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Em [[matemática]], um '''número de Fermat''' é um [[número inteiro]] [[Número positivo|positivo]] da forma:<ref name="chris.caldwell">{{Citar web|url=https://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=FermatNumber|titulo=The Prime Glossary: Fermat number|acessodata=2022-10-31|website=Primes|lingua=en}}</ref>

:<math>F_{n} = 2^{2^{n}} + 1</math>

sendo <math>n</math> um [[número natural]].

[[Pierre de Fermat]] lançou a [[conjectura]], em uma carta escrita para [[Marin Mersenne]], que estes números eram primos.<ref name="chris.caldwell" /> Mas mais tarde, [[Leonard Euler]] provou que não era assim; para <math>n = 5</math> , obtinha-se um número composto:<ref name="chris.caldwell" />

:<math> F_{5} = 2^{2^5} + 1 = 2^{32} + 1 = 4294967297 = 641 \cdot 6700417 \; </math>

Até hoje, apenas são conhecidos cinco [[Número primo|números primos]] de Fermat; e não se sabe se há mais ou não:<ref name="chris.caldwell" />

:<math>F_{0} = 2^{2^{0}} + 1 = 3</math>
:<math>F_{1} = 2^{2^{1}} + 1 = 5</math>
:<math>F_{2} = 2^{2^{2}} + 1 = 17</math>
:<math>F_{3} = 2^{2^{3}} + 1 = 257</math>
:<math>F_{4} = 2^{2^{4}} + 1 = 65537</math>

Os números de Fermat de ordem <math>5</math> até <math>32</math>,<ref>{{Citar web|url=https://primes.utm.edu/curios/|titulo=Prime Curios! Home Page|acessodata=2022-10-31|website=Primes|lingua=en}}</ref> bem como, números enormes como <math>F_{23288}\,</math> e <math>F_{23471}\,</math> são comprovadamente compostos.

== Propriedades dos números de Fermat ==

* Um número de Fermat é igual ao produto de todos os anteriores mais 2.<ref name="chris.caldwell" />
Prova por indução: Vale para <math>F_1</math>, pois <math>F_1 = F_0 +2 ( 5 = 3 + 2)</math>. Agora, se ele vale para <math>F_{(n-1)}</math>, então ele vale para <math>F_n</math>:
{|
|-
|<math>F_0 \cdot F_1 \cdot \ldots \cdot F_{n-2} \cdot F_{n-1} + 2 = \left ( F_{n-1}-2 \right ) \cdot F_{n-1} + 2 \,\!</math>
|-
|<math> = \left ( 2^{2^{n-1}}+1-2 \right ) \cdot \left ( 2^{2^{n-1}}+1 \right ) + 2 \,\!</math>
|-
|<math> = \left ( 2^{2^{n-1}}-1 \right ) \cdot \left ( 2^{2^{n-1}}+1 \right ) + 2 \,\!</math>
|-
|<math> = \left ( 2^{2^{n-1}} \right ) ^2 -1 + 2 = 2^{2^{n}} +1 = F_n \,\!</math>
|}

* Todo número de Fermat composto <math>F_n = 2^{2^n} + 1\,</math> pode ser decomposto em fatores primos na forma <math>k \ 2^{n+1} + 1\,</math>, com <math>k</math> inteiro positivo.<ref name="chris.caldwell" />
* Pode-se provar que dois números de Fermat distintos são [[primos entre si]].
* Se <math>F_n</math> é um número primo, então o [[polígono regular]] de <math>F_n</math> lados pode ser [[construções com régua e compasso|construído com régua e compasso]].<ref name="chris.caldwell" />
==Primalidade dos números de Fermat==

{{AP|Teste de primalidade de Fermat}}



Números de Fermat e primos de Fermat foram estudadas pela primeira vez por [[Pierre de Fermat]], que conjecturado (mas admitiu que não poderia provar) que todos os números de Fermat são primos. De fato, os primeiros cinco números de Fermat <math>F_0, \cdot \cdot \cdot , F_4</math> são primos. No entanto, esta conjectura foi refutada por [[Leonhard Euler]] em 1732, quando ele mostrou que

<math> F_{5} = 2^{2^5} + 1 = 2^{32} + 1 = 4294967297 = 641 \times 6700417. \; </math>

Euler provou que todo o elemento de <math>F_n</math> deve ter a forma que <math>k 2^{n + 1} + 1</math> (depois melhorou para <math>k 2^{n + 2} + 1</math> por[[Édouard Lucas | Lucas]]).

O fato de que 641 é um fator de <math>F_5</math> pode ser facilmente deduzido a partir das igualdades <math>641 = 2^7 * 5 + 1</math> e <math>641 = 2^4 + 5^4</math>. Segue-se a partir da primeira igualdade que <math>2^7 * 5 \equiv -1 \pmod {641}</math> e, portanto, (elevar à quarta potência) que <math>2^{28} * 5^4 \equiv 1 \pmod {641}</math>. Por outro lado, a segunda igualdade implica que <math>5^4 \equiv -2^4 \pmod {641}</math>. Estes [[Aritmética modular|congruências]] implica que <math>-2^{32} \equiv 1 \pmod {641}</math>.

