Mostrar código-fonte de Número cardinal

[[Ficheiro:Kontinuumshypothese.png|miniaturadaimagem|Esquema que exemplifica a [[hipótese do continuum]], que diz a respeito da cardinalidade de conjuntos numéricos.]]
O '''cardinal''' indica o [[número]] ou quantidade dos elementos constituintes de um [[conjunto]]. É interessante destacar que se diferencia do [[número ordinal|ordinal]], porque o ordinal introduz ordem e dá ideia de hierarquia: Primeiro, segundo, terceiro, etc.<ref>[http://www.priberam.pt/dlpo/default.aspx?pal=cardinais Priberam]</ref> O cardinal, por sua vez, nomeia o número de elementos constituintes e esse é o nome do conjunto correspondente. Para a nomenclatura destes números ver [[nomes dos números]].<ref>[http://www.baudoprofessor.com/pdf/areasdisciplinares/Matematica/Numeros%20Cardinais%20e%20Ordinais.pdf Números cardinais e ordinais]</ref>{{TOC}}

Os numerais podem ser cardinais ou ordinais. O número cardinal é aquele que expressa uma quantidade única, enquanto o número ordinal indica a ordem ou a série em que determinado número se encontra.

Em geral, aprendemos e nos acomodamos tão facilmente a passar do ponto de vista cardinal para o ordinal que quase não distinguimos mais essa diferença. Num exemplo simples: o mês de setembro é composto de 30 dias. O número 30 indica o total, a quantidade absoluta, de dias desse mês. Trata-se, portanto, de um número cardinal.

Porém, empregamos outro ponto de vista quando dizemos "dia 30 de outubro". Nesse caso o número 30 não está sendo usado para indicar os 30 dias do mês, mas o trigésimo dia de outubro, especificando o seu lugar na ordem de sucessão dos dias desse mês, explicando uma ordem. Trata-se, então, de uma utilização ordinal.

: Dado um conjunto A, o cardinal deste conjunto é simbolizado por |A|

Por exemplo: Se A tem 3 elementos o cardinal indica-se |A| = 3

Existe uma relação entre o cardinal de um conjunto e o [[conjunto de partes]] ou conjunto potência:

: <math>|A| = n  \Rightarrow |P(A)| = 2^n</math>

Onde |P(A)| é o cardinal do conjunto de partes.

Os números cardinais de alguns conjuntos representam-se com símbolos especiais:
* O cardinal dos [[números reais]]: card(<math>\mathbb{R}</math>) = c (contínuo)
* O cardinal dos [[números naturais]]: card(<math>\mathbb{N}</math>) = <math>\aleph_0</math> ([[Aleph (matemática)|alef-0]])

A [[teoria dos conjuntos]] define rigorosamente o que significa <math>|A| = |B|</math> e <math>|A| \le |B|</math> e, em consequência, os demais símbolos de comparação; por exemplo:

: <math>|A| > |B| \leftrightarrow (|B| \le |A| \land \lnot (|A| = |B|))</math>

* <math>|A| = |B|</math> quando existe uma [[bijeção]] entre A e B
* <math>|A| \le |B|</math> quando existe uma [[função injetiva]] de A para B

O [[teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder]] mostra que, se <math>|A| \le |B|</math> e <math>|B| \le |A|,</math> então <math>|A| = |B|.</math>

Ao se considerar os [[axiomas de Zermelo-Fraenkel]] com o [[axioma da escolha]], pode-se provar que, se A e B são conjuntos, então <math>|A| \le |B| \lor |B| \le |A|.</math> Junto com o [[teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder]],
qualquer conjunto formado por cardinais é [[relação de ordem#Conjunto Bem Ordenado|bem ordenado]], o que permite escrever qualquer cardinal infinito da forma <math>\aleph_\alpha,</math> sendo <math>\alpha</math> um ordinal.

A [[hipótese do continuum]] diz que c (cardinal dos números reais) é igual a <math>\aleph_1,</math> e sua negação diz que existe um conjunto X tal que <math>|\mathbb{N}| < |X| < |\mathbb{R}|.</math>

== História ==
A noção de cardinalidade, como é compreendida hoje em dia, foi formulada por [[Georg Cantor]], o criador da [[teoria dos conjuntos]], em 1874-1884.<ref>{{citar web |url=http://educacao.uol.com.br/biografias/georg-cantor.jhtm |título=Georg Cantor - Biografia |acessodata=19 de julho de 2013 |autor= |data= |mes= |formato= |obra=Enciclopédia Mirador Internacional e Georg Cantor y la teoría de conjuntos transfinitos |publicado=UOL - Educação |páginas= |língua=pt |citação= }}</ref> Cantor foi o primeiro a estabelecer a cardinalidade como um instrumento para comparar conjuntos finitos; por exemplo, os conjuntos {1, 2, 3} e {2, 3, 4} não são iguais, mas têm a mesma cardinalidade: três.

