Mostrar código-fonte de NURBS

[[Imagem:NURBS 3-D surface.gif|miniatura|400px|Superfícies tridimensionais NURBS podem ter formas complexas. Os pontos de controle influem na orientação das superfícies.]]
[[Ficheiro:NURBstatic.svg|thumb|Uma curva NURBS criada em NX Shape Studio.<br />[[:Image:Spline01.gif|Versão animada]]]]

'''Non Uniform Rational Basis Spline''' ('''NURBS''') é um modelo matemático usado regularmente em programas gráficos para gerar e representar curvas e superficies.

== História ==
[[Ficheiro:MyNurbs.JPG|250px|right]]
O [[desenvolvimento]] do NURBS (Non Uniform Rational Basis Spline) começou na [[década]] de 50 por [[engenheiros]] que precisavam de uma representação [[matemática]] para  superfícies livres como as que são usadas nos chassis dos automóveis, que poderiam ser reproduzidas quando se quisesse. Representações anteriores desse tipo de [[superfície]]s apenas existiam como um [[modelo]] único criado por um [[designer]].

Os pioneiros neste tipo de desenvolvimento foram [[Pierre Bézier]] que trabalhou como engenheiro da [[Renault]], e [[Paul de Casteljau]] que trabalhou na [[Citroën]], ambos na [[França]]. Bézier trabalhou quase paralelamente a Casteljau, ambos sabiam um do trabalho do outro. Mas como Bézier publicou os resultados do seu trabalho, os usuários frequentes desses softwares para desenhar curvas — que são representadas com controle dos pontos fora da sua curva- a conhecem como [[curva de Bézier]], enquanto as de Casteljau´s apenas são conhecidas e utilizadas em [[algoritmos]] que ele desenvolveu para  as superficies paramétricas.  Na década de 60 tornou-se claro que as ''Uniform Space|Non-Uniform, rational B-splines'' são uma generalização das curvas de Bézier, que podem ser consideradas como curvas uniformes, não racionais básicas.

No início, NURBS foram apenas utilizadas em pacotes de [[CAD]] para [[empresa]]s automotivas. Mais tarde elas tornaram-se parte de pacotes de programas gráficos

Em tempo real, a interpretação interativa das curvas e superfícies NURBS só estiveram disponíveis em workstations em 1989. Em 1993, a primeira NURBS interativa para PCs, chamadas NöRBS, foi desenvolvida por CAS Berlim, uma pequena empresa cooperando com a Universidade Técnica de Berlim. Hoje em dia, a maioria dos computadores gráficos disponibilizam tecnologia NURBS.

== Uso ==
[[Ficheiro:motoryacht design i.png|250px|right]]
A tecnologia NURBS está quase [[omnipresente]] para [[CAD]] na [[engenharia]] e na [[maioria]] da [[Indústria|industria]] é usado em grande parte como tecnologia standard.

Isto permite representação de formas geométricas de uma forma compacta. Elas podem ser eficientemente moldadas por programas de computador e ainda permitem uma fácil interacção com o utilizador. Superficies NURBS são funções de dois parametros mapeados para uma superficie tridimensional. Esta forma da superfície é determinada por pontos de controlo.

De uma forma geral, podemos dizer que editar curvas e superfícies NURBS é altamente intuitivo e previsivel. Os pontos de controlo são sempre connectados directamente à curva/superficie, ou agem como se estivessem connectadas. 

A superficie em construção, por exemplo um motor de um yacht, é normalmente composto por várias superficies NURBS conhecidas como as ''patches''. Estas patches devem estar todas juntas de maneira a que as fronteiras sejam invisiveis. 

A continuação geométrica faz com que a forma resulte numa superfície; desde que as superficies NURBS sejam funções, isto possibilita também discutir as derivadas das superficies no que respeita às paramétricas. Isto é conhecido como paramétricas continuadas. A parametrização continuada de um determinado grau implica uma continuidade nesse grau.

== Exemplo: um círculo ==
Enquanto as curvas não racionais não são suficientes para representar um círculo, isto é um dos muitos passos de controlo das curvas NURBS que podemos parametrizar uniformemente o círculo num plano ''xy'':

<center>
{|class="wikitable"
!style="width:3em;"| ''x''
!style="width:3em;"| ''y''
!style="width:3em;"| ''z''
!style="width:3em;"| weight
|-
| 1 || 0 || 0 || 1
|-
| 1 || 1 || 0 || <math>\sqrt{2}/2</math>
|-
| 0 || 1 || 0 || 1
|-
| −1 || 1 || 0 || <math>\sqrt{2}/2</math>
|-
| −1 || 0 || 0 || 1
|-
| −1 || −1 || 0 || <math>\sqrt{2}/2</math>
|-
| 0 || −1 || 0 || 1
|-
| 1 || −1 || 0 || <math>\sqrt{2}/2</math>
|-
| 1 || 0 || 0 || 1
|}
</center>

== Veja também ==
* [[Spline]]
* [[Algoritmo de Boor]]
* [[Subdivisão de superfícies]]
* [[Redes Mesh]]

== Referências ==
* Les Piegl & Wayne Tiller: ''The NURBS Book'', Springer-Verlag 1995–1997 (2nd ed.).  Principal referência para Bézier, B-Spline e NURBS; capítulos sobre representação matemática e construção de curvas e superfícies, interpolação, modificação de formas e conceitos de programação.
* Dr. Thomas Sederberg, BYU ''[http://cagd.cs.byu.edu/~557/text/ch5.pdf  NURBS]'' ([[PDF]]).
* Dr. Lyle Ramshaw. ''Blossoming: A connect-the-dots approach to splines'', Research Report 19, Compaq Systems Research Center, Palo Alto, CA, June 1987
* David F. Roger: ''An Introduction to NURBS with Historical Perspective'', Morgan Kaufmann Publishers 2001.  Bom livro introdutório sobre NURBS e assuntos correlatos.
* Foley, van Dam, Feiner & Hughes: ''Computer Graphics  Principles and Practice'', Addison Wesley 1996 (2nd ed.).

== Ligações externas ==
* [http://www.cs.wpi.edu/~matt/courses/cs563/talks/nurbs.html About Nonuniform Rational B-Splines - NURBS]
* [http://ibiblio.org/e-notes/Splines/Intro.htm An Interactive Introduction to Splines]
* [http://freeitsolutions.com/3ds/?search=nurb NURBS with 3ds max tutorials] (en)
* http://www.cs.bris.ac.uk/Teaching/Resources/COMS30115/all_9.pdf
* http://devworld.apple.com/dev/techsupport/develop/issue25/schneider.html
* http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/AV0405/DONAVANIK/bezier.html
* http://mathcs.holycross.edu/~croyden/csci343/notes/Lecture33_CurvesIII.ppt
* http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/notes.html

[[Categoria:Computação gráfica 3D]]
[[Categoria:Curvas]]
[[Categoria:Interpolação]]