Mostrar código-fonte de Modelo de Solow

[[Ficheiro:Solow_growth_model1.png|miniaturadaimagem|direita|Diagrama do Modelo de Crescimento de Solow]]
Na [[economia|teoria econômica]] do crescimento, o '''modelo de Robert-Solow''' é um modelo neoclássico do crescimento, cujo nome foi dado em homenagem ao [[Prêmio de Ciências Econômicas]] [[Robert Solow]].

Este modelo estuda o crescimento da [[economia]] de um [[país]] em um longo período. Ele apresentou como fonte de crescimento econômico: a acumulação de capital, o crescimento da força de trabalho e as alterações tecnológicas. Robert Solow preocupou-se em demonstrar que o produto ''per capita'' é uma função crescente da razão entre [[capital (economia)|capital]] e [[trabalho (economia)|trabalho]]. A força de trabalho cresce a uma [[taxa]] natural (exógena ao modelo) então é necessária uma quantidade de [[poupança]] ''per capita'', que deve ser utilizada para equipar os novos trabalhadores com uma quantidade de [[capital]] per capita <math>K</math>, igual à dos outros trabalhadores. Outra parte da poupança deve ser utilizada para garantir a não [[depreciação]] do capital. A primeira parte da poupança citada acima para equipar os novos trabalhadores é chamada "alargamento do capital" (expansão da força de trabalho) e a poupança utilizada para aumentar a razão capital-trabalho se chama "aprofundamento do capital". Para alcançarmos a situação de ''steady state'' (estado estável) é necessário que a [[poupança]] ''per capita'' seja igual ao alargamento do capital. O capital por trabalhador <math>K</math>, tem um rendimento decrescente então chegando a esse ponto de equilíbrio não adianta investir mais no trabalhador que está na situaçâo da poupança ''per capita'' igual ao alargamento do capital porque não se estará maximizando a produtividade deste trabalhador. Assim o condicionante do crescimento econômico é a taxa de crescimento da [[força de trabalho]].

== Premissas ==
No modelo de Solow, a economia nacional é vista como uma unidade agregada que corresponde ao total da produção e do consumo. Presume-se que não há efeitos monetários e todos os preços são constantes. A economia tem, a qualquer momento, uma determinada quantidade de capital (<math>K</math>), trabalho (<math>L</math>) e tecnologia (<math>T</math>), que são coordenados por uma função de produção (<math>F</math>) para determinar o produto (<math>Y</math>):

<math>Y_t=F(K_t,T_t, L_t)</math>

Por ser uma função de produção neoclássica, presume-se que ela segue quatro princípios:{{sfn|Barro|Sala-i-Martin|2004|pp=27-28}}
* Retornos constantes de escala: uma variação nos fatores de produção implica em uma variação proporcional do produto.

:<math>F(\lambda K_t, \lambda T_tL_t)=\lambda F(K_t,T_tL_t)</math>

* Retornos marginais decrescentes e positivos: os retornos marginais de capital e de trabalho efetivo são positivos, mas se reduzem na medida que o uso de cada fator aumenta. Então, por exemplo, se mais capital é utilizado, a produção aumenta, mas aumenta menos a cada nova unidade de capital acrescida, dado que o fator trabalho permaneça constante. Matematicamente, isso significa que a primeira derivada parcial da função de produção em relação a trabalho efetivo e capital é positiva, enquanto a respectiva segunda derivada parcial é negativa:

:<math>\frac{\partial F}{\partial K_t}>0, \;\; \frac{\partial^2 F}{\partial K_t^2}<0</math>

:<math>\frac{\partial F}{\partial (T_tL_t)}>0, \;\; \frac{\partial^2 F}{\partial (T_tL_t)^2}<0</math>

* As condições de Inada devem ser satisfeitas. Isto é, o produto marginal de cada fator de produção tende ao infinito na medida em que ele se aproxima de zero, e tende a zero na medida em que o fator se aproxima do infinito:

:<math>\lim_{K_t \to 0} \frac {\partial F}{\partial K_t} = \infty\quad\textrm{und}\quad\lim_{K_t \to \infty} \frac {\partial F}{\partial K_t} = 0</math>

:Economicamente, o resultado é a impossibilidade de crescimento contínuo somente pelo aumento do uso de fatores de produção. Portanto, no caso de uma função de produção neoclássica sem progresso tecnológico, a taxa de crescimento positiva da renda não é possível a longo prazo caso se apliquem as condições de Inada.