Cantor identificou o fato que a [[Função bijectiva|correspondência um-para-um]] é a maneira de dizer que dois conjuntos têm o mesmo tamanho, chamado "cardinalidade", no caso de conjuntos finitos. Usando esta correspondência de um-para-um, ele aplicou o conceito de conjuntos infinitos, por exemplo, o conjunto de números naturais <math>\mathbb{N}</math> = {0, 1, 2, 3, ...}. Ele chamou esses números cardinais de [[Número transfinito|números cardinais transfinitos]], e definiu que todos os conjuntos que tenham uma correspondência com <math>\mathbb{N}</math> são [[Conjunto contável|conjuntos enumeráveis]] (contável infinito).<ref name="Dauben 1990">{{Citar livro |sobrenome=Dauben |nome=Joseph Warren |título=Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite |idioma=inglês |edição= |local=Princeton |editora=Princeton University Press |ano=1990 |páginas= |isbn=0691-02447-2 }}</ref>

Nomeando este número cardinal <math>\aleph_0,</math> [[Aleph (matemática)|aleph-null]], Cantor provou que qualquer subconjunto ilimitado de <math>\mathbb{N}</math> tem a mesma cardinalidade que <math>\mathbb{N},</math> mesmo que à primeira vista isso possa parecer funcionar, são contrários à intuição. Ele também mostrou que o conjunto de todos os [[pares ordenados]] de números naturais é enumerável (o que implica que o conjunto de todos os [[números racionais]] é enumerável), e mais tarde mostrou que o conjunto de todos os [[números algébricos]] é também enumerável. Cada número algébrico ''z'' podem ser codificados como uma sequência finita de números inteiros cujos coeficientes na equação polinomial de que é a solução, ou seja, a n-tupla ordenada <math>(a_0, a_1, ..., a_n),\; a_i \in \mathbb{Z},</math> juntamente com um par de racionais <math>(b_0, b_1)</math> tais que ''z'' é a única raiz do [[Função polinomial|polinômio]] com coeficientes <math>(a_0, a_1, ..., a_n)</math> que se situa no intervalo <math>(b_0, b_1).</math>

Em seu artigo de 1874, Cantor provou que existem números cardeais de ordem superior, mostrando que o conjunto dos números reais tem cardinalidade maior que a de N. Sua apresentação original usou um argumento complexo, com [intervalos aninhados], mas em um artigo de 1891, ele provou a mesmo resultado usando um argumento engenhoso, mas simples diagonal. Este novo número cardinal, chamado a [[cardinalidade do contínuo]], foi denominado <math>\mathfrak{c}</math> por Cantor.

Cantor também desenvolveu uma grande parte da teoria geral dos números cardinais, ele provou que há um número cardinal transfinito menor (<math>\aleph_0,</math> aleph-null) e que para todo número cardinal,<ref name="Dauben 1990"/> há um próximo cardinal maior <math>(\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots).</math>

Sua hipótese do contínuo é a proposição que <math>\mathfrak{c}</math> é a mesma que <math>\aleph_1,</math> mas este foi encontrado para ser independente dos axiomas padrão da teoria dos conjuntos da matemática, ele nem pode ser provado nem refutado sob os padrões pressupostos.

== Motivação ==
Em utilização formal, um '''número cardinal''' é o que é normalmente referido como um [[Número natural|número de contagem]], desde que 0 esteja incluído: 0, 1, 2, .... Eles podem ser identificados como os [[números naturais]] começando com 0. Os números de contagem são exatamente o que pode ser definido formalmente como os números cardinais [[finito]]s. Cardeais infinitos ocorrem apenas em nível mais alto da matemática e lógica.

