Mostrar código-fonte de Mecânica clássica de Koopman-von Neumann

{{Mecânica}}

A '''mecânica clássica de Koopman-von Neumann''' ou '''mecânica KvN''', é uma descrição da [[mecânica clássica]] em termos do [[espaço de Hilbert]], introduzida por [[Bernard Koopman]] e [[John von Neumann]] em 1931 e 1932.<ref name=Koopman1931>{{citar periódico|último1 = Koopman |primeiro1 = B. O. |título= Hamiltonian Systems and Transformations in Hilbert Space | doi = 10.1073/pnas.17.5.315 |periódico= Proceedings of the National Academy of Sciences | volume = 17 |número= 5 |páginas= 315 |ano= 1931 | bibcode = 1931PNAS...17..315K }}</ref><ref name=Neumann1932>{{citar periódico| doi = 10.2307/1968537 |último1 = von Neumann |primeiro1 = J.  |ano= 1932 |título= Zur Operatorenmethode In Der Klassischen Mechanik |periódico= Annals of Mathematics | volume = 33 |número= 3 |páginas= 587–642 | jstor = 1968537}}</ref><ref name=Neumann1932a>{{citar periódico| doi = 10.2307/1968225 |último1 = von Neumann |primeiro1 = J.  |ano= 1932 |título= Zusatze Zur Arbeit "Zur Operatorenmethode..." |periódico= Annals of Mathematics | volume = 33 |número= 4 |páginas= 789–791 | jstor = 1968225}}</ref>  Koopman e von Neumann demonstraram que um espaço de Hilbert de [[Função de onda|funções de onda]] quadráticas integráveis<ref>{{citar livro |título= Orthogonal Functions |último1 = Sansone |primeiro1=G |publicado= Dover |ano= 1991 |isbn = 978-0-486-66730-0 |página= 1–2 |língua=en}}</ref> e [[Número complexo|complexas]] pode ser definido de uma forma que a mecânica clássica posa ser formulada como uma teoria operativa semelhante à [[mecânica quântica]].

==Analogia quântica==
Sendo explicitamente baseado na linguagem espacial de Hilbert, a mecânica clássica de KvN adota muitas técnicas da mecânica quântica, por exemplo, [[Diagramas de Feynman|técnicas de diagrama]]<ref name=Liboff2003>{{citar livro|último =Liboff |primeiro =R. L. |título=Kinetic theory: classical, quantum, and relativistic descriptions |publicado=Springer |ano=2003 |isbn=9780387955513 |língua=en}}</ref> e [[Teoria de perturbações|perturbação]], bem como métodos integrais funcionais.<ref>{{citar periódico
| volume = 20
|número= 4
|páginas= 281–288
|último = Daniell
|primeiro = P. J.
|título= Integrals in An Infinite Number of Dimensions
|periódico= The Annals of Mathematics
| series = Second Series|data= Julho de 1919
| jstor = 1967122
| doi = 10.2307/1967122
}}</ref><ref name=Gozzi1988>{{citar periódico|último1 = Gozzi |primeiro1 = E. |título= Hidden BRS invariance in classical mechanics | doi = 10.1016/0370-2693(88)90611-9 |periódico= Physics Letters B | volume = 201 |número= 4 |páginas= 525–528 |ano= 1988 |bibcode = 1988PhLB..201..525G }}</ref><ref name=Gozzi1989>{{citar periódico|último1 = Gozzi |primeiro1 = E. |último2 = Reuter |primeiro2 = M. |último3 = Thacker |primeiro3 = W. | doi = 10.1103/PhysRevD.40.3363 |título= Hidden BRS invariance in classical mechanics. II |periódico= Physical Review D | volume = 40 |número= 10 |páginas= 3363 |ano= 1989 |bibcode = 1989PhRvD..40.3363G }}</ref> A abordagem KvN é muito geral e foi estendida a [[Sistema dissipativo|sistemas dissipativos]],<ref name=Chruscinski2006>{{citar periódico|último1 = Chruściński |primeiro1 = D. |título= Koopman's approach to dissipation | doi = 10.1016/S0034-4877(06)80023-6 |periódico= Reports on Mathematical Physics | volume = 57 |número= 3 |páginas= 319–332 |ano= 2006 | bibcode=2006RpMP...57..319C}}</ref> [[mecânica relativista]]<ref name=Cabrera2012>{{citar arXiv|eprint=1107.5139|autor1 =Renan Cabrera|autor2 =Bondar|autor3 =Rabitz|título=Relativistic Wigner function and consistent classical limit for spin 1/2   particles|notas=quant-ph|ano=2011}}
</ref> e [[teoria clássica de campos]].<ref name=Bondar2012>{{citar periódico|último1 = Bondar |primeiro1 = D. |último2 = Cabrera |primeiro2 = R. |último3 = Lompay |primeiro3 = R. |último4 = Ivanov |primeiro4 = M. |último5 = Rabitz |primeiro5 = H. |título= Operational Dynamic Modeling Transcending Quantum and Classical Mechanics | doi = 10.1103/PhysRevLett.109.190403 |periódico= Physical Review Letters | volume = 109 |número= 19 |ano= 2012 | pmid =  23215365|arxiv = 1105.4014 |bibcode = 2012PhRvL.109s0403B |páginas=190403}}</ref><ref name=Carta2006>{{citar periódico|último1 = Carta |primeiro1 = P. |último2 = Gozzi |primeiro2 = E. |último3 = Mauro |primeiro3 = D. | doi = 10.1002/andp.200510177 |título= Koopman–von Neumann formulation of classical Yang–Mills theories: I |periódico= Annalen der Physik | volume = 15 |número= 3 |páginas= 177 |ano= 2006 |arxiv = hep-th/0508244 |bibcode = 2006AnP...518..177C }}</ref>

