Mostrar código-fonte de Método do círculo de Hardy e Littlewood

Em [[matemática]], o '''método cíclico de Hardy-Littlewood''' é uma das técnicas mais frequentemente usadas da [[teoria analítica dos números]]. O seu nome provém de [[Godfrey Harold Hardy]] e [[Jonh Edenson Littlewood|J. E. Littlewood]], que o desenvolveram numa série de artigos sobre o [[problema de Waring]].

==Histórico==

O germe inicial da ideia é atribuído geralmente ao trabalho feito por Hardy e [[Srinivasa Ramanujan|Ramanujan]] alguns anos antes, em [[1916]] e em [[1917]], sobre o comportamento assimptótico da função partição. Foi empregue por muitos outros investigadores, incluindo [[Harold Davenport]] e I. M. Vinogradov, que modificaram a formulação ligeiramente (movendo-se da [[Análise complexa|Análise Complexa]] para somas exponenciais), sem mudar as principais ideias. O método ainda produz resultados.

==Objetivo==

O círculo em questão era inicialmente o círculo unitário no plano complexo. Supor o problema tinha sido formulado primeiramente nos termos que para uma sucessão de números complexos:

:<math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>

nós queremos alguma informação assimptótica do tipo:

:''a''<sub>''n''</sub> ~ ''F''(''n'')

onde se tem alguma razão [[heurística]] para conjecturar a forma de ''F'', escreve-se:

:<math>f(z)=\sum a_nz^n </math>

uma [[série de potências]] que é uma [[Funções|função]] geradora. Os casos interessantes são onde a série anterior tem raio de convergência igual a 1, e nós supomos que o problema como colocado esteve modificado para apresentar esta situação. Dessa formulação, é consequência directa do [[teorema dos resíduos]] que:

:<math>I_n=\int f(z)z^{-(n+1)}\,dz=2 \pi ia_n</math>

para inteiros ''n'' &ge; 0, onde o integral é calculado ao longo do círculo de centro 0 e raio ''r'' percorrido uma vez no sentido directo, para qualquer ''r'' tal que 0&nbsp;&lt;&nbsp;''r''&nbsp;&lt;&nbsp;1.

==Bibliografia==
*Hans Rademacher, ''Topics in Analytic Number Theory'', Springer-Verlag, 1973, ISBN 3-540-05447-2

{{esboço-matemática}}

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