Mostrar código-fonte de Mecânica de Lagrange

{{Mecânica Clássica|Formulações}}
A '''mecânica de Lagrange''' ou '''mecânica lagrangiana''', nomeada em honra ao seu conceptor, [[Joseph-Louis Lagrange]], é uma formulação da [[mecânica clássica]] que combina a conservação do [[momento linear]] com a [[Lei da conservação da energia|conservação da energia]]. Exposta pela primeira vez no livro ''Méchanique Analytique'' em 1788, a formulação é provida de um potente ferramental matemático equivalente a qualquer outra formulação da mecânica, como por exemplo, o formalismo newtoniano.

Na mecânica lagrangiana, a trajetória de um sistema de partículas é obtida resolvendo as equações de Lagrange em uma de suas duas formas, chamadas equações de Lagrange de primeiro tipo,<ref name=Dvorak>{{citar livro|título=Chaos and stability in planetary systems |autor=R. Dvorak, [[Florian Freistetter]] |capitulo=§ 3.2 Lagrange equations of the first kind |url=http://books.google.com/books?id=shYNuW0B0fsC&pg=PA24 |página=24 |isbn=3540282084 |ano=2005 |editora=Birkhäuser}}</ref> que trata as restrições explicitamente como equações adicionais, geralmente utilizando os [[multiplicadores de Lagrange]];<ref name=Haken>{{citar livro |titulo=Information and self-organization |autor=H. Haken |url=http://books.google.com/books?id=tAfj4-xzyGwC&pg=PA61 |página=61 |isbn=3540330216 |ano=2006 |edição=3ª|editora=Springer}}</ref><ref name=Lanczos>{{citar livro|título=The variational principles of mechanics |autor=[[Cornelius Lanczos]] |página= 43 |capítulo=II §5 Auxiliary conditions: the Lagrangian λ-method |isbn=0486650677 |editora=Courier Dover |ano=1986 |edição=Reprint of University of Toronto 1970 4th |url=http://books.google.com/books?id=ZWoYYr8wk2IC&pg=PA43 }}</ref> e as equações de Lagrange de segundo tipo, que incorporam as restrições diretamente na escolha das [[Coordenada generalizada|coordenadas generalizadas]].<ref name=Dvorak/><ref name=Menzel>{{citar livro |título=Fundamental formulas of physics |editor=DH Menzel |autor=Henry Zatzkis |capítulo=§1.4 Lagrange equations of the second kind |url=http://books.google.com/books?id=QgswE2BicW4C&pg=PA160 |página=160 |isbn= 0486605957 |editora=Courier Dover |ano=1960 |volume=1 |edição=2ª}}</ref> O [[lema fundamental do cálculo das variações]] mostra que resolver as equações de Lagrange é equivalente a encontrar o caminho que minimiza a [[ação (física)|funcional ação]], uma quantidade que é a [[integral]] da [[função de Lagrange]] <math>L\,\!</math> no tempo.

Dado um conjunto de coordenadas generalizadas <math>q=\{q_i\}\,\!</math> para descrever o sistema físico estudado, a lagrangiana de qualquer sistema o caracteriza de forma unívoca e pode apresentar as seguintes dependências funcionais <math>L=L(q_i , \dot{q_i}, t)\,\!</math>, em que <math>\dot{q_i} \equiv \frac{dq_i}{dt},\,\!</math> que são as ''velocidades generalizadas''.

Pelo [[Princípio de Hamilton]],<ref>Também conhecido como [[princípio da mínima ação]].</ref> que nos diz que o trajeto real da partícula,<ref>Se este for o nosso objeto de estudo.</ref> entre os instantes <math>t_i\,\!</math> e <math>t_f\,\!</math> é aquele que minimiza a ação <math>S \equiv \int_{t_i}^{t_f} L(q_i , \dot{q_i}, t)dt\,\!</math> . Fixados os extremos da trajetória no espaço de configuração. Encontramos <ref>Para '''sistemas conservativos'''.</ref> as [[Equação de Euler-Lagrange|equações de Euler-Lagrange]]

<math> \frac{ \partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L}{\partial \dot{q_i}} \right) = 0,\,\!</math>

que são [[Equação diferencial parcial|equações diferenciais parciais]] de segunda ordem em <math>t\,\!</math>.

No caso de um sistema ''não-conservativo'' (ou ''dissipativo''), temos

<math>\frac{ \partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L}{\partial \dot{q_i}} \right) = Q_i^{ext}\,\!</math>

em que  <math>Q_i^{ext}=\sum_j^N \vec{F}_j^{ext} \cdot \frac{ \partial \vec{r}_j}{ \partial q_i}</math> são as forças generalizadas externas.

