Mostrar código-fonte de Mecânica celeste

{{Mecânica Clássica|cTopic=braços}}
A '''mecânica celeste''' é o ramo da [[astronomia]] que estuda os movimentos dos corpos celestes (naturais ou não). A principal força determinante dos movimentos celestes é a [[gravitação]], contudo certos corpos ([[satélite artificial|satélites artificiais]], [[cometa]]s e [[asteróide]]s) podem sofrer a influência marcante de forças não gravitacionais como a [[pressão de radiação]] e o [[atrito]] (com a atmosfera superior no caso dos satélites artificiais terrestres).  A [[astronáutica]] está intimamente ligada a esta ciência.<ref>[http://www.ocw.unicamp.br/fileadmin/user_upload/cursos/F_031/f031032-aula02-final-rab.pdf Mecânica Celeste]</ref><ref>[http://www.iag.usp.br/siae98/astronomia/p2.htm MECÂNICA CELESTE]</ref><ref name="MC">Vladimir A. Chobotov, ''Orbital Mechanics'' , AIAA, 2002 ISBN 1-600-86097-4</ref><ref>[[Asger Aaboe]], ''Episodes from the Early History of Astronomy'', 2001, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95136-9</ref><ref>Forest R. Moulton, ''Introduction to Celestial Mechanics'', 1984, Dover, ISBN 0-486-64687-4</ref><ref name="MC1">Howard Curtis, ''Orbital Mechanics for Engineering Students'' , Butterworth-Heinemann, 2013 ISBN 0-080-97748-0</ref>

== Objetivo ==
O objetivo da Mecânica Celeste, como o da Astrometria, é o de determinar as posições relativas dos astros e suas variações com o tempo, mas diferentemente da Astrometria, a Mecânica Celeste faz esse estudo baseada principalmente nos dados da Astrometria e na parte teórica fornecida pela [[Mecânica Clássica]].<ref name=MC />

A Mecânica Celeste é, pois, a parte da Astronomia que visa estudar o movimento relativo dos astros que estão submetidos às forças admitidas como resultantes da atração gravitacional entre esses corpos celestes. Assim, podemos dizer que a Mecânica Celeste estuda os movimentos relativos dos astros, aplicando as leis da Mecânica Newtoniana.<ref name=MC1 />

== Funcionalidades ==
Usando a mecânica celeste é possível, por exemplo, determinar as distâncias e as posições dos astros do [[Sistema Solar]], calcular órbitas de satélites artificiais em torno da [[Terra]], determinar as trajetórias de sondas espaciais enviadas a outros astros do Sistema Solar e determinar as massas de corpos celestes, tais como [[planeta]]s, [[Satélite artificial|satélites]] e [[estrela]]s.<ref name=MC /><ref name=MC1 />

== Exemplos de problemas ==
Alguns problemas estudados pela '''mecânica celeste''' são:<ref>[http://www.impa.br/opencms/pt/biblioteca/cbm/26CBM/26CBM_15.pdf Uma Introdução à Mecânica Celeste]</ref><ref name=MC /><ref name=MC1 />
* O problema de um corpo de massa infinitesimal sujeito à atração gravitacional de outro corpo. Este problema tem uma solução fechada, mesmo no caso de três dimensões, porém para resolver a posição do corpo no tempo é preciso resolver uma equação transcendente: a [[equação de Kepler]].<ref name=MC2>[http://mysite.du.edu/~jcalvert/phys/orbits.htm Mecânica Celeste] {{en}}</ref>
* O problema dos dois corpos: calcular as órbitas de dois corpos (podem ser considerados pontos de massa, ou corpos de raio pequeno com simetria esférica) sujeitos à ação gravitacional. Este problema se reduz ao caso de um corpo.
* O [[problema dos três corpos]]: calcular as órbitas de três corpos sujeitos às ações gravitacionais. Este problema, exceto em casos muito especiais, não tem uma solução analítica.
* Campos gravitacionais sem simetria esférica: calcular a órbita de um corpo de massa infinitesimal em um campo gravitacional assimétrico (por exemplo, um satélite orbitando um corpo achatado).

A mecânica celeste mostrou sua eficiência na descoberta do planeta [[Netuno (planeta)|Netuno]] em 1846 por [[Urbain Le Verrier|U. J. de Verrier]]. Baseados nas perturbações da [[órbita]] do planeta [[Urano (planeta)|Urano]], astrônomos puderam calcular a presença de um outro corpo celeste influenciando seu movimento. E lá estava Netuno. Com [[Plutão]] não foi diferente. P. Lowel no início do século XX pôde prever a existência do planeta estudando a órbita de Netuno. Em 1930, Plutão foi finalmente descoberto por [[Clyde Tombaugh]].

O modelo de Kepler é [[modelo heliocêntrico|heliocêntrico]]. Seu modelo foi muito criticado pela falta de simetria que constava no fato do Sol ocupar um dos focos da elipse e o outro simplesmente ser preenchido com o vácuo.