Mais formalmente, um número diferente de zero pode ser usados para duas finalidades: para descrever o tamanho de um conjunto, ou para descrever a posição de um elemento numa sequência. Para conjuntos finitos e sequencias é fácil ver que estas duas noções coincidem, para todo número que descreve uma posição em uma sequência, podemos construir um conjunto que tem exatamente o tamanho certo, por exemplo, 3 descreve a posição do 'c' na sequência <'a', 'b', 'c', 'd', ...>, e podemos construir o conjunto {a, b, c}, que tem 3 elementos . No entanto quando se tratar de [[Conjunto infinito|conjuntos infinitos]] é essencial distinguir entre os dois - as duas noções são de fato diferentes para conjuntos infinitos. Considerando o aspecto que a posição leva a um [[número ordinal]], enquanto o aspecto de tamanho é generalizado pelos números cardinais aqui descritos.

A intuição por trás da definição formal do cardinal é a construção de uma noção do tamanho relativo ou "grandeza" de um conjunto sem referência ao tipo de membros que ele tem. Para conjuntos finitos isso é fácil; uma simples conta acha o número de elementos de um conjunto. A fim de comparar os tamanhos dos conjuntos maiores, é necessário apelar para noções mais sutis.

Um conjunto ''A'' é pelo menos tão grande como, ou maior do que, ou igual a um conjunto ''B'', se houver um mapeamento (um-para-um) [[Função injectiva|injetivo]] a partir dos elementos de ''B'' para os elementos de ''A''. Um mapeamento um-para-um identifica cada elemento do conjunto ''B'' com um único elemento do conjunto de ''A''. Isto é mais facilmente compreendida por um exemplo; suponha que temos os conjuntos ''B'' = {1, 2, 3} e ''A'' = {a, b, c, d}, então usando a noção do tamanho, observa-se que não há um mapeamento:

:1 → a
:2 → b
:3 → c

que é um-para-um, e daí conclui-se que ''B'' tem cardinalidade maior ou igual a ''A''. Observe o elemento ''d'' não tem mapeamento para ele, mas isso é permitido à medida que requerem apenas um mapeamento um-para-um, e não necessariamente um-para-um e para o mapeamento. A vantagem deste conceito é que ele pode ser estendido para conjuntos infinitos.

Então podemos estender isso para uma relação de igualdade de estilo. Diz-se que dois conjuntos ''B'' e ''A'' tem a mesma cardinalidade se existe uma [[bijeção]] entre ''B'' e ''A''. Pelo [[Teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder|teorema de Schroeder-Bernstein]], isto é equivalente a existência de ambos mapeamento de um-para-um de ''B'' para ''A'' e outro de ''A'' para ''B''. Então escreve-se | B | = | A |. O número cardinal de A em si é definido como o menor ordinal a com | a | = | B |. Isso é chamado de [[atribuição cardinal de Von Neumann]], para esta definição fazer sentido, deve-se comprovar que todo conjunto tem a mesma cardinalidade assim como o ordinal; esta afirmação é o [[princípio da boa ordenação]]. No entanto, é possível discutir a cardinalidade relativa dos conjuntos sem explicitamente atribuir nomes a objetos.

O exemplo clássico utilizado é o do paradoxo hotel infinito, também chamado [[Hotel de Hilbert|Paradoxo de Hilbert do Grand Hotel]]. Suponha que você é um estalajadeiro em um hotel com um número infinito de quartos. O hotel está cheio, e então um novo hóspede chega. É possível hospedar o hóspede extra perguntando a quem estava no quarto 1 para ir para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 mover-se para o quarto 3, e assim por diante, deixando o espaço 1 vago. Nós podemos escrever explicitamente um segmento deste mapeamento:

:1 ↔ 2
:2 ↔ 3
:3 ↔ 4
:...
:n ↔ n+1
:...

Ao considerar esses objetos grandes, podemos querer ver se a noção de ordem de contagem coincide com a do cardinal acima definido para estes conjuntos infinitos. Acontece que ele não faz; considerando o exemplo acima, podemos ver que, se algum objeto "maior que o infinito" existe, então ele deve ter a mesma cardinalidade que o conjunto infinito que começamos. É possível usar uma noção formal diferente para número, chamado [[Ordinal|ordinais]], baseado nas ideias de contagem e considerando cada número, por sua vez, e descobrimos que as noções de cardinalidade e ordinalidade são divergentes, uma vez que sair dos números finitos.