Acredita-se que Fermat estava ciente da forma de os fatores mais tarde comprovadas por Euler, por isso parece curioso porque ele não conseguiu acompanhar, através de cálculo simples para encontrar o fator.<ref>{{Harvnb|Křížek|Luca|Somer|2001|p=38, Remark 4.15}}</ref> Uma explicação comum é que Fermat cometeu um erro computacional e estava tão convencido da justeza da sua afirmação de que ele não conseguiu verificar novamente seu trabalho.

Não existem outros números primos de Fermat conhecidos <math>F_n</math> com <math>n > 4</math>. No entanto, pouco se sabe sobre os números de Fermat com maiores que <math>n</math>.<ref>Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/links/theory/special_forms/ "Prime Links++: special forms"] {{Wayback|url=http://primes.utm.edu/links/theory/special_forms/ |date=20131224224552 }} at The [[Prime Pages]].</ref> Na verdade, cada um dos seguintes é um problema em aberto:

* É <math>F_n</math> [[número composto|composto]] para todos <math>n > 4</math> ?
* Existem infinitos números primos de Fermat ? ([[Gotthold Eisenstein|Eisenstein]] 1844)<ref>{{Harvnb|Ribenboim|1996|p=88}}.</ref>
* Existem infinitos números de Fermat [[Número composto|compostos]] ?

{{As of|2014}} sabe-se que <math>F_n</math> é composto por <math>5 \leq n \leq 32</math>, embora as fatorizações completas de <math>F_n</math> são conhecidas apenas para <math>0 \leq n \leq 11</math>, e não há fatores conhecidos para <math>n = 20</math> e <math>n = 24</math>.<ref name="Keller">Keller, Wilfrid (February 7, 2012), [http://www.prothsearch.net/fermat.html#Summary Prime Factors of Fermat Numbers] {{Wayback|url=http://www.prothsearch.net/fermat.html#Summary |date=20160210152415 }} {{en}}</ref> O maior número Fermat conhecido por ser composto é <math>F_{3329780}</math>, e suas fator primo <math>193 * 2^{3.329.782} + 1</math>, um Megaprimo, foi descoberto pela colaboração PrimeGrid em julho de 2014.<ref name="Keller"/><ref name="PrimeGrid’s Mega Prime Search - 193*2^3329782+1">{{citar web|título=PrimeGrid’s Mega Prime Search - 193*2^3329782+1 (official announcement)|url=http://www.primegrid.com/download/mega-3329782.pdf|publicado=PrimeGrid|acessodata=7 de agosto de 2014}}</ref>


=== Argumentos heurísticos para a densidade ===

O seguinte argumento [[Heurística|heurístico]] sugere que há apenas alguns números primos finito de Fermat: de acordo com o [[Teorema do número primo|teorema de número primo]], a "[[probabilidade]]" de que um número <math>n</math> ser primo é, no máximo,<math>\frac{A}{\ln{n}}</math>, em que <math>A</math> é uma [[Constante matemática|constante]] fixa. Portanto, o número esperado máximo de números primos Fermat é

: <math>\begin{align}A \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\ln F_{n}} &= \frac{A}{\ln 2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\log_{2}(2^{2^{n}}+1)}\\ &< \frac{A}{\ln 2} \sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n} \\ &= \frac{2A}{\ln 2}.\end{align}</math>

Ressalte-se que este argumento é de nenhuma maneira uma [[prova]] rigorosa. Por um lado, o argumento pressupõe que os números de Fermat se comportam "[[Aleatoriedade|de forma aleatória]]", mas já vimos que os fatores de números de Fermat tem propriedades especiais.

Se (mais sofisticada) consideramos o ''condicional'' probabilidade de que <math>n</math> é primo, uma vez que sabemos todos os seus fatores primos excedem <math>B</math>, como a mais <math>A \frac{\ln{B}}{\ln{n}}</math>, em seguida, usando o teorema de Euler que o fator menos nobre de <math>F_n</math> excede <math>2^{n + 1}</math>, encontraríamos vez

: <math>\begin{align}A \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\ln 2^{n+1}}{\ln F_{n}} &= A \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\log_2 2^{n+1}}{\log_{2}(2^{2^{n}}+1)} \\ &<
A \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) 2^{-n} \\ &= 4A.\end{align}</math>

Embora tais argumentos geram a crença de que há apenas alguns números primos de Fermat finito, também se pode produzir argumentos para a conclusão oposta. Suponha que nós consideramos a probabilidade condicional de que <math>n</math> seja primo, uma vez que sabemos todos os seus fatores primos são <math>1</math> modulo <math>M</math>, como, pelo menos, <math>\frac{CM}{\ln{n}}</math>. Em seguida, usando o resultado de Euler que <math>M =  2^{n + 1}</math> veremos que o número total esperado de números primos de Fermat seja pelo menos,

: <math>\begin{align}C \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n+1}}{\ln F_{n}} &= \frac{C}{\ln 2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n+1}}{\log_{2}(2^{2^{n}}+1)} \\ &> \frac{C}{\ln 2} \sum_{n=0}^{\infty} 1 \\ &= \infty,\end{align}</math>

e na verdade este argumento prevê que um assintoticamente ''fração constante'' dos números de Fermat são primos.
=== Condições equivalentes de primalidade ===

Há uma série de condições que são [[equivalente]]s para a primalidade de <math>F_n</math>.

