Mostrar código-fonte de Octonião

{{Conjuntos de números}}
Na [[matemática]], os {{PEPB|octoniões|octônios}} são uma extensão não-associativa dos [[quaterniões]]. Sua [[álgebra]] da divisão formada de 8 dimensões sobre os números reais é o mais extenso que pode ser obtido da [[construção de Cayley-Dickson]]. A álgebra do octoniões é frequentemente denotada como <math>\mathbb{O}</math>.

Possivelmente por não oferecerem uma multiplicação associativa, os octoniões recebem às vezes menos atenção do que os quaterniões. Apesar desta falta da popularidade, eles são relacionados a um número de estruturas excepcionais na matemática, entre elas os ''[[grupos excepcionais de Lie]]''. Octoniões são também promissores na [[física]], por exemplo, para avanços na ''[[teoria das cordas]]''.

== Definição ==
Os octoniões podem ser definidos como octetos (ou 8-truplas) de números reais. Cada octonião é uma combinação linear real dos octoniões unitários <math>1, i, j, k, l, il, jl\,</math> e <math>kl\,</math>. Isto é, cada octonião <math>x\,</math> pode ser escrito na forma
 
<math>x = x_0 + x_1i + x_2j + x_3k + x_4l + x_5il + x_6jl + x_7kl\,</math>

com coeficientes reais <math>x_i\,</math>.

A adição dos octoniões é realizada somando-se os coeficientes correspondentes, como com os números complexos e os quaterniões. Pela linearidade, a multiplicação dos octoniões é completamente determinada  pela tabela da multiplicação para os octoniões unitários dados abaixo

{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" align="center" style="text-align: center;"
|-----
| 1 || ''i'' || ''j'' || ''k'' || ''l''
| ''il'' || ''jl'' || ''kl''
|-----
| ''i'' || -1 || ''k'' || -''j'' || ''il''
| -''l'' || -''kl'' || ''jl''
|-----
| ''j'' || -''k'' || -1 || ''i'' || ''jl''
| ''kl'' || -''l'' || -''il''
|-----
| ''k'' || ''j'' || -''i'' || -1 || ''kl''
| -''jl'' || ''il'' || -''l''
|-----
| ''l'' || -''il'' || -''jl'' || -''kl'' || -1
| ''i'' || ''j'' || ''k''
|-----
| ''il'' || ''l'' || -''kl'' || ''jl'' || -''i''
| -1 || -''k'' || ''j''
|-----
| ''jl'' || ''kl'' || ''l'' || -''il'' || -''j''
| ''k'' || -1 || -''i''
|-----
| ''kl'' || -''jl'' || ''il'' || ''l'' || -''k''
| -''j'' || ''i'' || -1
|}

A base para os octoniões dada aqui não é quase tão universal quanto a base padrão para os quaterniões; entretanto, quase todas as outras diferem dessa somente quanto à ordem e o sinal.

Observa-se que a multiplicação não é associativa: ''i(jl) = -kl'', mas ''(ij)l = kl''.

== Conjugado, norma e inverso ==

O conjugado de um octonião 

:<math>x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl</math>

é dado por
 
:<math>x = x_0 - x_1\,i - x_2\,j - x_3\,k - x_4\,l - x_5\,il - x_6\,jl - x_7\,kl.</math>

A conjugação é uma involução de <math>\mathbb{O}</math> e satisfaz <math>(xy)^* = y^*x^*\,</math> (note a mudança de ordem).

A ''parte real'' de <math>x\,</math> é definida como <math>{(x + x^*)}\over 2\,</math> <math>= x_0\,</math> e a ''parte imaginária'' como <math>{(x - x^*)}\over 2\,</math>. O conjunto de todos os octoniões puramente imaginários forma um subespaço de 7 dimensões de <math>\mathbb{O}</math>, denotado <math>Im\,</math> <math>\mathbb{(O)}</math>.

A ''norma'' do octonião <math>x\,</math> é definida como
 
:<math>\|x\| = \sqrt{x^{*} x}</math>

A raiz quadrada é definida aqui como <math>x^*x = xx^*\,</math>, que é sempre um número real não negativo:

:<math>\|x\|^2 = x^{*}x = x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2</math>
 
Essa norma concorda com a norma euclidiana padrão em <math>R  ^8\,</math>.

A existência de uma norma em <math>\mathbb{O}</math> implica a existência de inversos para cada elemento diferente de 

zero de <math>\mathbb{O}</math>. O inverso de <math>x \ne 0\,</math> é dado por

:<math>x^{-1} = \frac{x^{*}}{\|x\|^2}</math>
 
Isso satisfaz <math>xx^{-1} = x^{-1}x = 1\,</math>.

==Ver também==
*[[Quaterniões]]
*[[Quaterniões hiperbólicos]]
*[[Números complexos]]
*[[Números complexos hiperbólicos]]
*[[Sedeniões]]


{{Números}}

[[Categoria:Números hipercomplexos]]