Mostrar código-fonte de Nó de trevo

{{Info/Teoria dos nós
| nome     = Nó de trevo
| imagem    = Blue Trefoil Knot.png
| legenda    = 
| nome comum   = 
| invariante arf  = 1
| tamanho trança  = 3
| no trança    = 2
| no pontes    = 2
| no crosscaps   = 1
| no cruzamentos  = 3
| gênero    = 1
| volume hiperbólico = 0
| no enlaces   = 
| no stick    = 6
| no túneis    = 1
| no unknotting   = 1
| notação conway  = [3]
| notação ab   = 3<sub>1</sub>
| notação dowker  = 4,6,2
| nome dt    = 
| thistlethwaite  = 
 | cruzamento anterior = 0
 | ordem anterior  = 1
 | próximo cruzamento = 4
 | próxima ordem  = 1
 | alternante   = alternante
 | classe    = toro
 | fibrado    = fibrado
 | pretzel    = pretzel
 | primo    = primo
 | fatia    = fatia
 | simetria   = reversível
 | tricolorível  = tricolorível
 | torcido    = torcido
}}
[[File:Trefoil knot.webm|thumb|Como fazer um nó de trevo (vídeo)]]'''Nó de trevo''' (ou ''nó trifólio'') é o exemplo mais simples de um [[Nó (matemática)|nó]] não trivial. Pode ser obtido juntando as duas extremidades, resultando em um laço atado. Como o nó simples, o nó de trevo é fundamental para o estudo da [[teoria dos nós|teoria dos nós matemática]], onde tem diversas aplicações em [[Topologia (matemática)|topologia]] e [[geometria]].<ref>{{citar web|URL=http://mathworld.wolfram.com/TrefoilKnot.html|título=Trefoil Knot|lingua=en|autor=|data=|publicado=|acessodata=30-09-2014}}</ref>

O nó tem esse nome por causa de sua semelhança com folhas do trevo.

== Descrição ==
O nó de trevo pode ser definido com as seguintes [[Equação paramétrica|equações paramétricas]]:
: <math>x = \sin t + 2 \sin 2t</math>
: <math>\qquad y=\cos t - 2 \cos 2t</math>
: <math>\qquad z=-\sin 3t</math>
Qualquer deformação contínua da [[curva]] acima também é considerada um nó de trevo. Especificamente, qualquer curva isotópica a um nó de trevo é também considerada um nó de trevo. Além disso, a imagem espelhada (ou especular) de um nó de trevo também é considerada como um trevo. Na [[topologia]] e na [[teoria dos nós]], o trevo é geralmente definido usando um diagrama de nó em vez de uma equação paramétrica explícita.

Na [[geometria algébrica]], o trevo também pode ser obtido como a intersecção em '''C'''<sup>2</sup> da [[esfera tridimensional]] unitária ''S''<sup>3</sup> com a [[curva plana]] complexa de zeros do [[polinômio]] complexo ''z''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''w''<sup>3</sup> (uma [[parábola semicúbica]]).{{multiple image|width=150|footer=Um trevo canhoto e um trevo destro.|image1=Trefoil knot left.svg|alt1=Left-handed trefoil|image2=TrefoilKnot 01.svg|alt2=Right-handed trefoil}}Se uma extremidade de uma fita (ou faixa) é virada três vezes e, em seguida, colada na outra, o bordo do papel forma um nó de trevo.<ref>Shaw, George Russell ({{Romano|1933}}). ''Knots: Useful & Ornamental'', p.11. ISBN 978-0-517-46000-9.</ref>

== Simetria ==
O nó de trevo é [[Quiralidade (matemática)|quiral]], no sentido de que um nó de trevo pode ser distinguido de sua própria imagem espelhada. As duas variantes resultantes são conhecidas como o '''trevo canhoto''' e o '''trevo destro.''' Não é possível deformar um trevo canhoto continuamente em um trevo [[destro]], ou vice-versa. (Ou seja, os dois trevos não são [[Isótopo|isotópicos]].) Embora o nó de trevo seja quiral, é também invertível, significando que não há nenhuma distinção entre um trevo orientado no sentido anti-horário e um trevo orientado no sentido horário. Ou seja, a quiralidade de um trevo depende apenas da forma como se dão os cruzamentos, não da orientação da curva.
[[Ficheiro:Example_of_Knots.svg|ligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Example_of_Knots.svg|miniaturadaimagem|220x220px|Nó de mão torna-se um nó trevo juntando as extremidades.]]

== Não trivialidade ==
O nó de trevo não é trivial, o que significa que não é possível "desatar" um nó de trevo em [[3D|três dimensões]] sem cortá-lo. Do ponto de vista matemático, isso significa que um nó de trevo não é isotópico a um círculo, que é o [[nó trivial]]. Em particular, não há nenhuma seqüência de movimentos de Reidemeister que irá desatar um trevo.