A mecânica lagrangiana é baseada num formalismo escalar mais simples e geral, quando comparado ao formalismo vetorial de Newton. Com isso, ela  é capaz de descrever igualmente bem fenômenos a baixas velocidades ou a velocidades relativísticas. O único aspecto que difere entre cada caso é a [[Função de Lagrange]].

==Uma escolha para as coordenadas generalizadas==
[[Imagem:Joseph Louis Lagrange2.jpg|thumb|direita|250px|Joseph-Louis Lagrange]]
Em um sistema clássico, por exemplo, temos que <math>q_i=r\,\!</math> (aqui estamos assumindo que as coordenadas generalizadas são os módulos dos vetores posição de cada partícula que compõem o sistema) e a [[função de Lagrange]] é definida por:<ref name="ClassicalDynamicsThornton">{{citar livro |título=Classical Dynamics of Particles and Systems |último1=Thornton |primeiro1=Stephen T. |último2=Marion |primeiro2=Jerry B. |edição=4 |ano=1995 |editora=Saunders College Publications |local=Fort Worth |isbn=978-0030973024 |língua=en}}</ref>

<math>L(r, \dot{r} , t) = T(r,\dot{r},t) - U(r)\,\!</math> ,

em que <math>T=\frac{1}{2}m\dot{r}^2\,\!</math> é a energia cinética e <math>U\,\!</math> é a energia potencial.

Quanto às equações de Euler-Lagrange, temos

<math>\frac{ \partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L}{\partial \dot{q_i}} \right) = \frac{ \partial L}{\partial r} - \frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L}{\partial \dot{r}} \right)=0.\,\!</math>

== Aplicação "clássica" ==
A mecânica de Lagrange tem a vantagem de resolver elegantemente problemas complexos, sendo um bom exemplo do grau de abstração embutido no formalismo de Lagrange a simplicidade com que podemos deduzir as [[Lei de conservação|leis de conservação]] a partir das simetrias do [[espaço-tempo]]. Deixa-se, aqui, a título de exemplo, a dedução da Conservação do [[Quantidade de movimento linear|Momento Linear]]:

* '''Conservação do Momento Linear'''
Sendo o espaço homogêneo,<ref>Ou seja, havendo invariância sob translação espacial no fenômeno estudado.</ref> tem-se que <math>\frac{\partial L}{\partial r} = 0\,\!</math>. Num sistema isolado (conservativo), pelas equações de Euler-Lagrange, temos <math> \frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L}{ \partial \dot{r}} \right) =0 \,\!</math>. Definindo <math>p= \frac{ \partial L}{ \partial \dot{r}}\,\!</math> <ref>De fato, na mecânica clássica teremos <math>\frac{ \partial L}{ \partial \dot{r}} = \frac{d}{d \dot{r} } \left( \frac{1}{2} m \dot{r}^2 \right) = m \dot{r} = mv\,\!</math>, se somente <math>U\,\!</math> não for função das velocidades generalizadas.</ref>, chegamos a <math>\frac{dp}{dt}=0.\,\!</math>

==Princípio de D'Alembert e forças generalizadas==
[[Imagem:Alembert.jpg|thumb|250px|direita|Jean Le Rond d'Alembert em 1753]]
O Princípio de D'Alembert introduz o conceito de Força Virtual ou Trabalho Virtual devido a aplicação de forças F''<sub> i </sub>'' e forças inerciais, agindo em um sistema tri-dimensional acelerado de ''n'' partículas que em movimento é consistente com as suas limitações,<ref name="Torby1984">{{citar livro|último =Torby |primeiro =Bruce |título=Advanced Dynamics for Engineers |series=HRW Series in Mechanical Engineering |ano=1984 |publicado=CBS College Publishing |local=United States of America  |isbn=0-03-063366-4 |capítulo=Energy Methods}}</ref>

Matematicamente, o trabalho virtual feito '''AW''' em uma partícula de massa <math>m_i</math> através de um deslocamento virtual ''δ'' '''r''' <sub>i</sub> (consistente com as restrições) é:

'''Princípio de D'Alembert'''

<math>\delta W = \sum_{i=1}^n ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i = 0.</math>

onde <math>a_i</math> são as acelerações das partículas no sistema ''i'' = 1, 2,...,''n'' simplesmente rotulam as partículas. Em termos de coordenadas generalizadas

:<math>\delta W = \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j} \delta q_j= 0.</math>

essa expressão sugere que as forças aplicadas possam ser '''forças generalizadas''', ''Q<sub>j</sub>''. Dividindo por ''δq<sub>j</sub>'' da a definição de uma força generalizada:<ref name="Torby1984"/>{{rp|265}}

