódico|sobrenome= Finkel|nome= B.F.|ano= 1897|título= Biography- Leonard Euler|periódico= The American Mathematical Monthly|volume= 4|número= 12|páginas= 300}}</ref> Viveu a maior parte da vida em São Petersburgo, na [[Rússia]], e em [[Berlim]], que na época era capital da [[Prússia]].

Uma declaração atribuída a [[Pierre-Simon Laplace]] manifestada sobre Euler na sua influência sobre a matemática: "Leiam Euler, leiam Euler, ele é o mestre de todos nós".<ref name="Laplace">{{harvnb|Dunham|1999|p=xiii}} "Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous."</ref><ref name=libri>The quote appeared in Gugliemo Libri's review of a recently published collection of correspondence among eighteenth-century mathematicians:  Gugliemo Libri (January 1846), Book review:  "Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIe siècle, … " (Mathematical and physical correspondence of some famous geometers of the eighteenth century, … ), ''Journal des Savants'', [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57253t/f52.image.langEN page 51.]  From page 51:  ''" … nous rappellerions que Laplace lui même, … ne cessait de répéter aux jeunes mathématiciens ces paroles mémorables que nous avons entendues de sa propre bouche : 'Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous.' "'' ( … we would recall that Laplace himself, … never ceased to repeat to young mathematicians these memorable words that we heard from his own mouth: 'Read Euler, read Euler, he is our master in everything.)</ref>

== Vida ==
{{Física2}}
{{Mecânica do contínuo|Cientistas}}

===Primeiros anos===
Leonhard Paul Euler [{{IPA2|ˈɔʏlɐ}}, {{Áudio|LeonhardEulerByDrsDotChRadio.ogg|ver pronúncia em alemão}}] nasceu no dia 15 de abril de 1707 em Basileia, na Suíça, filho do pastor [[calvinista]] Paul Euler e Margaret Brucker, filha de um pastor. Teve duas irmãs mais novas, Anna Maria e Maria Magdalena.<ref name="James2002">Ioan James. ''[http://books.google.com/books?id=ffz-0HnT3AIC&pg=PA2 Remarkable Mathematicians: From Euler to Von Neumann]''. Cambridge University Press; 2002. {{ISBN|978-0-521-52094-2}}. p. 2.</ref> Depois do nascimento de Leonhard, sua família mudou da cidade de Basiléia para a cidade de [[Riehen]], onde viveu a maior parte de sua infância. Paul Euler era amigo da [[família Bernoulli]]; [[Johann Bernoulli]], que era então o matemático mais importante da Europa, foi a influência mais relevante da vida do jovem Leonhard.

Sua educação primeira foi dada por seu pai Paul que lhe ensinou matemática. Em 1720, aos treze anos, Euler ingressou na pequena [[Universidade de Basileia]] que possuía um famoso departamento de estudos da matemática liderado por Johann Bernoulli, irmão de [[Jacob Bernoulli]]. Johann inicialmente recusou-se a dar aulas particulares a Euler, oferecendo então um valioso conselho de como estudar por conta própria.<ref name="Ginzburg2007">Vladimir B. Ginzburg. ''[http://books.google.com/books?id=dXiE_embYrgC&pg=PA161 Prime Elements of Ordinary Matter, Dark Matter & Dark Energy: Beyond Standard Model & String Theory]''. Universal-Publishers; 2007 [cited 2013]. {{ISBN|978-1-58112-946-5}}. p. 161.</ref>

Em 1722, recebe o grau de Mestre em Artes, e no seu exame deu um discurso em latim comparando as filosofias de [[Descartes]] e [[Newton]].<ref name="GindikinGindikin2007">{{citation|autor1 =Semen Grigorʹevich Gindikin|autor2 =Simon Gindikin|título=Tales of Mathematicians and Physicists|url=http://books.google.com/books?id=Ng1Vn4byYHUC&pg=PA175|ano=2007|publicado=Springer|isbn=978-0-387-48811-0|página=175}}</ref> Nesta altura, já recebia, aos sábados à tarde, lições de [[Johann Bernoulli]],<ref name="childhood">{{citar livro|sobrenome= James|nome= Ioan|título= Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann|editora= Cambridge|data= 2002|páginas=2|isbn = 0-521-52094-0}}</ref> que rapidamente descobriu o seu talento para a matemática.

Euler nesta altura estudava [[teologia]], [[língua grega|grego]] e [[língua hebraica|hebraico]], pela vontade de seu pai - para mais tarde se tornar pastor. Porém Johann Bernoulli resolveu intervir e convenceu Paul Euler que o seu filho estava destinado a ser um grande matemático.<ref name="Bradley2006">Michael J. Bradley. ''[http://books.google.com/books?id=VS66a1siE4YC&pg=PA104 Mathematics Frontiers: 1950 to Present]''. Infobase Publishing; 2006. {{ISBN|978-0-7910-9722-9}}. p. 104-105.</ref>

Em 1726, Euler completou a sua dissertação sobre [[velocidade do som|propagação do som]] intitulada de ''De Sono''.<ref name=17cent>{{citar web|url=http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e002tr.pdf |autor =Ian Bruce |título=Euler's Dissertation De Sono : E002. Translated & Annotated |publicado=17centurymaths.com |data= |acessodata=14 de setembro de 2011 |arquivourl= |arquivodata= |urlmorta=no}}</ref> Na época estava tentando, sem sucesso, obter um cargo na Universidade de Basileia. Em 1727 entrou pela primeira vez na competição premiada da [[Académie des Sciences|Academia de Paris]]; o problema do ano era encontrar a melhor maneira de colocar os [[mastro]]s num navio. Ganhou o segundo lugar, perdendo para [[Pierre Bouguer]], mais tarde conhecido como “o pai da arquitetura naval”. Euler, entretanto, ganharia o prêmio anual doze vezes.<ref name="prize">{{harvnb|Calinger|1996|p=156}}</ref>

===São Petersburgo===
Na época os dois filhos de Johann Bernoulli, [[Daniel Bernoulli|Daniel]] e [[Nicolaus II Bernoulli|Nicolaus]], foram trabalhar na [[Academia Russa de Ciências]]. No dia 10 de julho de 1726, Nicolaus morreu de [[apendicite]] após viver um ano na [[Rússia]], e quando Daniel assumiu o cargo do irmão na divisão de matemática e física da universidade, ele indicou a vaga em [[fisiologia]], que ocupava até então, para ser preenchida por seu amigo Euler. Em novembro de 1726 Euler aceitou ansiosamente a oferta, porém atrasou a viagem para [[São Petersburgo]] enquanto tentava uma vaga como professor de [[física]] na Universidade de Basileia.<ref name="stpetersburg">{{harvnb|Calinger|1996|p=125}}</ref>

[[Imagem:Euler-USSR-1957-stamp.jpg|miniatura|direita|200px|1957 Selo da [[União Soviética]] em comemoração dos 250° aniversário de Euler. O texto diz: 250 anos do nascimento do grande matemático, o acadêmico Leonhard Euler.]]

