Mostrar código-fonte de Momento polar de inércia

O '''momento polar de inércia''' ({{lang-en|'''polar moment of inertia'''}}), também conhecido como '''segundo momento polar de área''', é uma quantidade usada para descrever resistência à deformação [[Torção mecânica|torcional]] em objetos cilíndricos (ou segmentos de objetos cilíndricos) com uma [[Seção transversal (geometria)|seção transversal]] [[invariante]] e sem empenamento (deformação fora do plano) significativo.<ref name=ugural>Ugural AC, Fenster SK. Advanced Strength and Applied Elasticity. 3rd Ed. Prentice-Hall Inc. Englewood Cliffs, NJ. 1995. {{ISBN|0-13-137589-X}}.</ref> É um constituinte do [[momento de inércia de área]], relacionados através do [[Teorema dos eixos perpendiculares]]. Onde o segundo momento de área ''planar'' descreve a resistência de um objeto à deflexão quando submetido a uma força aplicada a um [[Plano (geometria)|plano]] paralelo ao eixo central, o segundo momento de área ''polar'' descreve a resistência de um objeto à rotação quando submetido a um momento aplicado em um plano perpendicular ao eixo central de um objeto. Similar ao segundo momento de área ''planar'' (<math>I_x</math>,<math>I_y</math> e <math>I_{xy}</math>), o segundo momento de área ''polar'' é frequentemente denotado como <math>I_z</math>. Enquanto diversos livros-texto de engenharia e publicações acadêmicas também o denotem como <math>J</math> ou <math>J_z</math>, deve-se prestar atenção cuidadosa tal que ela não seja confundida com o [[módulo de torção]] <math>J_t</math>, usado para objetos não-cilíndricos.

De forma simples, o '''momento polar de inércia''' é a resistência de um eixo ou [[viga]] de ser distorcido por torção, em função de sua forma. A rigidez vem apenas da área transversal do objeto e não depende da composição do material ou [[módulo de cisalhamento]]. Quanto maior a magnitude do momento polar de inércia, maior a resistência à torção do objeto.

==Definição==
[[Imagem:Polar Moment of Inertia.svg|frame|direita|Um esquema mostrando como o '''momento polar de inércia''' é calculado para uma forma arbitrária em torno de um eixo <math>O</math>, onde <math>\rho</math> é a distância radial ao elemento <math>dA</math>.]]

: '''''Nota:''' ''Embora tenha se tornado comum encontrar o termo '''momentos de inércia''' usado para descrever os segundos momentos de área '''polar''' e '''planar''' , isso é principalmente uma construção de campos de [[engenharia]].'' O termo ''momento de inércia'', dentro dos campos da física e da matemática, é estritamente o momento de inércia de '''massa''', ou [[Momento de inércia|segundo momento de massa]], usado para descrever a resistência de um objeto maciço ao movimento rotacional, não sua resistência à deformação torcional. Enquanto os segundos momentos de inércia '''polar''' e '''planar''' são integrados sobre todos os elementos infinitesimais de uma determinada ''área'' em alguma seção transversal bidimensional, o momento de inércia de ''massa'' é integrado sobre todos os elementos infinitesimais de massa em um espaço tridimensional ocupado por um objeto. Simplificando, os segundos momentos de inércia '''polar''' e '''planar''' são uma indicação de rigidez, e o momento de inércia de ''massa'' é a resistência ao movimento rotacional de um objeto massivo.

A equação que descreve o momento polar de inércia é uma integral múltipla sobre a área da seção transversal, <math>A</math>, do objeto.

:<math> J = \iint\limits_A \rho^2 dA </math>

onde <math>\rho</math> é a distância ao elemento <math>dA</math>. 

Substituindo as componentes <math>x</math> e <math>y</math>, usando o [[teorema de Pitágoras]]

:<math> J = \iint\limits_A (x^2+y^2) dxdy </math>

:<math> J = \iint\limits_A x^2 dxdy + \iint\limits_A y^2 dxdy </math>

Dadas as equações do segundo momento de inércia '''planar'''

:<math> I_x = \iint\limits_A y^2 dxdy </math>
:<math> I_y = \iint\limits_A x^2 dxdy </math>

o momento de inércia polar pode ser descrito como a soma dos momentos de inércia ''planar'' <math>x</math> e <math>y</math>, <math>I_x</math> e <math>I_y</math> 

:<math>\therefore J = I_z = I_x + I_y</math> 

Isto é mostrado no [[teorema dos eixos perpendiculares]].<ref>http://www.efunda.com/math/areas/MomentOfInertia.cfm</ref> Para objetos que tem simetria rotacional, tal como um cilindro ou tubo vazado, a equação pode ser simplificada na forma

:<math>J = 2I_x</math> ou <math>J = 2I_y</math>

Para uma seção circular de raio r:

:<math>J = \int_0^{2\pi} \int_0^r \rho^2 \rho\, d\rho\, d\phi = \frac{\pi r^4}{2}</math>

==Unidade==
A unidade [[Sistema Internacional de Unidades|SI]] para '''momento polar de inércia''', como para o ''momento de inércia de área'', é metro na potência quatro (''m''<sup>4</sup>).

{{Referências}}

==Ver também==
*[[Momento de inércia de área]]
*[[Módulo de cisalhamento]]
*[[Barra de torção]]

==Ligações externas==
*[http://www.engineeringtoolbox.com/torsion-shafts-d_947.html Torsion of Shafts] - engineeringtoolbox.com
*[http://www.engineeringtoolbox.com/young-modulus-d_417.html Elastic Properties and Young Modulus for some Materials] - engineeringtoolbox.com
*[http://wwww.matweb.com Material Properties Database] - matweb.com

[[Categoria:Mecânica]]
[[Categoria:Mecânica dos meios contínuos]]