:<math>\lim_{L_t \to 0} \frac {\partial F}{\partial (T_t L_t)} = \infty\quad\textrm{und}\quad\lim_{L_t \to \infty} \frac {\partial F}{\partial (T_t L_t)} = 0</math>

* Essencialidade dos fatores de produção. Um fator de produção é considerado essencial caso a produção seja sempre zero sem o seu uso.

:<math>F(K_t=0,T_tL_t>0)=0, \;\; F(K_t>0,T_tL_t=0)=0</math>

== Papel da poupança: maior produto no estado estacionário ==

{{AP|poupança|Estado estacionário (economia){{!}}Estado estacionário}}

O modelo de Solow mostra que a taxa de poupança é o principal determinante do estoque de capital no [[estado estacionário]]. O aumento da taxa de poupança faz a economia crescer até que alcance o novo estado estacionário. Assim, a acumulação de capital é a poupança descontada da taxa de depreciação.

Para Ellery Jr. e Gomes (2003, p.&nbsp;5),<ref>ELLERY Jr, Roberto, e GOMES, Victor. Modelo de Solow, Resíduo de Solow e Contabilidade do Crescimento. março de 2003. Disponível em:[http://www.victorgomes.com.br/docs/cursos/ecb1/solow_ecb.pdf ligação externa] {{Wayback|url=http://www.victorgomes.com.br/docs/cursos/ecb1/solow_ecb.pdf# |date=20061118033143 }}. Acesso em 28 de janeiro de 2009. 21 páginas.</ref> "podemos chegar a duas conclusões importantes sobre o modelo de Solow, uma de caráter mais teórico e outra capaz de sugerir políticas macroeconômicas. A primeira conclusão é que a partir de um certo período o estoque de capital e o produto por unidades de eficiência chegam a um valor constante. Note que se o produto por unidade de eficiência é constante o consumo e o investimento também devem ser constantes, visto que ambos são frações do produto. Desta forma podemos dizer que em um certo momento a economia chegará a uma situação onde todas as variáveis medidas em unidades de eficiência tornar-se-ão constantes no tempo, quando uma economia encontra-se nesta situação dizemos que ela atingiu o estado estacionário.

A segunda conclusão diz respeito ao valor do produto no estado estacionário, note que '''quanto maior a taxa de poupança maior será o produto por unidades de eficiência no estado estacionário'''. Isto sugere que uma maneira de tornar um país mais rico seria implementar políticas que aumentem a taxa de poupança." [grifo não está no original]

== Estudos posteriores ==

Para Sachs e Larrain (2000, p.&nbsp;598),<ref>D. SACHS, Jeffrey, e LARRAIN B., Felipe. '''macroeconomia''' - Edição revisada e atualizada. São Paulo: MAKRON Books, 2000. 848 páginas ISBN 8-534-61121-1</ref> "grande parte dos trabalhos empíricos posteriores [a Solow] foram baseados em ampliações e sofisticações do esquema geral [deste modelo]. Basicamente, tentaram melhorar a qualidade dos dados e classificaram as séries de capital e mão-de-obra por tipo. Por exemplo, no caso da mão-de-obra, o insumo total foi subdividido em categorias por [[idade]], [[educação]] e geração."

== Matemática do modelo ==

O livro didático modelo de Solow-Swan é definido no mundo de tempo contínuo com nenhum governo ou o comércio internacional. O único bem (saída) é produzido usando dois fatores de produção, trabalho (<math>L</math>) e de capital (<math>K</math>) em uma função de produção agregada que satisfaça as [[condições de Inada]], que implica que a elasticidade de substituição deve ser assintoticamente igual a um.<ref>{{citar periódico|último =Barelli |primeiro =Paulo |último2 =Pessôa |primeiro2 =Samuel de Abreu |título=Inada conditions imply that production function must be asymptotically Cobb–Douglas |periódico=Economics Letters |volume=81 |número=3 |ano=2003 |páginas=361–363 |doi=10.1016/S0165-1765(03)00218-0 }}</ref><ref>{{citar periódico|último =Litina |primeiro =Anastasia |primeiro2 =Theodore |último2 =Palivos |ano=2008 |título=Do Inada conditions imply that production function must be asymptotically Cobb–Douglas? A comment |periódico=[[Economics Letters]] |volume=99 |número=3 |páginas=498–499 |doi=10.1016/j.econlet.2007.09.035 }}</ref>