Leonhard chegou em São Petersburgo no dia 17 de maio de 1727. Foi promovido a assistente do departamento médico da academia para uma vaga no departamento de matemática. Foi apresentado por Daniel Bernoulli com quem frequentemente trabalhava em uma estreita parceria. Euler aprendeu [[língua russa|russo]] e instalou-se em São Petersburgo. Também aceitou um trabalho adicional como médico na [[Marinha da Rússia|Marinha Russa]].<ref name="medic">{{harvnb|Calinger|1996|p=127}}</ref>

A Academia de S. Petersburgo, sob a política de [[Pedro I da Rússia]], tinha intenção de melhorar a educação na Rússia e corrigir a defasagem no campo das ciências do país em relação à [[Europa Ocidental]]. Como resultado, a instituição criou um programa de internacionalização, com o objetivo de atrair estudantes estrangeiros como Euler. A instituição possuía vultosos recursos financeiros e uma biblioteca abrangente, planejada a partir das bibliotecas privadas da nobreza e do príncipe Pedro. Poucos estudantes foram inscritos na academia para diminuir a grade curricular e enfatizar a pesquisa, oferecendo para o corpo docente tempo e liberdade para prosseguir o questionamento científico.<ref name="prize"/>

A benfeitora da Academia, [[Catarina I da Rússia]], que tinha continuado a política progressiva da gestão anterior, morreu no dia em que Euler foi viajar. A [[aristocracia]], em seguida, teve mais poder durante os dois anos de mandato do [[Pedro II da Rússia|Pedro II]]. A nobreza, desconfiada dos cientistas estrangeiros da Academia, cortou-lhes o financiamento e causou dificuldades para Euler e seus colegas.
	
As condições melhoraram um pouco depois da morte de Pedro II, e Euler tornou-se professor de física em 1731, pela sua classificação no ranking da escola. Dois anos mais tarde, Daniel Bernoulli partiu para Basileia depois de ter sido perseguido com a censura e pela hostilidade que enfrentou em St. Petersburgo, e, assim, Euler o substituiu como professor de Matemática.<ref name="promotion">{{harvnb|Calinger|1996|pp=128–9}}</ref>

No dia 7 de janeiro de 1734, Leonhard Euler se casou com Katharina Gsell, filha de [[Georg Gsell]], um pintor da Academia Gymnasium.<ref name=gekker>{{citar livro|primeiro1 =I. R. |último1 =Gekker |primeiro2 =A. A. |último2 =Euler |capítulo=Leonhard Euler's family and descendants |capítulourl=https://books.google.com/books?id=Ta9bz1wv79AC&pg=PA402 |título={{harvnb|Bogolyubov|Mikhaĭlov|Yushkevich|2007|página=402}} |ref={{harvid|Gekker|Euler|2007}}}}</ref> O jovem casal construiu uma casa perto do [[rio Neva]]. Tiveram treze filhos, dos quais apenas cinco sobreviveram à infância.<ref name="wife">{{citar web| url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Extras/Euler_Fuss_Eulogy.html|título= Eulogy of Euler by Fuss|acessodata=21 de outubro de 2016|último = Fuss|primeiro = Nicolas}}</ref>

=== Berlim ===

Preocupado com a contínua turbulência na Rússia, Euler deixou São Petersburgo em 19 de Julho de 1741, para assumir uma posição em Berlim que tinha sido ofertada por [[Frederico II da Prússia]]. Viveu por vinte e cinco anos em Berlim, onde escreveu 380 artigos. Em Berlim publicou dois de seus mais renomados trabalhos: A ''[[Introductio in analysin infinitorum]]'', um texto sobre funções matemáticas publicado em 1748 e o ''[[Institutiones calculi differentialis]]'',<ref name=dartm>{{citar web|título= E212&nbsp;– Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum|publicado=Dartmouth|url=http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E212.html}}</ref> publicado em 1755 sobre [[cálculo diferencial]].<ref name="Friedrich">{{harvnb|Dunham|1999|pp=xxiv–xxv}}</ref> No mesmo ano foi eleito um membro estrangeiro da [[Academia Real das Ciências da Suécia]].

Entretanto, é convidado para ser tutor de Friederike Charlotte de Brandenburgo-Schwedt, a Princesa de Anhalt-Dessau e sobrinha de [[Frederico II, o Grande]]. Euler escreveu mais de 200 cartas dirigidas à princesa, que mais tarde foram compiladas num volume ''best-selling'' intitulado Cartas de Euler sobre diferentes assuntos da Filosofia natural para uma Princesa Alemã.<ref name='Digital Copy of "Letters to a German Princess"'>{{citar web|último =Euler|primeiro =Leonhard|título=Letters to a German Princess on Diverse Subjects of Natural Philosophy|url=https://archive.org/details/letterseulertoa00eulegoog|publicado=Internet Archive, Digitzed by Google|acessodata=15 de abril de 2013}}</ref> Este trabalho incorpora exposições sobre vários assuntos pertencentes à física e matemática, dando também a conhecer as perspectivas religiosas e a própria personalidade do seu autor. Este livro veio a ser o mais lido de todas as suas obras matemáticas, e foi publicado dentro da [[Europa]] e nos [[Estados Unidos]]. A popularidade das "Cartas" atesta a capacidade de Euler para comunicar sobre assuntos científicos de maneira eficaz para um público leigo, uma rara habilidade para um cientista dedicado à pesquisa.<ref name="Friedrich"/>

Apesar da imensa e impressionante contribuição para a Academia de Berlim, provocou a ira de Frederico II, o que o forçou a abandonar Berlim. O rei da Prússia tinha um grande círculo social de intelectuais em sua corte e ele permaneceu um matemático sem sofisticações e informal, tanto em seu trabalho como na vida pessoal. Euler foi simples, religioso devoto que nunca questionou a existência de ordens ou crenças convencionais, em muitas situações, opositor direto de [[Voltaire]] – que tinha uma posição privilegiada na corte de Frederick. Euler não era um debatedor qualificado e muitas vezes fez dela um ponto para discutir assuntos sobre os quais ele sabia pouco, fazendo dele o alvo frequente de sagacidade de Voltaire.<ref name="Friedrich"/> Frederick também comentou decepcionado com Euler as habilidades práticas de engenharia:

{{citação| Eu quero ter um jato de água em meu jardim: Euler calculava a força necessária das rodas para transportar a água para o reservatório, de onde deve voltar por meio de canais, até finalmente jorrar em [[Sanssouci]]. Meu moinho foi geometricamente construído e não poderia levantar um gole de água mais perto do que a quinze passos até o reservatório. A vaidade das vaidades! A vaidade da geometria!<ref name=fredlett>{{citar livro|título=Letters of Voltaire and Frederick the Great, Letter H 7434, 25 January 1778 |autor =Frederico II da Prússia|autorlink =Frederico II da Prússia |publicado=Brentano's |local=New York |ano=1927  | outros=[[Richard Aldington]] }}</ref>}}

