Mostrar código-fonte de Número natural

{{Mais notas|data=março de 2020}}
{{Conjuntos de números}}
Um '''número natural''' é um [[número inteiro]] não negativo <math>\{0, 1, 2, 3, \ldots\}.</math> Em alguns contextos, '''número natural''' é definido como um número inteiro positivo, sendo também o zero considerado como um número natural (mesmo não sendo positivo e sim nulo/neutro): <math>\{0,1, 2, 3, \ldots\}.</math><ref name="LipschutzLipson2004">{{citar livro|autor1 =[[Seymour Lipschutz]]|autor2 =[[Marc Lipson]]|título=Matemática Discreta: Coleção Schaum|url=http://books.google.com/books?id=2S9bwDmD1P0C|ano=2004|publicado=Bookman|isbn=978-85-363-0361-1}}</ref>

O conjunto dos números naturais é, comumente, denotado pelo símbolo <math display="inline" qid="Q21199">\mathbb{N}.</math> O símbolo <math>\mathbb{N}^*</math> é usado para explicitar que o zero não está sendo incluso, i.e. <math>\mathbb{N}^* = \mathbb{N}-\{0\}.</math><ref>[http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm12/numeros_naturais.htm Números Naturais]</ref><ref name="NN">[http://www.paulomarques.com.br/arq11-1.htm Os números naturais]</ref><ref>{{Citar periódico|titulo=O que são Números Naturais?|url=https://www.todamateria.com.br/numeros-naturais/|jornal=Toda Matéria|lingua=pt-br}}</ref>

Os usos mais comuns dos números naturais são a contagem, a ordenação e a codificação. Propriedades dos números naturais como, por exemplo, [[divisibilidade]] e a distribuição dos [[número primo|números primos]], são estudadas na [[teoria dos números]]. Propriedades que dizem respeito a contagens e [[Combinação (matemática)|combinações]] são estudadas pela [[combinatória]].

Uma construção do conjunto dos números naturais que não depende do conjunto dos números inteiros foi desenvolvida por [[Giuseppe Peano]] no século XIX e costuma ser chamada de [[Axiomas de Peano|Axiomática de Peano]].

== Notação ==
[[Imagem:Three apples.svg|esquerda|miniatura|Os números naturais podem ser usados para contar (uma [[maçã]], duas maçãs, três maçãs...).]]
Os [[matemático]]s usam <math>\mathbb{N}</math> para se referir ao conjunto de todos os números naturais. Este conjunto é infinito e [[contável]] por definição. Para declarar explicitamente que o zero foi excluído do conjunto, utiliza-se alguma notação mais específica. Exemplos:<ref name="NN1">Antonio González Carlomán, '''Didáctica del número natural''',  Universidad de Oviedo, 1984 ISBN 8-474-68094-8 {{es}}</ref>

<math display="block">\mathbb{N}^{*} = \mathbb{N}-\{0\} = \{x \in \mathbb{N} | x \ne 0\} = \{0\}^c_\mathbb{N}</math>

'''''Nota''': deve-se tomar o cuidado para não confundir ''0'' e ''<math>\{0\}</math>'', pois ''0'' é o [[zero|número zero]], ao passo que ''<math>\{0\}</math>'' é o [[conjunto unitário]] cujo único elemento é o [[zero|número zero]].''{{-}}

== A origem dos números naturais ==
{{VT|Zero}}

Os números naturais tiveram suas origens nas palavras utilizadas para a contagem de objetos, começando com o número [[dois]], e daí por diante. Uma abstração seguinte foi identificar o número [[um]].<ref>{{Citation |primeiro = Bertrand |último = Russell |título= '''Introdução à filosofia matemática''' |capítulo= 1. A série dos números naturais |isbn=8-571-10970-2 |publicado= Zahar |data=2007 |formato= Livro |data-publicacao=2007 }}.</ref>

O avanço seguinte na abstração foi o uso de [[sistema numérico|numerais]] para representar os números. Isto permitiu o desenvolvimento de sistemas para o armazenamento de grandes números. Por exemplo, os [[Babilônia (região)|babilônicos]] desenvolveram um sistema de atribuição de valor baseado essencialmente nos numerais de 1 a 10. Os [[História do Antigo Egito|egípcios]] antigos possuíam um sistema de numerais com [[hieróglifo]]s distintos para 1, 10, e todas as [[potenciação|potências]] de 10 até um [[milhão]]. Uma gravação em [[pedra]] encontrada em [[Templo de Karnak|Karnak]], datando de cerca de [[1500 a.C.]] e atualmente no [[Louvre]], em [[Paris]], representa 276 como 2 centenas, 7 dezenas e 6 unidades; e uma representação similar para o número 4 622.<ref name=NN /><ref name="NN2">Ifrah, Georges (1997)</ref>