: <math>Y(t)=K(t)^{\alpha}(A(t)L(t))^{1-\alpha}\,</math>

Onde <math>t</math> denota tempo, <math>0 < \alpha < 1</math> é a elasticidade do produto em relação ao capital, e <math>Y(t)</math> representa a produção total. <math>A</math> refere-se a tecnologia de aumentar o trabalho ou "conhecimento", assim <math>AL</math> representa o trabalho efetivo. Todos os fatores de produção estão plenamente empregados, e os valores iniciais <math>A(0)</math>, <math>K(0)</math> e <math>L(0)</math> são dadas. O número de trabalhadores, ou seja, de trabalho, bem como o nível de [[tecnologia]] crescem exogenamente a taxas <math>n</math> e <math>g</math>, respectivamente:

:<math>L(t) = L(0)e^{nt}</math>

:<math>A(t) = A(0)e^{gt}</math>

O número de unidades de trabalho, <math>A(t) L(t)</math>, portanto, cresce a uma taxa <math>(n + g)</math>. Enquanto isso, o estoque de capital se deprecia ao longo do tempo a uma taxa constante <math>\delta</math>. No entanto, apenas uma fração da saída (<math>CY(t)</math> com <math>0 < c < 1</math>) é consumido, deixando uma parte salva <math>s = 1 - c</math> para investimento:

:<math>\dot{K}(t) = sY(t) - {\delta}K(t)\,</math>

Onde <math>\dot{K}</math> é um atalho para <math>\frac{dK(t)}{dt}</math>, a [[derivada]] em relação ao [[tempo]]. Derivada em relação ao tempo significa que é a mudança no capital social-saída que não é nem salva nem usado para substituir bens de capital velhos desgastados é o investimento líquido. Uma vez que a função de produção <math>Y(K, AL)</math> tem retornos constantes de escala, pode ser escrito como a produção por unidade de trabalho eficaz:<ref group=nota>Calculo passo-a-passo: <math>y(t) = \frac{Y(t)}{A(t)L(t)} = \frac{K(t)^{\alpha}(A(t)L(t))^{1-\alpha}}{A(t)L(t)} = \frac{K(t)^{\alpha}}{(A(t)L(t))^{\alpha}} = k(t)^{\alpha}</math></ref>

:<math>y(t) = \frac{Y(t)}{A(t)L(t)} = k(t)^{\alpha}</math>

O interesse principal do modelo é a dinâmica da intensidade de capital <math>k</math>, o estoque de capital por unidade de trabalho efetivo. O seu comportamento ao longo do tempo é dada pela equação de chave do modelo de Solow-Swan:<ref group=nota>Calculo passo-a-passo: <math>\dot{k}(t) = \frac{\dot{K}(t)}{A(t)L(t)} - \frac{K(t)}{[A(t)L(t)]^2}[A(t)\dot{L}(t)+L(t)\dot{A}(t)] = \frac{\dot{K}(t)}{A(t)L(t)} - \frac{K(t)}{A(t)L(t)} \frac{\dot{L}(t)}{L(t)} - \frac{K(t)}{A(t)L(t)} \frac{\dot{A}(t)}{A(t)}</math>. Desde que <math>\dot{K}(t) = sY(t) - {\delta}K(t)\,</math>, e <math>\frac{\dot{L}(t)}{L(t)}</math>, <math>\frac{\dot{A}(t)}{A(t)}</math> são <math>n</math> e <math>g</math>, respectivamente, a equação é simplificada <math>\dot{k}(t) = s\frac{Y(t)}{A(t)L(t)} - \delta\frac{K(t)}{A(t)L(t)} - n\frac{K(t)}{A(t)L(t)} - g\frac{K(t)}{A(t)L(t)} = sy(t) - {\delta}k(t) - nk(t) - gk(t)</math>. Como mencionado acima, <math>y(t) = k(t)^{\alpha}</math>.</ref>