O modelo da mecânica celeste de [[Tycho Brahe]] é muito curioso, pois ele coloca os planetas orbitando o Sol e este orbitando a Terra, o que o torna ao mesmo tempo [[modelo geocêntrico|geocêntrico]] e heliocêntrico.

== Lei da gravitação universal ==
{{Artigo principal|Lei da gravitação universal}}
Um destaque na história da física foi a descoberta,  por [[Isaac Newton]], da lei da gravitação universal: todos os objetos se atraem com uma força diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre seus centros. Ao definir uma única lei matemática para os fenômenos físicos no universo observável, Newton mostrou que a física terrestre e física celeste são a mesma coisa. O conceito de gravidade poderia, em uma única fórmula:<ref name=MC /><ref name=MC1 /><ref name=MC2 />

# Revelar o significado físico de três leis de Kepler do movimento planetário;
# Resolver o intrincado problema da origem das marés;
# Explicar a observação curiosa e inexplicável de Galileu de que o movimento de um objeto em queda é independente de seu peso.

A [[força centrípeta]] das [[órbita]]s circulares pode ser deduzida a partir da terceira lei de Kepler do movimento planetário e a dinâmica do movimento circular uniforme:

De acordo com a terceira lei de Kepler, o período <math>P</math> é proporcional ao cubo do [[semieixo maior]] da elipse. No caso de [[órbita circular]], o semieixo é o próprio raio <math>r</math> e, assim:

:<math> P{^2} = kr{^3}</math>

A dinâmica do movimento circular uniforme, nos diz que em uma trajetória circular, a [[força]] a ser aplicada ao [[corpo]] é o produto de sua [[massa]] pela [[aceleração]] padrão:

:<math> F = \frac{mv{{^2}}}{r}</math>

O tempo (período <math>P</math>) que leva um [[planeta]] para completar uma volta é a razão entre o comprimento da circunferência e [[velocidade]]:

:<math> P = \frac{2~\pi ~r}{v}</math>

== Encontros espaciais ==
O objetivo deste programa é enviar uma nave da Terra a Marte e voltar para a Terra seguindo um caminho chamado de semielíptica [[órbita]] de transferência de Hohmann. Supõe-se que as órbitas da Terra e Marte são circulares e que as únicas forças na nave espacial são devido à ação do sol, ignorando as influências mútuas entre estes planetas e do navio.<ref name=MC /><ref name=MC1 />

Primeiro, devemos fazer a viagem da [[Terra]] a [[Marte (planeta)|Marte]]. Observar a magnitude das velocidades angulares dos dois planetas. Qual deve ser a distância angular entre a Terra e Marte no momento do lançamento da nave espacial chega a Marte ? Em que planeta tem que ir em frente?

Uma vez que alcança Marte, fazemos as mesmas perguntas para a viagem de volta para a Terra.

=== Movimento dos planetas ===
{| style="float:right"
|-
| [[Imagem:Circunferencia_-_2.png|thumb|Movimento dos planetas.]]
|-
| ALIGN=CENTER | <math>G{Mm\over r^2}=m{v^2\over r}\qquad v=\sqrt{GM\over r}</math>
|-
| ALIGN=CENTER | Equação da dinâmica do<BR>movimento circular uniforme.
|}

Nós assumimos que os planetas [[Marte (planeta)|Marte]] e [[Terra]] têm órbita circular em torno do [[Sol]]. Aplicando a [[equação]] da dinâmica do movimento circular uniforme,<ref name=MC /><ref name=MC1 />

Onde:
:<math>m = 1,98 kg </math>
:<math>1030</math> é a [[massa solar]]
:<math>G = 6,67.10^{-11}~\frac{Nm^2}{kg^2}</math>
:<math>r</math> é o [[Raio (geometria)|raio]] da trajetória circular descrita pelo [[planeta]].

Para a [[Terra]]:

:<math>r_{Terra} = 1,49 \cdot~10^{11}~m</math>, de modo que <math>v_{Terra} = 29772,6~\frac{m}{s}</math>

Para [[Marte (planeta)|Marte]]:

:<math>r_{Marte} = 2,28 \cdot 10^{11}~m</math>, então <math>v_{Marte} = 24067,3~\frac{m}{s}</math>

=== Órbita de transferência de Hohmann ===
{| style="float:right"
|-
| [[Imagem:Encontro_1.png|thumb|Encontro do sol e da terra.|195x195px]]
|-
| ALIGN=CENTER | <math>\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{GMm}{r_1}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{GMm}{r_2}</math>
|-
| ALIGN=CENTER | Equação da força de atração.
|}

Assumimos influência insignificante dos planetas no movimento da nave espacial em sua viagem da Terra a Marte. A nave irá descrever uma órbita elíptica com um dos focos no [[Sol]].<ref name=MC /><ref name=MC1 /> O [[periélio]] é o [[Raio (geometria)|raio]] da [[Terra]] <math>r_1 = 1,49 \cdot~10^{11}~m</math> e o raio de [[Marte (planeta)|Marte]] afélio <math>r_2 = 2,28 \cdot 10^{11}~m</math>.