:<math>Q_j = \frac{\delta W}{\delta q_j}= \sum_{i=1}^n \mathbf {F}_i \cdot \frac {\partial \mathbf{r}_i} {\partial q_j}.</math>

Se as forças '''F'''<sub>''i''</sub> são [[Forças conservativas|Força conservativa]], há um campo escalar potencial ''V'' em que o [[gradiente]] de ''V'' é a força:<ref name="Torby1984"/>{{rp|266 & 270}}

:<math>\mathbf F_i = - \nabla V \Rightarrow Q_j = - \sum_{i=1}^n \nabla V  \cdot \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j} = - \frac {\partial V}{\partial q_j}.</math>

Forças generalizadas podem ser reduzidas para um gradiente de potencial em termos de coordenadas generalizadas. O resultado anterior pode ser mais fácil de ver, reconhecendo que ''V'' é a função de '''r'''<sub>''i''</sub>, que por sua vez são funções de ''q<sub>j</sub>'', e, em seguida aplicando a [[Regra da cadeia]] para a derivada de <math>V</math> em relação a ''q<sub>j</sub>''.

==Relações de energia cinética==
A energia cinética, ''T'', para o sistema de partículas é<ref name="Torby1984"/>{{rp|269}}

:<math>T = \frac {1}{2} \sum_{i=1}^n m_i \mathbf {\dot{r}}_i \cdot \mathbf {\dot{r}}_i.</math>

As derivadas parciais de ''T'' em relação às coordenadas generalizadas <math>q_j</math> e velocidades generalizadas <math>\dot{q}_j</math> são <ref name="Torby1984"/>{{rp|269}}:

:<math>\frac{\partial T}{\partial q_j} = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{\dot{r}}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{\dot{r}}_i}{\partial q_j}</math>

:<math>\quad \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{\dot{r}}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{\dot{r}}_i}{\partial \dot{q}_j}.</math>

Porque <math>\dot{q_j}</math>  e <math>q_j</math>  são variáveis independentes:
:<math>\frac {\partial \mathbf{\dot{r}}_i}{\partial \dot{q_j}} = \frac {\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}  .</math>

Então :

:<math>\quad \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{\dot{r}}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}.</math>

O Tempo total derivado desta equação é:

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{\ddot{r}}_i \cdot \frac {\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} + \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{\dot{r}}_i \cdot \frac {\partial \mathbf{\dot{r}}_i}{\partial q_j} = Q_j + \frac{\partial T}{\partial q_j},</math>

resultando em:

'''Equações de movimento generalizadas'''

<math>Q_j = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left ( \frac {\partial T}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial T}{\partial q_j}.</math>

Esta é uma importante equação. As [[leis de Newton]] estão contidas nela e não existe nenhuma necessidade de encontrar as forças de restrição, porque o trabalho virtual e coordenadas generalizadas (que representam restrições) são usados. Esta equação em si não é realmente usada na prática, mas é um passo para derivar as equações de Lagrange.<ref name="Analytical Mechanics 2008">Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0</ref>

==Lagrangiano e ação==
O elemento central da mecânica de Lagrange é a [[função de Lagrange]], função que resume a dinâmica de todo o sistema em uma expressão muito simples. A física de análise de um sistema é reduzida para a escolha do conjunto mais conveniente de coordenadas generalizadas, determinando as energias potencial e cinética dos constituintes do sistema, então escrevemos a equação do lagrangiano nas equações de Lagrange. Que é definido pela<ref>Torby1984, p.270</ref>

:<math>L = T - V,</math>

onde ''T'' é o total de energia cinética ''V'' é o total de energia potencial do sistema.

O próximo elemento fundamental é a [[ação (física)|ação]] <math>\mathcal{S}</math>, definida como a integral do lagrangiano no tempo:

:<math>\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} L\,\mathrm{d}t.</math>

Este contém também a dinâmica do sistema, e tem implicações teóricas profundas. Formalmente a ação não é uma [[função (matemática)|função]], mas um [[funcional]]: seu valor depende da função de Lagrange em todos os instantes entre ''t''<sub>1</sub> e ''t''<sub>2</sub>. Sua [[análise dimensional|dimensão]] é a mesma do [[momento angular]].

