Mostrar código-fonte de Movimento harmônico simples

{{Mecânica Clássica|Cinemática}}
O '''movimento harmônico simples ''' (MHS) é o movimento oscilatório periódico ocorrido quando a [[aceleração]] e a [[força resultante]] são proporcionais e opostas ao deslocamento. É um tipo de frequência do movimento, onde oscila a massa.<ref name="Editora Ltc 2009">{{citar livro |título=Física para cientistas e engenheiros |local=Rio de Janeiro |editora=LTC |edição=6 |ano=2009 |autor=TIPLER, Paul; MOSCA, Gene |página=466 |isbn=978-85-216-1710-5}}</ref> É explicável por um modelo matemático para alguns movimentos vibratórios observáveis em alguns fenômenos ([[pêndulo]] ou vibração molecular).<ref>{{citar livro |autor=WALKER, Jearl |ano=2011 |título= Principles of physics |edição=9 |local=Hoboken |editora=Wiley |isbn=0-470-56158-0}}</ref>

Num modelo físico construído com molas, o movimento harmônico simples é observável em massas presas a uma mola ligada a um suporte rígido, como uma parede. Se o sistema está na posição de repouso, diz-se em [[equilíbrio estático]].<ref name="Editora Ltc 2009"/> No entanto, se a massa é deslocada a partir da posição de equilíbrio, uma reposição da mesma vai ser exercida pela mola, chamada de [[elasticidade]], seguindo assim a [[lei de Hooke]].<ref name="Editora Ltc 2009_2">{{citar livro |título=Física para cientistas e engenheiros |local=Rio de Janeiro |editora=LTC |edição=6 |ano=2009 |autor=TIPLER, Paul; MOSCA, Gene |página=114 |isbn=978-85-216-1710-5}}</ref>

Matematicamente, a força resultante '''F''' é dada a partir de <math> \mathbf{F}=-k\mathbf{x}, </math> onde '''F''' é uma força elástica exercida por uma mola (no [[Sistema Internacional de Unidades|SI]]: Newton ''N'', ''k'' na [[Lei de Hooke]] ([[Newton (unidade)|N]]·m<sup>−1</sup>), e '''x''' que é o [[deslocamento]] a partir da posição de equilíbrio (em m).<ref name="Editora Ltc 2009"/> Contudo, para qualquer movimento harmônico simples, determina-se que quando o sistema é deslocado de sua posição de equilíbrio, uma força restauradora que obedece à lei de Hooke tende a restaurar o sistema para esse equilíbrio. Uma vez que a massa é deslocada da sua posição de equilíbrio, experimenta uma força resultante de restauração. Como resultado, ela [[aceleração|acelera]] e começa a voltar à posição de equilíbrio. 

Quando a massa se aproxima da posição de equilíbrio, a força restauradora diminui. Na posição de equilíbrio, a força resultante restaurada desaparece. No entanto, em ''x''= 0, a [[força]] da massa não desaparece devido ao [[impulso]] da força restauradora que agiu sobre ele. Portanto, a massa continua além da posição de equilíbrio, comprimindo a mola. Então, a força resultante restaurada tende a desacelerar, até a sua [[velocidade]] desaparecer, tentando chegar novamente à posição de equilíbrio.<ref name="Editora Ltc 2009"/>

== Dinâmica ==
[[Imagem:Simple Harmonic Motion Orbit.gif|miniatura|upright=1.1|O movimento harmônico simples mostra que no espaço real (''real space'') e no [[espaço fásico]] (''phase space'') a [[órbita]] é periódica (aqui a velocidade e a posição dos eixos foi revertida a partir da convenção padrão, a fim de alinhar os dois diagramas).]]
[[Ficheiro:muelle.gif|thumb|upright=1.1|A posição, a velocidade e a aceleração de uma oscilação harmônica]]
Para o movimento harmônico simples unidimensional, a equação dos movimentos é aplicada à segunda lei linear com uma [[equação diferencial ordinária]] com seus coeficientes constantes, a partir da [[segunda lei de Newton]] e da lei de Hooke.

:<math> F_{net} = m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -kx,</math>
onde ''m'' é a [[massa inercial]] com a [[oscilação]] do corpo, ''x'' é o vetor de [[deslocamento]] para o [[equilíbrio estático]]  e ''k'' é a [[Lei de Hooke|constante elástica]], sendo:

<math> \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -\left(\frac{k}{m}\right)x</math>

Abaixo, uma resolução da equação diferencial, obtendo-se um [[senoide]] como solução:

[[Imagem:fasorxva.gif|thumb|upright|A posição, a velocidade e a aceleração do movimento harmônico simples e as suas fases]] 
<math> x(t) = c_1\cos\left(\omega t\right) + c_2\sin\left(\omega t\right) = A\cos\left(\omega t - \varphi\right),</math>
onde
:<math> \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, </math>
:<math> A = \sqrt{{c_1}^2 + {c_2}^2}, </math>
:<math> \tan \varphi = \left(\frac{c_2}{c_1}\right), </math>
Na solução, ''c''<sub>1</sub> e ''c''<sub>2</sub> são duas constantes determinadas nas condições iniciais e a sua origem está levando a uma posição de equilíbrio. Cada uma destas constantes leva a um padrão físico ao movimento: ''A'' é a amplitude (deslocamento máximo da posição de equilíbrio), <math>\omega=2\pi f</math> é a sua [[frequência angular]], e ''φ'' é uma fase. Usando as técnicas do [[cálculo diferencial]], a [[velocidade]] e a [[aceleração]] têm uma das seguintes funções de tempo:

:<math> v(t) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = - A\omega \sen(\omega t-\varphi),</math>
:<math> a(t) = \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = - A \omega^2 \cos( \omega t-\varphi).</math>

A aceleração pode ser expressado pela função de deslocamento:
:<math> a(x) = -\omega^2 x.\!</math>

Já que <math>\omega=2\pi f</math>,
:<math>f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}},</math>

e que {{nowrap|''T'' {{=}} 1/''f''}} onde T é o período de tempo,
:<math>T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.</math>

Estas equações demonstram que o movimento simples harmônico é isócrono (o período e a frequência são independentes da amplitude e da fase inicial do movimento).<ref name="Editora Ltc 2009"/>

== Energia ==
A  [[energia cinética]] ''K'' de um sistema em função do tempo ''t'' é:
:<math> K(t) = \frac{1}{2} mv^2(t) = \frac{1}{2}m\omega^2A^2\operatorname {sen}^2(\omega t - \varphi) = \frac{1}{2}kA^2 \operatorname {sen}^2(\omega t - \varphi),</math>
e a [[energia potencial]] é:
:<math>U(t) = \frac{1}{2} k x^2(t) = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t - \varphi).</math>
A adição entre a energia cinética e potencial no cálculo da [[energia mecânica]] é medida por:
:<math>E = K + U = \frac{1}{2} k A^2.</math>.<ref name="Jain12">{{Harvnb|Jain|2009|p=12}}</ref>

== Aplicações ==
Abaixo tem alguns exemplos de sistemas que usam o movimento harmônico simples:

=== Massa na mola sob ação da gravidade ===
[[Imagem:Simple harmonic oscillator.gif|direita|frame|Um sistema de massa-mola não-amortecida passa por um movimento harmônico simples.]]
Considere um bloco de massa ''m'' equilibrado por uma mola constante ''k'' sob ação da gravidade. Na situação de equilíbrio, a força gravitacional e a força elástica se igualam. Matematicamente, <math>k(y-y_0) = - mg</math>, onde <math>y_0</math> é a posição natural da mola e <math>g </math> é a aceleração devido à gravidade. Note que <math>y=y_0</math> se <math>g=0</math> conforme se espera. Assim, a posição de equilíbrio se desloca por uma distância <math>mg/k</math>.

O que ocorre quando o sistema é deliberadamente retirado da posição de equilíbrio e depois abandonado? A força exercida pela mola atua no sentindo de restaurar à posição natural: assim o objeto oscila verticalmente. Pela segunda lei de Newton podemos escrever

<math>m \ddot{y} = -mg - k(y-y_0)</math>

onde <math>\ddot{y}</math>  é a aceleração (vertical) da mola e <math>y_0</math> é a posição natural (onde a força restauradora é nula). A força gravitacional sempre em direção ao solo enquanto a força da mola só aponta para o solo se <math>y>y_0</math>.

Podemos simplificar através de uma mudança de variável. Seja <math>kY = mg+k(y-y_0)</math>, então a segunda derivada (aceleração) é <math>\ddot{Y} = \ddot{y}</math>, pois todos os demais termos são constantes. Assim, a equação se transforma na equação do movimento harmônico simples:

<math>m\ddot{Y} = - kY</math>.

Nesta variável o movimento é harmônico simples com período <math> T= 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}</math>. Desta maneira, evidencia-se que o período de oscilação é independente tanto da amplitude quanto da aceleração gravitacional. Vamos supor que as condições iniciais sejam tais que

<math>Y(t) = Y(0) \cos(\omega t)</math>,

onde <math>Y(0)</math> é a amplitude e <math>w = 2\pi/T</math> é a frequência angular da oscilação. Para saber como o bloco se desloca no mundo físico devemos voltar para a variável inicial <math>y(t)</math>. Assim

<math>y(t) = Y(t) +\biggl(y_0-\frac{mg}{k}\biggr) = Y(0)\cos(\omega t) +\biggl(y_0-\frac{mg}{k}\biggr)</math>

é a equação de movimento de um bloco oscilando devido à força elástica de uma mola sob ação da gravidade. 