[[Imagem:Leonhard Euler.jpg|miniatura|Retrato de Euler desenhado por [[Jakob Emanuel Handmann]] que indica a problemática visão de Euler como olho direito, provavelmente [[estrabismo]]. O olho esquerdo de Euler, que aqui aparece saudável, foi depois prejudicado pela [[catarata]].<ref name="blind">{{harvnb|Calinger|1996|pp=154–5}}</ref>|257x257px]]

===Problemas na visão===
A [[acuidade visual]] de Euler piorou ao longo de sua carreira matemática. Em 1738, três anos depois de sofrer uma febre quase fatal em 1735, tornou-se quase cego do olho direito, mas, ao invés de se lamentar, apresentou um trabalho meticuloso sobre [[cartografia]] para a Academia de São Petersburgo. A visão de Euler se agravou durante a sua estada na Alemanha, na medida em que [[Frederico II da Prússia]] se referia a ele como "Cyclops". Euler mais tarde desenvolveu uma catarata no olho esquerdo, deixando-o quase totalmente cego poucas semanas depois de sua descoberta em 1766. No entanto, sua condição parece ter pouco efeito sobre sua produtividade, compensando com suas habilidades de cálculo mental e de memória fotográfica. Por exemplo, Euler conseguia repetir a [[Eneida]] de [[Virgílio]], do começo ao fim, sem hesitação. Com a ajuda de seus escribas, a produtividade de Euler em muitas áreas de estudo, na verdade, aumentou. Produziu, em média, um artigo matemático durante todas as semanas do ano 1775.<ref name="volumes"/>

===Retorno à Rússia e falecimento===
Em 1760, com o alastramento da [[Guerra dos Sete Anos]], a fazenda de Euler em Charlottenburg foi devastada pelo avanço das tropas russas. Como punição, o general Ivan Petrovich Saltykov indenizou pelos danos causados na propriedade de Euler, depois da tzarina [[Isabel da Rússia]] adicionar um pagamento de {{Fmtn|4000}} rublos - um valor exorbitante na época.<ref>Gindikin, S.G., Гиндикин С. Г., МЦНМО, НМУ, 2001, с. 217.</ref> A situação política russa se estabilizaria após a ascensão de [[Catarina, a Grande]] ao trono, quando em 1766, Euler aceita um convite para voltar a [[Academia de Ciências da Rússia|Academia de St. Petersburgo]]. Suas condições foram bastante exorbitantes – um salário anual de {{Fmtn|3000}} rublos, uma pensão para a sua esposa e a promessa de cargos de alto escalão para os seus filhos. Todas destas condições foram atendidas. Viveu o resto de sua vida na Rússia. Contudo, sua segunda estadia no país foi marcada por uma tragédia: Um incêndio em Santo Petersburgo em 1771 destruiu a sua casa, e quase o matou. Em 1773, faleceu a sua esposa Katharina após 40 anos de casamento.

Três anos depois da morte de sua esposa, Euler casou com sua meia-irmã, Salome Abigail Gsell (1723–1794).<ref name=gekker2>{{harvnb|Gekker|Euler|2007|p=[https://books.google.com/books?id=Ta9bz1wv79AC&pg=PA405 405]}}</ref> Este casamento durou até o fim de sua vida. Em 1782 foi eleito membro honorário estrangeiro da [[Academia de Artes e Ciências dos Estados Unidos]].<ref name=AAAS>{{citar web|título=Book of Members, 1780–2010: Chapter E|url=http://www.amacad.org/publications/BookofMembers/ChapterE.pdf|publicado=American Academy of Arts and Sciences|acessodata=}}</ref>

Em Santo Petersburgo no dia 18 de setembro de 1783, depois de um almoço com sua família, Leonhard estava discutindo sobre a descoberta de um novo planeta da época, chamado [[Urano (planeta)|Urano]] e sua órbita com o também acadêmico [[Anders Johan Lexell]], quando sucumbiu por causa de uma [[hemorragia cerebral]]. Morreu algumas horas depois.<ref name="euler">{{citar livro|título=Leonhard Euler|autor =A. Ya. Yakovlev|ano=1983|publicado=Prosvesheniye|local=M.}}</ref> [[Jacob von Staehlin-Storcksburg]] escreveu no [[obituário]] de Leonard para a Academia de Santo Petersburgo e o matemático russo [[Nicolaus Fuss]], um de seus discípulos, escreveram uma detalhada eulogia,<ref name=novaacta>{{citar periódico|ano= 1783|título= Eloge de M. Leonhard Euler. Par M. Fuss|periódico= Nova Acta Academia Scientarum Imperialis Petropolitanae | volume = 1|páginas= 159–212 }}</ref> em que ele encomendou uma assembleia em memória. Em sua eulogia para a Academia Francesa, o filósofo e matemático francês [[marquês de Condorcet]], escreveu:

[[Imagem:Euler Grave at Alexander Nevsky Monastry.jpg|miniatura|A lápide de Euler no monastério de Alexander Nevsky.|237x237px]]

{{citação|''il cessa de calculer et de vivre''—... ele terminou de calcular e de viver.<ref name=condorcet>{{citar web| url = http://www.math.dartmouth.edu/~euler/historica/condorcet.html|título= Eulogy of Euler&nbsp;– Condorcet|acessodata=|autor =Marquis de Condorcet}}</ref>}}

Foi enterrado próximo de Katharina no cemitério luterano de Smolensk na [[Ilha de Vassiliev]]. Em 1785, a [[Academia de Ciências da Rússia]] pôs um busto de mármore de Leonhard Euler em um pedestal próximo à reitoria e, em 1837, esculpiram uma lápide para Euler. Para comemorar os duzentos e cinquenta anos do nascimento dele, a lápide foi transferida em 1956, junto com seus restos mortais, para a necrópole do século XVIII no mosteiro Alexander Nevsky, o [[cemitério Tikhvin]].<ref name=finda>{{Find a Grave|grid=15567379}}</ref>

== Contribuições para a matemática ==

{{E (constante matemática)}}

Euler trabalhou em quase todas as áreas da matemática: [[geometria]], [[cálculo infinitesimal]], [[trigonometria]], [[álgebra]] e [[teoria dos números]], bem como deu continuidade na física newtoniana, teoria lunar e outras áreas da física. É uma figura seminal na história da matemática, e suas obras, muitas das quais são de interesse fundamental, ocupam entre 60 e 80 volumes. O nome de Euler está associado a um grande número de temas. Euler é o único matemático que tem dois números em homenagem a ele: O número ''[[Número de Euler|e]]'', aproximadamente igual a 2,71828, e a constante de Euler-Mascheroni γ (gama) por vezes referida apenas como "[[constante de Euler]]", aproximadamente igual a 0,57721. Não se sabe se γ é racional ou irracional.<ref>{{citar livro|último =Derbyshire|primeiro =John|título=[[Prime Obsession]]: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics|ano=2003|publicado=Joseph Henry Press|local=Washington, D.C.|página=422}}</ref>

