Mostrar código-fonte de Método do fator integrante

As [[equação diferencial linear|equações diferenciais lineares]] de primeira ordem possuem muitas aplicações e é uma das primeiras classes de equações abordadas nos cursos de EDO. A forma mais geral de uma [[equação diferencial ordinária]], linear e de primeira ordem é <math>y'+p(x)y=q(x)</math>, onde <math> p </math> e <math> q </math> são [[função contínua|funções contínuas]] em um intervalo '''I'''.<ref>{{Citar livro|nome= William|sobrenome=E. BOYCE|coautor=DIPRIMA, Richard C.|título= Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno|idioma= português|edição=oitava|local=Rio de Janeiro|editora= LTC|ano=2006|isbn=978-85-216-1499-9|ref=âncora|página=18}}</ref>

'''Observação:''' Quando q(x)=0 para todo <math>x</math>∈'''I''' a equação é dita Equação Homogênea.

O '''Fator Integrante''' é uma função tal que o produto da EDO por ela faz com que o lado esquerdo da equação possa ser visto como a [[derivada]] do produto de duas funções, a saber <math>y</math> e o fator integrante, isto é, o Método do Fator Integrante para resolução de [[equação diferencial ordinária|EDO]] lineares de primeira ordem consiste em supor que exista uma função u(x) tal que,

:<math>u(x)y'+u(x)p(x)y=u(x)q(x)</math> 


e além disso

:<math>u(x)y'+u(x)p(x)y=\frac{d}{dx}(u(x)y)</math>


Daí, sendo y≠0 e u(x)≠0, temos que:

:<math>u(x)y'+u(x)p(x)y=u(x)y'+u'(x)y</math> ⇒ <math>u(x)p(x)=u'(x)</math>


Logo,

:<math>\frac{u'(x)}{u(x)}=p(x)</math>


Note que, 

:<math>\frac{d}{dx}(\ln{u(x)})=\frac{u'(x)}{u(x)}</math>


Daí,

:<math>\frac{d}{dx}(\ln{u(x)})=p(x)</math>⇒<math>\ln{u(x)}=\int p(x)dx + C</math>, onde C=0.


Portanto, <math>u(x)=e^{\int p(x)dx}</math>


Lembrando que:

<math>\frac{d}{dx}(u(x)y) = u(x)q(x)</math>



Então,

<math>u(x)y=\int u(x)q(x)dx</math>



E finalmente obtemos:

:<math>y=\frac{\int u(x)q(x)dx + C}{u(x)}</math>


Onde o valor de <math>u(x)</math> já foi deduzido.Esta última expressão é chamada '''solução geral''' da [[equação diferencial ordinária|EDO]].<ref>{{Citar livro|nome= H.|sobrenome=G. LIMA|título= Equações Diferenciais Lineares|idioma= português|local=Pombal/PB|Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar|página=13}}</ref>




{{referências}}

== Ver também ==

* [[Equações separáveis]]
* [[Método da variação de parâmetros]]
* [[Equação diferencial exata]]
* [[Redução de ordem]]
* [[Coeficientes a determinar]]
* [[b:Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias|Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias]] (wikilivro)

[[Categoria:Matemática]]