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[[Imagem:Rhombus.png|thumb|Um losango é uma figura formada por quatro lados de igual [[comprimento]].]]

'''Losango'''  (◊) é um [[quadrilátero]] equilátero, ou seja, é um [[polígono]] formado por quatro lados de igual [[comprimento]]. Um losango é também um [[paralelogramo]]. Alguns autores exigem ainda que nenhum dos ângulos do quadrilátero seja reto para que ele seja considerado um losango.<ref>Campos (1735), {{Citação do google books|id=Hof-Xq5rm5kC|pag=6|texto=Rhombo|p. 6}}.</ref>

Todo losango é um [[paralelogramo]], e um losango com ângulos retos é um [[quadrado]].<ref>Nota: a definição original de [[Euclides]] e de alguns dicionários de língua inglesa excluem os quadrados, mas os matemáticos modernos preferem a definição inclusiva.</ref><ref>{{MathWorld |urlname=Square |title=Square}} uso inclusivo</ref>

Uma superfície cujos limites são um losango, ou semelhantes a um losango, designa-se por ''superfície rômbica''.

Em [[Engenharia]] e em [[Física]], a designação "rombo" é mais comum.

== Etimologia ==
O losango também é chamado de ''rombo'' e vem do grego "{{lang|el|ῥόμβος}}" (rhombos), ou seja, algo que gira que deriva do verbo "ρέμβω" (rhembō) que significa ''voltas e voltas''. Já a palavra ''losango'' vem do latim arcaico ''lausa'', que designa uma ''pedra achatada'' e também derivou na palavra ''lousa''.

==Propriedades geométricas ==
A seguir temos algumas propriedades dos losangos e em seguida suas respectivas demonstrações.
# Ângulos opostos têm medidas iguais.
# As suas diagonais são bissetrizes.
# As suas diagonais são retas perpendiculares.
# Todo losango tem um círculo inscrito.

=== Demonstrações das propriedades ===

==== 1° Propriedade ====
Essa propriedade é intuitiva e ela parte do fato de que um losango é um caso especial de um paralelogramo. Como todo paralelogramo possui ângulos opostos congruentes, então todo losango também possui ângulos opostos congruentes.

==== 2° Propriedade ====
[[Ficheiro:Losango e bissetriz.svg|miniaturadaimagem|437x437px]]
Para demonstrar essa propriedade vamos, inicialmente, escrevê-la em [[notação matemática]].

<math>ABCD\quad\text{é um losango de diagonais }\quad\overline{AC}\quad\text{e}\quad\overline{BD}\qquad\Longrightarrow\qquad\begin{cases} \overline{AC}\quad\text{é bissetriz de}\quad\hat{A}\quad\text{e}\quad\hat{C} \\\overline{BD}\quad\text{é bissetriz de}\quad\hat{B}\quad\text{e}\quad\hat{D} \end{cases}</math>

Por definição temos que todos os lados são congruentes. Assim cada uma das diagonais divide o losango em dois triângulos isósceles.

Visto que todo losango é um paralelogramo, temos também que suas diagonais se interceptam em seus pontos médios. Assim, sendo <math>M</math> o ponto de intersecção das diagonais, temos:

<math>\overline{AM}\equiv\overline{MC}\quad\text{e}\quad\overline{BM}\equiv\overline{MD}</math>

Unindo essas duas implicações temos:

<math>\overline{AB}\equiv\overline{BC}\equiv\overline{CD}\equiv\overline{DA},\quad\overline{AM}\equiv\overline{MC}\quad\text{e}\quad\overline{BM}\equiv\overline{MD}\qquad(LLL)\qquad\Longrightarrow\qquad\triangle{AMB}\equiv\triangle{CMB}\equiv\triangle{CMD}\equiv\triangle{AMD}</math>

Visto que todos esses triângulos são congruentes, temos:

<math>A\hat{B}M\equiv{M\hat{B}C}\equiv{C\hat{D}M}\equiv{M\hat{D}A}\qquad\Longrightarrow\qquad\overline{BD}\quad\text{é bissetriz de}\quad \hat{B}\quad\text{e}\quad\hat{D}</math>

<math>M\hat{A}B\equiv{B\hat{C}M}\equiv{M\hat{C}D}\equiv{D\hat{A}M}\qquad\Longrightarrow\qquad\overline{AC}\quad\text{é bissetriz de}\quad \hat{A}\quad\text{e}\quad\hat{C}</math>

Logo, as diagonais de um losango são bissetrizes de seus respectivos ângulos internos.

==== 3° Propriedade ====
Essa propriedade será demonstrada em duas partes (a 'ida' e a 'volta' do teorema).

===== Todo losango tem diagonais perpendiculares =====
[[Ficheiro:Losangodem1.png|miniaturadaimagem|437x437px]]
Vamos demonstrar que se um quadrilátero é um losango, então ele é tem as diagonais perpendiculares.

<math>ABCD\quad\text{é losango}\qquad\Longrightarrow\qquad\overline{AC}\perp\overline{BD}</math>

Como todo losango é um paralelogramo (por possuir lados opostos congruentes), temos que suas diagonais se interceptam em seus respectivos pontos médios. Ou seja, sendo <math>\overline{AC}</math> e <math>\overline{BD}</math> as diagonais temos:

<math>M=\overline{AC}\cap\overline{BD}\qquad\Longrightarrow\qquad\overline{AM}\equiv\overline{MC}\quad\text{e}\quad\overline{BM}\equiv\overline{MD}</math>

Agora tomamos os seguintes triângulos: <math>\triangle{AMB}</math>, <math>\triangle{AMD}</math>, <math>\triangle{CMB}</math> e <math>\triangle{CMD}</math>.

