Mostrar código-fonte de Momentos invariantes de uma imagem

Os '''momentos invariantes de uma imagem''' fazem parte do que se denomina [[processamento digital de imagem]]. Eles permitem o cálculo da área de um objeto (conjunto de [[pixel]]s), [[centroide]] de um objeto ou também permite identificar um determinado objeto mesmo que tenha sofrido mudança de tamanho ou mesmo que seja rotacionado. Esta teoria é muito utilizada em [[reconhecimento de padrões]]. Geralmente utiliza-se algum tipo de software que extrai os referidos momentos de uma imagem binarizada.

== Momentos Invariantes de uma Imagem ==

Para funções contínuas (em duas dimensões), digamos <math>f(x,y)</math>, o momento de ordem <math>(p+q)</math> pode ser definido matematicamente por:
 
<math> M_{pq}=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^py^qf(x,y) \,dx\, dy</math>

No caso 3D, tem-se:

<math> M_{pqr}=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^p y^q z^r f(x,y,z) \,dx\,dy\,dz</math>

Como geralmente o momento é calculado com a ajuda de softwares e com base em imagens formadas por pixel, a fórmula anterior fica com o seguinte formato (somatório ao invés de uma integral):

<math>M_{pq} = \sum_{x}^{nx} \sum_{y}^{ny} x^p y^q f(x,y)</math>

* <math>p</math> = 0,1,2,...
* <math>q</math> = 0,1,2,...
* <math>nx</math> = largura da imagem
* <math>ny</math> = altura da imagem

<math>M_{pq}</math> é o momento de ordem <math>(p+q)</math> da função intensidade <math>f(x,y)</math>. No caso de uma imagem binária que admite apenas dois valores (0 ou 1), tem-se que <math>f(x,y)=0</math> ou <math>f(x,y)=1</math>. 

== Aplicações Práticas em Processamento Digital de Imagens ==

A área de um determinado objeto de uma imagem binária, por exemplo, pode ser obtida pelo momento <math>M_{00}</math> ou também as coordenadas cartesianas do centroide, que serão mostradas a seguir.

== Momentos Centrais ==

Os Momentos centrais são definidos como:

<math> \mu_{pq} = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} (x - \bar{x})^p(y - \bar{y})^q f(x,y) \, dx \, dy </math>


em que <math>\bar{x}=\frac{M_{10}}{M_{00}}</math> e <math>\bar{y}=\frac{M_{01}}{M_{00}}</math> são componentes do centroide.

Se <math>f(x,y)</math> é a intensidade de uma imagem digital, então:

<math>\mu_{pq} = \sum_{1}^{nx} \sum_{1}^{ny} (x - \bar{x})^p (y - \bar{y})^q f(x,y)</math>

Os momentos centrais até ordem 3 (três) são:

:<math>\mu_{00} = M_{00}</math>
:<math>\mu_{01} = 0</math>
:<math>\mu_{10} = 0</math>
:<math>\mu_{11} = M_{11} - \bar{x} M_{01} = M_{11} - \bar{y} M_{10}</math>
:<math>\mu_{20} = M_{20} - \bar{x} M_{10}</math>
:<math>\mu_{02} = M_{02} - \bar{y} M_{01}</math>
:<math>\mu_{21} = M_{21} - 2 \bar{x} M_{11} - \bar{y} M_{20} + 2 \bar{x}^2 M_{01}</math>
:<math>\mu_{12} = M_{12} - 2 \bar{y} M_{11} - \bar{x} M_{02} + 2 \bar{y}^2 M_{10}</math>
:<math>\mu_{30} = M_{30} - 3 \bar{x} M_{20} + 2 \bar{x}^2 M_{10}</math>
:<math>\mu_{03} = M_{03} - 3 \bar{y} M_{02} + 2 \bar{y}^2 M_{01}</math>

É possível mostrar que:
<math>\mu_{pq} = \sum_{m}^p \sum_{n}^q {p\choose m} {q\choose n}(-\bar{x})^{(p-m)}(-\bar{y})^{(q-n)}  M_{mn}</math>

Os Momentos Centrais são invariantes apenas em translação.

== Aplicações em Análise de Imagens Digitais ==

Os momentos de <math>p+q=2</math> podem ser usados para mostrar a orientação espacial da imagem analisada:

<math>\mu_{20}' = \frac{\mu_{20}}{\mu_{00}} = \frac{M_{20}}{M_{00}} - \bar{x}^2</math>

<math>\mu_{02}' = \frac{\mu_{02}}{\mu_{00}} = \frac{M_{02}}{M_{00}} - \bar{y}^2</math>

<math>\mu_{11}' = \frac{\mu_{11}}{\mu_{00}} = \frac{M_{11}}{M_{00}} - \bar{x}\bar{y}</math>

A matriz de covariância da imagem <math>I(x,y)</math>:

<math>\operatorname{cov}[I(x,y)] = \begin{bmatrix} \mu'_{20}  & \mu'_{11} \\ \mu'_{11} & \mu'_{02} \end{bmatrix}</math>.

Os autovalores da matriz anterior correspondem ao maior e menor eixo da intensidade da imagem.