===Notação matemática===
Euler introduziu e popularizou várias convenções de notação matemática através de seus numerosos e amplamente divulgados livros didáticos. Mais notavelmente, introduziu o conceito de uma função, e foi o primeiro a escrever f(x) para denotar a função f aplicada ao argumento x. Também introduziu a notação moderna para as funções trigonométricas, a letra ''e'' para a base do logaritmo natural (agora também conhecido como número de Euler), a letra grega Σ (sigma maiúsculo) para somatórios e a letra ''i'' para representar a unidade imaginária.<ref name=Boyer>{{citar livro|título= A History of Mathematics|último = Boyer|primeiro =Carl B.|coautor= Uta C. Merzbach|publicado= [[John Wiley & Sons]]|isbn= 0-471-54397-7|páginas= 439–445|ano= 1991}}</ref> O uso da letra grega π (pi) para designar a razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro também foi popularizado por Euler, embora não tenha se originado com ele.<ref name="pi">{{citar web| url = http://www.stephenwolfram.com/publications/talks/mathml/mathml2.html|título= Mathematical Notation: Past and Future|acessodata=1 de agosto de 2006|último = Wolfram|primeiro = Stephen}}</ref>

===Análise===
O desenvolvimento do cálculo infinitesimal estava na vanguarda da pesquisa matemática do século XVIII, e os amigos, de Euler, da Família Bernoulli - foram responsáveis por grande parte do progresso inicial no campo. Graças à sua influência, estudar cálculo tornou-se o foco principal do trabalho de Euler. Embora algumas das provas de Euler não sejam aceitáveis para os padrões modernos de rigor matemático<ref name = "Basel"/> (em particular a sua dependência em relação ao princípio da generalidade da álgebra), suas ideias levaram a muitos grandes avanços. Euler é bem conhecido na análise pela sua utilização frequente e desenvolvimento da série de potência, a expressão de funções como somas de um número infinito de termos, tais como:

<math>e^x = \sum_{n=0}^\infty {x^n \over n!} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{0!} + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right).</math>

Notavelmente, Euler provou diretamente as expansões em séries de potência para {{math |'' e''}} e a função da tangente inversa. (Prova indireta através da técnica de séries de potência inversa foi dada por [[Isaac Newton|Newton]] e [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]]. (Entre 1670 e 1680) Seu uso ousado da série de potência lhe permitiu resolver o famoso [[problema de Basileia]] em 1735 (ele forneceu um argumento mais elaborado em 1741):<ref name="Basel">{{citar livro|último = Wanner|primeiro = Gerhard|coautor= Harrier, Ernst |título= Analysis by its history|edição= 1st|data= março 2005|publicado= Springer|página= 62}}</ref>

:<math>\sum_{n=1}^\infty {1 \over n^2} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{\pi ^2}{6}.</math>

[[Imagem:Euler's formula.svg| thumb | A interpretação geométrica da [[fórmula de Euler]]]]

Euler introduziu o uso da [[função exponencial]] e logaritmo em provas analíticas. Descobriu maneiras de expressar diversas funções logarítmicas utilizando séries de potência, e conseguiu definir logaritmos para números negativos e complexos, ampliando consideravelmente o leque de aplicações matemáticas de logaritmos.<ref name=Boyer/> Também definiu a função exponencial para números complexos, e descobriu a sua relação com as funções trigonométricas.

Para qualquer número real φ (tida como radianos), a [[fórmula de Euler]] afirma que o complexo satisfaz a função exponencial.

:<math>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi.\,</math>

Um caso especial da fórmula acima é conhecida como a [[identidade de Euler]],
:<math>e^{i \pi} +1 = 0 \, </math>
chamada de "a fórmula mais notável em matemática", por [[Richard Feynman]],<ref name="Feynman">{{citar livro|último = Feynman|primeiro = Richard|título= The Feynman Lectures on Physics: Volume I|página=10 |capítulo= Chapter 22: Algebra |data=junho 1970 }}</ref> por seus usos individuais das noções de adição, multiplicação, exponenciação, e igualdade, e os usos individuais da constantes 0, 1, e, i e π. Em 1988, os leitores da ''Mathematical Intelligencer'' votaram como sendo "a fórmula matemática mais bela de todos os tempos". No total, Euler foi responsável por três das cinco melhores fórmulas nessa enquete.<ref name=MathInt>{{citar periódico|último = Wells |primeiro = David |ano= 1990 |título= Are these the most beautiful? |periódico= Mathematical Intelligencer | volume = 12 |número= 3 |páginas= 37–41 | doi= 10.1007/BF03024015 }}<br />{{citar periódico|último = Wells |primeiro = David |ano= 1988 |título= Which is the most beautiful? |periódico= Mathematical Intelligencer | volume = 10 |número= 4 |páginas= 30–31 | doi= 10.1007/BF03023741 }}<br /> See also: {{citar web |url = http://www.maa.org/mathtourist/mathtourist_03_12_07.html |título = The Mathematical Tourist |acessodata = 1 de março de 2008 |último = Peterson |primeiro = Ivars |arquivourl = https://web.archive.org/web/20070331214557/http://www.maa.org/mathtourist/mathtourist_03_12_07.html# |arquivodata = 31 de março de 2007 |urlmorta = yes }}</ref>

[[Pafnuti Tchebychev]] escreveu: "Euler foi o início de todas as pesquisas que compõem a teoria geral dos números." A maioria dos matemáticos do século XVIII se dedica ao desenvolvimento de análise, mas Euler carregava a antiga paixão aritmética ao longo de sua vida. Por causa de seu interesse na teoria dos números, a mesma foi revivida até o final do século.

Euler continuou com suas pesquisas feitas anteriormente (sob influência de Diophantus), uma série de hipóteses separadas sobre os números naturais. Euler provou rigorosamente essas hipóteses, muito generalizadas, e as combinou em uma interessante teoria dos números. Introduziu na matemática "função de Euler" crítica e formulada com a ajuda do "teorema de Euler." Euler criou a teoria dos resíduos quadráticos e comparações, apontando para o último critério de Euler.