Um avanço muito posterior na abstração foi o desenvolvimento da ideia do [[zero]] como um número com seu próprio numeral.<ref>Célia Maria Carolino Pires, '''Números Naturais e Operações''' ,  Editora Melhoramentos, 2013 ISBN 8-506-07233-6</ref> Um [[Algarismo|dígito]] zero tem sido utilizado como notação de posição desde cerca de [[700 a.C.]] pelos babilônicos, porém ele nunca foi utilizado como elemento final.<ref>{{Citation |local= UK |publicado= ST-And |citação= ...uma tábua encontrada em [[Kish (Iraque)|Kish]]... com uma data estimada em cerca de [[700 a.C.]], utiliza três ganchos para representar um espaço vazio na [[notação posicional]]. Outras tábuas datadas da mesma época utilizam um único gancho para representar um espaço vazio. |título= MCS |contribuição= Zero | url = http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html}}.</ref> Os [[olmeca]]s e a [[civilização maia]] utilizaram o zero como um número separado desde o século I a. C., aparentemente desenvolvido independentemente, porém seu uso não se difundiu na [[Mesoamérica]]. O conceito da forma como ele é utilizado atualmente se originou com o [[matemático]] [[indiano]] [[Brahmagupta]] em [[628]]. Contudo, o zero foi utilizado como um número por todos os [[computus]] (calculadoras da [[Idade Média]]) começando com [[Dionísio, o Exíguo]] em [[525]], porém no geral nenhum [[numeral romano]] foi utilizado para escrevê-lo. Ao invés disto, a palavra latina para "[[nenhum]]", "nullae", foi empregada.

O primeiro estudo esquemático dos números como [[abstração]] (ou seja, como [[ente|entidades]] abstratas) é comumente atribuído aos [[filósofo]]s [[Grécia antiga|gregos]] [[Pitágoras]] e [[Arquimedes]]. Entretanto, estudos independentes também ocorreram por volta do mesmo período na [[Índia]], [[China]], e Mesoamérica.

No [[século XIX]], uma [[definição]] do [[teoria dos conjuntos|conjunto teórico]] dos números naturais foi desenvolvida. Com esta definição, era mais conveniente incluir o zero (correspondente ao [[conjunto vazio]]) como um número natural. Esta convenção é seguida pelos teorizadores de conjuntos, [[lógica|logicistas]], e [[ciência da computação|cientistas da computação]]. Outros matemáticos, principalmente os [[teoria dos números|teorizadores dos números]], comumente preferem seguir a tradição antiga e excluir o zero dos números naturais.

Uma construção consistente do [[Conjunto dos Números Naturais]] foi desenvolvida no século XIX por [[Giuseppe Peano]]. Essa construção, comumente chamada de [[Axiomas de Peano]], é uma estrutura simples e elegante, servindo como um bom exemplo, de construção de conjuntos numéricos.

== Propriedades algébricas ==
<math>\forall a, b \in\mathbb{N},</math> valem as propriedades:
{| class="wikitable"
|-
|
! [[adição]] <ref name="NN" />
! [[multiplicação]]
|-
|[[Fechamento]] ou Fecho: || <math>(a + b )\in\mathbb{N}</math>|| <math>(a \cdot b)\in\mathbb{N}</math>
|-
|[[Associatividade]]: || <math>a + (b + c) = (a + b) + c</math> || <math>a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c</math>
|-
|[[Comutatividade]]: || <math>a + b = b + a</math> || <math>a \cdot b = b \cdot a</math>
|-
|Existência de um [[elemento neutro]]: || <math>a + 0 = a</math> || <math>a \cdot 1 = a</math>
|-
|[[Distributividade]]: || colspan="2" align="center" | <math>a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)</math>
|-
|Nenhum [[divisor de zero]]: || colspan="2" align="center" |<math>a \cdot b = 0 \Rightarrow (a=0 \lor b=0)</math>
|}

===Infinidade===
O conjunto de números naturais é um [[conjunto infinito]]. Esse tipo de [[infinito]] é, por definição, chamado [[infinito contável]]. Todos os conjuntos que podem ser colocados em uma relação [[bijetiva]] com os números naturais são considerados como tendo esse tipo de infinidade. Isso também é expresso dizendo que o [[número cardinal]] do conjunto é [[Número aleph#Aleph-zero|Aleph-zero]] ({{math|ℵ<sub>0</sub>}}).<ref>{{MathWorld |urlname=CardinalNumber |title=Cardinal Number}}</ref>

{{Referências}}

== Ver também ==
{{div col}}
* [[Matemática]]
* [[Número inteiro]]
* [[Número primo]]
* [[Primo relativo]]
* [[Prova real]]
* [[Axiomas de Peano]]
* [[Teorema fundamental da aritmética]]
* [[Conjunto contável]]
* [[Número#Tipos de números|Tipos de números]]
* [[Zero]]
* [[Algoritmo de Euclides]]
{{div col end}}

==Bibliografia==
*{{Citar livro|nome=Georges |sobrenome=Ifrah |título=História Universal dos Algarismos |subtítulo= a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo |volume = 2 |ano = 1997 |editora=Nova Fronteira |isbn= 8-520-91046-7}}

==Ligações externas==
*{{Link|pt|2=http://legauss.blogspot.com/2009/01/construindo-os-nmeros-naturais-um-mtodo.html|3=Construindo os números naturais - um método alternativo}}

{{Correlatos|wikcionario = número natural}}
{{Classes de números naturais}}
{{Números}}
{{Portal3|Matemática}}

[[Categoria:Números]]