Na teoria de campos, a densidade lagrangiana deve ser utilizada:

:<math> L = \int_V \mathcal{L} \mathrm{d}^3 r \,</math>

e a ação torna-se um integral no espaço e no tempo:

:<math>\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2}\int_V \mathcal{L} \mathrm{d}^3r\mathrm{d}t.</math>

==Derivação de equações de Lagrange==
===Princípio de Hamilton===
As equações de Euler-Lagrange seguem diretamente o princípio de Hamilton, e são matematicamente equivalentes. A partir do cálculo das variações, qualquer funcional da forma:

:<math>J=\int_{x_1}^{x_2}F(x,y,y')\mathrm{d}x</math>

leva à [[equação de Euler-Lagrange|equação geral de Euler-Lagrange]] para o valor estacionário de J:

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y'}=\frac{\partial F}{\partial y}.</math>

Então, fazendo as substituições:

:<math>x\rightarrow t,\quad y\rightarrow q,\quad y'\rightarrow \dot{q},\quad F\rightarrow L,\quad J\rightarrow\mathcal{S},</math>

se produz as equações de Lagrange para a mecânica. Como, matematicamente, as [[Equação de Hamilton|equações de Hamilton]] podem ser derivadas a partir de equações de Lagrange e as equações de Lagrange podem ser derivadas a partir das Leis de Newton, as quais são equivalentes e resumem a mecânica clássica, podemos observar que a mecânica clássica é fundamentalmente governada por um princípio de variação (princípio de Hamilton acima).

===Forças generalizadas===
Para um sistema conservativo, uma vez que o campo de potencial é só uma função da posição, não a velocidade, as equações de Lagrange também se seguem diretamente a partir da equação de movimento acima:

:<math>Q_j = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left ( \frac {\partial \mathcal (L+V)}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial \mathcal (L+V)}{\partial q_j} = \left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ( \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right ) +0\right] - \left[ \frac {\partial L}{\partial q_j}+\frac {\partial V}{\partial q_j}\right] = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ( \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial L}{\partial q_j} + Q_j. </math>

simplificando temos

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ( \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right ) = \frac {\partial L}{\partial q_j} </math>

Isto é consistente com os resultados obtidos acima, e pode ser visto através da diferenciação do lado direito do lagrangiano em relação à <math>\dot{q}_j</math> e tempo, e somente com relação a ''q<sub>j</sub>'', somando os resultados e associando um acordo com as equações de '''F'''<sub>''i''</sub> e ''Q<sub>j</sub>''.
===Princípio de Hamilton de ação estacionária===
Deixemos ''q''<sub>0</sub> e ''q''<sub>1</sub> serem as coordenadas em respectivos tempos iniciais e finais ''t''<sub>0</sub> e ''t''<sub>1</sub>. Usando o [[Cálculo das variações]], pode-se mostrar que as equações de Lagrange são equivalentes ao princípio de Hamilton:

:''A trajetória do sistema entre t<sub>0</sub> e t<sub>1</sub> tem uma '' 'ação estacionária''' S.''

Por estacionário, queremos dizer que a ação não varia da primeira ordem para deformações infinitesimais da trajetória, com os pontos finais (''q''<sub>0</sub>, ''t''<sub>0</sub>) e (''q''<sub>1</sub>,''t''<sub>1</sub>) corrigidos. O Princípio de Hamilton pode ser escrito como:

:<math>\delta \mathcal{S} = 0. \,\!</math>

Assim, em vez de pensar sobre partículas aceleradas em resposta a forças aplicadas, pode-se pensar nelas escolhendo o caminho com uma ação estacionária.

O Princípio de Hamilton é muitas vezes referido como o''princípio da mínima ação''. No entanto, a ação funcional só precisa ser estacionária, não necessariamente a um valor máximo ou mínimo. Qualquer variação das funcionais resulta em um aumento na [[integral]] funcional da ação.

Podemos usar este princípio em vez de as leis de Newton como o princípio fundamental da mecânica, o que nos permite usar um princípio integral (leis de Newton são baseadas em equações diferenciais para que elas sejam um princípio diferencial) como base para a mecânica.

==Equações de Lagrange do primeiro tipo==
Lagrange introduziu um método analítico para encontrar pontos fixos, utilizando o método de '''multiplicadores de Lagrange''' , e isto também se aplica à mecânica.