Euler Introduziu a [[função zeta de Riemann]], uma generalização, que mais tarde recebeu o nome de [[Bernhard Riemann]]
<math>\zeta(s) = \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\ldots</math> [[Número real|verdadeiro.]] Euler provocou a sua expansão:
: <math>\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}}</math> ,
onde o produto é feita sobre todos os primos, <math>\displaystyle p</math>. Devido a isso, provou que a soma do inverso simples <math>\sum_p \frac{1}{p}</math> diverge.<ref name="ingham.p.2">[[Albert Ingham]], ''The Distribution of Prime Numbers'' (1932), ''Introduction'', p.2 [http://books.google.com.br/books?id=BZLEFyNuGGAC&pg=PA2&f=false <nowiki>[google books]</nowiki>]</ref>

A [[fórmula de De Moivre]] é uma consequência da [[fórmula de Euler]]. Além disso, Euler elaborou a teoria do nível superior das funções transcendentes pela introdução da [[função gama]] e introduziu um novo método de solução das funções quárticas. Também descobriu um meio de calcular integral com limites complexos, o prenúncio do desenvolvimento da [[análise complexa]] moderna. Ele, igualmente, inventou o [[cálculo das variações]] incluindo suas melhores soluções pela [[Equação de Euler-Lagrange]].

Euler iniciou também o uso de métodos de análise para resolução dos problemas da teoria dos números.<ref name="analysis">{{harvnb|Dunham|1999|loc=Ch. 3, Ch. 4}}</ref>

===Teoria dos números===
O interesse de Euler na teoria dos números pode ser atribuído à influência de [[Christian Goldbach]], seu amigo na Academia de São Petersburgo. Muitos dos primeiros trabalhos de Euler na teoria dos números foram baseadas nas obras de [[Pierre de Fermat]]. Euler desenvolveu algumas das ideias de Fermat, e refutou algumas das suas conjeturas.

Euler ligou a natureza da distribuição privilegiada, com ideias de análise. Conseguiu provar que a soma dos recíprocos dos primos divergem. Ao fazer isso, descobriu a conexão entre a função zeta de Riemann e os números primos, o que é conhecido como a fórmula do produto Euler para a função zeta de Riemann.

Euler provou identidades de Newton, Pequeno teorema de Fermat, [[teorema de Fermat]] em somas de dois quadrados, e fez contribuições distintas ao [[Teorema de Fermat-Lagrange]]. Inventou também a função φ totiente (n). Usando as propriedades desta função, generalizou o teorema de Fermat ao que é hoje conhecido como o [[teorema de Euler]]. Contribuiu de forma significativa para a teoria dos números perfeitos, que havia fascinado os matemáticos desde [[Euclides]]. Euler também conjeturou a lei da reciprocidade quadrática. O conceito é considerado como um teorema fundamental da teoria dos números, e suas ideias pavimentaram o caminho para o trabalho de [[Carl Friedrich Gauss]].<ref name="numbertheory">{{harvnb|Dunham|1999|loc=Ch. 1, Ch. 4}}</ref>

===Teoria dos grafos===
[[Imagem:Konigsberg bridges.png|frame|O mapa de [[Königsberg]] na época de Euler mostrando a disposição atual das sete pontes, destacando o rio Pregel e suas pontes.]]
Em 1736, Euler resolveu o problema conhecido como [[sete pontes de Königsberg]]. A cidade de [[Königsberg]], [[Prússia]], foi construída no [[rio Pregel]], e incluiu duas grandes ilhas que estavam conectadas entre si e ao continente por sete pontes. O problema era o de decidir se é possível seguir um caminho que atravessa cada uma das pontes exatamente uma vez e retornar ao ponto de partida. Esta solução é considerada como sendo o primeira teorema da teoria dos grafos, especificamente da teoria gráfica planar.<ref name="bridge">{{citar periódico|último = Alexanderson|primeiro = Gerald|data= julho 2006|título= Euler and Königsberg's bridges: a historical view|periódico= Bulletin of the American Mathematical Society| doi = 10.1090/S0273-0979-06-01130-X| volume = 43|página= 567|número= 4}}</ref>

Euler também descobriu a fórmula V - E + F = 2 relacionando o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo e, portanto, de um grafo planar. A constante nesta fórmula é agora conhecida como a característica de Euler para o gráfico (ou objeto de cálculo), e está relacionada ao gênero do objeto. O estudo e generalização desta fórmula foram, especificamente através de [[Augustin-Louis Cauchy]], [[Simon Antoine Jean L'Huillier]], estando na origem da [[Topologia (matemática)|topologia]].<ref>{{citar livro|primeiro =Peter R. |último =Cromwell |título=Polyhedra |url=http://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&pg=PA189 |ano=1999 |publicado=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-66405-9 |páginas=189–190}}</ref><ref name="Lhuillier">{{citar periódico|autor =L'Huillier, S.-A.-J.|título=Mémoire sur la polyèdrométrie|periódico=Annales de Mathématiques|volume=3|ano=1861|páginas=169–189}}</ref>

===Matemática aplicada===
Alguns dos maiores sucessos de Euler foram na resolução de problemas do mundo real analiticamente, e em descrever inúmeras aplicações do [[números de Bernoulli]], [[série de Fourier]], [[diagrama de Venn|diagramas de Venn]], os [[número de Euler|números de Euler]], as constantes {{math|e}} e [[pi]], frações contínuas e integrais. Integrou [[cálculo diferencial]] de [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] com o de Newton, e as ferramentas que tornaram mais fácil de aplicar o cálculo de problemas físicos desenvolvidos. Fez grandes progressos na melhoria da [[aproximação numérica]] de integrais, inventando o que hoje é conhecido como aproximações de Euler. As mais notáveis dessas aproximações são o [[método de Euler]] e a [[fórmula de Euler]]. Também facilitou o uso de [[equações diferenciais]], em particular, a introdução da constante de Euler-Mascheroni.

:<math>\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln(n) \right).</math>

Um dos interesses mais incomuns de Euler foi a aplicação de ideias matemáticas na [[música]]. Em 1739, escreveu o ''Tentamen novae theoriae musicae'', na esperança de, eventualmente, incorporar a [[teoria musical]] como parte da matemática. Esta parte de seu trabalho, no entanto, não recebeu grande atenção e já foi descrita como muito matemática para músicos e demasiado musical para matemáticos.<ref name="music">{{harvnb|Calinger|1996|pp=144–5}}</ref>

===Trabalhos na física e na astronomia===
{{Mecânica Clássica}}
Euler ajudou a desenvolver o [[modelo de viga de Euler-Bernoulli]], que se tornou um marco da engenharia. Além de aplicar com sucesso as suas ferramentas analíticas para problemas em [[mecânica clássica]], Euler também aplicou essas técnicas para problemas celestes. Seu trabalho em [[astronomia]] foi reconhecido por uma série de prêmios da ''Paris Academy'' ao longo de sua carreira. Suas realizações incluem determinar com grande precisão as órbitas de cometas e outros corpos celestes, compreender a natureza dos cometas, e calcular a paralaxe do Sol. Seus cálculos também contribuíram para o desenvolvimento de tabelas de longitude precisas.<ref>Youschkevitch, A P; Biography in ''Dictionary of Scientific Biography'' (New York 1970–1990).</ref>