Pode ser provado que a cardinalidade dos números reais é maior do que a dos [[números naturais]] que acabamos de descrever. Isto pode ser visualizado usando o [[argumento diagonal de Cantor]]; questões clássicas da cardinalidade (por exemplo, a [[hipótese do contínuo]]) estão preocupadas em descobrir se há algum cardinal entre alguns pares de outros cardeais infinitos. Em tempos mais recentes matemáticos foram descrever as propriedades de cardeais cada vez maiores.

== Definição formal ==
Usando-se os [[axiomas de Zermelo-Fraenkel]] com o [[axioma da escolha]] ([[ZFC]]), pode-se definir o '''cardinal''' de um conjunto <math style="vertical-align:0%;">A^{\,}</math> como o menor [[número ordinal]] <math style="vertical-align:0%;">\alpha_\mbox{ }</math> [[Equipotência|equipotente]] com <math style="vertical-align:0%;">A^{\,}.</math> Em outras palavras, <math style="vertical-align:-30%;">\left| A^{\,} \right|</math> é o menor ordinal <math style="vertical-align:0%;">\alpha^{\,},</math> tal que existe <math style="vertical-align:-25%;">f^{\,}</math> [[bijetora]], <math style="vertical-align:-25%;"> f\! : \!\alpha \rightarrow A </math>

Para esta definição fazer sentido, é preciso mostrar que este ordinal existe, e que ele é único. Se o conjunto <math>A</math> é não vazio, então pelo [[Axioma da escolha]] pode ser bem ordenado e, portanto, equipotente a algum ordinal. Ou seja, o conjunto dos ordinais equipotentes a <math>A</math> é não vazio. Novamente, pelo ''Axioma da escolha'', existe um menor ordinal equipotente a <math>A.</math>

Formalmente, assumindo o axioma da escolha, a cardinalidade de um conjunto <math> A </math> é o menor ordinal α tal que existe uma bijeção entre <math>A</math> e α. Esta definição é conhecida como a atribuição do cardinal de von Neumann. A mais antiga definição da cardinalidade de um conjunto <math>A</math> (implícito e explícito de Cantor, Frege e [[Principia Mathematica]]) é como a classe <math> [A] </math> de todos os conjuntos que são equinumeráveis com <math>A.</math> Isso não funciona em [[ZFC]] ou outros sistemas relacionados da [[Teoria axiomática|teoria axiomática dos conjuntos]], pois se <math>A</math> é não vazio, esta coleção é muito grande para ser um conjunto. De fato, para <math>A \not= \emptyset</math> há uma injeção do universo em <math>[A]</math> pelo mapeamento de um conjunto de ''m'' para ''{m}'' <math>A</math> e assim por limitação de tamanho, <math> [A]</math> é uma classe adequada. A definição funciona, no entanto, em [[teoria de tipo]] e em novas bases e sistemas relacionados. No entanto, se restringir desta classe para aqueles equinumeráveis com <math>A</math> que tenham o mínimo de classificação, então ele vai trabalhar (isto é um truque devido à [[Dana Scott]]:<ref>[Deiser, Oliver (May 2010). "On the Development of the Notion of a Cardinal Number". History and Philosophy of Logic 31 (2): 123–143. DOI:10.1080/01445340903545904]</ref> funciona porque a coleção de objetos com qualquer classificação dada é um conjunto).

Formalmente, a ordem entre números cardinais é definida como segue: <math>| A | \leq | B |</math> significa que existe uma função injetiva de <math>A</math> a <math>B.</math> O [[teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder]] declara que se <math>| A | \leq | B |</math> e <math>| B | \leq | A |</math> então <math>| A | = | B |.</math> O [[axioma da escolha]] é equivalente à afirmação de que dados dois conjuntos <math>A</math> e <math>B,</math> ou <math>| A | \leq | B |</math> ou <math>| B | \leq | A |.</math> <ref>[Enderton, Herbert. "Elements of Set Theory", Academic Press Inc., 1977. ISBN 0-12-238440-7] </ref>