Para um sistema sujeito à equação de restrição nas coordenadas generalizadas:

:<math>F(r_1,r_2,r_3) = A </math>

onde ''A'' é uma constante, então as '''equações de lagrange do primeiro tipo''' são:

:<math>\left[\frac{\partial L}{\partial r_j} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}_j}\right)\right] + \lambda\frac{\partial F}{\partial r_j}=0 </math>

onde ''λ'' é o multiplicador de Lagrange. Por analogia com o procedimento matemático, podemos escrever:

:<math>\frac{\delta L}{\delta r_j} + \lambda\frac{\partial F}{\partial r_j}=0 </math>

onde

:<math>\frac{\delta L}{\delta r_j} = \frac{\partial L}{\partial r_j} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}_j}\right) </math>

denota a [[Derivada variacional]]

Para ''e'' equações de restrição ''F''<sub>1</sub>, ''F''<sub>2</sub>,..., ''F<sub>e</sub>'', existe um multiplicador de Lagrange, para cada equação de restrição, e as equações do primeiro tipo de Lagrange a generalizar são:

'''Equações de Lagrange''' ''(1º tipo)''

<math>\frac{\delta L}{\delta r_j} + \sum_{i=1}^e \lambda_i\frac{\partial F_i}{\partial r_j}=0 </math>

Este procedimento faz aumentar o número de equações, mas ainda não são suficientes para resolver todos os multiplicadores. O número de equações é gerado o número de equações de restrição adicional, o número de coordenadas,  ''e'' + ''m''. A vantagem do método é que (potencialmente complicada) a substituição e eliminação das variáveis ligadas por equações de restrição podem ser ignoradas.

Existe uma ligação entre as equações de restrição ''F<sub>j</sub>'' e as forças de restrição ''N<sub>j</sub>'' atuando no [[Força conservativa | conservador]] do sistema (as forças são conservadoras):

:<math>N_j = \sum_{i=1}^e \lambda_i \frac{\partial F_i}{\partial r_j} </math>

que é derivado a seguir.

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!Derivação de conexão entre as equações de restrição e as forças
|-
|As forças de restrição são indicadas pela definição da força generalizada acima:

:<math>N_j = \sum_{i=1}^n \mathbf{N}_i\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}</math>

e usando a equação da energia cinética do movimento:

:<math>Q_j = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left ( \frac {\partial T}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial T}{\partial q_j} = -\frac{\delta T}{\delta q_j}=\sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j},</math>

Para sistemas conservadores (ver abaixo)

:<math> \mathbf{F}_i = -\nabla V_i + \mathbf{N}_i,</math>

então

:<math>\frac{\delta T}{\delta q_j} = \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}
=\sum_{i=1}^n (-\nabla V_i + \mathbf{N}_i)\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}
=-\sum_{i=1}^n\nabla V_i\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}+\sum_{i=1}^n \mathbf{N}_i\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}
=-\frac{\partial V}{\partial q_j} + N_j
</math>

e

:<math>\frac{\delta T}{\delta q_j}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left ( \frac{\partial (L+V)}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial (L+V)}{\partial q_j}
=-\frac{\delta L}{\delta \dot{q}_j} - \frac {\partial V}{\partial q_j}
</math>

igualando leva à

:<math>N_j = -\frac{\delta L}{\delta \dot{q}_j} </math>

e, finalmente, equivalendo a equações do primeiro tipo de Lagrange ,implica:

:<math>N_j = \sum_{i=1}^e \lambda_i \frac{\partial F_i}{\partial r_j} </math>

Assim, cada equação de restrição corresponde a uma força de restrição (num sistema conservador).
|}
==Equações de Lagrange do segundo tipo==
===Equações de Euler-Lagrange===
Para qualquer sistema com '' m'' graus de liberdade, as equações de Lagrange incluem '' M'' coordenadas generalizadas e '' M'' velocidades generalizadas. Abaixo, vamos esboçar a derivação das equações de Lagrange do segundo tipo. Nesse contexto, '' V'' é usado ao invés de '' U'' para [[energia potencial]] e '' T'' substitui'' K'' de [[energia cinética]].

As equações de movimento na mecânica de Lagrange são as ''equações lagrangianas do segundo tipo''', também conhecidas como as '''Equações de Euler-Lagrange''':<ref>The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1</ref>

'''Equações de Lagrange''' ''(2º tipo)''


<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left ( \frac {\partial  L}{\partial \dot{q}_j} \right ) =  \frac {\partial L}{\partial q_j} </math>

onde ''j'' = 1, 2,...''m'' representa o ''j'' [[Cinemática#Movimento_e_graus_de_liberdade|grau de liberdade]], ''q<sub>j</sub>'' são as coordenadas generalizadas, e <math>\dot{q}_j</math> são as velocidades generalizadas.

Embora a matemática necessária para equações de Lagrange pareça muito mais complicada do que as leis de Newton, isso aponta para uma percepção mais profunda do que as leis da mecânica clássica de Newton só: em particular, conceitos como simetria e conservação. Na prática, muitas vezes é mais fácil de resolver um problema usando as equações de Lagrange do que as leis de Newton, pois as coordenadas generalizadas''q''<sub>''i''</sub> podem ser escolhidas por conveniência para explorar simetrias no sistema, e as forças de restrição são incorporadas na geometria do problema. Existe uma equação de Lagrange para cada coordenada generalizada ''q<sub>i</sub>''.