{{Gallery
|title=Propagação KvN vs propagação de Wigner
|align=center
|lines=10
|width=320
|height=320
|File:KvN evolution for Morse potential.ogv|{{anchor|animation_KvN_for_Morse}}A evolução do tempo da função de onda KvN clássica para o [[potencial Morse]]<ref>{{citar jornal
|primeiro1 =L. A.
|último1 =Girifalco
|primeiro2 =G. V.
|último2 =Weizer
|título=Application of the Morse Potential Function to cubic metals
|periódico= Phys. Rev.
|ano=1959
|volume=114
|número=3
|página=687
|doi=10.1103/PhysRev.114.687
|bibcode=1959PhRv..114..687G
}}</ref>: <math>U (x) = 20 ( 1 - e^{-0.16x} )^2 </math>. Os pontos negros são partículas clássicas seguindo a [[Leis de Newton|lei de movimento de Newton]]. As linhas sólidas representam o [[Superfície de nível|conjunto de níveis]] do [[Mecânica hamiltoniana|Hamiltoniano]] <math>H(x,p) = p^2 / 2 + U(x) </math>. Este vídeo ilustra a diferença fundamental entre a mecânica KvN e Liouville.
|File:Wigner function propagation for morse potential.ogv|Contrapartida quântica da propagação KvN clássica à esquerda: A evolução do tempo de [[função de Wigner]]<ref>
{{citar periódico
 |autor =E. P. Wigner
 |ano=1932
 |título=On the quantum correction for thermodynamic equilibrium
 |periódico=Phys. Rev.
 |volume=40 |número=5 |páginas=749–759
 |doi=10.1103/PhysRev.40.749|bibcode=1932PhRv...40..749W}}
</ref>  do potencial Morse em [[unidades atômicas]] (a.u.). As linhas representam o conjunto de níveis do hamiltoniano subjacente. Note que a mesma condição inicial utilizada para esta propagação quântica, bem como para a propagação KvN à esquerda.
}}

{{referências}}

{{Esboço-ciência}}

{{Áreas da matemática}}
{{Física}}
{{Portal3|Ciência|Física|Matemática}}
{{Controle de autoridade}}

[[Categoria:Conceitos fundamentais da física]]
[[Categoria:Física matemática]]
[[Categoria:Mecânica clássica]]