A orientação <math>\Theta</math> pode ser obtida do ângulo do autovetor associado ao maior autovalor:

<math>\Theta = \frac{1}{2} \arctan \left( \frac{2\mu'_{11}}{\mu'_{20} - \mu'_{02}} \right)</math> 

Desde que: <math>\mu'_{20} - \mu'_{02} \ne 0</math>

O autovalor da matriz de covariância é:

<math> \lambda_i = \frac{\mu'_{20} + \mu'_{02}}{2}  \pm \frac{\sqrt{4{\mu'}_{11}^2 + ({\mu'}_{20}-{\mu'}_{02})^2  }}{2}, </math>

A relação entre os autovalores indica a ecentricidade da imagem:

<math> \epsilon= \sqrt{1 - \frac{\lambda_2}{\lambda_1}}</math>

== Momentos Invariantes em Escala ==

O momentos <math>\eta_{p q}</math> em que <math>p + q \leq 2</math> podem ser escritos para ser invariantes em escala e também em translação pela divisão pelo momento <math>\mu_{00}</math>

:<math>\eta_{pq} = \frac{\mu_{pq}} {\mu_{00}^{\left(\frac{p+q}{2}+1\right)}}\,\!</math> (caso 2D)

:<math>\eta_{pqr} = \frac{\mu_{pqr}} {\mu_{000}^{\left(\frac{p+q+r}{3}+1\right)}}\,\!</math> (caso 3D)

== Momentos Invariantes de Hu ==

Ming-Kuei Hu, num trabalho publicado em 1962 organizou um conjunto de equações em que os momentos são invariantes em relação à escala, rotação e também translação. As equações a seguir são também conhecidas como equações de Hu ou também Momentos Invariantes:

<math>
   I_1 = \eta_{20} + \eta_{02}
</math>

<math>
   I_2 = (\eta_{20} - \eta_{02})^2 + 4\eta_{11}^2
</math>

<math>
   I_3 = (\eta_{30} - 3\eta_{12})^2 + (3\eta_{21} - \eta_{03})^2
</math>

<math>
   I_4 = (\eta_{30} + \eta_{12})^2 + (\eta_{21} + \eta_{03})^2
</math>

<math>
   I_5 = (\eta_{30} - 3\eta_{12}) (\eta_{30} + \eta_{12})[ (\eta_{30} + \eta_{12})^2 - 3 (\eta_{21} + \eta_{03})^2] + (3 \eta_{21} - \eta_{03}) (\eta_{21} + \eta_{03})[ 3(\eta_{30} + \eta_{12})^2 -  (\eta_{21} + \eta_{03})^2]
</math>

<math>
   I_6 =  (\eta_{20} - \eta_{02})[(\eta_{30} + \eta_{12})^2 - (\eta_{21} + \eta_{03})^2] + 4\eta_{11}(\eta_{30} + \eta_{12})(\eta_{21} + \eta_{03})
</math>

<math>
   I_7 = (3 \eta_{21} - \eta_{03})(\eta_{30} + \eta_{12})[(\eta_{30} + \eta_{12})^2 - 3(\eta_{21} + \eta_{03})^2] - (\eta_{30} - 3\eta_{12})(\eta_{21} + \eta_{03})[3(\eta_{30} + \eta_{12})^2 - (\eta_{21} + \eta_{03})^2]
</math>

O momento <math>I_1</math> é o centroide. Já <math>I_7</math> permite fazer a distinção entre imagens espelhadas semelhantes na forma.


== Resumo ==

O leitor pode observar que existe uma sequência para chegar nas 8 (oito) equações acima:

<math> M_{pq} \longrightarrow (\bar{x},\bar{y}) \longrightarrow \mu_{pq} \longrightarrow [\mu_{20}', \mu_{02}', \mu_{11}']  \longrightarrow (cov[I(x,y)], \Theta, \lambda_i, \epsilon) \longrightarrow \eta_{ij} \longrightarrow (I_1, ... , I_8)</math>

== Exemplo Prático == 

Para melhor entendimento dos 7 (sete) momentos de Hu, que são invariantes em escala, rotação e translação, a tabela a seguir mostra a referida invariancia em relação à figura com três estrelas, sendo a estrela da esquerda considerada como figura original, a do meio com sua escala diminuída e a da direita rotacionada em relação à primeira:

[[File:Estrelas.png|center|thumb|500px|Três estrelas para o cálculo de momentos invariantes.]]

A tabela a seguir mostra a aplicação dos momentos invariantes nas três estrelas citadas (cálculo da área de cada estrela):

{| class="wikitable"
|-
! Momento !! Imagem Original !! Imagem Reduzida !! Imagem rotacionada
|-
| <math>M_{00}</math> (área) || <math>1,0231365 \times 10^7</math> || <math>3,835455 \times 10^6</math> || <math>1,033515 \times 10^7</math> 
|}

Os 7 (sete) momentos de Hu podem ser calculados e colocados numa tabela e terão valores muito aproximados. Sendo assim, os momentos de Hu servem para identificar um objeto, mesmo que tenha sofrido mudança de tamanho ou seja rotacionado.

== Referências ==
* M. K. Hu, "Visual Pattern Recognition by Moment Invariants", IRE Transactions on Information Theory, vol. IT-8, pp.179-187, 1962. Artigo disponível em: http://www.sci.utah.edu/~gerig/CS7960-S2010/handouts/Hu.pdf, Acesso em: 20/02/2015.
* Mangin et.al., "Brain morphometry using 3D moment invariants", Medical Image Analysis 8 (2004) 187–196. Disponível em: https://web.archive.org/web/20150226224024/http://brainvisa.info/pdf/mangin-MedIA04.pdf, Acesso em: 26/02/2015.

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