A conclusão é que (1) o movimento tem o mesmo período independente da amplitude e da gravidade<ref name="Editora Ltc 2009" />, e (2) o bloco oscila com amplitude <math>Y(0)</math>, mas entre os pontos <math>y_{max} =\biggl(y_0-\frac{mg}{k}\biggr)+Y(0) </math> e <math>y_{min} = \biggl(y_0-\frac{mg}{k}\biggr) - Y(0) </math>.

=== Movimento circular uniforme ===
O movimento harmônico simples pode ser muitas vezes considerado como uma projeção matemática do [[movimento circular uniforme]]. Se um objeto se movimenta com uma [[velocidade angular]] ''ω'' ao redor de um círculo de um raio ''r'' centralizado de uma origem de um plano de ''x''-''y'', este movimento é em cada coordenada um movimento simples harmônico com uma amplitude ''r'' e uma frequência angular ''ω''.<ref name="Editora Ltc 2009"/>

=== Pêndulo simples em regime de pequenas oscilações ===
[[Ficheiro:Simple Pendulum Oscillator.gif|direita|frame|O movimento de um pêndulo não-amortecida aproxima para o movimento simples harmônico se a amplitude é muito pequena relativo
do comprimento L da haste.]]Considere um objeto preso a uma haste inextensível oscilando sob ação da força gravitacional. A este sistema denominamos [[Pêndulo simples|Pêndulo Simples]]. De maneira geral, atuam sob o objeto a força <math>T</math> de tração da haste, que o mantém oscilando em um arco de círculo a uma distância fixa <math>L</math> do ponto fixo que prende a haste ao teto; e também a força gravitacional <math>mg</math>. Decompomos a força gravitacional de forma que conhecemos a componente na direção da força de tração, que nos fornece <math>T=mg \cos(\theta)</math>, e também a componente responsável pelo movimento

<math>F = - mg \sin(\theta)</math>

Assim, a força restaura o objeto para a situação de ângulo nulo, <math>\theta = 0 </math>, mas o problema se torna mais difícil por tratar com uma função trigonométrica.

Iremos então tomar um caso especial, a situação de pequenos ângulos. Neste caso, <math>\sin(\theta)\approx \theta </math> e eliminamos a função trigonométrica. Note que a distância horizontal é dada por <math>x = L \sin(\theta) \approx L \theta </math> de forma que neste regime '''(e apenas neste regime)''', podemos escrever:

<math>F=-mg\theta=-\biggl(\frac{mg}{L}\biggr) x </math>.

[[Imagem:Mhs2.png|thumb|upright]]

Compare esta expressão à Lei de Hooke. Um pêndulo simples é equivalente a um oscilador linear. A constante <math>k </math> de reconstituição seria igual à <math>mg/L </math>. Substituindo o valor de <math>k </math> na fórmula do período de um movimento harmônio simples se obtém

<math> T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}</math>,

<math> T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{mg/L}}</math>,

<math> T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}</math><ref name="Editora Ltc 2009" />.

Resumidamente, para deduzir a equação do período, estabelece-se que o ângulo θ descrito pelo pêndulo de sua posição de repouso até sua amplitude máxima seja menor que 10°, assim é possível [[Aproximação para ângulos pequenos|aproximar o valor do ângulo com seu seno]]. 

== Reescrevendo as equações do movimento harmônico simples para torná-las mnemônicas ==
{| class="wikitable"
! Aplicação
! Variáveis
! Fórmula
|-
| [[Lei de Hooke|Massa na mola]] || <math>K,m</math> ||  <math>K=m\omega^{2}</math>
|-
| [[Movimento Circular Uniforme|Aceleração centrípeta]] || <math>a,A</math> ||  <math>a=A\omega^{2}</math>
|-
| [[Pêndulo]] || <math>g,L</math> ||  <math>g=L\omega^{2}</math><ref name="Editora Ltc 2009" />
|-
| [[Oscilador LC]] || <math>L,C</math> ||  <math>1=LC\omega^{2}</math>
|-
| [[Circuito RLC|Oscilador RLC paralelo]] || <math>R,L,C</math> ||  <math>1=LC\left( \omega^{2} + \left( \frac{R}{2L} \right)^{2}\right)</math>
|-
| || <math>R,L,C</math> ||  <math>\omega^{2}=\frac{1}{LC}-\left( \frac{R}{2L} \right)^{2}</math>
|}



== Ver também ==
* [[Dinâmica]]
* [[Pêndulo]]
* [[Movimento circular uniforme]]
* [[Movimento harmônico (física)]]

{{Referências}}

{{Portal3|Física|Ciências}}
{{Controle de autoridade}}

{{DEFAULTSORT:Movimento Harmonico Simples}}
[[Categoria:Mecânica clássica]]
[[Categoria:Pêndulos]]