Mostrar código-fonte de Número de Proth

Em [[teoria dos números]], um '''número de Proth''' é um número da forma

:<math>N=k \cdot 2^n+1 </math>

onde <math>k</math> é um [[número inteiro]] [[Números pares e ímpares|ímpar]] positivo e <math>n</math> é um inteiro positivo tal que <math>2^n > k</math>. São denominados em memória do matemático [[François Proth]]. Os primeiros números de Proth são

:3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241 {{OEIS|id=A080075}}.

Os [[Número de Cullen|números de Cullen]] (números da forma {{math|''n''·2<sup>''n''</sup> + 1}}) e [[Número de Fermat|números de Fermat]] (números da forma {{math|2<sup>2<sup>''n''</sup></sup> + 1}}) são casos especiais dos números de Proth. Sem a condição de que <math>2^n > k</math>, todos os inteiros ímpares maiores que 1 seriam números de Proth.<ref>{{MathWorld |title=Proth Number |id=ProthNumber}}</ref>

==Primos de Proth==
Um '''primo de Proth''' é um número de Proth que é um [[número primo]]. Os primeiros primos de Proth são
:3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857 ({{OEIS2C|id=A080076}}).

A primalidade de um número de Proth pode ser testada com o [[teorema de Proth]], que estabelece<ref>{{MathWorld |title=Proth's Theorem |id=ProthsTheorem}}</ref> que um número de Proth <math>p</math> é primo se e somente se existe um inteiro <math>a</math> para o qual

:<math>a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1 \pmod{p} .</math>

O maior conhecido primo de Proth (em 2016) é <math>10223 \cdot 2^{31172165} + 1</math>, que tem 9 383 761 dígitos.<ref>{{citar web|url=http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=66 |título=The Top Twenty: Proth |último =Caldwell |primeiro =Chris |publicado=The [[Prime Pages]]}}</ref> Foi encontrado por Szabolcs Peter no ''distributed computing project'' do [[PrimeGrid]] anunciado em 6 de novembro de 2016.<ref>{{citar web|url=http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=7116 |título=World Record Colbert Number discovered! |autor =Van Zimmerman<!-- no way to tell if full name or surname--> |data=30 de novembro de 2016 |publicado=[[PrimeGrid]] |anooriginal=9 Nov 2016}}</ref> É também o maior conhecido [[Primo de Mersenne|não-primo de Mersenne]].<ref>{{citar web|url=http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=3 |título=The Top Twenty: Largest Known Primes |último =Caldwell |primeiro =Chris |publicado=The [[Prime Pages]]}}</ref>

==Ver também==
*[[Número de Sierpiński]]
*[[PrimeGrid]]

{{Referências}}

==Ligações externas==
*{{citar web|último1 =Grime|primeiro1 =Dr. James|título=78557 and Proth Primes|url=https://www.youtube.com/watch?v=fcVjitaM3LY|website=YouTube|publicado=[[Brady Haran]]|acessodata=2 de setembro de 2018|formato=video}}


{{Classes de números primos}}
{{Classes de números naturais}}

[[Categoria:Teoria dos números]]
[[Categoria:Sequências de números inteiros]]