Além disso, Euler fez importantes contribuições na [[óptica]]. Discordou da teoria corpuscular de Newton da luz nos ''Opticks'', que era então a teoria prevalecente. Seus trabalhos sobre óptica em 1740 ajudaram a garantir que a teoria ondulatória da luz proposta por [[Christiaan Huygens]] se tornasse o modo dominante de pensamento, pelo menos até o desenvolvimento da [[teoria quântica]] da luz.<ref name="optics">{{citar periódico
|autor = Home, R. W.
|ano= 1988
|título= Leonhard Euler's 'Anti-Newtonian' Theory of Light
|periódico= Annals of Science
| volume = 45
|número= 5
|páginas= 521–533 | doi = 10.1080/00033798800200371
}}</ref>

Em 1757 publicou um importante conjunto de equações, que agora são conhecidas como as [[Equações de Euler (fluidos)|Equações de Euler]].<ref name=euler2>{{citar periódico|último =Euler|primeiro =Leonhard|título=Principes généraux de l'état d'équilibre d'un ﬂuide|título-trad=General principles of the state of equilibrium of a fluid|periódico=Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, Mémoires|ano=1757|volume=11|páginas=217–273|url=http://arxiv-web3.library.cornell.edu/pdf/0802.2383.pdf}}</ref> Na forma diferencial, as equações são:
:

Onde:<math>
\begin{align}
&{\partial\rho\over\partial t}+
\nabla\cdot(\rho\mathbf u)=0\\[1.2ex]
&{\partial(\rho{\mathbf u})\over\partial t}+
\nabla\cdot(\mathbf u\otimes(\rho \mathbf u))+\nabla p=\mathbf{0}\\[1.2ex]
&{\partial E\over\partial t}+
\nabla\cdot(\mathbf u(E+p))=0,
\end{align}
</math>

* ''ρ'' é o [[densidade]] do fluido;
* '''''u''''' é o [[vetor (matemática)|vetor]] de [[velocidade]] do [[fluido]], com os eixos ''u'', ''v'' e ''w'';
* ''E'' = ''ρ e'' + ½ ''ρ'' (''u''<sup>2</sup> + ''v''<sup>2</sup> + ''w''<sup>2</sup>) é a energia total por unidade ([[volume]]), com ''e'' sendo a [[energia interna]] por unidade de massa para o fluido;
* ''p'' é a [[pressão]];
* ''<math>\otimes</math>'' denota o [[produto tensorial]],e;
* '''0''' sendo o elemento zero.

===Flambagem===
Euler também é conhecido na engenharia pela fórmula de flambagem sob carga crítica de um suporte ideal, calculada a partir do seu comprimento e rigidez à flexão:<ref name="SIAM">{{citar periódico| url=http://www.cs.purdue.edu/homes/wxg/EulerLect.pdf |título=Leonhard Euler: His Life, the Man, and His Work |último =Gautschi |primeiro =Walter |periódico=SIAM Review |ano=2008 | volume=50 |número=1 |páginas=3–33 | doi=10.1137/070702710|bibcode = 2008SIAMR..50....3G }}</ref>
:<math>F=\frac{\pi^2 EI}{(KL)^2}</math>

Onde:
* ''F'' = força máxima ou [[crítica]] (carga vertical da coluna);
* ''E'' = [[módulo de elasticidade]];
* ''I'' = [[momento de inércia de área]];
* ''L'' = comprimento sem suporte da coluna;
* ''K'' = fator de comprimento de coluna efetiva, no qual os valores dependem das condições da extremidade do suporte da coluna, como abaixo:
:: Para ambas as extremidades presas (articulações, livres para rotação), ''K'' = 1,0.
:: Para ambas as extremidades fixadas, ''K'' = 0,50.
:: Para uma das extremidades fixas e a outra extremidade livre para rotação, ''K'' = 0,699…
:: Para uma das extremidades fixas e a outra livre para mover de forma lateral, ''K'' = 2,0.
* ''K L'' é o comprimento efetivo da coluna.

===Ângulos de Euler===
{{Artigo principal|Ângulos de Euler}}
[[Imagem:Euler.png|thumb|170px|direita|Ângulos de Euler α, β e γ.]]
Em 1765, em seu livro "A Teoria do movimento dos corpos sólidos", Euler matematicamente descreveu a cinemática de um corpo rígido de tamanho finito. Introduziu na matemática o teorema de Euler de ângulos de rotação. Seu nome também é usado na fórmula de cinemática da distribuição de velocidade em um sólido, conhecido como as equações (Euler - Poisson), dinâmica de corpo rígido, um dos três casos gerais integráveis no problema da dinâmica de um corpo rígido com um ponto fixo.

Euler generalizou o princípio da mínima ação, um conjunto bastante confuso e apontou para a sua importância fundamental na mecânica. Infelizmente, não revelou a natureza do princípio variacional, mas, no entanto, atraiu a atenção de físicos, que mais tarde descobriram que o seu papel fundamental na natureza era válido.

Euler trabalhou no campo da mecânica celeste. Lançou as bases da teoria de perturbações, mais tarde completadas por [[Laplace|Pierre Simon Laplace]], e desenvolveu uma teoria muito precisa do movimento da Lua. Esta teoria provou ser adequada para resolver o problema urgente de determinar a longitude no mar.

Principais obras de Euler nesta área:
* "A teoria do movimento da Lua", 1753;
* "A teoria do movimento dos planetas e cometas" (latim Theoria motus Planetarum et cometarum), 1774;
* "A nova teoria do movimento da Lua", 1772.

Euler estudou o campo gravitacional não só esférico, mas os corpos elipsoidais, o que representa um significativo passo em frente.<ref>{{Citar livro| título= Matemática do século XVIII. O decreto. op | página = 35}}</ref>

===Lógica===
Euler é também creditado por utilizar as curvas fechadas para ilustrar os argumentos do silogismo em 1768. Estes diagramas são conhecidos como [[diagrama de Euler|diagramas de Euler]].<ref name="logic">{{citar periódico|último =Baron |primeiro =M. E. |título=A Note on The Historical Development of Logic Diagrams |periódico=The Mathematical Gazette |volume=LIII |número=383 |páginas=113–125 |data=maio de 1969 |jstor=3614533}}</ref>
[[Imagem:Euler Diagram.svg|thumb|169x169px|Diagrama de Euler]]