Um conjunto A é um [[Sistema infinito de Dedekind|infinito de Dedekind]] se existe um subconjunto próprio <math>B</math> de <math>A</math> com <math>| A | = | B |</math> e [[Sistema infinito de Dedekind|finito de Dedekind]] se um subconjunto não existe. Os cardinais finitos são apenas os números naturais, ou seja, um conjunto <math>A</math> é finito se e somente se <math>| A | = | n | = n</math> para algum número natural ''n''. Qualquer outro conjunto é infinito. Assumindo o axioma da escolha, pode ser provado que as noções de Dedekind correspondem aos padrões. Ele também pode provar que o cardinal <math>\aleph_0</math> ([[Aleph (matemática)|aleph nulo]] ou aleph-0, onde Aleph é a primeira letra do alfabeto hebraico, representada <math>\aleph</math>) do conjunto dos números naturais é o menor cardinal infinito, por exemplo, qualquer conjunto infinito tem um subconjunto de cardinalidade  <math>\aleph_0.</math> O próximo cardinal maior é denotado por <math>\aleph_1</math> e assim por diante. Para cada ordinal α há um número cardinal <math>\aleph_\alpha</math> e esta lista esgota todos os infinitos números cardinais.

== Operações com cardinais ==
=== Sucessor ===
Como |A| < |P(A)|, então, pela boa ordenação dos cardinais, existe um menor cardinal maior que |A|. No caso de |A| ser finito, o sucessor no contexto de cardinais é o mesmo que no contexto de ordinais, mas, para |A| infinito, isso não é verdade.

O sucessor de um cardinal ''&alpha;'' é representado por ''&alpha;<sup>+</sup>''. No caso geral, em que ''&alpha;'' é infinito, ''&alpha;<sup>+</sup> > &alpha; + 1''.

=== Soma ===
A soma |A| + |B| é definida como o cardinal da [[união disjunta]] de A e B. Uma forma de construir uma união disjunta é através do [[produto cartesiano]] com um [[conjunto unitário]]:
* <math>|A| + |B| = | A \times \{0\} \cup B \times \{1\}|</math>

=== Produto ===
O [[produto cartesiano]] define o produto de cardinais:
* <math>|A| \times |B| = |A \times B|</math>

=== Potência ===
A [[conjunto das funções]] de B em A, convenientemente representado por <math>A^B,</math> permite definir a potência entre cardinais:
* <math>|A|^{|B|} = |A^B|</math>

Em particular, temos que
* <math>|A|^0 = 1</math>
porque existe uma função <math>f: \varnothing \to A,</math> que é a função cujo [[gráfico de uma função|gráfico]] é o próprio [[conjunto vazio]].

Note-se também que:
* <math>|P(A)| = 2^{|A|}</math>
através da [[bijeção]] <math>f: 2^A \to P(A),</math> definida por
* <math>f(g) = \{ x \in A | g(x) = 1 \}.</math>
Neste contexto, <math>2^A</math> é o conjunto das funções de domínio ''A'' e [[Contradomínio|contra-domínio]] 2 = {0, 1}, mas a relação acima motiva a notação (indevida) de <math>2^A</math> para o [[conjunto das partes]].

Em contraste com as operações de soma e produto, a potência de cardinais produz números bem maiores que a [[aritmética ordinal|potência de ordinais]]. Por exemplo, os ordinais <math>\omega + \omega,</math> <math>\omega . \omega</math> são ordinais maiores que <math>\omega,</math> porém sua cardinalidade é <math>\aleph_0,</math> a mesma de <math>\omega.</math> Porém <math>2 ^ \omega</math> e <math>\omega ^ \omega</math> são ordinais cuja cardinalidade é <math>\aleph_0.</math> {{Carece de fontes|data=janeiro de 2012}} <!-- mais tarde eu tento achar fontes //-->

== Tipos de cardinal ==
=== Cardinal sucessor ===
Um cardinal <math style="vertical-align:-0%;">\alpha^{\,}</math> que é o sucessor de um outro cardinal <math style="vertical-align:-20%;">\beta^{\,},</math> ou seja <math style="vertical-align:-20%;">\alpha = \beta^{+\!}</math> é dito ''cardinal sucessor''. Nesse caso, <math style="vertical-align:-20%;">\beta^{\,}</math> é dito o ''antecessor'' de <math style="vertical-align:-0%;">\alpha^{\,}.</math> Por exemplo, o número 3 é um cardinal sucessor, pois 3 é o sucessor de 2 (e 2 o antecessor de 3). Por outro lado, o cardinal 0 não é sucessor, pois não tem antecessor.<ref>[[#levy2002basicsettheory|Levy [2002] ]], p. 89−90.</ref>