:<math>\dot{k}(t) = sk(t)^{\alpha} - (n + g + \delta)k(t)</math>

O primeiro termo, <math>sk(t)^{\alpha} = sy(t)</math>, é o investimento atual por unidade de trabalho efetivo: a fração <math>s</math> da produção por unidade de trabalho efetivo <math>y(t)</math>, que é poupado e investido. O segundo termo, <math>(n + g + \delta)k(t)</math>, é o “investimento break-even”: o montante de investimento que devem ser investidos para prevenir a queda de <math>k</math>.<ref name="Romer2011">{{citar livro|primeiro =David |último =Romer |autorlink=David Romer |capítulo=The Solow Growth Model |título=Advanced Macroeconomics |edição=Fourth |local=New York |publicado=McGraw-Hill |ano=2011 |páginas=6–48 |isbn=978-0-07-351137-5 }}</ref>{{rp|16}}
A equação implica que <math>k(t)</math> converge para um valor em estado estacionário em <math>k^*</math>, definida por <math>sk(t)^{\alpha} = (n + g + \delta)k(t)</math>, em que não há nem um aumento nem diminuição da intensidade de capital:

:<math>k^* = \left( \frac{s}{n + g + \delta} \right)^{\frac{1}{1-\alpha}} \,</math>

em que o estoque de capital <math>K</math> e trabalho eficaz <math>AL</math> estão crescendo a uma taxa <math>(n + g)</math>. Por hipótese de retornos constantes, saída <math>Y</math> é também crescente a essa taxa. Em essência, o modelo de Solow-Swan prevê que a [[economia]] irá convergir para um equilíbrio do crescimento equilibrado, independentemente do seu ponto de partida.
Nessa situação, o crescimento da produção por trabalhador é determinado unicamente pela taxa de progresso tecnológico.<ref name="Romer2011" />{{rp|18}}
Uma vez que, por definição, <math>\frac{K(t)}{Y(t)} = k(t)^{1-\alpha}</math>, no equilíbrio <math>k^*</math> nós temos

:<math>\frac{K(t)}{Y(t)} = \frac{s}{n + g + \delta} </math>

Portanto, no equilíbrio, a relação <math>\frac{capital}{produto}</math> depende apenas de economia, crescimento e taxas de depreciação. Esta é a versão do modelo de Solow-Swan da taxa de poupança regra de ouro. Desde <math>{\alpha} < 1</math>, a qualquer momento <math>t</math> o produto marginal do capital <math>K(t)</math> no modelo de Solow-Swan é inversamente relacionada com a relação <math>\frac{capital}{trabalho}</math>.

:<math>MPK=\frac{\partial Y}{\partial K}= \frac{{\alpha}A^{1-\alpha}}{(\frac{K}{L})^{1-\alpha}}</math>

Se a produtividade <math>A</math> é o mesmo países de todo, em seguida, os países com menos capital por trabalhador <math>\frac{K}{L}</math> tem um produto superior marginal, o que proporcionaria um maior retorno sobre o investimento de capital. Como conseqüência, o modelo prevê que em um mundo de economias de mercado aberto e do capital financeiro global, o investimento vai fluir dos países ricos para os países pobres, até que o <math>\frac{capital}{trabalhador}</math> <math>\frac{K}{L}</math> e <math>\frac{renda}{trabalhador}</math> <math>\frac{Y}{L}</math> equalizar entre os países. Desde que o produto marginal do capital físico não é mais elevada nos países pobres do que nos países ricos,<ref>{{Citar periódico|titulo = The Marginal Product of Capital|url = http://qje.oxfordjournals.org/content/122/2/535|jornal = The Quarterly Journal of Economics|data = 2007-05-01|issn = 0033-5533|paginas = 535-568|volume = 122|numero = 2|doi = 10.1162/qjec.122.2.535|idioma = en|primeiro = Francesco|ultimo = Caselli|autor2 = James}}</ref> a implicação é que a produtividade é menor nos países pobres. O modelo básico de Solow não pode explicar porque a produtividade é menor nesses países. Lucas sugere que níveis mais baixos de capital humano nos países pobres poderia explicar a menor produtividade.<ref name="Lucas1990">{{citar periódico|último1 = Lucas |primeiro1 = Robert |autorlink=Robert E. Lucas, Jr. |ano=1990 |título= Why doesn't Capital Flow from Rich to Poor Countries? |periódico= [[American Economic Review]] | volume = 80|páginas= 92–96|número= 2 }}</ref>
Se um iguala o produto marginal do capital <math>\frac{\partial Y}{\partial K}</math> com a taxa de retorno <math>r</math> (tal aproximação é frequentemente usado em economia neoclássica), então, para a nossa escolha da função de produção

