Mostrar código-fonte de Matriz de Hurwitz

{{Sem notas|data=julho de 2020}}
Em [[matemática]] uma '''matriz de Hurwitz''' ({{lang-en|'''Hurwitz matrix'''}}), ou '''matriz de Routh–Hurwitz''', em [[engenharia]] '''matriz de estabilidade''', é uma [[matriz quadrada]] real estruturada construída com coeficientes de um [[Função polinomial|polinômio]] real.

==Matriz de Hurwitz e critério de estabilidade de Hurwitz==
Dado um polinômio real
:<math>p(z)=a_{0}z^n+a_{1}z^{n-1}+\cdots+a_{n-1}z+a_n</math>
a matriz quadrada <math>n\times n</math>
:<math>
H=
\begin{pmatrix}
a_1 & a_3 & a_5 & \dots & \dots & \dots & 0 & 0 & 0 \\
a_0 & a_2 & a_4 & & & & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & a_1 & a_3 & & & & \vdots & \vdots & \vdots \\
\vdots & a_0 & a_2 & \ddots & & & 0 & \vdots & \vdots \\
\vdots & 0 & a_1 & & \ddots & & a_n & \vdots & \vdots \\
\vdots & \vdots  & a_0 & & & \ddots &  a_{n-1} & 0 & \vdots \\
\vdots & \vdots  & 0 & & & & a_{n-2} & a_n & \vdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & & & & a_{n-3} & a_{n-1} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \dots & \dots & \dots & a_{n-4} & a_{n-2} & a_n
\end{pmatrix}.
</math>
é denominada '''matriz de Hurwitz''' correspondente ao polinômio <math>p</math>. [[Adolf Hurwitz]] estabeleceu em 1895 que um polinômio real é [[Polinômio estável|estável]] (isto é, todas suas raízes tem parte real estritamente negativa) [[se e somente se]] todos os determinantes dos [[Menor (álgebra linear)|menores]] da matriz <math>H(p)</math> são positivos:

:<math>
\begin{align}
\Delta_1(p) &= \begin{vmatrix} a_{1} \end{vmatrix} &&=a_{1} > 0 \\[2mm]
\Delta_2(p) &= \begin{vmatrix}
   a_{1} & a_{3} \\
   a_{0} & a_{2} \\
   \end{vmatrix} &&= a_2 a_1 - a_0 a_3 > 0\\[2mm]
\Delta_3(p) &= \begin{vmatrix}
   a_{1} & a_{3} & a_{5} \\
   a_{0} & a_{2} & a_{4} \\
   0     & a_{1} & a_{3} \\
\end{vmatrix} &&= a_3 \Delta_2 - a_1 (a_1 a_4 - a_0 a_5 ) > 0
\end{align}
</math>
e assim por diante. Os menores <math>\Delta_k(p)</math> são denominados [[Determinante de Hurwitz|determinantes de Hurwitz]].

==Matrizes Hurwitz estáveis==
Em [[engenharia]] e [[teoria da estabilidade]], uma [[matriz quadrada]] <math>A</math> é denominada '''matriz estável''' se todo [[autovalor]] de <math>A</math> tem parte real [[Número negativo|estritamente negativa]], isto é,
:<math>\mathop{\mathrm{Re}}[\lambda_i] < 0\,</math>
para cada autovalor <math>\lambda_i</math>. <math>A</math> é também denominada uma '''matriz estabilidade''', porque então a [[equação diferencial ordinária]]

:<math>\dot x = A x</math>
é assintoticamente estável, isto é, <math>x(t)\to 0</math> com <math>t\to\infty.</math>

Se <math>G(s)</math> é uma [[função de transferência]], então <math>G</math> é denominada '''Hurwitz''' se os [[Polo (análise complexa)|polos]] de todos os elementos de <math>G</math> tem parte real negativa. Notar que não é necessário que <math>G(s),</math> para um argumento específico <math>s,</math> seja uma matriz Hurwitz. A conexão é que se <math>A</math> é uma matriz de Hurwitz, então o [[sistema dinâmico]]
:<math>\dot x(t)=A x(t) + B u(t)</math> 	
:<math>y(t)=C x(t) + D u(t)\,</math> 	
tem uma função de transferência de Hurwitz.

==Referências==
*{{citar periódico
|autor = Hurwitz, A.
|ano= 1895
|título= Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt
|periódico= Mathematische Annalen, Leipzig
|URL = http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=GDZPPN002255472
|número= Nr. 46
|páginas= 273–284
}}
*{{citar periódico
|autor = Gantmacher, F.R.
|ano= 1959
|título= Applications of the Theory of Matrices
|periódico= Interscience, New York
|volume = 641
|número= 9
|páginas= 1–8
}}
*Hassan K. Khalil (2002). ''Nonlinear Systems''. Prentice Hall.
*Siegfried H. Lehnigk, [http://www.springerlink.com/content/h192106tq8nl2274/ ''On the Hurwitz matrix''], ''Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP)'', May 1970
*Bernard A. Asner, Jr., ''On the Total Nonnegativity of the Hurwitz Matrix'', SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 18, No. 2 (Mar., 1970)
*Dimitar K. Dimitrov and Juan Manuel Peña,  [http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1063186.1063190 ''Almost strict total positivity and a class of Hurwitz polynomials''], Journal of Approximation Theory,  Volume 132, Issue 2 (February 2005)
{{PlanetMath attribution|id=5395|title=Hurwitz matrix}}

==Ligações externas==
*{{PlanetMath reference|id=5395|title=Hurwitz matrix}}
{{Classes de matriz}}
{{Portal3|Matemática}}
{{Controle de autoridade}}

[[Categoria:Matrizes]]
[[Categoria:Equações diferenciais]]