=== Cardinal limite ===
Um cardinal infinito que não é sucessor é denominado ''cardinal limite'' e em <math style="vertical-align:-10%;">\aleph_\alpha</math> temos que <math> \alpha = \mbox{0} </math> ou <math> \alpha </math> é um [[ordinal limite]].<ref>[[#levy2002basicsettheory|Levy [2002] ]], p. 90.</ref> Como consequência disso, se <math style="vertical-align:-0%;">\kappa^{\,}</math> é um cardinal limite, então:

: Se <math style="vertical-align:-0%;">\lambda < \kappa^{\,},</math> então <math style="vertical-align:-0%;">\lambda^{+} < \kappa^{\,}</math>

=== Cardinal limite forte ===
De maneira análoga à propriedade dos cardinais limites, pode ser definida uma propriedade mais forte. Um cardinal <math style="vertical-align:-0%;">\kappa^{\,}</math>diz-se ''limite forte'' se:

: Se <math style="vertical-align:-0%;">\lambda < \kappa^{\,},</math> então <math style="vertical-align:-30%;"> \left| \mathcal{P} \left(\lambda \right) \right| < \kappa^{\,}</math>

Equivalentemente:

: Se <math style="vertical-align:-0%;">\lambda < \kappa^{\,},</math> então <math style="vertical-align:0%;"> 2^{\lambda} < \kappa^{\,}</math><ref>[[#drake1974settheorylargecardinals|DRAKE(1974)]], p. 67.</ref>

E portanto:<ref>[[#jech2006set|JECH (2006)]], p. 58.</ref>

: <math style="vertical-align:-0%;">\forall\lambda < \kappa^{\,} \left( 2^{\lambda} < \kappa^{\,} \right) </math>

Todo cardinal limite forte é também um cardinal limite.<ref name="HRBACEK JECH 2006 p. 168">[[#hrbacekjech1999introduction|HRBACEK JECH (2006)]], p. 168.</ref>

Em '''ZF''' mais a [[Hipótese do continuum#Hipótese do Continuum generalizada|Hipótese Generalizada do Contínuum]] as propriedades "ser uma cardinal limite" e "ser um cardinal limite forte" são equivalentes.<ref name="HRBACEK JECH 2006 p. 168"/>

=== Cardinal regular e singular ===
{{Artigo principal|Cardinais regulares e singulares}}

Um cardinal <math style="vertical-align:-0%;">\kappa^{\,}</math> que é igual a sua própria [[cofinalidade]], <math style="vertical-align:-30%;">\kappa^{\,} = \mbox{cf}\left(\kappa^{\,}\right)</math> é denominado ''regular''. Caso contrário, diz-se ''singular''.<ref>[[#levy2002basicsettheory|Levy [2002] ]], p. 132.</ref>

=== Cardinais finitos ===
Note-se que as definições acima são consistentes com as operações binárias usuais para números naturais, exceto <math>0^0</math> que não está definido para números naturais, mas, para cardinais, é igual a um.

{{Referências}}

==Bibliografia==
*{{citar livro|autor = DRAKE, Frank R|título = Set theory: An introduction to large cardinals
|idioma = inglês|editora = North-Holland|local = Amsterdam|ano = 1974|ref = drake1974settheorylargecardinals
}}
*{{citar livro|autor = HRBACEK, Karen|coautor=JECH, Thomas|título = Introduction to set theory
|idioma = inglês|editora = Marcel Dekker|local = New York|ano = 1999|edição = 3a.|ref = hrbacekjech1999introduction
}}
*{{citar livro|ref = jech2006set|título = Set theory|autor = JECH, Thomas|edição = 3a.|ano = 2006|editora = Springer|local = Berlim
|idioma = inglês|isbn = 3-540-44085-2
}}
*{{citar livro|autor = LEVY, Azriel|título = Basic set theory|editora = Dover
|idioma = inglês|local = Mineola, New York|ano = 2002|ref = levy2002basicsettheory
}}
*{{citar livro|ref = kunen1980independence|título = Set theory: an introduction to independence proofs|autor = KUNEN, Kenneth|ano = 1980|editora = Elsevier|local = Amsterdam
|idioma = inglês|isbn = 0-444-86839-9
}}
*{{citar livro|ref = kunensettheory|título = Set Theory (Studies in Logic: Mathematical Logic and Foundations)|autor = KUNEN, Kenneth|ano = 2011|editora = College Publications|local = 
|idioma = inglês|isbn = 1848900503|primeiro=|paginas=|acessodata=}}

{{Números}}
{{Teoria dos conjuntos}}
{{Portal3|Matemática}}

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