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[[Ficheiro:Mrs_Miniver's_Problem.svg|miniaturadaimagem| Três casos do problema da Sra. Miniver. Em cada caso, a área amarela é igual à área total das regiões azuis. O caso da esquerda mostra dois círculos de áreas iguais, o caso da direita mostra um círculo com o dobro da área do outro e o caso do meio é intermediário entre esses dois.]]
'''O problema da Sra.''' '''Miniver''' é um problema de [[geometria]] tratando de [[Área|áreas]] de [[Circunferência|círculos]]. Ele pergunta como colocar dois círculos <math>A</math> e <math>B</math> de raios dados de tal forma que a [[Lente (geometria)|lente]] formada pela interseção de seus interiores tenha área igual à [[diferença simétrica]] de <math>A</math> e <math>B</math> (a área contida em somente um dos círculos).{{Referências múltiplas|ingenious}} Foi nomeado por uma analogia entre a geometria e a dinâmica social enunciada pela personagem fictícia Sra. Miniver, que "via cada relacionamento como um par de círculos que se cruzam". Sua solução envolve uma [[Equação transcendente|equação transcendental]].

== Origem ==
O problema surgiu no "''A Country House Visit''", um dos artigos de [[Jan Struther]] publicados no ''[[The Times]]'' entre 1937 e 1939, apresentando sua personagem, Sra. Miniver. De acordo com a história:<blockquote>Ela via cada relacionamento como um par de círculos que se sobrepunham. À primeira vista, parece que quanto maior a sobreposição, melhor é o relacionamento; mas não é assim. Além de um certo ponto, a lei dos rendimentos decrescentes se estabelece, e não há recursos privados suficientes deixados em nenhum dos lados para enriquecer a vida que é compartilhada. Provavelmente a perfeição é alcançada quando a área dos dois crescentes externos, somados, é exatamente igual à da peça em forma de folha no meio. No papel deve haver alguma fórmula matemática clara para se chegar a isso; na vida, nenhum.{{Referências múltiplas|struther}}</blockquote>Louis A. Graham e Clifton Fadiman formalizaram a matemática do problema e a popularizaram entre [[Matemática recreativa|os matemáticos recreativos]].{{Referências múltiplas|ingenious|magpie}} 

== Solução ==
O problema pode ser resolvido cortando a [[Lúnula (geometria)|lúnula]] ao longo do segmento de linha entre os dois pontos de interseção dos círculos, em dois [[Segmento circular|segmentos circulares]], e usando a fórmula da área de um segmento circular para relacionar a distância entre os pontos de interseção com a área total que o problema exige que a lúnula tenha. Isso fornece uma [[Equação transcendente|equação transcendental]] para a distância entre os pontos de cruzamento, mas pode ser resolvida numericamente.{{Referências múltiplas|ingenious|icons}}  Existem duas condições de contorno cujas distâncias entre os centros podem ser prontamente resolvidas: o mais distante que os centros podem estar é quando os círculos têm raios iguais, e o mais próximo que eles podem estar é quando um círculo está contido completamente dentro do outro, o que acontece quando a razão entre os raios é <math>\sqrt2</math> . Se a proporção de raios cair além desses casos limites, os círculos não poderão satisfazer a restrição de área do problema.{{Referências múltiplas|icons}}

No caso de dois círculos de tamanho igual, essas equações podem ser um pouco simplificadas. O [[losango]] formado pelos dois centros do círculo e os dois pontos de interseção, com comprimentos de lado iguais ao raio, tem um ângulo <math>\theta\approx 2.605</math> radianos nos centros dos círculos, encontrados resolvendo a equação:<math display="block">\theta-\sin\theta=\frac{2\pi}{3},</math>do que se segue que a razão entre a distância entre seus centros e seus raios é <math>2\cos\tfrac\theta2\approx0.529864</math>.{{Referências múltiplas|icons}}

== Ver também ==

* [[Problema da cabra#Problema de pastejo interior|Problema de pastejo interior]], outro problema de equalização das áreas de lúnulas e lentes circulares

== Referências ==
{{Reflist|refs=<ref name=icons>{{citation
 | last1 = Alsina | first1 = Claudi
 | last2 = Nelsen | first2 = Roger B.
 | contribution = 11.8: Mrs. Miniver's problem
 | isbn = 978-1-4704-5616-0
 | pages = 141–142
 | publisher = American Mathematical Society
 | series = Dolciani Mathematical Expositions
 | title = Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images
 | volume = 56
 | year = 2011}}</ref>

<ref name=ingenious>{{citation
 | last = Graham | first = Louis A.
 | contribution = 3: Mrs. Miniver's problem
 | contribution-url = https://books.google.com/books?id=xdpQAQAAQBAJ&pg=PA64
 | isbn = 978-0-486-28293-0
 | pages = 64–66
 | publisher = Dover Publications
 | series = Dover Books on Mathematics
 | title = Ingenious Mathematical Problems and Methods
 | year = 1959}}</ref>

<ref name=magpie>{{citation
 | last = Fadiman | first = Clifton | author-link = Clifton Fadiman
 | contribution = The Miniver problem
 | pages = 298–300
 | publisher = [[Simon & Schuster]]
 | title = The Mathematical Magpie
 | year = 1962}}</ref>

<ref name=struther>{{citation
 | last = Struther | first = Jan | author-link = Jan Struther
 | access-date = 2022-03-10
 | contribution = A Country House Visit
 | contribution-url = https://digital.library.upenn.edu/women/struther/miniver/miniver.html#12
 | publisher = University of Pennsylvania
 | title = Mrs. Miniver}}. Originalmente publicado como parte de uma série de colunas no ''The Times'', em 1937, e no livro ''Mrs. Miniver'', Chatto and Windus, London, 1939.</ref>}}

[[Categoria:Problemas matemáticos]]
[[Categoria:Área]]
[[Categoria:Círculos]]