:<math> \alpha = \frac{K\frac{\partial Y}{\partial K}}{Y} = \frac{rK}{Y} \, </math>

para que <math>\alpha</math> é a fração da renda apropriada pelo capital. Assim, o modelo de Solow-Swan assume desde o início que a divisão da renda entre capital e trabalho se mantém constante.

== Versão Mankiw-Romer-Weil do modelo ==
=== Adicionando Capital Humano ===
[[N. Gregory Mankiw]], [[David Romer]] e [[David Weil]] criaram uma versão do modelo de Solow-Swan adicionando o capital humano, que pode explicar o fracasso do investimento internacional ao fluir para os países pobres.<ref>{{Citar periódico|titulo = A Contribution to the Empirics of Economic Growth|url = http://qje.oxfordjournals.org/content/107/2/407|jornal = The Quarterly Journal of Economics|data = 1992-05-01|issn = 0033-5533|paginas = 407-437|volume = 107|numero = 2|doi = 10.2307/2118477|idioma = en|primeiro = N. Gregory|ultimo = Mankiw|autor2 = David}}</ref> Neste resultado do modelo e do produto marginal do capital (K) são menores nos países pobres porque têm menos capital humano do que os países ricos. Semelhante ao livro didático do modelo de Solow-Swan, a função de produção é do tipo Cobb-Douglas:

:<math>Y(t) = K(t)^{\alpha} H(t)^{\beta} (A(t)L(t))^{1 - \alpha - \beta}</math>,

Onde <math>H(t)</math> é o estoque de capital humano, o que deprecia na mesma proporção <math>\delta</math> como capital físico. Por questões de simplicidade, que assumem a mesma função de acumulação de ambos os tipos de capital. Como em Solow-Swan, uma fração do resultado, <math>sY(t)</math>, é salvo a cada período, mas, neste caso, se separaram e investiu em parte física e parte em capital humano, de modo que <math>s = s_{K} + s_{H}</math>. Portanto, há duas equações dinâmicas fundamentais neste modelo:

:<math>\dot{k} = s_{K}k^{\alpha}h^{\beta} - (n + g + \delta)k</math>

:<math>\dot{h} = s_{H}k^{\alpha}h^{\beta} - (n + g + \delta)h</math>

O caminho de crescimento de equilíbrio equilibrada (ou de estado estacionário) é determinada por <math>\dot{k} = \dot{h} = 0</math>, o que o principal <math>s_{K}k^{\alpha}h^{\beta} - (n + g + \delta)k = 0</math> e <math>s_{H}k^{\alpha}h^{\beta} - (n + g + \delta)h = 0</math>. Resolvendo para o nível de [[estado estacionário]] <math>k</math> e <math>h</math> rendimentos:

:<math>k^* = \left( \frac{s_{K}^{1 - \beta} s_{H}^{\beta}}{n + g + \delta} \right)^{\frac{1}{1- \alpha- \beta}}</math>

:<math>h^* = \left( \frac{s_{K}^{\alpha} s_{H}^{1- \alpha}}{n + g + \delta} \right)^{\frac{1}{1- \alpha- \beta}}</math>

No estado estacionário, <math>y^{*} = (k^{*})^{\alpha} (h^{*})^{\beta}</math>.