Para um sistema de muitas partículas, cada partícula pode ter diferentes números de graus de liberdade do que os outros. Em cada uma das equações de Lagrange, ''T'' é o ''total'' da [[energia cinética]] do sistema, e ''V'' o ''total'' da [[energia potencial]].

===Derivação das equações de Lagrange===

====Princípio de Hamilton====
As equações de Euler-Lagrange se seguem diretamente do princípio de Hamilton, e são matematicamente equivalentes.Do cálculo das variações, qualquer funcional da forma:

:<math>J=\int_{x_1}^{x_2}F(x,y,y')\mathrm{d}x</math>

leva à geral [[equação de Euler-Lagrange]] para o valor estacionário de J:

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y'}=\frac{\partial F}{\partial y}</math>

Em seguida, fazendo as substituições:

:<math>x\rightarrow t,\quad y\rightarrow q,\quad y'\rightarrow \dot{q},\quad F\rightarrow L,\quad J\rightarrow\mathcal{S}</math>

produz as equações de Lagrange para a mecânica. Desde que matematicamente as equações de Hamilton podem ser derivadas a partir de equações de Lagrange (por uma '''transformação de Legendre''') e as equações de Lagrange podem ser derivadas a partir de leis de Newton, as quais são equivalentes em resumir a mecânica clássica, isto significa que mecânica clássica é fundamentalmente governada por um princípio de variação (princípio de Hamilton acima).

====Forças generalizadas====

Para um sistema conservativo, uma vez que o campo de potencial é só uma função da posição, não a velocidade, as equações de Lagrange também seguem diretamente a partir da equação de movimento acima:

:<math>Q_j = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left ( \frac {\partial \mathcal (L+V)}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial \mathcal (L+V)}{\partial q_j} = \left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ( \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right ) +0\right] - \left[ \frac {\partial L}{\partial q_j}+\frac {\partial V}{\partial q_j}\right] = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ( \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial L}{\partial q_j} + Q_j. </math>

simplificando a

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ( \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right ) = \frac {\partial L}{\partial q_j} </math>

Isto é consistente com os resultados obtidos acima e pode ser vista por diferenciação do lado direito do lagrangiano com relação a <math>\dot{q}_j</math> e tempo, e somente com relação ao ''q<sub>j</sub>'', somando os resultados e associando um acordo com as equações para '''F'''<sub>''i''</sub> e ''Q<sub>j</sub>''.

====As leis de Newton====

Como os seguintes derivação mostraram, nenhuma nova física é introduzida, então as equações de Lagrange podem descrever a dinâmica de um sistema clássico equivalentemente como as leis de Newton.

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!Derivação das equações de Lagrange da 2 ª lei de Newton e o princípio de D'Alembert
|-
|
;Força e trabalho feitos (sobre a partícula)

Considere uma única partícula com [[massa]] ''m'' e o [[Vetor posição]] '''r''', movendo-se sob uma aplicada [[Força conservativa]] '''F''', que pode ser expressada como o [[gradiente]] de um [[potencial escalar | escalar]] [[energia potencial]] função ''V''('''r''', t):

:<math>\mathbf{F} = - \mathbf{\nabla} V. \, </math>

Tal força é independente da terceira ou de ordem superior derivados de '''r'''.

Considere um deslocamento arbitrário ''δ'''''r''' da partícula. O [[Trabalho]] feito pela força aplicada '''F''' é

:<math>\delta W = \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r}</math>.

Usando a segunda lei de Newton:

:<math> \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r} =  m\ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r}. </math>

Desde que o trabalho é uma grandeza escalar física, devemos ser capazes de reescrever esta equação em termos das coordenadas generalizadas e velocidades. No lado esquerdo,

:<math>\mathbf{F} \cdot \mathbf{\delta} \mathbf{r}
= - \mathbf{\nabla} V \cdot \displaystyle\sum_i {\partial \mathbf{r} \over \partial q_i} \delta q_i
= - \displaystyle\sum_{i,j} {\partial V \over \partial r_j} {\partial r_j \over \partial q_i} \delta q_i
= - \displaystyle\sum_i {\partial V \over \partial q_i} \delta q_i. </math>

No lado direito, a realização de uma alteração de coordenadas para coordenadas generalizadas, obtemos:

:<math>m \ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r} =  m \sum_j \left[ \sum_i \ddot{r_i} {\partial r_i \over \partial q_j} \right] \delta q_j </math>

Agora a Integração por partes o somatório em relação a ''t'', em seguida, a diferenciação com respeito a ''t'':