Conhecida <math>r_{Terra} = r_1 = r_2 = r_{Marte}</math>,  pode-se determinar a velocidade da espaçonave no periélio e afélio <math>v_2</math> é a velocidade de Marte e <math>v_1</math> é a velocidade da Terra, aplicando as propriedades da força atrativa.

A força de atração entre a nave e o [[Sol]] é central, onde <math>m</math> é o [[momento angular]] que permanece constante.

:<math>m~\cdot~r_1~\cdot~v_1~\cdot~sen~90 \text{º} = m~\cdot~r_2~\cdot~v_2~\cdot~sen~90 \text{º}</math>

A força de atração é conservadora, a energia total permanece constante

Resolvemos o sistema de duas equações com duas incógnitas, substituindo <math>v_1</math> e <math>v_2</math>:

Dados: <math>r_1 = 1,49 \cdot 10^{11}~m</math>, e <math>r_2 = 2,28 \cdot 10^{11}~m</math>,

Resultado: <math>v_1 = 32742,7~\frac{m}{s}</math> e <math>v_2 = 21397,6~\frac{m}{s}</math>

A órbita elíptica que descreve a nave espacial tem:

* [[semieixo maior]] <math>a = \left( r_1 + r_2 \right) = 1,885 \cdot 10^{11} m</math>;
* [[Excentricidade orbital|excentricidade]] <math>e = \frac{\left( r_2 - r_1 \right)}{\left(r_2 + r_1 \right)} = 0,21</math>.

=== Movimento do corpo é uma certa altura acima da nave espacial ===
Considere primeiro o caso mais simples, o movimento de um corpo está em uma distância <math>h</math> da espaçonave medido ao longo da direção radial e no momento inicial, tem a mesma velocidade. Ele libera o corpo e descobriram que se movem em órbitas diferentes.<ref name=MC /><ref name=MC1 />

[[Imagem:Relativo24.gif|thumb|Movimento relativo|196x196px]]

Vamos considerar dois casos que <math>h</math> é positivo, a [[altura]] do [[corpo]] é maior do que a [[nave espacial]], e <math>h</math> é negativo, se a altura do corpo é menor que a da nave espacial.

A constância do momento angular e energia do corpo nos permitem calcular a distância máxima ou mínima e <math>r_2</math> velocidade <math>v_2</math> conhecida a distância mínima ou máxima <math>r_1 = r_0 + h</math> de velocidade <math>v_1 = v_0</math>.

=== O sistema Terra-Lua fixo no espaço ===
Dados do sistema Terra-Lua:<ref name=MC /><ref name=MC1 />

[[Massa da Terra]], <math>M_{Terra} = 5,98 \cdot~10^{24}~kg</math>

[[Raio da Terra]], <math>R_{Terra} = 6370 \cdot~km = 6,37 \cdot~10^6~m</math>

[[Massa da Lua]], <math>M_{Lua} = 7,34 \cdot~10^{22}~kg</math>

[[Raio da Lua]], <math>R_{Lua} = 1740 \cdot~km = 1,74 \cdot~10^6~m</math>

Distância entre a Terra e a Lua, <math>d = 384000 \cdot~km = 384,0 \cdot~10^6~m</math>

== Ver também ==
* [[Leis de Kepler]]
* [[Lei da Gravitação Universal]]

{{Referências}}

== Bibliografia ==
* LUIZ G. SPOLADORE, ''MECANICA CELESTE'', ARGONIO ISBN 8-560-59902-9
* John E. Prussing, Bruce A. Conway, ''Orbital Mechanics'', Oxford University Press, 1993 ISBN 0-195-07834-9
* Almeida, Ana Cristina, 1963-, ed. lit., Portugal. Biblioteca Nacional, ed. lit., Santos, Manuela, 1955-, ed. lit., ''CDU: Classificação Decimal Universal: tabela de autoridade'', Biblioteca Nacional Portugal, 2005 ISBN 9-725-65395-5
* Paulo Marques dos Santos, ''Instituto Astronômico e Geofísico da USP: memória sobre sua formação e evolução'', EdUSP, 2005 ISBN 8-531-40878-4
* Jan Vrbik, ''New Methods of Celestial Mechanics'', Bentham Science Publishers, 2010 ISBN 1-608-05187-0
* J. M. A. Danby, ''Fundamentals of Celestial Mechanics'', 1992, Willmann-Bell ISBN 0-943-39620-4
* Alessandra Celletti, Ettore Perozzi, ''Celestial Mechanics: The Waltz of the Planets'', 2007, Springer-Praxis, ISBN 0-387-30777-X

== Ligações externas ==
* [http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/celeste.htm Dinâmica Celeste]
* [http://www.iag.usp.br/astronomia/livros-e-apostilas livros e apostilas]
* [http://www.das.inpe.br/ciaa/material_curso.php inpe material de curso]

{{Astronomia}}
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{{Portal3|Astronomia|Física}}

{{DEFAULTSORT:Mecânica celeste}}
[[Categoria:Astronomia]]