=== Estimativas econométricas ===

Klenow e Rodriguez-Clare lançaram dúvidas sobre a validade do modelo aumentada porque as estimativas Mankiw, Romer e Weil de <math>{\beta}</math> não parecem consistentes com as estimativas aceitas de o efeito de aumento da escolaridade sobre os salários dos trabalhadores. Embora o modelo estimado explica 78% da variação da renda entre os países, as estimativas de <math>{\beta}</math> deu a entender que os efeitos externos do capital humano sobre a renda nacional é maior do que seu efeito direto sobre os salários dos trabalhadores.<ref>{{citar livro|último =Klenow|primeiro =Peter J.|último2 =Rodriguez-Clare|primeiro2 =Andres|editor-nome =Ben S.|editor-sobrenome1 =Bernanke|editor-nome2 =Julio|editor-sobrenome2 =Rotemberg|título=NBER Macroeconomics Annual 1997, Volume 12|publicado=National Bureau of Economic Research |data=janeiro de 1997 |páginas=73–114|capítulo=The Neoclassical Revival in Growth Economics: Has It Gone Too Far? |capítulourl=http://www.nber.org/chapters/c11037|isbn=0-262-02435-7|ref=harv}}</ref>

=== Contabilização dos efeitos externos ===

Theodore Breton forneceu uma visão que reconciliou o grande efeito do capital humano de escolaridade no modelo de Mankiw, Romer e Weil com o menor efeito da escolaridade sobre os salários dos trabalhadores. Ele demonstrou que as propriedades matemáticas do modelo incluem efeitos externos significativas entre os factores de produção, porque o capital humano e capital físico são factores multiplicativos de produção.<ref name="breton">{{Citar periódico|titulo = WERE MANKIW, ROMER, AND WEIL RIGHT? A RECONCILIATION OF THE MICRO AND MACRO EFFECTS OF SCHOOLING ON INCOME|url = http://journals.cambridge.org/article_S1365100511000824|jornal = Macroeconomic Dynamics|data = 2013-07-01|issn = 1469-8056|paginas = 1023–1054|volume = 17|numero = 05|doi = 10.1017/S1365100511000824|primeiro = Theodore R.|ultimo = Breton}}</ref>

O efeito externo do capital humano sobre a produtividade do capital físico é evidente no produto marginal do capital físico:

:<math>MPK=\frac{\partial Y}{\partial K}= \frac{{\alpha}A^{1-\alpha}(\frac{H}{L})^{\beta}} {(\frac{K}{L})^{1-\alpha}}</math>

Ele mostrou que os grandes estimativas do efeito do capital humano nas estimativas do modelo pelo país são consistentes com o efeito menor normalmente encontrados em salários dos trabalhadores quando os efeitos externos do capital humano em capital físico e trabalho são levadas em conta. Essa percepção reforça significativamente o caso para a versão Mankiw, Romer e Weil do modelo de Solow-Swan. A maioria das análises que criticam esse modelo não levam em conta os efeitos externos de ambos os tipos de capital inerentes ao modelo.<ref name = breton/>

=== Produtividade Total dos Fatores ===

A taxa exógena de PTF (Produtividade Total dos Fatores) crescimento no modelo de Solow-Swan é o resíduo após a contabilização de acumulação de capital. O Mankiw, Romer e Weil modelo fornece uma estimativa inferior da PTF (residual) do que o modelo básico de Solow-Swan, porque a adição de capital humano para o modelo permite a acumulação de capital para explicar mais a variação da renda entre os países. No modelo básico do residual PTF inclui o efeito do capital humano, pois o capital humano não é incluído como um fator de produção.

== Ver também ==
* [[Estado estacionário (economia)|Estado estacionário]]
* [[Crescimento econômico]]

{{notas}}

{{Referências}}

== Bibliografia ==
* {{Citar livro|url=http://piketty.pse.ens.fr/files/BarroSalaIMartin2004.pdf|título=Economic Growth|ultimo=Barro|primeiro=Robert J.|ultimo2=Sala-i-Martin|primeiro2=Xavier|editora=The MIT Press|ano=2004|local=Cambridge, Massachusetts|isbn=0-262-02553-1|ref={{sfnRef|Barro|Sala-i-Martin|2004}}}}
* Daron Acemoglu. '''Introduction to Modern Economic Growth''', Volume 1. Princeton University Press, 2009. ISBN 0-691-13292-5 {{en}}.


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[[Categoria:Crescimento econômico]]