Mostrar código-fonte de Mapa completamente positivo

Em [[matemática]], um''' mapa positivo '''é um mapa entre as [[C*-algebras]] que envia elementos positivos para elementos positivos.<ref>{{citar web|url=https://www.theta.ro/jot/archive/1983-010-001/1983-010-001-016.pdf|titulo=Completely bound of C*-algebras|data=1983|acessodata=|publicado=|ultimo=HURUYA|primeiro=T}}</ref> Um '''mapa completamente positivo''' é aquele que satisfaz uma condição mais forte e robusta.<ref>{{Citar periódico|ultimo=Ando|primeiro=Tsuyoshi|data=2018-01-01|titulo=Positive map as difference of two completely positive or super-positive maps|url=https://projecteuclid.org/euclid.aot/1512497952|jornal=Advances in Operator Theory|lingua=EN|volume=3|numero=1|paginas=53–60|doi=10.22034/aot.1702-1129|issn=2538-225X}}</ref> Na [[física]], um mapa completamente positivo é exatamente o tipo de transformação que se pode conseguir passando um feixe em um determinado estado misto através de algum dispositivo (o transformador) produzindo outro feixe em um estado misto geralmente diferente, permitindo efeitos dissipativos.<ref>{{citar web|url=https://msp.org/pjm/2011/252-2/pjm-v252-n2-p12-p.pdf|titulo=A COMPLETELY POSITIVE MAP ASSOCIATED WITH A POSITIVE MAP|data=2011|acessodata=|publicado=PACIFIC JOURNAL OF MATHEMATICS - Vol. 252, No. 2|ultimo=STØRMER|primeiro=ERLING}}</ref>

== Definição ==

Deixe <math>A</math> e <math>B</math> ser [[C*-algebra|C*-algebras]]. Um mapa linear <math>\phi: A\to B</math> é chamado mapa positivo se <math>\phi</math>mapeia elementos positivos para elementos positivos: <math>a\geq 0 \implies \phi(a)\geq 0</math>.

Qualquer mapa linear <math>\phi:A\to B</math> induz outro mapa

: <math>\textrm{id} \otimes \phi : \mathbb{C}^{k \times k} \otimes A \to \mathbb{C}^{k \times k} \otimes B</math>

de uma maneira natural. E se <math>\mathbb{C}^{k\times k}\otimes A</math> é identificado com o C*-algebra matrizes <math>A^{k\times k}</math> de <math>k\times k</math> com entradas em <math>A</math>, então <math>\textrm{id}\otimes\phi</math> atua como

: <math>
\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1k} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{k1} & \cdots & a_{kk}
\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}
\phi(a_{11}) & \cdots & \phi(a_{1k}) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\phi(a_{k1}) & \cdots & \phi(a_{kk})
\end{pmatrix}.
</math>

Dizemos que <math>\phi</math> é k-positivo se <math>\textrm{id}_{\mathbb{C}^{k\times k}} \otimes \phi</math> é um mapa positivo e <math>\phi</math> é chamado completamente positivo se <math>\phi</math> é k-positivo para todos k.

== Propriedades ==

* Os mapas positivos são monótonos, ou seja, <math>a_1\leq a_2\implies \phi(a_1)\leq\phi(a_2)</math> para todos os [[Auto-adjunta|auto-adjunto]] elementos <math>a_1,a_2\in A_{sa}</math>.
* Desde <math>-\|a\|_A 1_A \leq a \leq \|a\|_A 1_A</math> todo mapa positivo é automaticamente contínuo em relação para as normas C* e sua [[Norma operacional|norma de operador]] é igual <math>\|\phi(1_A)\|_B</math>. Uma declaração semelhante com unidades aproximadas vale para álgebras não-unitais.
* O conjunto de funcionais positivos <math>\to\mathbb{C}</math> é o [[Cone duplo e cone polar|cone duplo]] do cone de elementos positivos de <math>A</math>.<ref>{{citar web|url=http://stephanhoyer.com/pubs/math97.pdf|titulo=CLASSIFICATION OF COMPLETELY POSITIVE MAPS|data=|acessodata=|publicado=Scientific Python stack|ultimo=HOYER|primeiro=STEPHAN}}</ref>

== Exemplos<ref>{{citar web|url=http://www.math.unl.edu/~adonsig1/NIFAS/0911-Poon.pdf|titulo=Completely Positive Maps in Quantum Information|data=Novembro de 2009|acessodata=|publicado=Department of Mathematics - Iowa State University|ultimo=Poon|primeiro=Yiu Tung}}</ref> ==

* Todo [[Homomorfismo|homomorfismo-*]] é completamente positivo.
* Para todo operador linear <math>V:H_1\to H_2</math> entre os espaços de Hilbert, o mapa <math>L(H_1)\to L(H_2), \ A\mapsto VAV^\ast</math> é completamente positivo. O [[Teorema da fatoração de Stinespring|teorema de Stinespring]] diz que todos os mapas completamente positivos são composições de homomorfismos-* e esses mapas especiais.
* Todo funcional positivo <math>\phi:A\to\mathbb{C}</math> (em particular todos os [[Estado (análise funcional)|estados]]) é automaticamente completamente positivo.
* Todo mapa positivo <math>C(X)\to C(Y)</math>é completamente positivo.
* A [[Matriz transposta|transposição de matrizes]] é um exemplo padrão de um mapa positivo que falha em ser bi-positivo. Deixe T denotar este mapa em <math>\mathbb{C}^{n\times n}</math>. A seguir, uma matriz positiva em <math>\mathbb{C}^{2\times 2} \otimes \mathbb{C}^{2\times 2}</math>:

:: <math>
\begin{bmatrix}
\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}&
\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}&
\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}.
</math>

A imagem desta matriz em <math>I_2 \otimes T</math> é

: <math>
\begin{bmatrix}
\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}^T&
\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}^T\\
\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}^T&
\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}^T
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix} ,
</math>
: o que claramente não é positivo, tendo o determinante -1. Além disso, os [[Autovalores e autovetores|autovalores]] dessa matriz são 1,1,1 e -1.
: Aliás, um mapa Φ é dito ser '''co-positivo''' se a composição Φ <math>\circ</math> ''T'' é positivo O próprio mapa de transposição é um mapa co-positivo.
{{referências}}
{{Esboço-matemática}}

{{Análise}}
{{Portal3|Matemática|Física}}

[[Categoria:Cálculo]]
[[Categoria:Princípios variacionais]]