:<math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int\ddot{r_i} {\partial r_i \over \partial q_j} \mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left({\partial r_i \over \partial q_j}\dot{r}_i\right)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left({\partial r_i \over \partial q_j}\right)\dot{r}_i\mathrm{d}t= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dot{r}_i{\partial r_i \over \partial q_j}\right)-\dot{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left({\partial r_i \over \partial q_j}\right)</math>

permite que a soma seja escrita como:

:<math>m \ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r} = m \sum_j \left[ \sum_i \left[  {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}   \left(  \dot{r_i} {\partial r_i \over \partial q_j} \right)  - \dot{r_i} {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}\left(   {\partial r_i \over \partial q_j} \right)      \right] \right] \delta q_j </math>

Reconhecendo que

:<math>{\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial r_j \over \partial q_i} = {\partial \dot{r_j} \over \partial q_i}, \quad {\partial r_j \over \partial q_i} = {\partial \dot{r_j} \over \partial \dot{q_i}},</math>

Nós obtemos:

:<math>m \ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r} = m \sum_j \left[ \sum_i \left[  {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}   \left(  \dot{r_i} {\partial \dot{r_i} \over \partial \dot{q_j}} \right)  - \dot{r_i}   {\partial \dot{r_i} \over \partial q_j}       \right] \right] \delta q_j </math>

;A energia cinética e potencial

Agora, alterando a ordem de diferenciação, obtém-se:

:<math>m \ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r} = m \sum_j \left[ \sum_i \left[  {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}  {\partial \over \partial \dot{q_j}} \left( \frac{1}{2} \dot{r_i}^2  \right) -  {\partial \over \partial q_j} \left( \frac{1}{2} \dot{r_i}^2 \right)   \right] \right] \delta q_j </math>

Finalmente, alterando a ordem da soma:

:<math>m \ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r} = \sum_j \left[  {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}  {\partial \over \partial \dot{q_j}} \left( \sum_i \frac{1}{2} m \dot{r_i}^2  \right) -  {\partial \over \partial q_j} \left( \sum_i \frac{1}{2} m \dot{r_i}^2 \right) \right] \delta q_j </math>

O que equivale a:

:<math>
  m \ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r}
= \sum_i \left[{\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial T \over \partial \dot{q_i}}-{\partial T \over \partial q_i}\right]\delta q_i
</math>

onde ''T'' é o total de energia cinética do sistema

;Aplicando o [[Princípio de d'Alembert]]

A equação para o trabalho torna-se

:<math>
m\mathbf{\ddot{r}}\cdot\delta \mathbf{r}-\mathbf{F}\cdot\delta \mathbf{r}=\sum_i \left[{\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{T}\over \partial{\dot{q_i}}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right]\delta q_i = 0.
</math>

No entanto, isso deve ser verdadeiro para qualquer conjunto dos deslocamentos generalizados ''δq<sub>i</sub>'',por isso devemos ter

:<math>
\left[ {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{T}\over \partial{\dot{q_i}}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right] = 0
</math>

para cada coordenada generalizada ''δq<sub>i</sub>''.Podemos simplificar ainda mais notando que ''V'' é uma função exclusiva de '''r''' e ''t'', e '''r''' é uma função das coordenadas e generalizada ''t''. Portanto, ''V'' é independente das velocidades generalizadas:

:<math>{\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{V}\over \partial{\dot{q_i}}} = 0.</math>

Introduzindo esta na equação anterior e substituindo ''L'' =&nbsp;''T''&nbsp;&minus;&nbsp;''V'',chamado de Lagrangiano, obtemos as equações de Lagrange:

:<math>
{\partial{L}\over \partial q_i} = {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot{q_i}}}.
</math>
|}

Quando ''q''<sub>''i''</sub> = ''r''<sub>''i''</sub> (as coordenadas generalizadas são simplesmente as [[coordenadas cartesianas]]), é fácil verificar que as equações de Lagrange reduzem para a segunda lei de Newton.

==Função da dissipação==
Numa formulação mais geral, as forças poderiam ser tanto potenciais e [[Viscosidade|viscosas]]. Se uma transformação apropriada podem ser achada da '''F'''<sub>i</sub>, indica-se usar um a função de dissipação, ''D'', na seguinte forma:

:<math>D = \frac {1}{2} \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^m C_{j k} \dot{q}_j \dot{q}_k.</math>

onde ''C<sub>jk</sub>'' elas são constantes que são relacionados com os coeficientes de amortecimento nos sistemas físicos, mas não são iguais a eles necessariamente.