*'''Teorema de Proth''' (1878)—Permite que <math>N = k2^m + 1</math> com o antigo <math>k < 2^m</math>. Se houver um número inteiro <math>a</math> tal que

:: <math>a^{\frac{N-1}{2}} \equiv -1 \pmod{N} \!</math>

:Tal que <math>N</math> seja primo. Por outro lado, se a congruência acima não ter, e além

:: <math>\left(\frac{a}{N}\right)=-1\!</math> (Veja [[Símbolo de Jacobi]])

:Tal que <math>N</math> seja composto. Se <math>N = F_n > 3</math>,

em seguida, o símbolo de Jacobi acima é sempre igual a <math>-1</math> para <math>a = 3</math>, e neste caso especial do teorema de Proth é conhecido como teste de Pépin. Embora o teste de Pépin e teorema de Proth foram implementados em computadores para provar o grau de composição de alguns números de Fermat, nem o teste dá um fator não trivial específico. Na verdade, não existe fatores primos específicos conhecidos por <math>n = 20</math> e <math>24</math>.

* Permite que <math>n \geq 3</math> seja um inteiro positivo anterior. Tal que <math>n</math> seja um número primo de Fermat se e apenas se a cada <math>a</math> [[Números primos entre si|co-primo]] <math>n,~a</math> seja um módulo de [[Raiz da unidade|raiz primitiva]] <math>n</math> se e somente se <math>a</math> for um módulo resíduo não quadrático de <math>n</math>.

* O número de Fermat <math>F_n > 3</math> é primo se e apenas se puder ser escrito unicamente como uma soma de dois quadrado diferentes de zero, mais conhecido

:: <math>F_{n}=\left(2^{2^{n-1}}\right)^{2}+1^{2}.\!</math>

:Quando <math>F_{n} = x^2 + y^2</math> não é da forma acima indicada, um factor adequado é:

:: <math>{MDC} (x + 2^{2^{n-1}} y, F_{n}).\!</math> (Veja [[Máximo divisor comum]])

:<math>Exemplo 1 : F_5 = 62264^2 + 20449^2</math>, assim um factor adequado é

::<math>{MDC} (62264\, +\, 2^{2^4}\times 20449,\, F_{5}) = 641.\!</math>

:<math>Exemplo 2 : F_6 = 4046803256^2 + 1438793759^2</math>, assim um factor adequado é

::<math>{MDC} (4046803256\, +\, 2^{2^5}\times 1438793759,\, F_{6}) = 274177.\!</math>

== Problemas em aberto ==

Eis algumas questões em aberto a respeito dos números de Fermat:

* Serão finitos os números primos de Fermat?<ref name="chris.caldwell" />
* Se são finitos, quantos são?
* Se são infinitos, serão os números compostos de Fermat finitos?
* Serão todos os números de Fermat [[Inteiro sem fator quadrático|inteiros sem fator quadrático]]?

== Ver também ==

{{div col}}
* [[primo de Mersenne]]
* [[Número primo estelar]]
* [[Número primo de Sophie Germain]]
* [[Número primo]]
* [[Inteiro de Gauss|Primo Gaussiano]]
* [[Conjectura de Goldbach]]
* [[Conjectura dos primos gémeos]]
* [[Números de Carmichael]]
* [[teste de Wilson]]
* [[PrimeGrid]]
* [[Polígono construtível]]
* [[Teorema de Lucas]]
* [[Teste de primalidade]]
* [[Pseudoprimo]]

{{div col end}}

{{Referências}}

== Bibliografia ==

# Michal Krizek, Florian Luca, Lawrence Somer, '''17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry''', Springer Science & Business Media, 2001 ISBN 0-387-95332-9 {{en}}
# David Wells, '''Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math''', John Wiley & Sons, 2011 ISBN 1-118-04571-8 {{en}}
# Daniel Zwillinger, '''CRC Standard Mathematical Tables and Formulae''', 31st Edition, CRC Press, 2002. ISBN 1-420-03534-7. {{en}}
# James K. Strayer, '''Elementary Number Theory''', Waveland Press, 2001 ISBN 1-478-61040-9 {{en}}
# Ribenboim, Paulo (1996), '''The New Book of Prime Number Records''' (3rd ed.), New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5 {{en}}

==Ligações externas==
*{{Link|en|2=http://www.prothsearch.net/fermat.html |3=Informações gerais sobre os números de Fermat}}
*Ribenboim, P., The new book of prime number records 3<sup>a</sup>ed., Springer, Ontário, 1995, {{ISBN|0-387-94457-5}}

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