Mostrar código-fonte de Matemática financeira

{{Reciclagem|data=setembro de 2016}}
{{Mais notas|data=setembro de 2016}}
{{Formatar referências|data=setembro de 2016}}
A '''matemática financeira''' utiliza uma série de conceitos [[Matemática|matemáticos]] aplicados à [[análise de dados ]][[Finanças|financeiros]] em geral.<ref>“Matemática Financeira é a disciplina que tem por objetivo o estudo da evolução do valor do dinheiro ao longo do tempo. Esse estudo é com posto de equações matemáticas que expressam, principalmente, a relação entre o valor de uma quantia em dinheiro no presente e o seu valor equivalente no futuro. De uma form a prática, a Matemática Financeira visa ao cálculo dos rendimentos dos em préstim os e de sua rentabilidade.” —Matemática financeira: fundamentos e aplicações – Dal Zot, Wili Castro, Manuela Longoni.</ref> Os problemas clássicos de matemática financeira são ligados a questão do valor do dinheiro no tempo ([[juro]] e [[inflação]]) e como isso é aplicado a [[empréstimo]]s, [[investimento]]s e avaliação financeira de projetos.<ref name=MF1>{{citar web |url=http://andersonmatematico.xpg.uol.com.br/Arquivos/Mat_Finan_FGV.pdf |titulo=Matemática Financeira |data= |author=[https://en.wikipedia.org/wiki/Doctor_of_Science D.Sc.] Marcus Vinicius Quintella Cury |publicado=[[FGV]] |acessodata=14 de setembro de 2016 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20141210174638/http://andersonmatematico.xpg.uol.com.br/Arquivos/Mat_Finan_FGV.pdf |arquivodata=10/12/2014}}</ref> E esses conceitos, comuns nos livros didáticos de matemática, propõem e reforçam comportamentos financeiros ligados ao consumo quando trabalham o conteúdo com questões e exemplos relativos ao tema.<ref>{{Citar periódico |url=https://periodicos.unb.br/index.php/linhascriticas/article/view/21853 |titulo=A política cultural dos livros didáticos de matemática: um guia para transformar estudantes em cidadãos neoliberais |data=2019-02-27 |acessodata=2022-08-18 |jornal=Linhas Críticas |ultimo=Silva |primeiro=Marcio Antonio da |paginas=e21853–e21853 |lingua=pt |doi=10.26512/lc.v25.2019.21853 |issn=1981-0431}}</ref>

O tema também pode de ser aplicado a precificação de [[Ação (finanças)|ações]] e de [[derivativo]]s, mas esse tipo de aplicação não é tratada neste artigo.

== Conceitos ==
* '''Principal, [[Capital (economia)|Capital]] ou Valor Presente:''' Valor que está sendo emprestado ou investido.
* '''[[Juro]]:''' Compensação paga pelo tomador do empréstimo (ou receptor do investimento) para ter o direito de usar o dinheiro até o dia do pagamento. Pode ser expresso em valor monetário ($) ou como uma taxa de juro (%).
* '''Saldo:''' É a soma do Principal com o Juro em um determinado momento.
* '''Parcela ou Pagamento:''' Valor pago pelo tomador do empréstimo (ou receptor do investimento).

== Juros compostos ==
{{Artigo principal|[[Juro]]}}
Em geral, os problemas tratados pela matemática financeira consideram o regime de juros compostos ao invés de juros simples. Nesse regime, a fórmula usada é : <ref name=MF1 />

: <math>FV=PV(1+i)^n,</math>
ou, invertendo os termos,
: <math>PV=\frac{FV} {(1+i)^n\,},</math>
onde
* <math>FV:</math> Valor Futuro (do inglês ''Future Value'')
* <math>PV:</math> Valor Presente (do inglês ''Present Value'')
* <math>i:</math> Taxa de juros (do inglês ''Interest Rate'')
* <math>n:</math> Número de períodos

== Fórmulas e aplicações ==
=== Número fixo de pagamentos de mesmo valor ===
[[Imagem:Fluxo financeiro PV pmt n.GIF|thumb|Fluxo financeiro de um investimento (PV) com número fixo (n) de pagamentos de mesmo valor (pmt)]]
''Esse pode ser o caso de financiamento de um bem de consumo, como o exemplo descrito na seção Exemplo de aplicação acima.''<ref name=MF1 />

O valor <math>pmt</math> de cada parcela (ou pagamento periódico) pode ser considerado como o Valor Futuro (<math>FV</math>) relativo a essa parcela. Portanto, a parcela do 3º mês, por exemplo, pode ser trazida a Valor Presente através da seguinte fórmula:

: <math>PV_3=\frac{pmt}{(1+i)^3\,}</math>

Nesse caso, o Valor Presente (<math>PV</math>) total é a soma dos "Valores Presentes" de todas as parcelas:

: <math>PV=\sum_{k=1}^{n}\frac{pmt}{(1+i)^k\,}</math>

Esse [[somatório]] representa a soma de uma [[progressão geométrica]] porque cada parcela <math>k</math> é o resultado da parcela anterior multiplicado por um valor constante a cada período que passa. Nesse caso, trata-se de uma progressão geométrica de valor inicial <math>a_1=\tfrac{pmt}{(1+i)}</math> e razão (a ser multiplicada pelo termo anterior) <math>q=\tfrac{1}{(1+i)}</math>. Assim, aplicando a fórmula da [[Progressão geométrica#Soma dos termos de uma P.G.|soma dos termos de uma progressão geométrica]] <math>\sum_{i=1}^{n}a_1 q^{i-1}=\tfrac{a_1(1-q^{n})}{1-q}</math>, chega-se em:

: <math>PV=\frac{\frac{pmt}{(1+i)}\left(1-\frac{1}{(1+i)}^{n}\right)}{1-\frac{1}{(1+i)}}</math>
simplificando os termos, chega-se em:
: <math>PV=\frac{pmt}{i}\left(1-\frac{1}{(1+i)^n}\right)</math>
ou, invertendo os termos,
: <math>pmt=\frac{PV \cdot i}{1 - \frac{1}{\left(1 + i \right) ^n}}</math>

Esse exemplo considera que o primeiro pagamento ocorre 1 período depois do primeiro fluxo. Ou seja, entre <math>PV</math> e <math>pmt_1</math> existe um período. Caso o primeiro pagamento ocorra no período 0 (zero) ou depois de 1 período, a fórmula precisa ser adaptada.

=== Número infinito de pagamentos de mesmo valor ===
[[Imagem:Fluxo financeiro PV pmt.GIF|thumb|Fluxo financeiro de um investimento (PV) com número infinito de pagamentos de mesmo valor (pmt)]]
Da mesma forma como o exemplo anterior, o Valor Presente (<math>PV</math>) total é a soma dos "Valores Presentes" de todas as parcelas, porém, considerando <math>n=\infty.</math> Aplicando a fórmula da [[progressão geométrica#Soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica|soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica]] <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_1 q^{n-1} = \frac{a_1}{1-q}</math>, chega-se a:

: <math>PV=\frac{\frac{pmt}{1+i}}{1-\frac{1}{1+i}}</math>
simplificando os termos, chega-se em:
: <math>PV=\frac{pmt}{i}</math>

=== Pagamentos não periódicos ou de valores diferentes ===
Nesses casos, não é possível chegarmos em uma fórmula genérica simples para o Valor Presente <math>PV</math>. É necessário somar o Valor Presente de cada pagamento descontando cada parcela pelo prazo correspondente.
No caso dos pagamentos terem uma periodicidade constante, pode-se usar a fórmula comumente chamada de Valor Presente Líquido <math>VPL</math> (ou <math>NPV</math> do inglês ''Net Present Value''):
:<math>\mbox{NPV} = \sum_{t=1}^n \frac{CF_t}{(1+i)^t}</math> onde <math>CF_t</math> é o [[Fluxo de caixa|Fluxo de Caixa]] (do inglês ''Cash Flow'') no período <math>t</math>

== Avaliação financeira de projetos ==
Projetos de investimento, como a abertura de uma loja, compra de uma máquina ou construção de uma estrada requerem um investimento financeiro inicial e é esperado que gerem resultado financeiro positivo ao longo do tempo. A matemática financeira ajuda a avaliar se o resultado esperado compensará o investimento inicial.<ref name=MF1 />

Nesses casos, costuma-se usar uma [[Notação matemática|notação]] um pouco diferente da que foi usada nesse artigo até aqui:
* <math>CF</math> ou <math>FC:</math> Fluxo de Caixa (''Cash Flow'' em inglês). Valor monetário esperado em determinado período. Pode ser interpretado como o resultado financeiro ([[lucro]]) trazido pelo projeto em determinado mês ou ano.
* <math>CF_0</math> ou <math>FC_0:</math> Costuma ser usado para identificar o Investimento Inicial, que é feito no momento 0 (zero). Valor monetário a ser investido no projeto ao iniciá-lo. Normalmente é um valor negativo, caracterizando-o como uma despesa.
* <math>NPV</math> ou <math>VPL:</math> [[Valor Presente Líquido]] (''Net Present Value'' em inglês). Soma do investimento inicial com os demais fluxos de caixa trazidos a valor presente.

: <math>NPV=CF_0+\frac{CF_1}{(1+i)}+\frac{CF_2}{(1+i)^2}+\frac{CF_3}{(1+i)^3}+\cdots</math>

A taxa de juros (<math>i</math>) a ser usada no cálculo do valor presente líquido para avaliação de projetos é a [[taxa mínima de atratividade]] (TMA), que é a taxa de juros que representa o mínimo que o investidor se propõe a ganhar ao fazer o investimento.

Indicadores usados na avaliação financeira de projetos:

'''[[Payback (finanças)|Payback]]:''' Tempo decorrido entre o investimento inicial e o momento no qual o lucro líquido acumulado se iguala ao valor desse investimento.

'''[[Taxa interna de retorno|Taxa Interna de Retorno]] — TIR ou IRR (do inglês ''Internal Rate of Return''):''' Valor da taxa de juro para que <math>NPV</math> seja igual a 0 (zero).

== Ver também ==
* [[Mercado de capitais]]
* [[Renda fixa]]

{{Referências}}

== Ligações externas ==
{{Wikilivros|Matemática financeira}}
{{Wikiversidade|Introdução à Matemática Financeira}}
* [http://fazaconta.com/calculadora-financeira.htm Calculadora Financeira On-line]- Versão on-line das principais fórmulas financeiras do Excel e OpenOffice Calc.
* [http://www.focalizaisso.com.br/amortizacao-de-financiamentos/ Calculadora de Amortização]- Calcula o pagamento dos juros e do principal bem como o acumulado dos juros e pagamentos.
* [http://www.epx.com.br/ctb/hp12c.php Calculadora HP-12C Virtual]
* [http://www.somatematica.com.br/financeira.php Matemática Financeira]

{{Matemática industrial e aplicada}}
{{Processos estocásticos}}
{{Portal3|Matemática}}

[[Categoria:Finanças]]
[[Categoria:Matemática financeira]]