Se ''D'' é definido deste jeito:}

:<math>Q_j = - \frac {\partial V}{\partial q_j} - \frac {\partial D}{\partial \dot{q}_j}</math>

então

:<math>0 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left ( \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial L}{\partial q_j} + \frac {\partial D}{\partial \dot{q}_j}.</math>
===Massa em queda===
Considere um ponto de massa ''m'' em queda livre a partir do repouso. Pela gravidade uma força ''F'' = ''mg'' é exercida nas massas (assumindo ''g'' uma constante durante o movimento).
O preenchimento da força na relação de Newton, descobrimos que <math>\ddot x = g</math> da qual a solução de

:<math>x(t) = \frac{1}{2} g t^2</math>

segue (tomando a antiderivada da antiderivada e, escolhendo a origem como o ponto inicial). Este resultado também pode ser derivado por meio do formalismo lagrangiano. Tendo ''x'' para ser a coordenada em que ''0'' é ponto de partida.

A energia cinética é ''T'' = {{frac|1|2}}''mv''<sup>2</sup> e a energia potencial é ''V'' = −''mgx''; logo,

:<math>L = T - V = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + m g x</math>.

então

:<math>0 = \frac{\partial L}{\partial x} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot x} = m g - m \frac{\mathrm{d} \dot x}{\mathrm{d} t} </math>

a qual pode ser reescrita como <math>\ddot x = g</math>, originando o mesmo resultado obtido aplicando-se a mecânica newtoniana.

===Pêndulo sobre um suporte móvel===
[[Imagem:pendulumWithMovableSupport.svg|thumb|direita|250px|Pêndulo com suporte móvel]]
Considere um pêndulo de massa ''m'' e comprimento ''ℓ'', que está ligado a um suporte com massa ''M'', que pode se mover ao longo de uma linha na direção ''x''. Seja ''x'' a coordenada ao longo da linha de apoio, vamos indicar a posição do pêndulo pelo ângulo ''θ'' em relação à vertical.

A energia cinética pode então ser descrita como:

:<math>
\begin{align}
T &= \frac{1}{2} M \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m \left( \dot{x}_\mathrm{pend}^2 + \dot{y}_\mathrm{pend}^2 \right) \\
&= \frac{1}{2} M \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m \left[ \left( \dot x + \ell \dot\theta \cos \theta \right)^2 + \left( \ell \dot\theta \sin \theta \right)^2 \right],
\end{align}</math>

e a energia potencial do sistema é:

:<math> V = m g y_\mathrm{pend} = - m g \ell \cos \theta . </math>

O lagrangiano é portanto:

<math>
\begin{align}
L &= T - V \\ 
&= \frac{1}{2} M \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m \left[ \left( \dot x + \ell \dot\theta \cos \theta \right)^2 + \left( \ell \dot\theta \sin \theta \right)^2 \right] + m g \ell \cos \theta \\
&= \frac{1}{2} \left(  M + m \right) \dot x^2 + m \dot x \ell \dot \theta \cos \theta + \frac{1}{2} m \ell^2 \dot \theta ^2 + m g \ell \cos \theta
\end{align}
</math>

Agora realizando as diferenciações temos o apoio de coordenadas ''x''

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left[ (M + m) \dot x + m \ell \dot\theta \cos\theta \right] = 0, </math>

portanto:

:<math>  (M + m) \ddot x + m \ell \ddot\theta\cos\theta-m \ell \dot\theta ^2 \sin\theta = 0 </math>

indicando a presença de uma constante de movimento.
Realizando o mesmo procedimento para a variável <math>\theta</math> temos:

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ m( \dot x \ell \cos\theta + \ell^2 \dot\theta ) \right] + m \ell (\dot x \dot \theta + g) \sin\theta = 0;</math>

portanto

:<math>\ddot\theta + \frac{\ddot x}{\ell} \cos\theta + \frac{g}{\ell} \sin\theta = 0.\, </math>

Essas equações podem parecer bastante complicadas, mas encontrá-las com as leis de Newton teria exigido identificar cuidadosamente todas as forças, o que teria sido muito mais trabalhoso e propenso a erros. Ao considerar casos limite, a correção deste sistema pode ser verificada: Por exemplo, <math>\ddot x \to 0</math> deve dar as equações de movimento para um pêndulo que está em repouso em algum [[inercial]], Enquanto <math>\ddot\theta \to 0</math> deve dar as equações para um pêndulo em um sistema de aceleração constante, etc.

{{Referências}}

==Bibliografia==
*MAIA, NUNO M: Introdução à Mecânica Analítica, IST Press
*GOLDSTEIN: Classical Mechanics, Addison-Wesley
*LEMOS, NIVALDO A.: Mecânica Analítica, Livraria da Física, 2ª ed.


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