Um '''Diagrama de Euler''' é uma forma diagramática de representar conjuntos e suas relações. Este diagrama consiste de curvas fechadas simples (geralmente círculos) no plano que representam os conjuntos. Cada curva de Euler divide o plano dentro de duas regiões ou "zonas": o interior, simbologicamente representa os [[Elemento (matemática)|elemento]]s do conjunto, e o exterior que representa todos os elementos que não são membros do conjunto. As partes das formas das curvas não são importantes: o significado do diagrama é em como eles se coincidem. As relações espaciais entre as fronteiras entre regiões de cada curva (sobrepõem, contenção ou nem um dos casos) correspondem às relações aos conjuntos teóricos ([[interseção]], [[subconjunto]] e [[conjuntos disjuntos]]).<ref>{{Citar web |url=http://www.readingquest.org/strat/venn.html# |titulo=Strategies for Reading Comprehension Venn Diagrams |acessodata=6 de julho de 2014 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20090429093334/http://readingquest.org/strat/venn.html# |arquivodata=29 de abril de 2009 |urlmorta=yes }}</ref> Desde então, eles têm também sido adotados por outros campos curriculares, como leitura.<ref name=quest>{{citar web|url=http://www.readingquest.org/strat/venn.html|título=Strategies for Reading Comprehension Venn Diagrams|publicado=|data=|acessodata=|arquivourl=https://web.archive.org/web/20090429093334/http://readingquest.org/strat/venn.html#|arquivodata=29 de abril de 2009|urlmorta=yes}}</ref>

== Frederico II, o Grande e Voltaire ==
Porém Euler tinha caído em desgraça junto de Frederico II, que lhe chamava “ciclope” – numa referência ao seu defeito físico. Já desde 1735, Euler sofria de alguns problemas de saúde, como febres altas. Em 1738, perdeu a visão do olho direito, devido ao excesso de trabalho. Mas tal infelicidade não diminuiu em nada a sua produção Matemática.

Euler nunca teve problemas em produzir trabalhos de diferentes géneros, como por exemplo, material para livros-textos para as escolas russas. Geralmente escrevia em [[latim]], mas também em [[Língua francesa|francês]], embora a sua língua de origem fosse o [[Língua alemã|alemão]]. Tinha uma enorme facilidade para línguas, como bom suíço que era, o que lhe facilitava muito a vida nas diversas viagens que fazia, como era costume dos matemáticos do século XVIII. Em 1749, depois de 7 anos de trabalho e quase cem anos após a morte de [[Pierre de Fermat|Fermat]], conseguiu provar a teoria de Fermat.

Em 1759, com a morte de Maupertuis (1698-1759), o lugar de diretor da Academia foi dado a Euler. Ao saber que outro cargo, o de presidente, tinha sido oferecido ao matemático [[d'Alembert]], com quem tinha tido algumas divergências sobre questões científicas, Euler ficou bastante perturbado. Apesar de d'Alembert não ter aceite o cargo, Frederico continuou a implicar com Euler, que farto de tal situação, aceitou o convite feito por Catarina, a Grande de voltar para a Academia de S. Petersburgo.

== Euler e outros matemáticos ==
=== Euler e d'Alembert ===
O trabalho entre Euler e [[d'Alembert]] sempre convergiu no mesmo sentido. Os seus interesses eram quase os mesmos, apesar de ter havido alguma controvérsia entre eles sobre o problema das ''membranas vibrantes'', em 1757, cuja solução da equação de Bessel, Euler conseguiu obter, o que ocasionou um afastamento. Mas, com a teoria dos números houve um grande apoio por parte de d’Alembert a Euler.

A contribuição de Euler para a teoria dos logaritmos não se restringiu à definição de expoentes, como usamos hoje. Trabalhou, também, no conceito de logaritmo de números negativos.

Enquanto se mantinha ocupado a pesquisar matemática em [[Berlim]], d’Alembert pesquisava em [[Paris]].

Em 1747, Euler escreveu a este matemático explicando corretamente a questão dos [[logaritmo]]s dos [[números negativos]]. Mas ao contrário do que seria de se esperar, a fórmula formulada por Euler, válida para qualquer ângulo (em radianos), não foi compreendida por [[Bernoulli]] nem por d'Alembert pois, para estes, os logaritmos de números negativos eram reais, o que não é verdade já que se tratam de números imaginários puros.

Através da sua identidade – mais tarde conhecida como ''Igualdade de Euler'' – é possível observar que os logaritmos de números complexos, reais ou imaginários, também são números complexos. Usando as identidades de Euler é também possível expressar quantidades como sen(1 + i) ou cos(i), na forma usual para números complexos. Desta maneira, vê-se que ao efetuar operações transcendentes elementares sobre os números complexos, os resultados são números complexos.

Assim sendo, Euler foi capaz de demonstrar que o sistema de números complexos é fechado sob as operações transcendentes elementares, enquanto d’Alembert sugerira que o sistema de números complexos era algebricamente fechado.

=== Euler e Fermat ===
Tanto [[Pierre de Fermat|Fermat]] como Euler sentiram-se bastante interessados pela teoria dos números. Embora não haja qualquer livro sobre este assunto, Euler escreveu cartas e artigos sobre vários aspetos desta teoria. Entre elas encontram-se as conjeturas apresentadas por Fermat, que foram derrubadas por Euler. Uma dessas conjecturas foi:
* Os números da forma 2<sup>2<sup>n</sup></sup> + 1 são sempre primos;

Ela foi derrubada em 1732 com o auxílio do seu domínio em computação, evidenciando que 2<sup>2<sup>5</sup></sup> + 1 = {{Fmtn|4294967297}} é fatorizável em {{Fmtn|6700417}} * 641. 

Euler também realizou a demonstração de uma conjetura bastante conhecida, denominada como [[Pequeno teorema de Fermat]]. Tal demonstração foi apresentada numa publicação em 1736, denominada Commentarii.

Posteriormente, demonstrou uma afirmação mais geral do Pequeno teorema de Fermat, que veio a chamar-se [[Função de Euler]]. Mas, contrariando o que seria esperado, Euler não foi capaz de demonstrar o [[Último Teorema de Fermat]], embora provasse a impossibilidade de soluções inteiras de x<sup>n</sup> + y<sup>n</sup> = z<sup>n</sup> para n = 3.

Em 1747, definiu mais 27 números amigáveis, que se juntaram aos três já conhecidos por Fermat. Mais tarde aumentou o número para 60. Euler também provou que todos os números perfeitos pares são da forma dada por [[Euclides]], 2<sup>n-1</sup>(2<sup>n</sup> – 1), onde 2<sup>n</sup> – 1 é primo. Se existe ou não um número ímpar perfeito foi uma questão levantada por Euler e [[Christian Goldbach|Goldbach]], através de correspondência, ainda hoje sem resposta.

== Comemorações==
[[Imagem:Euler-10 Swiss Franc banknote (front).jpg|thumb|direita|200px|Antiga nota de 10 francos suíços homenageando Euler.]]