Pelo caso de congruência <math>LLL</math>, temos as congruências:

<math>\triangle{AMB}\equiv\triangle{AMD}\equiv\triangle{CMB}\equiv\triangle{CMD}</math>.

Assim verificamos que os ângulos de vértices <math>M</math> são congruentes e suplementares, ou seja: <math>\overline{AC}\perp\overline{BD}</math>

===== Todo paralelogramo que possui diagonais perpendiculares é losango =====
[[Ficheiro:Losangodem2.png|miniaturadaimagem|366x366px]]
Vamos demonstrar se um paralelogramo possui diagonais perpendiculares, então ele é um losango.

<math>ABCD\quad\text{é um paralelogramo tal que}\quad\overline{AC}\perp\overline{BD}\qquad\Longrightarrow\qquad{ABCD}\quad\text{é losango}</math>

Como <math>ABCD</math> é paralelogramo, temos que seus lados opostos são congruentes, ou seja:

<math>\overline{AB}\equiv\overline{CD}</math>e <math>\overline{BC}\equiv\overline{AD}</math>.

Também, por ser paralelogramo temos que as diagonais interceptam-se em seus respectivos pontos médios, ou seja:

<math>M=\overline{AC}\cap\overline{BD}\qquad\Longrightarrow\qquad\overline{AM}\equiv\overline{MC}\quad\text{e}\quad\overline{BM}\equiv\overline{MD}</math>

Como diagonais são perpendiculares, temo que :
[[Ficheiro:Losangodem3.png|miniaturadaimagem|376x376px]]
<math>A\hat{M}B\equiv{B\hat{M}C}\equiv{C\hat{M}D}\equiv{D\hat{M}A}</math>.

Dessas relações, através do caso de congruência <math>LAL</math>, temos:

<math>\triangle{AMB}\equiv\triangle{AMD}\equiv\triangle{CMB}\equiv\triangle{CMD}\qquad\Longrightarrow\qquad\overline{AB}\equiv\overline{BC}\equiv\overline{CD}\equiv\overline{DA}</math>.

Logo, <math>ABCD</math> é um losango.<ref>{{citar livro|titulo=Fundamentos de Matemática Elementar 9: Geometria plana|ultimo=Dolce|primeiro=Osvaldo|editora=Atual|ano=2013|local=São Paulo|paginas=|acessodata=}}</ref>

=== Ângulos ===
O único losango que não possui dois ângulos agudos (menores que 90°) e dois ângulos obtusos (maiores que 90°) é o [[quadrado]]. O quadrado possui quatro ângulos iguais a 90°.

=== Área ===
[[File:Rhombus1.svg|thumb|280px|A altura ''h'' é a distância perpendicular entre dois lados quaisquer não-adjacentes, ou o diâmetro do [[circulo inscrito]] (''h''=2''r'').]]

Existem varias formas de se visualizar a fórmula da [[área]]. A mais usual é partindo do que se conhece sobre a fórmula da área do [[paralelogramo]].  A área ''A'' de um paralelogramo é o  produto da sua base pela sua altura (''h'' na ilustração). No losango qualquer lado, todos de comprimento ''a'', se presta a fazer o papel de base:
:<math>A = a \cdot h = a \cdot 2 r</math>

Outra forma usual de visualizar a área do losango, é percebendo que o traçado de suas diagonais permite dividi-lo em quatro [[triângulo retângulo|triângulos retângulos]] simétricos e de mesma área:
:<math>A = 4\cdot K = \frac{p \cdot q}{2}</math>
onde ''K'' é a área de um dos triângulos, ''p'' e ''q''  as diagonais do losango.<ref>{{Citar livro|nome=Manoel de |sobrenome=Campos |título=Elementos de geometria plana e solida segundo a ordem de Euclides |subtítulo= |idioma= |edição= |local= |editora=Officina Rita-Cassiana |ano=1735 |páginas= |volumes= |volume= |id=|url=http://books.google.com.br/books?id=Hof-Xq5rm5kC }}</ref> 
A correspondência com a área da primeira abordagem é demonstrada na  [[#Incentro|análise do incentro]].

Uma terceira forma, se baseia na primeira, mas expressando ''h'' como projeção de um lado ''a'', ou seja, como cateto oposto do ângulo <math>\alpha</math>, portando expressando através do seno,
:<math>A = a^2 \cdot \sin \alpha = a^2 \cdot \sin \beta ,</math>
onde é lembrado que o seno de qualquer ângulo do losango é o mesmo (num paralelogramo os ângulos são suplementares entre si).

=== Incentro ===
[[Imagem:Rombo.png|thumb|Visualizando o losango como quadra triângulos-retângulo simétricos (de área ''K''), dados pelas diagonais (''p'' e ''q'').]]

Para calcular o raio do incentro de um losango, basta usar a seguinte fórmula considerando ''p'' e ''q'' como diagonais dele.
:<math>r = \frac{p \cdot q}{2\sqrt{p^2+q^2}}.</math>

observando o triângulo-retângulo de hipotenusa ''a'' e catetos ''p/2'' e ''q/2'', concluímos que a área ''K'' de cada triângulo ilustrado é:
:<math>K = a \cdot r / 2 =  \frac{p \cdot q}{8}</math>

Também pode ser aplicada a seguinte fórmula para o cálculo da área de um losango:

Área=D*d/2

D representa o comprimento de sua diagonal maior e d representa o comprimento de sua diagonal menor. 

Ou seja, a área de um losango é a metade do produto de suas diagonais.             

{{Referências}}

[[Categoria:Polígonos]]
[[Categoria:Desenho geométrico]]