Provar isso requer a construção de um invariante de nós que distinga o trevo do nó trivial. O invariante mais simples que faz isso a propriedade de ser ou não tricolorizável: o trevo é tricolorizável, mas o nó trivial não é. Além disso, praticamente todos os invariantes polinomiais de nós distinguem o trevo de um nó trivial, assim como a maioria dos invariantes de nós relevantes.

== Classificação ==
Na [[teoria dos nós]], o trevo é o primeiro nó não trivial, e é o único nó com três cruzamentos. É um nó primo, e é listado como 3_1 na notação de Alexander-Briggs. A notação de Dowker para o trevo é 4 6 2, e a notação de Conway para o trevo é [3].

O trevo pode ser descrito como o [[nó toral]] (2,3). É também o nó obtido pelo fechamento da trança σ13.

O trevo é um nó alternado. No entanto, não é um nó de fatia, o que significa que ele não limita um disco bidimensional suave na bola de quatro dimensões; uma maneira de provar isso é notar que sua assinatura não é zero. Outra prova é que seu [[polinômio de Alexander]] não satisfaz a condição de Fox-Milnor.

O trevo é um [[Nó de fibra|nó fibrado]], o que significa que seu complemento em <math>S^3</math> é um feixe de fibras sobre o círculo <math>S^1</math>. No modelo do trevo como o conjunto de pares <math>(z,w)</math> de [[Número complexo|números complexos]] tais que <math>|z|^2+|w|^2=1</math> e <math>z^2+w^3=0</math>, esse feixe de fibras tem o [[mapa de Milnor]] <math>\phi(z,w)=(
z^2+w^3)/|z^2+w^3|</math> como sua fibração, e um [[Toro (topologia)|toro]] com um furo como sua superfície de fibra.

== Invariantes ==
O polinômio de Alexander do nó de trevo éː
: <math>\Delta(t) = t - 1 + t^{-1}, \, </math>
e o polinômio de Conway éː
: <math>\nabla(z) = z^2 + 1.</math><ref>{{Citar web|url=http://katlas.math.toronto.edu/wiki/3_1|titulo=3 1 - Knot Atlas|acessodata=2017-02-06|obra=katlas.math.toronto.edu|lingua=en}}</ref>
O polinômio de Jones éː
: <math>V(q) = q^{-1} + q^{-3} - q^{-4}, \, </math>
e o polinômio de Kauffman do trevo éː
: <math>L(a,z) = za^5 + z^2a^4 - a^4 + za^3 + z^2a^2-2a^2. \, </math>
O grupo de nó do trevo é dado pela apresentação
: <math>\langle x,y \mid x^2=y^3 \rangle \, </math>
ou, equivalentemente,
: <math>\langle x,y \mid xyx=yxy \rangle. \, </math><ref>{{MathWorld|title=Trefoil Knot|id=TrefoilKnot}} Accessed: May 5, 2013.</ref>
Esse grupo é isomórfico ao grupo de tranças com três cordas.

== Na religião e na cultura ==
Como o mais simples nó não trivial, o nó de trevo é um motivo comum na [[iconografia]] e artes visuais. Por exemplo, a forma comum do símbolo de triquetra é um trevo, como são algumas versões do Valknut.

=== Galeria de Fotos ===
<center>
<gallery>
File:Superfície - bordo trifólio.jpg|Superfície de um nó de trevo
Superfície não orientável - Bordo trifólio.jpg|Superfície de um nó de trevo
Ficheiro:Trefoil-non-3-symm.svg|Forma de um nó de trevo sem simetria visual tridimensional
Ficheiro:Tricoloring.png|O nó de trevo é um nó tricolorizável
Ficheiro:Trefoil Knot.gif|Visualização tridimensional de uma curva isotópica ao nó de trevo
Ficheiro:Blue Trefoil Knot.png
Ficheiro:Triquetra-Vesica.svg
File:Superfície - Lema azul.jpg|thumb|Superfície ilustrando o bordo do nó trifólio, parte do acervo da Matemateca IME-USP
</gallery>
</center>

== Ver também ==
* [[Nó (matemática)]]
*[[Nó primo]]
* [[Teoria dos nós|Teoria dos Nós]]
* [[Anexo:Lista de nós (matemática)|Anexo:Lista de nós]]
* [[Triquetra]], um símbolo originário da tradição [[Celtas|celta]] que é relacionado com o nó de trevo.

{{Referências}}

== Ligações externas ==
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=(2,3)-torus+knot Wolframalpha: (2,3)-torus knot]

{{Teoria dos nós}}

[[Categoria:Topologia (matemática)]]
[[Categoria:Nós]]