Euler foi destaque na sexta série de notas de 10 [[franco suíço|francos suíços]] e em numerosos selos suíços, alemães e russos. O [[asteroide]] [[2002 Euler]] foi nomeado em sua honra. Também é comemorada pela [[Igreja Luterana]] em seu [[Calendário dos Santos (Luterana)|Calendário dos Santos]] em 24 de maio, ele era um devoto cristão (crente na [[infalibilidade bíblica]]), que escreveu [[apologética]]s e argumentou energicamente contra os ateus proeminentes de seu tempo.<ref name="theology">{{citar periódico|último = Euler|primeiro = Leonhard | editor = Orell-Fussli|ano= 1960|título= Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister|periódico= Leonhardi Euleri Opera Omnia (series 3)| volume = 12 }}</ref>

Em 15 de abril de 2013, os 306 anos de Euler foi comemorado com um [[Google Doodle#Google Doodle|Google Doodle]].<ref>{{citar jornal|último =Williams|primeiro =Rob|título=Google Doodle celebrates Leonhard Euler – Swiss mathematician considered one of the greatest of all time |url=http://www.independent.co.uk/life-style/gadgets-and-tech/news/google-doodle-celebrates-leonhard-euler--swiss-mathematician-considered-one-of-the-greatest-of-all-time-8573041.html}}</ref>

== Obras ==
* ''Dissertatio physica de sono'' (Dissertação sobre a física do som) (Basileia, 1727, in quarto)
* ''Mechanica, sive motus scientia analytice; expasita'' (São Petersburgo, 1736, in 2 vols. quarto)
* ''Ennleitung in die Arithmetik'' (ibid., 1738, in 2 vols. octavo), in German and Russian
* ''Tentamen novae theoriae musicae'' (ibid. 1739, in quarto)
* ''Methodus inveniendi limas curvas, maximi minimive proprictate gaudentes'' (Lausanne, 1744, in quarto)
* ''Theoria motuum planetarum et cometarum'' (Berlin, 1744, in quarto)
* ''Beantwortung'', &c., ou ''Answers to Different Questions respecting Comets'' (ibid., 1744, in octavo)
* ''Neue Grundsatze'', c., ou ''New Principles of Artillery'', traduzido para o inglês por Benjamin Robins, com notas e ilustrações (''ibid.'', 1745, in octavo)
* ''Opuscula varii argumenti'' (''ibid.'', 1746-1751, in 3 vols. quarto)
* ''Novae et carrectae tabulae ad loco lunae computanda'' (''ibid.'', 1746, in quarto)
* ''Tabulae astronomicae solis et lunae'' (''ibid.'', quarto)
* ''Gedanken'', &c., ou ''Thoughts on the Elements of Bodies'' (''ibid.'' quarto)
* ''Rettung der gall-lichen Offenbarung'', &c., Defence of Divine Revelation against Free-thinkers (ibid., 1747, in 4t0)
* ''Introductio it analysin infinitorum'' (Lausanne, 1748, in 2 vols. 4t0)
* ''Scientia navalis, seu tractatus de construendis ac dirigendis navi bus'' (St Petersburg, 1749, in 2 vols. quarto)
* ''Theoria motus lunae'' (Berlin, 1753, in quarto)
* ''Dissertatio de principio mininiae actionis, 'una cum examine objectionum cl. prof. Koenigii'' (''ibid.'', 1753, in octavo)
* ''Institutiones calculi differentialis, cum ejus usu in analysi Intuitorum ac doctrina serierum'' (ibid., 1755, in 410)
* ''Constructio lentium objectivarum, &c.'' (St Petersburg, 1762, in quarto)
* ''Theoria motus corporum solidoruni seu rigidorum'' (Rostock, 1765, in quarto)
* ''Institutiones,calculi integralis'' (St Petersburg, 1768-1770, in 3 vols. quarto)
* ''Lettres a une Princesse d'Allernagne sur quelques sujets de physique it de philosophic'' (St Petersburg, 1768-1772, in 3 vols. octavo)
* ''Anleitung zur Algebra'', ou Introduction to Algebra (ibid., 1770, in octavo); Dioptrica (ibid., 1767-1771, in 3 vols. quarto)
* ''Theoria motuum lunge nova methodo pertr.arctata'' (ibid., 1772, in quarto)
* ''Novae tabulae lunares ''(ibid., in octavo); La théorie complete de la construction et de la manteuvre des vaisseaux (ibid., .1773, in octavo)
* ''Eclaircissements svr etablissements en favour taut des veuves que des marts'', without a date
* ''Opuscula analytica'' (St Petersburg, 1783-1785, in 2 vols. quarto). See Rudio, Leonhard Euler (Basel, 1884)

{{Referências|col=3}}

== Bibliografia ==
*''Lexikon der Naturwissenschaftler'', (2000), Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.
*Bogolyubov, Mikhailov, and Yushkevich, (2007), ''Euler and Modern Science'', [[Mathematical Association of America]]. {{ISBN|0-88385-564-X}}. Translated by Robert Burns.
* Bradley, Robert E., D'Antonio, Lawrence A., and C. Edward Sandifer (2007), ''Euler at 300: An Appreciation'', [[Mathematical Association of America]]. {{ISBN|0-88385-565-8}}
*Demidov, S.S., (2005), "Treatise on the differential calculus" in [[Ivor Grattan-Guinness|Grattan-Guinness, I.]], ed., ''Landmark Writings in Western Mathematics''. Elsevier: 191–98.
*Dunham, William (1999) ''Euler: The Master of Us All'', Washington: [[Mathematical Association of America]]. {{ISBN|0-88385-328-0}}
*Dunham, William (2007), ''The Genius of Euler: Reflections on his Life and Work'', [[Mathematical Association of America]]. {{ISBN|0-88385-558-5}}

==Ver também==
{{Multicol}}
*[[Número de Euler]]
*[[Fórmula de Euler]]
*[[Identidade de Euler]]
*[[Característica de Euler]]
*[[Constante de Euler-Mascheroni]]
*[[Conjetura de Euler]]
{{Multicol-break}}
*[[Problema de Basileia]]
*[[Igualdade de Euler]]
*[[Teorema de Euler]]
*[[Teoria dos grafos]]
*[[Representações de e]]
{{Multicol-end}}

==Ligações externas==
{{Correlatos
|commons=Leonhard Euler
|wikiquote=Leonhard Euler
}}
*{{MacTutor Biography|id=Euler}}
*{{MathGenealogy|id=38586}}
*[http://www.eulerarchive.org/ Euler Archive]
*{{Link|fr|2=http://portail.mathdoc.fr/OEUVRES/|3=Gallica - Obras completas}}
*[http://mathemathika.wordpress.com/2013/06/21/leonhard-euler/ Leonhard Euler - Mathemathika!]{{Ligação inativa|1=data=abril de 2019 }}

{{Infinitesimais}}
{{Portal3|Suíça|Biografias|Matemática|História da ciência}}

{{Controle de autoridade}}

{{DEFAULTSORT:Euler, Leonhard}}
[[Categoria:Leonhard Euler| ]]
[[Categoria:Membros da Academia de Ciências da Prússia]]
[[Categoria:Membros da Academia de Ciências da Rússia]]
[[Categoria:Professores da Universidade Estatal de São Petersburgo]]
[[Categoria:Teoristas dos números]]
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